工程應用軟計算第1章 模糊數(shù)學11-13ppt課件

1、第第 1 章章理學院應用數(shù)學系理學院應用數(shù)學系立體化教學資源系列立體化教學資源系列工程應用軟計算工程應用軟計算1.1 模糊集合與運算模糊集合與運算1.3 模糊關(guān)系模糊關(guān)系 1.2 模糊模式識別模糊模式識別1.4 模糊綜合評價模糊綜合評價1.5 模糊聚類分析模糊聚類分析工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學1.1 模糊集合與運算模糊集合與運算 模糊數(shù)學是研究和處理自然界與信息技術(shù)中廣泛存在的模糊現(xiàn)象的數(shù)學理論，它的產(chǎn)生既反映了信息革命的迫切需要，也為信息科學提供了一種新的有力的數(shù)學工具。 美國控制論專家美國控制論專家L.A.Zadeh教授于教授于

2、1965年發(fā)表年發(fā)表論文并建立模糊集合。論文并建立模糊集合。 應用領(lǐng)域：人工智能、信息處理、圖像處理、自動應用領(lǐng)域：人工智能、信息處理、圖像處理、自動控制、預測與決策、經(jīng)濟學、管理科學、運籌學等。控制、預測與決策、經(jīng)濟學、管理科學、運籌學等。工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學1.1.1 概念與集概念與集 概念是客觀事物在人腦中抽象概括的反映。概念是客觀事物在人腦中抽象概括的反映。 概念具有內(nèi)涵和外延，概念的內(nèi)涵是指概念對事概念具有內(nèi)涵和外延，概念的內(nèi)涵是指概念對事物的特有屬性的反映。物的特有屬性的反映。 概念的外延是指具有概念所反映的那些對象全體，概念的外延是指具有概念所反映的那些對

3、象全體，它是特有對象的集合。它是特有對象的集合。 如果用概念外延的全體的集合來表示這個概念，那如果用概念外延的全體的集合來表示這個概念，那么，計算機就可以很容易的理解和表示概念。么，計算機就可以很容易的理解和表示概念。 工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學一、基本一、基本概念概念 論域：被討論的對象全體。論域：被討論的對象全體。 例如：討論學生的某門課程成績。例如：討論學生的某門課程成績。分數(shù)在分數(shù)在0,1, ,100范圍內(nèi)，用集合表示范圍內(nèi)，用集合表示X=0,1, ,100 冪集：設冪集：設X是一論域，是一論域，X中部分元素組成的集合稱中部分元素組成的集合稱為為X的子集合簡稱子集）的

4、子集合簡稱子集） 。 X的全體子集構(gòu)成一個集合族，稱為的全體子集構(gòu)成一個集合族，稱為X的冪集，記為的冪集，記為 (X) 。 集合可以表示概念。 則成績則成績“優(yōu)秀概念可由集合優(yōu)秀概念可由集合A=90,91, ,100表示表示; 例如：論域例如：論域 X=0,1, ,100為考試成績分數(shù)集合為考試成績分數(shù)集合。工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學“良好良好”：B=80,81, ,89; “中等中等”：C=70,71, ,79;“及格及格”：D=60,61, ,69;“不及格不及格” ：E=0,1, ,59. 論域論域X有兩個特殊的子集合，即自身有兩個特殊的子集合，即自身X和空集。和空集。

5、在表示概念上，空集表示虛概念。在表示概念上，空集表示虛概念。 設設A,B是是X的任意兩個子集，記的任意兩個子集，記A,B (X)。 ,CAB AB A分別表示分別表示A和和B的并集、交集和的并集、交集和A的余的余（補集，有（補集，有 AB=x | x A或或x B; A B =x | x A且且x B |CAx xA工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學二、特征二、特征函數(shù)函數(shù) 特征函數(shù)：設特征函數(shù)：設A (X)，稱，稱X到到0,1的映射的映射 10AxAxxA，為集合為集合A的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。 對于任意的對于任意的 x X,特征函數(shù)特征函數(shù) Ax表明了元素表明了元素x屬于屬于集合

6、集合A的的“程度程度”。 經(jīng)典集合論中：經(jīng)典集合論中：x 屬于或不屬于屬于或不屬于A是絕對明確的，是絕對明確的，因此用因此用 0 和和 1 二值表示。二值表示。 集合集合A可以由特征函數(shù)可以由特征函數(shù) Ax唯一確定，反之亦然。唯一確定，反之亦然。三、關(guān)系三、關(guān)系與運算與運算 工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 設設A,B (X)，特征函數(shù)分別為，特征函數(shù)分別為 Ax和和 Bx ,ABABxxxX 則有則有 ,ABABxxxX max,A BABABxxxxxxX min,A BABABxxxxxxX 1,CAAxxxX 注注 ： “取大取大”；：“取小取小”。即對即對 01，,有有

