八年級數(shù)學(xué)張美玲海倫公式

1、C1407班的李鏡楠有一天攔住我，說：“老師，我覺得海倫公式很重 要，你可以講一下嗎”海倫公式一、什么是海倫公式如圖1,在三角形ABC, A=15, B=14, C=13求三角形ABC的面積，運(yùn)用我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識可以直接求解嗎像這樣的題目，用海倫公式很容易解決，那么，什么是海倫公式呢海倫公式：三角形的面積S .ppa pb pc其中：a、b、c分別是三角形的三邊長，p - a b c2海倫公式亦稱“海倫-秦九韶公式”。此公式（利用三角形的三 條邊長來求三角形面積）相傳是亞歷山大港的海倫發(fā)現(xiàn)的， 并可在其 于公元60年的Metrica中找到其證明。亦有認(rèn)為早于阿基米德時(shí) 代已經(jīng)懂得這條公式，

2、而由于Metrica »是一部古代數(shù)學(xué)知識的結(jié) 集，該公式的發(fā)現(xiàn)時(shí)期很有可能先于海倫的著作。亞歷山大里亞的海倫 （希臘語：？p（OY ? ?入£2丫3 p e ? ?）（公元10年70年），是一位古希臘數(shù)學(xué)家，居住于托 勒密埃及時(shí)期的羅馬省。他也是一名活躍于其家鄉(xiāng)亞歷山大里亞的工 程師，他被認(rèn)為是古代最偉大的實(shí)驗(yàn)家，他的著作在希臘化時(shí)期文明 （Hellenistic civilization ）科學(xué)傳統(tǒng)方面享負(fù)盛名。我國南宋末年數(shù)學(xué)家秦九韶，其著作數(shù)書九章卷五第二題即 三斜求積。“問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里, 大斜一h五里，里法三百步，欲知為田幾何”答

3、曰：“三百十五頃. 其術(shù)文是：“以小斜哥并大斜哥，減中斜哥，余半之，自乘于上；以 小斜哥乘大斜哥，減上，余四約之為實(shí)，開平方得積?！比粢源?斜記為a,中斜記為b,小斜記為c,用現(xiàn)代公式表示即為：12 24 ca (能否由秦九韶的公式推導(dǎo)出海倫公式 二、秦九韶公式推導(dǎo)出海倫公式 詳見人教版教材八年級下冊三、秦九韶公式的證明中國古代的天元術(shù)發(fā)展水平非常高， 猜想秦九韶在獨(dú)立推出“三斜求積”公式過程中，利用了解方程的方法，從三角形最基本的面積公式S ABC 1aha入手，利用勾股定理，布列方程組求高。 2如圖2,圖2 222x y c在ABC, AD為邊BC上的高，根據(jù)勾股定理，有 x2 z2 b2

4、y z a解方程，得2a2,22a b c z 2a:22222-2 z a C b2122 22 ；-2T2x Jcy 、C (2a)2a、4ac (a c b)2 2 2又因?yàn)?Sabc 口aha,所以 s Jc2a2 (C a b )2242三、海倫公式的證明那么，海倫公式如何證明呢海倫公式：三角形的面積S ppa p b p c其中：a、b、c分別是三角形的三邊長，p 2 a b c222證明(1)：由余弦定理可知：cosC a b c ,由此得出 2absinC _1 cos2C1 cosC 1 cosC2 222221 a b c a b c2 2ab2aba2 b2 2ab c2

5、 c2 a2 b2 2ab, 2ab2ab,222.2a b c c a b2ab2ab1 a b c a b c a b c a b c2ab由 p 1 a b c 可得: 2a b c 2 p ,abcabc 2c 2P 2c 2pc ,abcabc 2a 2P 2a 2P a ,abcabc 2b 2P 2b 2Pb ,因此：1 sin C abcabc a b c a b c2ab ,2 P P a p b p c a b由三角形面積公式 S 1absinC即得2S p p a p b p c上述證明用到了三角函數(shù) sinC、cosC,因?yàn)槌醵昙壍膶W(xué)生還 沒有接觸三角函數(shù)，我們也可以

