基于數(shù)學(xué)原型的發(fā)生學(xué)習(xí)

1、基于原型的發(fā)生學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)原型的含義與教育價值數(shù)學(xué)原型的獲得與教學(xué)實施基于原型的發(fā)生學(xué)習(xí)1 數(shù)學(xué)原型的含義數(shù)學(xué)原型的概念數(shù)學(xué)原型的特征數(shù)學(xué)原型的分類1.1 數(shù)學(xué)原型的概念什么叫“原型”？文學(xué)中的文學(xué)中的“原型原型”。例：林海雪原楊子榮、少劍波魯迅：作家取人為模特，有兩法。一是專用一個人，；二是雜取種種人，合成一個。文學(xué)形象基于原型，高于原型成為一個時代一類人的代表。什么叫“原型”？心理學(xué)中的心理學(xué)中的“原型原型”?！霸汀笔歉拍畹母爬ɑ硐螅撬鶎俚哪且活愂挛锏淖詈么怼?數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)的知識、原理、方法和理論體系是否也存在一個“原型原型”？數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展也受到原型的啟發(fā)，基于原型、高于原型。三角形

2、的認識高看書自學(xué)。指導(dǎo)畫高。質(zhì)疑問難。生（指AC邊上高）：“這其實不是高，為什么它也是高呢？”ABCDE他在說什么？日常生活中所謂的高矮，是指同一水平面上兩個物體在豎直方向上的最大跨度。水平為底、豎直為高。英女王的衛(wèi)兵高的生活原型。哪個比較高？ABCEFG從哪兒到哪兒？底高底高如果以AB為底，哪個比較高？頂點頂點ABCEFG想一想，高度與什么有關(guān)？比一比，誰的三角形比較高？說說它們的底和高。底高高底基于數(shù)學(xué)原型的發(fā)生學(xué)習(xí)不轉(zhuǎn)動你能找出EG邊上的高嗎？關(guān)鍵一步！ABCEFG底高擺脫原型束縛，實現(xiàn)從原型到模型的飛躍，進入數(shù)學(xué)的自由王國！ 把數(shù)學(xué)的概念、原理、方法和理論體系都看作數(shù)學(xué)模型。 把模型所

3、源于其中，并對模型的發(fā)生發(fā)展起結(jié)構(gòu)性支持作用的原始事實材料及相關(guān)活動經(jīng)驗叫做這個模型的原型。什么叫模型？原型？1.2 數(shù)學(xué)原型的特征數(shù)學(xué)原型的特征 典型性。問題的典型性。經(jīng)驗的典型性。結(jié)構(gòu)的典型性。 長效性。數(shù)學(xué)原型的特征典型性問題的典型性：相對于數(shù)學(xué)模型而言，原型是典型的數(shù)學(xué)問題，問題的解決將直接導(dǎo)致模型的建立。 l 典型問題：哪個三角形比較高？數(shù)學(xué)原型的特征典型性經(jīng)驗的典型性：原型是有豐富的相關(guān)活動經(jīng)驗作支撐的數(shù)學(xué)事實或現(xiàn)實材料，便于學(xué)生能自然地從頭腦中產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題，順利完成從原型到模型的認識過程，溝通經(jīng)驗世界與數(shù)學(xué)世界的聯(lián)系。l 典型經(jīng)驗：水平為底、豎直為高數(shù)學(xué)原型的特征典型性結(jié)構(gòu)的典型

4、性：是指原型為模型的建立提供了結(jié)構(gòu)性支持，這種結(jié)構(gòu)性支持來自于構(gòu)成原型、模型中的各要素之間存在的一一對應(yīng)關(guān)系。結(jié)構(gòu)的典型性：一一對應(yīng)數(shù)學(xué)原型的特征長效性所謂的長效性，是指原型提供了對數(shù)學(xué)模型的反復(fù)認識、深化理解的機會，并使之具有潛在的可遷移性。認識各種三角形的高，掌握其畫法。哪個比較高？高多少？ 直角三角形有多高？怎么畫？鈍角三角形有多高？怎么畫？數(shù)學(xué)原型的特征長效性有效促進鄰近和相關(guān)知識學(xué)習(xí)。即使從最壞的情況看學(xué)生忘記了高的意義和畫法，只要還有原型存留腦中，還有從原型到模型這種對數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展規(guī)律的認識和學(xué)習(xí)方法存留腦中，就有可能借助原型重新發(fā)現(xiàn)這些遺忘的知識。1.3 數(shù)學(xué)原型的分類數(shù)學(xué)原型的