7、max，min，工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學四、性質(zhì)四、性質(zhì) 對于任意A,B (X) ,集合的并、交、余運算性質(zhì)：（p1冪等律冪等律 ,AAAAAA（p2交換律交換律 ,ABBAABBA（p3結(jié)合律結(jié)合律 ()()ABCABC()()ABCABC（p4吸收律吸收律 (),()AABAAABA（p5分配律分配律 ()()()()()()ABCABACABCABAC工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學（p60-1律律 ,AA A XAAA XX（p7復原律復原律 ()CCAA（p8互補律互補律 ,CCAAE AA（p9對偶律對偶律 CCCCCCABABABAB工程應用軟計算

8、工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學1.1.2 模糊概念模糊概念與模糊集合與模糊集合 概念所反映的對象是一個具有某種屬性的事物類。概念所反映的對象是一個具有某種屬性的事物類。 例如，例如，“年輕人年輕人”, “綿綿細雨和綿綿細雨和“傾盆大雨傾盆大雨” 。 模糊概念模糊概念:外延不明確的概念。外延不明確的概念。 經(jīng)典集合可以表示明確概念而不能表現(xiàn)模糊概念。經(jīng)典集合可以表示明確概念而不能表現(xiàn)模糊概念。 例如，例如，“禿子悖論禿子悖論” 。 定義定義 1.1論域論域X的一個模糊子集的一個模糊子集 A是指是指 X到到0,1的的一個映射：一個映射：01AX：，映射映射A稱為稱為A的隸屬函數(shù)，的隸屬函數(shù)， Ax

9、表示元素表示元素x 屬于集合屬于集合的程度，或稱為的程度，或稱為 x 對對A的隸屬度。的隸屬度。 A工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 經(jīng)典集合是模糊集合的特例。經(jīng)典集合是模糊集合的特例。 模糊冪集模糊冪集:論域論域 X的所有模糊子集全體的所有模糊子集全體,記為記為 (X) 。 模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法:1Zadeh表示法表示法1122( )/( )/( )/nnAAAA u xxu xxu xx2有序?qū)Ρ硎痉ㄓ行驅(qū)Ρ硎痉?122( ), ),( ),),( ),)AAAnnAu xxu xxu xx3向量表示法向量表示法12( ( ),( ),( )AAAnAu x u

10、 xu x 例如例如: 論域論域 X 為擲一顆骰子觀察的點數(shù)，有為擲一顆骰子觀察的點數(shù)，有X=1,2,3,4,5,6 ，集合，集合A表示表示“較大的點數(shù)較大的點數(shù)”，則可記，則可記0/1 0/2 0.2/3 0.6/4 1/5 1/6A (0,1), 0,2 , 0.2,3, 0.6,4 , 1 ,5 , 1 ,6A(0,0,0.2,0.6,1,1)A 工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 當論域當論域 X是不可數(shù)集合時，是不可數(shù)集合時， AxA是是的隸屬度函數(shù)，的隸屬度函數(shù)，則則Zadeh表示法為表示法為( )/Ax XAxx 例例1.1 取論域取論域 X 為正實數(shù)集合，為正實數(shù)集合

11、，的隸屬函數(shù)為：的隸屬函數(shù)為：A為為“比比0大得多的實數(shù)的模糊集，大得多的實數(shù)的模糊集， A 2100(1 100) ,0Axxxx隸屬函數(shù)圖形如圖。隸屬函數(shù)圖形如圖。0.51.0010 工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 例例1.2 以年齡作論域，以年齡作論域，取取X=0,100 ，模糊概念，模糊概念“年老與年老與“年青年青” 分別分別用用O與與 Y來表示，來表示，隸屬函數(shù)分別為：隸屬函數(shù)分別為： 21210 050( )501() 5010051 025( )251() 251005oYxxxxxxxx年輕年輕年老年老25050751 隸屬函數(shù)圖形隸屬函數(shù)圖形OY工程應用軟計算工

12、程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學1.1.3 模糊集合模糊集合的運算的運算 定義定義1.2 設設 ,A B 是論域是論域 X 的模糊子集，隸屬函數(shù)分的模糊子集，隸屬函數(shù)分別為別為 Ax和和 Bx,則模糊集合的相等、包含關(guān)系及并則模糊集合的相等、包含關(guān)系及并集、交集、余集表示為：集、交集、余集表示為： ABABxxxX ABABxxxX A BABxxxxX A BABxxxxX 1CAAxxxX 工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學模糊集的并集、交集、余集隸屬函數(shù)如圖。模糊集的并集、交集、余集隸屬函數(shù)如圖。 模糊集合011100ABABAAB的并集、交集.A的補集圖形CAABABCA工程應用

13、軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 容易證明，在普通集合并、交、運算所滿足的性質(zhì)容易證明，在普通集合并、交、運算所滿足的性質(zhì)（P1）（）（P9中，除了性質(zhì)中，除了性質(zhì)P8以外，其余的以外，其余的八個性質(zhì)對于模糊集合均成立，即對于八個性質(zhì)對于模糊集合均成立，即對于A (X )，一般地，有：一般地，有：,CCAAXAA即互補律一般不成立。從圖中可以看出。即互補律一般不成立。從圖中可以看出。ACACAACAAACA模糊集互補律一般不成立的示例0011工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 例例1.3 設論域設論域模糊子集模糊子集,其隸屬函數(shù)分別用向量式表示其隸屬函數(shù)分別用向量式表示12345

