奧數(shù)四年級(jí)行程問題53204

1、許老師奧數(shù)第三部分 行程問題 第一講 行程基礎(chǔ) 【專題知識(shí)點(diǎn)概述】行程問題是一類常見的重要應(yīng)用題，在歷次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)。行程問題包括：相遇問題、追及問題、火車過(guò)橋問題、流水行船問題、環(huán)形行程問題等等。行程問題思維靈活性大，輻射面廣，但根本在于距離、速度和時(shí)間三個(gè)基本量之間的關(guān)系，即：距離速度時(shí)間，時(shí)間距離速度，速度距離時(shí)間。在這三個(gè)量中，已知兩個(gè)量，即可求出第三個(gè)量。掌握這三個(gè)數(shù)量關(guān)系式，是解決行程問題的關(guān)鍵。在解答行程問題時(shí)，經(jīng)常采取畫圖分析的方法，根據(jù)題意畫出線段圖，來(lái)幫助我們分析、理解題意，從而解決問題。一、行程基本量我們把研究路程、速度、時(shí)間以及這三者之間關(guān)系的一類問題，總稱為行程

2、問題.我們已經(jīng)接觸過(guò)一些簡(jiǎn)單的行程應(yīng)用題，行程問題主要涉及時(shí)間（t）、速度（v）和路程（s）這三個(gè)基本量，它們之間的關(guān)系如下：（1）速度×時(shí)間=路程 可簡(jiǎn)記為：s = vt（2）路程÷速度=時(shí)間 可簡(jiǎn)記為：t = s÷v（3）路程÷時(shí)間=速度 可簡(jiǎn)記為：v = s÷t顯然，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量. 二、平均速度平均速度的基本關(guān)系式為：平均速度總路程總時(shí)間；總時(shí)間總路程平均速度；總路程平均速度總時(shí)間?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)解析】1. 行程三要素之間的關(guān)系2平均速度的概念3注意觀察運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的不變量【競(jìng)賽考點(diǎn)挖掘】1.注意觀察運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的不變量【習(xí)

3、題精講】【例1】（難度等級(jí) ）郵遞員早晨7時(shí)出發(fā)送一份郵件到對(duì)面山里，從郵局開始要走12千米上坡路，8千米下坡路。他上坡時(shí)每小時(shí)走4千米，下坡時(shí)每小時(shí)走5千米，到達(dá)目的地停留1小時(shí)以后，又從原路返回，郵遞員什么時(shí)候可以回到郵局?【分析與解】 法一：先求出去的時(shí)間，再求出返回的時(shí)間，最后轉(zhuǎn)化為時(shí)刻。郵遞員到達(dá)對(duì)面山里需時(shí)間：12÷4+8÷5=4.6(小時(shí));郵遞員返回到郵局共用時(shí)間：8÷4+12÷5+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小時(shí))郵遞員回到郵局時(shí)的時(shí)刻是：7+10-12=5(時(shí)).郵遞員是下午5時(shí)回到郵局的。法二：從整體上考慮，郵遞

4、員走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用時(shí)間為：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10(小時(shí))，郵遞員是下午7+10-12=5(時(shí)) 回到郵局的?！纠?】（難度等級(jí) ）甲、乙兩地相距100千米。下午3點(diǎn)，一輛馬車從甲地出發(fā)前往乙地，每小時(shí)走10千米；晚上9點(diǎn)，一輛汽車從甲地出發(fā)駛向乙地，為了使汽車不比馬車晚到達(dá)乙地，汽車每小時(shí)最少要行駛多少千米？.【分析與解】 馬車從甲地到乙地需要100÷10=10小時(shí)，在汽車出發(fā)時(shí)，馬車已經(jīng)走了9-3=6(小時(shí))。依題意，汽車必須在10-6=4小時(shí)內(nèi)到達(dá)乙地，其每小時(shí)最少要行駛100÷

5、;4=25(千米)【例3】（難度等級(jí) ）小明每天早晨6：50從家出發(fā)，7：20到校，老師要求他明天提早6分鐘到校。如果小明明天早晨還是6：50從家出發(fā)，那么，每分鐘必須比往常多走25米才能按老師的要求準(zhǔn)時(shí)到校。問：小明家到學(xué)校多遠(yuǎn)？（第六屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽題第1題）【分析與解】原來(lái)花時(shí)間是30分鐘，后來(lái)提前6分鐘，就是路上要花時(shí)間為24分鐘。這時(shí)每分鐘必須多走25米，所以總共多走了24×25=600米，而這和30分鐘時(shí)間里，后6分鐘走的路程是一樣的，所以原來(lái)每分鐘走600÷6=100米?？偮烦叹褪?100×30=3000米?！纠?】（難度等級(jí) ）韓雪的家距離學(xué)校