6、考慮用以下的方法證明。圖3BT是 ABC 的AC邊上的高,占T八、I為垂足。記 AB c ,AC b, BC a, BT h , CT d （見上圖）證明（2）: ABC是銳角三角形（圖3）,則由勾股定理有2 a2 c,2.2d h122b d h22由（1）式得出,帶入（2）式：c2 b展開，即得c2b2a2 h2 2b； a2 h2 h2 ,由此式解得,2.22, 22 2,2 4ab a b c a b c abc abc abch 2 2，4b24 b2類似于證明（1）,得出,2 4ppa p b p c h,由于三角形面積S 2bh,由上式即得S p p a p b pc若ABC是鈍

7、角三角形（圖4）,不失一般性，設(shè) C 90則由勾股定理有a2 d2 h21c2 b d 2 h23類似于ABC是銳角三角形的情況，可得h2 4p p a p b pc h2b因而亦得s p p papbpc 。若ABC是直角三角形（圖4）,不失一般性，設(shè) C 90 由勾股定理有a2 b2 c2。.p p a p b p ca b c abcabcabc222212 2 22-Jab c c a b4 ,-ab2故，止匕時(shí)仍有 s j p papbpc-。四、海倫公式的推導(dǎo) 海倫公式形式漂亮，結(jié)構(gòu)工整，有多種變形，如:S= . p(p a)(p b)(p c)1 =.(a b c)(a b c)

8、(a c b)(b c a) 4= P(a b)2 C2C2(a b)2丁 (a2b2 c2加"(a2 b2 c2 2的二 14a2b2一廠b=c2)212 22 22 2444=,2a b 2a c 2b c a b c 4三角形的面積和三邊有如此優(yōu)美和諧的關(guān)系，我們不禁會類比猜想，簡單四邊形的面積和它的四條邊又是什么關(guān)系呢由于三角形內(nèi) 接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內(nèi)接與圓的四邊形 ABCD 中，設(shè)四條邊長分別為a,b,c,d ,且p -bycd，則S四邊形=(p a)(p b)(p c)(p d)現(xiàn)根據(jù)猜想進(jìn)行證明。證明：如下圖，延長 DA CB交于點(diǎn)E。設(shè)EA =

9、e EB = f/ 1 + /2 =180° /2+/ 3 =180°/ 1 = / 3/. AEAE3- A ECD二 =e = b , S eab =2b2a ef cd8ra 邊形 abcdd b解得：e =組孑 d2 b2f =b(ad bc) d2 b222由于S 四邊形 ABCD=2Sa EABb222、將，跟b =%單代入海倫公式公式變形, d2 b2得：.S 四邊形 ABCD= d2 2b2 Je"© 上 昌24b2d2 b24b2b4(ab cd)2(d2 b2)2 b2(ab cd)2b2(d2 b2)2 b2(ad bc)2 24

10、(d2 b2)4( (d2 b2)2 (d2 b2)2(d2 b2)2 )d2 b24b2(b"2 22 2222 22 2/,22、4 4(ab cd)2(d2 b2)2 (ab cd)2 (d2 b2)2 (ad bc)22 .(d b )1= 4(d2 b2)l222 2222 222.4(ab cd) (d b ) ab cd d b ad bc1= 4(d2 b2)2,2.2、2, 2, 22,2.4.42,22,2.22、.4(ab cd) (db )(a bc d db2d ba db c )122= 4(d b )222 222222222224(ab cd) (d b ) b (a b d c ) d (d b a c )122-"= 4(d b ) (d2 b2)24(ab cd)2 (c2 d2 b2 a2)21=4 . (2ab 2cd c2 d2 b2 a2)(2ab 2cd d2 b2