14、 , ,Xx x x x xA B 為為 X 的兩個的兩個(0,0.2,0.5,0.8,1)(0,0.5,1,0.5,0)AB采用采用“最大和最大和“最小算子最小算子,有有(00,0.20.5,0.51,0.80.5,10,)(0,0.5,1,0.8,1)(00,0.20.5,0.51,0.80.5,10,)(0,0.2,0.5,0.5,0)(10,10.2,10.5,10.8,1 1)(1,0.8,0.5,0.2,0)CABABA工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 定義定義1.3 設設，記，記A為論域為論域 X上的模糊子集，隸屬函數(shù)上的模糊子集，隸屬函數(shù)( )Ax對于任意實數(shù)對于任

15、意實數(shù)0,1 |,( )AAx xXx稱集合稱集合A截集。截集。為模糊集為模糊集A的的水平截集水平截集,或簡稱或簡稱 注注 對于任給對于任給 0,1, A是普通集是普通集 例如例如:設論域設論域 , , , , , Xa b c d e f, X 中的模糊子集中的模糊子集 0.1/0.3/0/0.5/0.9/1/Aabcdef那么那么 00.50.91 , , , , , , , , AXa b c d e fAd e fAe fAf截集截集工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 假設假設AA是連續(xù)域是連續(xù)域 X上的模糊集，上的模糊集，A的的是是 X上上的一個普通集合，如下圖。的一個普通

16、集合，如下圖。X10模糊集合的截集AA工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 定義定義1.4 稱稱 1 |( )1,AAxxxX 為模糊集為模糊集 A的核，的核，記作記作KerA； A的隸屬度大于零的元素構(gòu)成的集合為的隸屬度大于零的元素構(gòu)成的集合為A的承集或支撐集記的承集或支撐集記 |( )0,ASuppAxxxX截集具有性質(zhì)：截集具有性質(zhì)： 1212AA 2假設假設 ，那么，那么,ABABABAB 1）0AX 3）性質(zhì)性質(zhì)1可以推廣到任意多個模糊集合的并、交運算?？梢酝茝V到任意多個模糊集合的并、交運算。 稱稱 工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學1.2 模糊模式識別模糊模式識別

17、 “模式識別模式識別”：研究用機器代替人來識別事物的科學：研究用機器代替人來識別事物的科學。模式是供模仿用的客體集合，識別就是判定所給定的模式是供模仿用的客體集合，識別就是判定所給定的對象應歸屬哪一個客體。對象應歸屬哪一個客體。 例：讀一篇手寫稿子；與人交談；醫(yī)生診斷疾病。例：讀一篇手寫稿子；與人交談；醫(yī)生診斷疾病。 模糊模式識別：模式或被識別的對象只能用模糊模糊模式識別：模式或被識別的對象只能用模糊集合表達的這類識別。集合表達的這類識別。工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學1.2.1 模糊模式模糊模式識別的原則識別的原則 （一最大隸屬度原則（一最大隸屬度原則 設論域設論域 X 有有

18、n 個模式個模式 12,nA AA是被識別對象，是被識別對象，0 xX假設假設1,2,in使得使得 120000()max(),(),()inAAAAxxxx則認為則認為0 x相對屬于模式相對屬于模式iA （二貼近度與最大貼近原則（二貼近度與最大貼近原則 貼近度是兩個模糊集合接近程度或相似程度的一種貼近度是兩個模糊集合接近程度或相似程度的一種度量。度量。 0 表示最不貼近，表示最不貼近，1 表示完全貼近或相同。表示完全貼近或相同。 通常用通常用0,1之間的數(shù)表示兩個模糊集的貼近度。之間的數(shù)表示兩個模糊集的貼近度。工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 定義定義1.5 設設 為映射。為映射

19、。 : (X) (X) 0,1( ,)( ,)A BA B 假設假設 滿足：滿足： )( ,)1,(,)0)( ,)( ,)aA AXbA BB A ), ,cA B C (X) ,且且 ( , )( , )( , )ABCACA BB C 則稱則稱 ( ,)A B 為為 ,A B 的貼近度。的貼近度。 常用的貼近度定義：常用的貼近度定義： 格貼近度格貼近度1( ,)(1)2A BA BAB 其中其中( )( )( )( )ABu UABu UA BuuABuu 分別稱為分別稱為與與的內(nèi)積和外積。的內(nèi)積和外積。AB工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 距離貼近度距離貼近度112211(

20、 , )1( )( )1( , )1( )( )nAiBiinAiBiiA BxxnA Bxxn 這里假定論域這里假定論域 12 ,nXx xx ( ,)0 ABABABA BAB ，其中其中 AB和和 AB分別為集合分別為集合 AB和和 AB的基數(shù)。的基數(shù)。 對于給定的模糊子集對于給定的模糊子集 M (X),M的基數(shù)定義為的基數(shù)定義為 1( )nMiiMx工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學2(),( , )0, , ABABABA BAB 11( )( )( , )1( )( )nAiBiinAiBiixxA Bxx 11min(),()( ,)1max(),()nAkBkknAk