6、480米，原計(jì)劃7點(diǎn)40從家出發(fā)8點(diǎn)可到校，現(xiàn)在還是按原時(shí)間離開家，不過(guò)每分鐘比原來(lái)多走16米，那么韓雪幾點(diǎn)就可到校？【分析與解】原來(lái)韓雪到校所用的時(shí)間為20分鐘，速度為：480÷20=24（米/分），現(xiàn)在每分鐘比原來(lái)多走16米，即現(xiàn)在的速度為24+16=40（米/分），那么現(xiàn)在上學(xué)所用的時(shí)間為：480÷40=12（分鐘），7點(diǎn)40分從家出發(fā)，12分鐘后，即7點(diǎn)52分可到學(xué)?！纠?】（難度等級(jí) ）王師傅駕車從甲地開往乙地交貨.如果他往返都以每小時(shí)60千米的速度行駛,正好可以按時(shí)返回甲地.可是,當(dāng)?shù)竭_(dá)乙地時(shí),他發(fā)現(xiàn)從甲地到乙地的速度只有每小時(shí)50千米.如果他想按時(shí)返回甲地,他

7、應(yīng)以多大的速度往回開?【分析與解】 假設(shè)甲地到乙地的路程為300,那么按時(shí)的往返一次需時(shí)間300÷60×2=10（小時(shí)）,現(xiàn)在從甲到乙花費(fèi)了時(shí)間300÷50=6（小時(shí)）,所以從乙地返回到甲地時(shí)所需的時(shí)間只能是10-6=4（小時(shí)）.即如果他想按時(shí)返回甲地,他應(yīng)以300÷4=75（千米/時(shí)）的速度往回開【例6】（難度等級(jí) ）劉老師騎電動(dòng)車從學(xué)校到韓丁家家訪，以10千米/時(shí)的速度行進(jìn)，下午1點(diǎn)到；以15千米/時(shí)的速度行進(jìn)，上午11點(diǎn)到.如果希望中午12點(diǎn)到，那么應(yīng)以怎樣的速度行進(jìn)？【分析與解】 這道題沒有出發(fā)時(shí)間，沒有學(xué)校到韓丁家的距離，也就是說(shuō)既沒有時(shí)間又沒

8、有路程，似乎無(wú)法求速度.這就需要通過(guò)已知條件，求出時(shí)間和路程.假設(shè)有A，B兩人同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到韓丁家，A每小時(shí)行10千米，下午1點(diǎn)到；B每小時(shí)行15千米，上午11點(diǎn)到.B到韓丁家時(shí)，A距韓丁家還有10×2=20（千米），這20千米是B從學(xué)校到韓丁家這段時(shí)間B比A多行的路程.因?yàn)锽比A每小時(shí)多行15-10=5（千米），所以B從學(xué)校到韓丁家所用的時(shí)間是20÷（15-10）=4（時(shí)）.由此知，A，B是上午7點(diǎn)出發(fā)的，學(xué)校離韓丁家的距離是15×4=60（千米）.劉老師要想中午12點(diǎn)到，即想（12-7=）5時(shí)行60千米，劉老師騎車的速度應(yīng)為60÷（12-7）=12

9、（千米/時(shí)）【例7】（難度等級(jí) ）小紅上山時(shí)每走30分鐘休息10分鐘，下山時(shí)每走30分鐘休息5分鐘.已知小紅下山的速度是上山速度的2倍，如果上山用了3時(shí)50分，那么下山用了多少時(shí)間？【分析與解】上山用了3時(shí)50分，即60×3+50=230（分），由230÷（30+10）=530，得到上山休息了5次，走了230-10×5=180（分）.因?yàn)橄律降乃俣仁巧仙降?倍，所以下山走了180÷2=90（分）.由90÷30=3知，下山途中休息了2次，所以下山共用90+5×2=100（分）=1時(shí)40分.【例8】（難度等級(jí) ）老王開汽車從A到B為平地（