5、分類結(jié)構(gòu)圖教例：直線、射線與角先直線后線段：直線找不到原型，純粹的想象。線段是直線上兩點間一段。先線段后直線：線段有原型，可抽象。借想象認識直線。擬真原型：金箍棒這是他的哪兩大寶貝？直的線曲的線線段.端點端點長，長，長，長，長，永遠不停地長下去。.直線線段射線.擬真的數(shù)學(xué)原型原型必須是客觀世界的真實存在嗎？原型必須是真實的，真實的關(guān)鍵不在于客觀世界，而在于學(xué)生的經(jīng)驗世界。想一想：哪些是學(xué)生擬真世界中的事物？是否可能成為數(shù)學(xué)原型？ 畫出點經(jīng)過的路線，說說畫出的是不是直線、射線或線段？. . . . 畫出點經(jīng)過的路線，說說畫出的是否直線、射線或線段？. . . 畫出點經(jīng)過的路線，說說畫出的是否直線

6、、射線或線段？. . 畫出點經(jīng)過的路線，說說畫出的是否直線、射線或線段？. . 畫出點經(jīng)過的路線，說說畫出的是否直線、射線或線段？. . 畫出點經(jīng)過的路線，說說畫出的是否直線、射線或線段？. 用鉛筆尖點兩個點，想一想，經(jīng)過這兩個點可以畫幾條直線？畫一畫。想一想：人類如何創(chuàng)造小數(shù)？ 小數(shù)是十進分數(shù)的特殊形式。 想一想：自然數(shù)和分數(shù)，誰更像小數(shù)的母親？（原型） 小數(shù)的數(shù)位創(chuàng)造以自然數(shù)為原型。用了完全相同的原理：向左數(shù)位滿十進一（向右數(shù)位分一作十）。自然數(shù)的局限在于向左數(shù)位可以無限發(fā)生，向右不行。 十進分數(shù)關(guān)鍵在十進而不是分數(shù)。想一想：如何創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境？ 量一根金絲的長度，量得15米還多一些，需要精

7、確數(shù)據(jù)，怎么辦？ 十等分1米（1分米）再量。 還有多，怎么辦？ 數(shù)據(jù)的表示包含大量的長度單位，會非常麻煩，能不能統(tǒng)一用米來表示？小數(shù)認識的情境創(chuàng)設(shè)與教學(xué) 這就需要在原來個、十、百、計數(shù)單位的基礎(chǔ)上創(chuàng)造比“個”更小的新單位，如何創(chuàng)造呢？ 觀察整數(shù)的計數(shù)單位：向左變大，向右變小，所以新創(chuàng)造的單位要放在個位的右側(cè)，因為比“個”小。 繼續(xù)觀察：向左滿十進一，向右分一作十，用分一作十來創(chuàng)造新單位。小數(shù)認識的情境創(chuàng)設(shè)與教學(xué) 分一次，就是把1十等分，計數(shù)單位是1/10，新數(shù)位叫十分位。 分兩次，就是把新單位再十等分，就是把1百等分，計數(shù)單位1/100，新數(shù)位叫百分位。 反過來1/10，“1”分一次是一位小數(shù)

8、；1/100，“1”分兩次是兩位小數(shù)；小數(shù)認識的情境創(chuàng)設(shè)與教學(xué) 我們把原有的那些數(shù)位叫做一個數(shù)的整數(shù)部分，新的數(shù)位叫做小數(shù)部分，既有整數(shù)部分又有小數(shù)部分的數(shù)叫做小數(shù)，中間用小數(shù)點隔開。 整數(shù)部分的數(shù)位按滿十進一可以產(chǎn)生無數(shù)個，能表示無限大的數(shù)；小數(shù)部分的數(shù)位按分一作十也可以產(chǎn)生無數(shù)個，多小的都能表示出來。原創(chuàng)智慧：運算的拓展 自然數(shù)意義自然數(shù)四則運算自然數(shù)四則混合運算。 想一想小數(shù)引入以后我們做了什么？ 分數(shù)引入后呢？我們以誰為原型？ 負數(shù)引入后我們又將做些什么呢？以誰為原型？ 字母（代數(shù)式）引入后呢？數(shù)學(xué)到底學(xué)什么？ 學(xué)數(shù)學(xué)的根本要義在于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原創(chuàng)活動中的人類智慧人類如何思考、如何實踐以解