21、BkkxxA Bxx 設論域設論域 X 有有 n 個模式個模式 12,nA AA是被識別對象，是被識別對象，假設假設1,2,in使得使得 則認為則認為相對合于模式相對合于模式 iAB12( ,)max( ,), ( ,), ( ,)inB AB AB AB A B工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 模糊模式識別的應用中，關(guān)鍵問題是模式或被識別模糊模式識別的應用中，關(guān)鍵問題是模式或被識別對象的隸屬函數(shù)構(gòu)造，即如何建立刻畫模式或?qū)ο蟮膶ο蟮碾`屬函數(shù)構(gòu)造，即如何建立刻畫模式或?qū)ο蟮哪：稀Ｄ：稀?.2.2 簡單模式簡單模式的模糊模式識的模糊模式識別別 步驟：步驟： 選取模式的特征因子

22、集合選取模式的特征因子集合12,mXXXX被識別的對象表示為被識別的對象表示為 12mXXX上的向量上的向量 12( ,),1,2,miix xxxX im或者表示為或者表示為 12mXXX上的模糊子集；上的模糊子集； 實際應用的三種主要方法：簡單模式的識別方法，實際應用的三種主要方法：簡單模式的識別方法，語言模式的識別方法和統(tǒng)計模式的識別方法。語言模式的識別方法和統(tǒng)計模式的識別方法。工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 建立模糊模式及其隸屬函數(shù)建立模糊模式及其隸屬函數(shù) 利用最大隸屬度原則或最大貼近度原則對被利用最大隸屬度原則或最大貼近度原則對被識別的對象進行歸屬判決。識別的對象進行歸

23、屬判決。 例例1.4 三角形識別三角形識別 建立模糊模式及其隸屬函數(shù)建立模糊模式及其隸屬函數(shù) 首先選取識別的特征因子集首先選取識別的特征因子集, ,180 ,Xx y z xyzxyz其中其中 x , y , z 分別為三角形的三個內(nèi)角。分別為三角形的三個內(nèi)角。 考慮五個具有典型特征的三角形：等腰三角形考慮五個具有典型特征的三角形：等腰三角形 ，直角三角形直角三角形 ，正三角形，正三角形 ，等腰直角三角形，等腰直角三角形 和和非典型三角形非典型三角形 。IREIRO 等腰三角形隸屬函數(shù)：等腰三角形隸屬函數(shù)：1( , , )1min,60Ix y zxy yz 12(,)iAmx xx工程應用軟

24、計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 直角三角形隸屬函數(shù)：直角三角形隸屬函數(shù)： 正三角形隸屬函數(shù)：正三角形隸屬函數(shù)： 等腰直角三角形隸屬函數(shù)：等腰直角三角形隸屬函數(shù)： 非典型三角形隸屬函數(shù)：非典型三角形隸屬函數(shù)：1( , , )19090Rx y zx 1( , , )1max,180Ex y zxy yz ( , , )( , , )( , , )11min 1min,1906090IRIRx y zx y zx y zxy yzx( , , )( , , )( , , )( , , )1( , , )1( , , )1( , , )111minmin,90,max,6090180cccoIR

25、EIREx y zx y zx y zx y zx y zx y zx y zx y y zxx y y z 工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 給定一個待識別的三角形給定一個待識別的三角形 計算其關(guān)于各三角形的隸屬度，得到計算其關(guān)于各三角形的隸屬度，得到 按照最大隸屬度原則，該三角形近似判定為直角三按照最大隸屬度原則，該三角形近似判定為直角三角形。角形。0001(,)1min 9545,45400.9260Ixyz 0001(,)195900.9490Rxyz 0001(,)1max 9545,45400.69180Exyz 000(,)0.920.940.92IRxyz000(,

26、)(1 0.92)(1 0.94)(1 0.69) 0.080.060.310.06oxyz 000,95 ,45 ,40 xyz工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學1.2.3 基于語言基于語言模式的模糊模模式的模糊模式識別式識別 模式可以借助于所研究客體的語言表達來得到。模式可以借助于所研究客體的語言表達來得到。 例如，感冒模式可以理解為頭暈、發(fā)燒、流鼻涕例如，感冒模式可以理解為頭暈、發(fā)燒、流鼻涕三個特征集合的交集。三個特征集合的交集。 例例1.5 癌細胞識別癌細胞識別 癌細胞的特征的語言描述：癌細胞的特征的語言描述：“細胞畸形，或者細細胞畸形，或者細胞核增大且核染色增深且核漿比倒置