10、見右圖），車速是30千米時(shí)；從B到C為上山路，車速是22.5千米時(shí)；從C到D為下山路，車速是36千米時(shí). 已知下山路是上山路的2倍，從A到D全程為72千米，老王開車從A到D共需要多少時(shí)間？【分析與解】設(shè)上山路為x千米，下山路為2x千米，則上下山的平均速度是：（x+2x）÷（x÷22.5+2x÷36）=30（千米/時(shí)），正好是平地的速度，所以行AD總路程的平均速度就是30千米/時(shí)，與平地路程的長(zhǎng)短無(wú)關(guān).因此共需要72÷302.4（時(shí)）【例9】（難度等級(jí) ）汽車以72千米/時(shí)的速度從甲地到乙地，到達(dá)后立即以48千米/時(shí)的速度返回甲地。求該車的平均速度?！痉治?/p>

11、與解】想求汽車的平均速度=汽車行駛的全程÷總時(shí)間 ，在這道題目中如果我們知道汽車行駛的全程，進(jìn)而就能求出總時(shí)間，那么問題就迎刃而解了。在此我們不妨采用“特殊值”法，這是奧數(shù)里面非常重要的一種思想，在很多題目中都有應(yīng)用。把甲、乙兩地的距離視為1千米，總時(shí)間為：1÷72+1÷48，平均速度=2÷（1÷72+1÷48）=57.6千米/時(shí)。 我們發(fā)現(xiàn)中的取值在計(jì)算過(guò)程中不太方便，我們可不可以找到一個(gè)比較好計(jì)算的數(shù)呢？在此我們可以把甲、乙兩地的距離視為72，48=144千米，這樣計(jì)算時(shí)間時(shí)就好計(jì)算一些，平均速度=144×2÷

12、（144÷72+144÷48）=57.6千米/時(shí)?！纠?0】（難度等級(jí) ）如圖，從A到B是12千米下坡路，從B到C是8千米平路，從C到D是4千米上坡路.小張步行，下坡的速度都是6千米/小時(shí)，平路速度都是4千米/小時(shí)，上坡速度都是2千米/小時(shí).問小張從A到D的平均速度是多少?【分析與解】 從A到B的時(shí)間為：12÷6=2（小時(shí)），從B到C的時(shí)間為：8÷4=2（小時(shí)），從C到D的時(shí)間為：4÷2=2（小時(shí)），從A到D的總時(shí)間為：2+2+2=6（小時(shí)），總路程為：12+8+4=24（千米），那么從A到D 的平均速度為：24÷6=4（千米/時(shí)）【

13、例11】（難度等級(jí) ）有一座橋，過(guò)橋需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。某人騎自行車過(guò)橋時(shí)，上坡、走平路和下坡的速度分別為米/秒、米/秒和米/秒，求他過(guò)橋的平均速度。【分析與解】 假設(shè)上坡、走平路及下坡的路程均為24米，那么總時(shí)間為：24÷4+24÷6+24÷8=13（秒），過(guò)橋的平均速度為 （米/秒） 【例12】（難度等級(jí) ）汽車往返于A，B兩地，去時(shí)速度為40千米時(shí)，要想來(lái)回的平均速度為48千米時(shí)，回來(lái)時(shí)的速度應(yīng)為多少？【分析與解】 假設(shè)AB兩地之間的距離為480÷2=240千米，那么總時(shí)間=480÷48=1

14、0（小時(shí)），回來(lái)時(shí)的速度=240÷（10-240÷40）=60（千米/時(shí)）【例13】（難度等級(jí) ）有一座橋，過(guò)橋需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人騎電動(dòng)車過(guò)橋時(shí)，上坡、走平路和下坡的速度分別為11米秒、22米秒和33米秒，求他過(guò)橋的平均速度.【分析與解】假設(shè)上坡、平路及下坡的路程均為66米，那么總時(shí)間=66÷11+66÷22+66÷33=6+3+2=11（秒），過(guò)橋的平均速度=66×3÷11=18（米/秒）【例14】（難度等級(jí) ）一只螞蟻沿等邊三角形的三條邊由A點(diǎn)開始爬行一周. 在三條邊

15、上它每分鐘分別爬行50cm，20cm，40cm（如右圖）.它爬行一周平均每分鐘爬行多少厘米？【分析與解】假設(shè)每條邊長(zhǎng)為200厘米，則總時(shí)間=200÷50+200÷20+200÷40=4+10+5=19（分鐘），爬行一周的平均速度=200×3÷19=（厘米/分鐘）.【例15】（難度等級(jí) ）甲、乙兩地相距6千米，某人從甲地步行去乙地，前一半時(shí)間平均每分鐘行80米，后一半時(shí)間平均每分鐘行70米.問他走后一半路程用了多少分鐘？【分析與解】全程的平均速度是每分鐘（80+70）÷2=75米，走完全程的時(shí)間是6000/75=80分鐘，走前一半路程速