9、決數(shù)學(xué)問題。 智慧在哪里？智慧在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的活動過程中，在活動積淀的經(jīng)驗里。 在此基礎(chǔ)上，順便學(xué)點知識技能。關(guān)于數(shù)學(xué)怎么學(xué)？關(guān)鍵問題并不完全在于發(fā)現(xiàn)還是接受，而在于是否清晰的呈現(xiàn)了知識的原創(chuàng)過程，讓學(xué)生感悟到蘊含其中的人類智慧。2 數(shù)學(xué)原型的獲得數(shù)學(xué)原型的追索數(shù)學(xué)原型的選擇數(shù)學(xué)原型的加工2.1 數(shù)學(xué)原型的追索 既然基于原型的教學(xué)是數(shù)學(xué)原創(chuàng)過程在教學(xué)中的體現(xiàn)，這就需要我們對數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展進行某種歷史的追索，分析其動力特征，從而發(fā)現(xiàn)原型，重建從原型到模型的原創(chuàng)過程，為課堂的情境創(chuàng)設(shè)與教學(xué)實施提供有力的支持。教例：角的初步認識 教學(xué)目標：知道角有一個頂點、兩條直的邊；知道

10、角的大小與兩邊張開度有關(guān)；能辨認直角、銳角和鈍角。 數(shù)學(xué)中的角是為研究或解決什么問題引入的？ 由果索因：分析角的概念會不會對我們有啟發(fā)？追索策略：動力分析讓我們一起想一想什么叫做角？一點引出兩條射線所形成的圖形叫做角。生活中，你經(jīng)常見到兩邊是射線的角嗎？數(shù)學(xué)為什么要借射線來定義角？讓我們一起想一想射線不必比長短。那么，人類引入角為研究什么呢？研究兩邊的張開度。讓我們再一起想一想我們?nèi)绾萎嫿?？為什么要畫短??？定義里為什么沒有要求“畫短弧”？1我們讓學(xué)生擺弄活動角，問“角的大小有什么變化？”得到“角的大小與兩邊的張開度有關(guān)?！比绻麑W(xué)生問：什么叫做“角的大小”？我們?nèi)绾位卮?？就是指角兩邊的張開程度。

11、這個過程有沒有循環(huán)的嫌疑？回憶我們的教學(xué)動力分析的結(jié)果 可以以對兩個角的張開度作比較的問題情境為原型。 數(shù)學(xué)中引入角的概念是為了研究角的大小刻畫兩邊張開的程度?？赡芘c教材先有角的概念，再研究角的大小的順序恰恰相反先有研究“角的大小”的問題，再有角的概念。誰的嘴巴張得開？能畫兩條線表示嗎？做個手勢表示它們嘴巴張開的大小。角研究兩邊的張開度，與長短無關(guān)邊邊頂點下面的圖形中，哪些是角？哪些不是？角有一個頂點和兩條直的邊?；跀?shù)學(xué)原型的發(fā)生學(xué)習(xí)哪個下滑速度快？快慢（1）（2）哪個下滑速度快？快慢（1）（2）哪個轉(zhuǎn)的幅度大？哪個轉(zhuǎn)的幅度大？轉(zhuǎn)動能得到這樣的角嗎？轉(zhuǎn)動能得到這樣的角嗎？BA畫你能畫出剛才的

12、兩個角嗎？擺一樣大的角比它大的角比它小的角火眼金睛擺一樣大的角比它大的角比它小的角火眼金睛擺一樣大的角比它大的角比它小的角火眼金睛火眼金睛銳角鈍角斧子想一想：如何追索原型？動力分析：問題是數(shù)學(xué)的心臟，在解決什么問題中產(chǎn)生？多樣理解：數(shù)學(xué)知識是抽象概括的結(jié)果，同樣的知識可以有多樣的理解視角，數(shù)學(xué)的原型具有多樣性。收集分類：收集具體問題并分類。2.2 數(shù)學(xué)原型的選擇教例：乘法分配律進行簡便計算。124，乘法運算的算理。 3x-5y+6x，合并同類項。 ;a=8i+7,b=-3i+4,求a+b;3532l 是數(shù)與代數(shù)運算的基石之一第一類：運算原型如： 計算并說說你的發(fā)現(xiàn)。（6337）92 63923

13、792 原型解釋： 63個92+37個92=（6337）個92第二類：生活原型如： 用兩種方法解答下列問題。（1）球衣每件25元，球褲每條15元，買5套需要多少元？（2）在3元店里買了5個喇叭和8條彩帶，一共用去多少元？ 第二類：生活原型 原型解釋：（1）生活：5套球衣褲的價格5件球衣的價格5條球褲的價格； 運算：5個（25+15）=5個25+5個15（2）生活：5個喇叭的價格+8條彩帶的價格=13件3元貨的價格； 運算：5個3+8個3=13個3 第三類：幾何原型abc（ab）c acbcabc（ab）c acbc 在正整數(shù)范圍內(nèi)，這些原型都能很好地解釋乘法分配律何以成立，當(dāng)數(shù)系擴展到正有理數(shù)