27、且核內(nèi)染色質(zhì)胞核增大且核染色增深且核漿比倒置且核內(nèi)染色質(zhì)不勻，或者細胞核增大且核染色增深且核漿比倒置不勻，或者細胞核增大且核染色增深且核漿比倒置且核畸形且核畸形”。 引入模糊概念的集合表示：引入模糊概念的集合表示： 為細胞畸形，為細胞畸形， 為核增大，為核增大， 為核染色增深，為核染色增深， 為為核漿比倒置，核漿比倒置， 為核內(nèi)染色質(zhì)不勻，為核內(nèi)染色質(zhì)不勻， 為核畸形，它為核畸形，它們分別為相應論域上的模糊集。們分別為相應論域上的模糊集。 ABCDEF工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 癌細胞模式為癌細胞模式為 對于給定的待識別細胞，可測得各種特征數(shù)據(jù)對于給定的待識別細胞，可測得各種

28、特征數(shù)據(jù) ，則該細胞屬于癌細胞的程度為，則該細胞屬于癌細胞的程度為 ()() ()MABCDEBCDFABCDEF126( ,)x xx123456( )()()()()()()MABCDEFxxxxxxx 建立描述癌細胞特征概念的模糊集合隸屬函數(shù)。建立描述癌細胞特征概念的模糊集合隸屬函數(shù)。 1細胞畸形的隸屬函數(shù)細胞畸形的隸屬函數(shù) 11210( )(1)()Axxx 表示細胞周長的平方與細胞面積之比，表示細胞周長的平方與細胞面積之比， 為正常比值，為正常比值， 為待定參數(shù)。為待定參數(shù)。 1x0 x1工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 2核增大的隸屬函數(shù)核增大的隸屬函數(shù) 3核染色增深的

29、隸屬函數(shù)核染色增深的隸屬函數(shù) 12022( )1Byyx 表示細胞核的面積，常數(shù)表示細胞核的面積，常數(shù) 小于正常細胞核面積，小于正常細胞核面積， 為待定參數(shù)。為待定參數(shù)。 2x0y21323( )(1)czx 表示核內(nèi)總光密度，表示核內(nèi)總光密度， 為待定參數(shù)。為待定參數(shù)。 3x3類似的，可以構(gòu)建模糊集類似的，可以構(gòu)建模糊集 、 、 的隸屬函數(shù)。的隸屬函數(shù)。 DEF工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學1.2.4 基于統(tǒng)計基于統(tǒng)計模式的模糊模模式的模糊模式識別式識別 例例1.6 應用民間諺語作降水量預測應用民間諺語作降水量預測 設設X是實數(shù)域，是實數(shù)域， X 上的模糊集上的模糊集的隸屬函數(shù)

30、為的隸屬函數(shù)為A2( ),(0)x abAxeb，則稱，則稱 為正態(tài)模糊集。為正態(tài)模糊集。A 01X正態(tài)模糊集的隸屬函數(shù)曲線工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 概率論中正態(tài)分布隨機變量的概率密度函數(shù)為：概率論中正態(tài)分布隨機變量的概率密度函數(shù)為：22()21( ),(0)2xf xe其中其中 為數(shù)學期望，為數(shù)學期望， 2為方差。為方差。 正態(tài)模糊集的隸屬函數(shù)僅僅是將正態(tài)模糊集的隸屬函數(shù)僅僅是將 f(x) 作了一個簡單作了一個簡單的變換，使其最大值等于的變換，使其最大值等于1。因此，可以把正態(tài)模糊。因此，可以把正態(tài)模糊集看成是由正態(tài)概率分布誘導出的上的模糊集。集看成是由正態(tài)概率分布誘導出

31、的上的模糊集。 例例1.7 小麥親本識別小麥親本識別 設有設有5種小麥品種：早熟、矮稈、大粒、高肥豐產(chǎn)種小麥品種：早熟、矮稈、大粒、高肥豐產(chǎn)和中肥豐產(chǎn)。和中肥豐產(chǎn)。 考察百粒重一個指標，利用統(tǒng)計方法求出各品種小考察百粒重一個指標，利用統(tǒng)計方法求出各品種小麥百粒重的均值和方差，分別構(gòu)建相應的模糊集合。麥百粒重的均值和方差，分別構(gòu)建相應的模糊集合。 工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學表：表：5 5種小麥百粒重的均值、方差及相應的模糊集種小麥百粒重的均值、方差及相應的模糊集工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 采用格貼近度公式采用格貼近度公式 現(xiàn)有一種不知品種的小麥現(xiàn)有一種不知品種

32、的小麥 ，用統(tǒng)計方法測得其百，用統(tǒng)計方法測得其百粒重的均值為粒重的均值為a=3.43，均方差，均方差b=0.28，于是，該品種，于是，該品種模糊集的隸屬函數(shù)為模糊集的隸屬函數(shù)為 B23.430.28( )xBxe1( ,)(12A BA BAB 得到得到 12( ,)0.91,( ,)0.72,B AB A 34( ,)0.50,( ,)0.76,B AB A 5( ,)0.89B A 按最大貼近度原則，按最大貼近度原則， 與與 貼近度最大，故判定小麥貼近度最大，故判定小麥屬于早熟型。屬于早熟型。 1AB工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 例例1.8 1.8 礦藏預報礦藏預報- -多