16、度一定是80米，時(shí)間是3000÷80=37.5分鐘，后一半路程時(shí)間是80-37.5=42.5分鐘第二講 相遇與追及 【專題知識(shí)點(diǎn)概述】在今天這節(jié)課中，我們來(lái)研究行程問題中的相遇與追及問題這一講就是通過(guò)例題加深對(duì)行程問題三個(gè)基本數(shù)量關(guān)系的理解，使學(xué)生養(yǎng)成畫圖解決問題的好習(xí)慣！在行程問題中涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上物體運(yùn)動(dòng)的問題，其中最常見的是相遇問題和追及問題.一、相遇甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是甲和乙一起走了A,B之間這段路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度×相遇時(shí)間+乙的速度×相遇時(shí)間=（甲的速度+乙的

17、速度）×相遇時(shí)間=速度和×相遇時(shí)間.一般地，相遇問題的關(guān)系式為：速度和×相遇時(shí)間=路程和，即二、追及有兩個(gè)人同時(shí)行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過(guò)了一些時(shí)間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計(jì)算兩人走的路程之差（追及路程）.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同的時(shí)間（追及時(shí)間）內(nèi)：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度×追及時(shí)間-乙的速度×追及時(shí)間=（甲的速度-乙的速度）×追及時(shí)間=速度差×追及時(shí)間. 一般地，追擊問題有這樣的數(shù)量關(guān)

18、系：追及路程=速度差×追及時(shí)間，即【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】1直線上的相遇與追及2環(huán)線上的相遇與追及【競(jìng)賽考點(diǎn)挖掘】1. 多人多次相遇與追及【習(xí)題精講】【例1】（難度等級(jí) ）一輛客車與一輛貨車同時(shí)從甲、乙兩個(gè)城市相對(duì)開出，客車每小時(shí)行46千米，貨車每小時(shí)行48千米。3.5小時(shí)兩車相遇。甲、乙兩個(gè)城市的路程是多少千米？【分析與解】 （46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）【例2】（難度等級(jí) ）兩地間的路程有255千米，兩輛汽車同時(shí)從兩地相對(duì)開出，甲車每小時(shí)行45千米，乙車每小時(shí)行40千米。甲、乙兩車相遇時(shí)，各行了多少千米？【分析與解】 255÷（45+4

19、0）=255÷85=3（小時(shí)）。45×3=135（千米）。40×3=120（千米）?！纠?】（難度等級(jí) ）兩地相距3300米，甲、乙二人同時(shí)從兩地相對(duì)而行，甲每分鐘行82米，乙每分鐘行83米，已經(jīng)行了15分鐘，還要行多少分鐘兩人可以相遇？【分析與解】3300-（82+83）×15÷（82+83）=3300-165×15÷165=3300-2475÷165=825÷165=5（分鐘）【例4】（難度等級(jí) ）甲、乙二人都要從北京去天津，甲行駛10千米后乙才開始出發(fā)，甲每小時(shí)行駛15千米，乙每小時(shí)行駛10千米，問

20、：乙經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間能追上甲？【分析與解】 出發(fā)時(shí)甲、乙二人相距10千米，以后兩人的距離每小時(shí)都縮短15-105（千米），即兩人的速度的差（簡(jiǎn)稱速度差），所以10千米里有幾個(gè)5千米就是幾小時(shí)能追上.10÷（15-10）10÷52（小時(shí)）【例5】（難度等級(jí) ）南轅與北轍兩位先生對(duì)于自己的目的地s城的方向各執(zhí)一詞，于是兩人都按照自己的想法駕車同時(shí)分別往南和往北駛?cè)?，二人的速度分別為50千米/時(shí)，60千米/時(shí)，那么北轍先生出發(fā)5小時(shí)他們相距多少千米?【分析與解】 兩人雖然不是相對(duì)而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）【例6】（難度等級(jí) ）軍事演習(xí)中，

21、“我”海軍英雄艦追擊“敵”軍艦，追到A島時(shí)，“敵”艦已在10分鐘前逃離，“敵”艦每分鐘行駛1000米，“我”海軍英雄艦每分鐘行駛1470米，在距離“敵”艦600米處可開炮射擊，問“我”海軍英雄艦從A島出發(fā)經(jīng)過(guò)多少分鐘可射擊敵艦?【分析與解】 “我”艦追到A島時(shí)，“敵”艦已逃離10分鐘了，因此，在A島時(shí)，“我”艦與“敵”艦的距離為10000米（=1000×10）.又因?yàn)椤拔摇迸炘诰嚯x“敵”艦600米處即可開炮射擊，即“我”艦只要追上“敵”艦9400（=10000米-600米）即可開炮射擊.所以，在這個(gè)問題中，不妨把9400當(dāng)作路程差，根據(jù)公式求得追及時(shí)間.即（1000×10-