14、時，前兩種原型就難以給出較自然的解釋（很難找到兩個分數(shù)相乘的生活實例，等等），而第三種原型卻能持續(xù)給出自然的解釋（直至實數(shù)和代數(shù)式），這就是說，這種原型的長效性更好，應(yīng)該在教學(xué)中置于某種優(yōu)先考慮的地位?；趲缀卧偷慕虒W(xué)教學(xué)中面積圖、點子圖、生活實例、乘加（減）意義、等式特征并舉，讓學(xué)生形成個人化的表征方式。通過不同表征方式的相互轉(zhuǎn)換形成解釋結(jié)構(gòu)，適當(dāng)突出面積圖的作用，在后續(xù)學(xué)習(xí)和應(yīng)用中進一步強化。全國機器人大賽在國際會展中心舉行會展中心為迎接比賽擴建了場地大賽舉行了別開生面的機器人入場式 會展中心擴建了比賽場地。 入場式上的兩個機器人方陣。90米60米20米864用兩種方法解答： 1.擴建后

15、的比賽場地面積有多大？ 2.兩個方陣一共有多少個機器人？90米60米20米864(60(6020)20)90906060909020209090(6(64)4)8 86 68 84 48 8 結(jié)合面積圖和點子圖，說說下面兩個等式的“”兩邊為什么相等？兩個長方形有什么共同點？等式兩邊呢？說說等號兩邊的算式有什么關(guān)系？（6020）9060902090（64）86848活動要求寫出三個這樣的等式。計算等號兩邊算式的值，看看結(jié)果是否相等。選一個等式，用畫面積圖或點子圖等方法解釋它的意思。小組交流，說說你的發(fā)現(xiàn)。用兩種方法解答，說明乘法分配律。155205（1520）5數(shù)量20155單價5383（58）

16、3單價385數(shù)量對“原型”教學(xué)的啟示發(fā)現(xiàn)：從數(shù)學(xué)、生活、擬真世界中發(fā)掘的原型，具有多樣性和層次性。選擇：根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢和學(xué)生實際，考慮原型的典型性與長效性。教學(xué)：注意理解視角的豐富性，促進知識的多元表征及其相互轉(zhuǎn)化。2.3 數(shù)學(xué)原型的加工原型的加工數(shù)學(xué)的原型有時候直接用于教學(xué)效果不佳，需要進行教學(xué)法的加工以滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)特點和需求。30044的口語報告 基礎(chǔ)：會計算如33344原型加工：以小數(shù)小數(shù)為例明確教學(xué)任務(wù)：小數(shù)小數(shù)。任務(wù)具體化：1.50.3列出模型的元素： 1.5 =15個0.1 0.3=3個0.1 153=5 商不變性質(zhì)任務(wù)真實化（收集備擇原型） （1）有1.5千克糖，0.3

17、千克一包，可裝多少包？ （2）1.5米長繩子，0.3米一段，可截成幾段？ （3）一個本子0.3元，1.5元可買幾個本子？ 建立對應(yīng)，選擇原型： （2）、（3）有對應(yīng)（分米、角）加工“原型” ： （2）傾向差異：為學(xué)習(xí)材料配圖。 （3）水平差異：改：一個本子0.3元，1元5角可買幾個本子？01米基于原型的發(fā)生學(xué)習(xí) 強調(diào)通過運用與數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展歷史進程中充當(dāng)原型的例子相類似的現(xiàn)代例子，使學(xué)生有機會理解引入一個新概念、原理、方法或理論體系背后的動機，從而將數(shù)學(xué)自身發(fā)生發(fā)展的動力轉(zhuǎn)化為學(xué)生面對問題的學(xué)習(xí)動力，通過讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)生過程，幫助他們理解知識的來龍去脈，從而以更深刻的方式抓住它們的本質(zhì)。簡要的回顧數(shù)學(xué)原型的含義與教育價值數(shù)學(xué)原型的獲得與教學(xué)實施基于原型的發(fā)生學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)原型的含義模型：把數(shù)學(xué)的概念、原理、方法和理論體系都看作數(shù)學(xué)模型。原型：把對數(shù)學(xué)模型的發(fā)生