33、指標識別的例子多指標識別的例子 綜合貼近度定義綜合貼近度定義 設用向量形式表出模糊模式設用向量形式表出模糊模式 設另一模式為設另一模式為 綜合貼近度定義為綜合貼近度定義為12,nAA AA12,nBB BB其中其中 與與 是同一論域是同一論域 上的模糊子集。上的模糊子集。 iBiAiX1122( , )(,), (,), (,)nnA BfA BA BA B 例如，我們可以取例如，我們可以取 1( ,)(,)niiiiA BA B 權(quán)重權(quán)重 表示第表示第 i 個特征變量在樣本分類或識別個特征變量在樣本分類或識別中的重要程度。中的重要程度。 i其值域為其值域為0,1。 工程應用軟計算工程應用軟計

34、算模糊數(shù)學模糊數(shù)學1.3 模糊關(guān)系模糊關(guān)系 首先簡單介紹普通關(guān)系的概念、運算及性質(zhì)，然后重點介紹模糊關(guān)系以及模糊關(guān)系運算。 1.3.1 普通關(guān)系普通關(guān)系 （一關(guān)系的定義（一關(guān)系的定義 (集合的笛卡爾積集合的笛卡爾積) 兩個集合兩個集合U和和V的笛卡爾積的笛卡爾積U V定義為：定義為： U V = (u,v) | u U 且且 v V 這是兩個集合元素間的無約束有序搭配。這是兩個集合元素間的無約束有序搭配。 工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 定義定義 1.6 設設 U 、V 是兩個集合，笛卡爾積是兩個集合，笛卡爾積 U V的子集的子集 R 稱稱 U 為為 V 到的一個關(guān)系確切地說，到

35、的一個關(guān)系確切地說，R 是是一個二元關(guān)系），記作一個二元關(guān)系），記作VUR對于元素對于元素 uU , v V 假設假設(u,v) R 則稱則稱 u 對對 v 有關(guān)系有關(guān)系R，記作，記作 uRv ；vRu當當 U=V 時，稱時，稱 R 為為 U 中的關(guān)系。中的關(guān)系。 例例1.9 設設 123RRR、是是 U V 的子集的子集,有有 ),(1vuvuR（如圖（如圖a所示）所示）; 1),(222vuvuR（如圖（如圖b所所示）；示）； )(),(3ufvvuR（如圖（如圖c所示）。所示）。否則稱否則稱 u 對對 v 無關(guān)系無關(guān)系R ，記作，記作工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學(a)0u

36、uuvvv001-1v = f (u)v = u(b)(c)三種關(guān)系的圖示 由由 R3看到，函數(shù)也是一種特殊的關(guān)系。看到，函數(shù)也是一種特殊的關(guān)系。 普通關(guān)系矩陣普通關(guān)系矩陣:有限集合之間的關(guān)系也可以用矩陣來有限集合之間的關(guān)系也可以用矩陣來表示表示,設設1212 , ,nmUu uuVv vv，,R 表示表示 U 到到V 的一個關(guān)系，那么的一個關(guān)系，那么 R 可以用矩陣表示可以用矩陣表示工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學111212122212mmnnnmrrrrrrRrrr其中其中1,0,ijijiju Rvru Rv普通關(guān)系矩陣是一個普通關(guān)系矩陣是一個0-1矩陣。矩陣。 例例1.1

37、0 恒等關(guān)系恒等關(guān)系 ),(UuuuR,相應的矩陣為相應的矩陣為單位陣單位陣100010001 工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 （二關(guān)系的運算（二關(guān)系的運算 設設 U、V 都是有限集，都是有限集，R 和和 S 是是 U 到到 V 的兩個關(guān)系，的兩個關(guān)系，即即,RUV SUVR 和和 S相應的矩陣為相應的矩陣為 ijRrM和和ijSsM,則關(guān)系的則關(guān)系的運算對應為矩陣的運算。運算對應為矩陣的運算。 相等相等ijijSRsrMMSR 包含包含ijijSRsrMMSR 并并 RSR SRSMMM記記 R SijMt,其中其中 ijijijsrt工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)

38、學 交交RSR SRSMMM記記 R SijMt,其中其中 ijijijtrs 補補CCCRRRMM記記 ,其中其中 CRijMtijijrt1 合成合成假設假設 R 是是 U 到到 V 的關(guān)系，的關(guān)系， S 是是 V 到到 W 的關(guān)系，的關(guān)系， Q是是 U 到到 W 的關(guān)系，對于的關(guān)系，對于 uU , w W ,假設假設 uQw當且當且僅當存在僅當存在 vV ，使得，使得 uRv 且且 vSw ，則稱關(guān)系，則稱關(guān)系 Q 是是關(guān)系關(guān)系 R 對對 S 的合成，記作的合成，記作SRQ關(guān)系的合成圖示關(guān)系的合成圖示UVWRSQ工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 合成關(guān)系的重要性：通過已知關(guān)系

39、可得出新關(guān)系。合成關(guān)系的重要性：通過已知關(guān)系可得出新關(guān)系。例如，假設例如，假設 R表示表示“弟兄關(guān)系，弟兄關(guān)系，S表示表示“父子關(guān)系，那么父子關(guān)系，那么QR S給出了給出了“叔侄關(guān)系。叔侄關(guān)系。 例例1.11 設設 (1,2),(3,4),(2,2),(4,2),(2,5),(3,1)RS則有則有 (1,5),(3,2),(2,5)(4,2),(3,2)(4,5)(1,2),(2,2)R SSRSSR R合成運算的矩陣表示合成運算的矩陣表示RSR SR SMMM其中其中 1 ,()R SijijijijnkMttrs 工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 例例1.12 設設 U=V=W

40、=1,2,3,4,5，則例，則例1.11中關(guān)系中關(guān)系R、S 的相應矩陣的相應矩陣SRMM 和分別為分別為 01000000000100000001,000101000000000010000000000000RSMM利用矩陣乘法，有利用矩陣乘法，有0 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 10 1 0 0 00 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 1 01 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0R SRSMMM 工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 （三關(guān)系的性質(zhì)（三

41、關(guān)系的性質(zhì) 定義定義 1.7 設設 R 是是 U 中的關(guān)系，中的關(guān)系，1uUuRuR（ ） 如果對于任意， 有， 則稱 是自反的。2ijjiu Ruu RuR（ ）如果， 必有， 則稱 是對稱的。3ikkjiju Ruu Ruu RuR（ ）如果，且， 必有則稱 是傳遞的。 設設 RM是關(guān)系是關(guān)系 R 對應的矩陣，很容易看出：假設對應的矩陣，很容易看出：假設 R 是是自反關(guān)系，那自反關(guān)系，那么么RM的主對角線元素均為的主對角線元素均為1，設，設 I 表示單表示單位矩陣，則有位矩陣，則有RMI；假設；假設 R 是對稱關(guān)系，則相應的矩是對稱關(guān)系，則相應的矩陣滿足陣滿足RTRMM;假設假設 R 是傳

42、遞關(guān)系，那么是傳遞關(guān)系，那么RRRMMM工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 定義定義 1.8 設設 R為為 U 中的關(guān)系，假設中的關(guān)系，假設 R 同時滿足自反性，同時滿足自反性，對稱性和傳遞性，則稱對稱性和傳遞性，則稱 R 為為 U 中的等價關(guān)系。中的等價關(guān)系。 例如，實數(shù)集上的例如，實數(shù)集上的“相等關(guān)系是等價關(guān)系；兩三相等關(guān)系是等價關(guān)系；兩三角角形的形的“類似也是等價關(guān)系；一所大學在校學生中，類似也是等價關(guān)系；一所大學在校學生中，“同同班級關(guān)系是等價關(guān)系。班級關(guān)系是等價關(guān)系。 定義定義 1.9 設設 U 是一個集合，是一個集合，mAAA,21是是U 的一組非的一組非空子集，若它滿足

43、：空子集，若它滿足：1, (1,2, ,1,2, )iji j im jmijAA）對所有，若，則122mAAAU）則稱則稱 mAAA,21為為 U 的一個分類，或稱為一個劃分的一個分類，或稱為一個劃分，每個，每個iA稱為分類的一個類。稱為分類的一個類。 工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 定理定理1.1 集合集合 U 的一個分類決定的一個分類決定 U 的元素間的一個的元素間的一個等價關(guān)系；等價關(guān)系； 例如，假設例如，假設 U 是某大學全體在校學生的集合。是某大學全體在校學生的集合。 “同班級同班級” R 是是 U 中的一個等價關(guān)系，因此，利用中的一個等價關(guān)系，因此，利用班級可以對班

44、級可以對 U 進行分類。進行分類。 類似地，也可以利用類似地，也可以利用“同專業(yè)或同專業(yè)或“同年級等價同年級等價關(guān)系對全體在校學生進行分類。關(guān)系對全體在校學生進行分類。 反之，集合反之，集合 U 的元素間的一個等價關(guān)系決定的元素間的一個等價關(guān)系決定 U 的一的一個分類。個分類。工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 例如，例如，“相像是模糊關(guān)系，可以用模糊集合來表相像是模糊關(guān)系，可以用模糊集合來表現(xiàn)?，F(xiàn)。 定義定義 1.10 稱稱 UV 的一個模糊子集的一個模糊子集R為從為從 U 到到V 的一個模糊關(guān)系，記作的一個模糊關(guān)系，記作RUV 的隸屬函數(shù)用的隸屬函數(shù)用 R( , )Ru v表示表

45、示,對于給定的對于給定的 0000( ,)( ,)Ru vu v，00(,)u vRUVRU表示具有關(guān)系 的程度。當時，稱 為 中的模糊關(guān)系。當模糊關(guān)系。當 ( , )Ru v只取只取0，1時，就是普通關(guān)系。時，就是普通關(guān)系。因此，模糊關(guān)系是普通關(guān)系的拓廣。因此，模糊關(guān)系是普通關(guān)系的拓廣。1.3.2 模糊關(guān)系模糊關(guān)系與模糊矩陣與模糊矩陣工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 例例1.13 設設 1,2,3,4,5,6UVuv，(u遠遠的大于遠遠的大于v)是是 U 到到 V 的一個模糊關(guān)系的一個模糊關(guān)系RR，則可以寫成下表：工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 例例1.14 設身高

46、論域：設身高論域：U=140,150,160,170,180 (厘米厘米)又設體重的論域為又設體重的論域為V=40,50,60,70,80 （單位：公斤）（單位：公斤） 表示人的身高與體重的模糊關(guān)系見下表。表示人的身高與體重的模糊關(guān)系見下表。工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 模糊關(guān)系矩陣模糊關(guān)系矩陣:或簡稱為模糊矩陣?；蚝喎Q為模糊矩陣。 ,( ,),01RijijRijijMrru vr 例例1.13與例與例1.14中的模糊關(guān)系中的模糊關(guān)系,可以分別表示為可以分別表示為R模糊矩陣模糊矩陣:0000000000000000.300000.70.300010.70.300RM和和 10

47、.8 0.2 0.100.810.8 0.2 0.10.2 0.810.8 0.20.1 0.2 0.810.800.1 0.2 0.81RM 利用模糊關(guān)系矩陣討論模糊關(guān)系也是非常方便的。利用模糊關(guān)系矩陣討論模糊關(guān)系也是非常方便的。 常將模糊矩陣符號常將模糊矩陣符號 RM寫成寫成 R工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學1.3.3 模糊矩陣模糊矩陣的運算及模糊的運算及模糊關(guān)系的合成關(guān)系的合成 (一一) 模糊矩陣的運算與性質(zhì)模糊矩陣的運算與性質(zhì) 定義定義 1.11 設模糊關(guān)系設模糊關(guān)系 ijijn mn mRrSs，那么，那么 1, ,ijijRSi j rs）當且僅當對所有成立；2, ,

48、ijijRSi j rs）當且僅當對所有成立；3ijijn mRSrs）4ijijn mRSrs）51ij n mRr） 上述五種運算分別對應于模糊關(guān)系的相等、包含、上述五種運算分別對應于模糊關(guān)系的相等、包含、交、并、補運算。交、并、補運算。工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 例例1.15 設設0.20.80.90.60.50.40.30.7RS，那么那么0.20.90.80.60.90.80.50.30.40.70.50.7RS0.20.90.8 0.60.20.60.5 0.30.40.70.3 0.4RS1 0.21 0.80.80.21 0.51 0.40.50.6R工程應用

49、軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 ( (二二) ) 模糊關(guān)系的合成與意義模糊關(guān)系的合成與意義 定義定義1.12 設模糊矩陣設模糊矩陣 m nn lRMSM，表示兩個模糊表示兩個模糊關(guān)系，那么關(guān)系，那么RS與的合成運算定義為的合成運算定義為 R SQ其中其中 1()nij m lm lijikkjkQqMqrs ， 模糊矩陣的合成運算表現(xiàn)模糊關(guān)系的合成。當模糊矩陣的合成運算表現(xiàn)模糊關(guān)系的合成。當 ijijrs、僅取僅取0，1時，即是普通關(guān)系合成。時，即是普通關(guān)系合成。 模糊關(guān)系的合成運算是普通關(guān)系合成運算的推廣。模糊關(guān)系的合成運算是普通關(guān)系合成運算的推廣。 在矩陣的運算中，假設在矩陣的運算中

50、，假設、看成是實數(shù)的加法和看成是實數(shù)的加法和乘法，那么它與線性代數(shù)中定義的矩陣乘法規(guī)則一樣。乘法，那么它與線性代數(shù)中定義的矩陣乘法規(guī)則一樣。工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 例例1.16 設設0.30.70.20.10.9100.40.90.100.510.60.40.60.70.8RS，那么那么0.70.30.40.90.60.40.70.6RS工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 容易驗證，合成運算滿足如下性質(zhì)：容易驗證，合成運算滿足如下性質(zhì)：1()()R SQRS Q）2()()()()()()RSQR SR QRSQR QS Q）3()TTTR SSRT）（ 表示轉(zhuǎn)置）留意，合成運算對于留意，合成運算對于 一般不滿足分配律。一般不滿足分配律。工程應用軟計算工程應用軟計算模糊數(shù)學模糊數(shù)學 (三三) 幾種形式模糊關(guān)系的合成幾種形式模糊關(guān)系的合成 定義定義1.13 1n 的模糊矩陣稱為模糊向量，記的模糊矩陣稱為模糊向量，記12(,),01niAa aaa模糊向量有雙重意義：模糊向量有雙重意義：121) ,nUu uuA它表示有限論域上的模糊子集 ，其分量定義為義為( ),1,2,iAiauin2) 代表一個模糊關(guān)系代表一個模糊關(guān)系 所表現(xiàn)的模糊概念名稱為所表現(xiàn)的模糊概念名稱為a ，定義從名稱集，定義從名稱集a 到到A設設U 的一個模糊關(guān)