22、600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分鐘），所以，經(jīng)過(guò)20分鐘可開炮射擊“敵”艦【例7】（難度等級(jí) ）小紅和小藍(lán)練習(xí)跑步，若小紅讓小藍(lán)先跑20米，則小紅跑5秒鐘就可追上小藍(lán)；若小紅讓小藍(lán)先跑4秒鐘，則小紅跑6秒鐘就能追上小藍(lán).小紅、小藍(lán)二人的速度各是多少？【分析與解】小紅讓小藍(lán)先跑20米，則20米就是小紅、小藍(lán)二人的路程差，小紅跑5秒鐘追上小藍(lán)，5秒就是追及時(shí)間，據(jù)此可求出他們的速度差為20÷5=4（米/秒）；若小紅讓小藍(lán)先跑4秒，則小紅6秒可追上小藍(lán)，在這個(gè)過(guò)程中，追及時(shí)間為6秒，根據(jù)上一個(gè)條件，由

23、追及差和追及時(shí)間可求出在這個(gè)過(guò)程中的路程差，這個(gè)路程差即是小藍(lán)4秒鐘所行的路程，路程差就等于4×6=24（米），也即小藍(lán)在4秒內(nèi)跑了24米，所以可求出小藍(lán)的速度，也可求出小紅的速度.綜合列式計(jì)算如下：小藍(lán)的速度為：20÷5×6÷4=6（米/秒），小紅的速度為：6+4=10（米/秒）【例8】（難度等級(jí) ）小明步行上學(xué)，每分鐘行70米.離家12分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)小明的文具盒忘在家中，爸爸帶著文具盒，立即騎自行車以每分鐘280米的速度去追小明.問爸爸出發(fā)幾分鐘后追上小明？【分析與解】爸爸要追及的路程：70×12=840（米）,爸爸與小明的速度差：280

24、-70=210（米/分）,爸爸追及的時(shí)間：840÷210=4（分鐘）【例9】（難度等級(jí) ）上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？【分析與解】畫一張簡(jiǎn)單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）.而爸爸騎的距離是 4 8 12（千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷43（倍）.按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×324（千米）.但事實(shí)上，爸爸

25、少用了8分鐘，騎行了41216（千米）.少騎行24-168（千米）.摩托車的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸騎行16千米需要16分鐘.881632.所以這時(shí)是8點(diǎn)32分?！纠?0】（難度等級(jí) ）甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)行60千米。兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，相遇后3時(shí)，甲車到達(dá)B地。求A，B兩地的距離?！痉治雠c解】 相遇后甲行駛了40×3=120千米，即相遇前乙行駛了120千米，說(shuō)明甲乙二人的相遇時(shí)間是120÷60=2小時(shí)，則兩地相距（40+60）×2=200千米【例11】（難度等級(jí) ）小紅和小強(qiáng)同時(shí)從家里出發(fā)相向而行。小紅每分鐘走

26、52米，小強(qiáng)每分鐘走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分鐘出發(fā)，但速度不變，小強(qiáng)每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強(qiáng)的家相距多遠(yuǎn)? 【分析與解】 因?yàn)樾〖t的速度不變，相遇地點(diǎn)不變，所以小紅兩次走的時(shí)間相同，推知小強(qiáng)第二次比第一次少走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小強(qiáng)第二次走了14分，第一次走了18分，兩人的家相距（52+70）×18=2196（米）【例12】（難度等級(jí) ）甲乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)相向開出，4小時(shí)后兩車相遇，然后各自繼續(xù)行駛3小時(shí)，此時(shí)甲車距B地10千米，乙車距A地80千米問：甲車到達(dá)B地時(shí)，乙車還要經(jīng)過(guò)

27、多少時(shí)間才能到達(dá)A地?【分析與解】 由4時(shí)兩車相遇知，4時(shí)兩車共行A，B間的一個(gè)單程相遇后又行3時(shí)，剩下的路程之和108090（千米）應(yīng)是兩車共行431（時(shí)）的路程所以A，B兩地的距離是（1080）÷（43）×4360（千米）。因?yàn)?時(shí)甲車比乙車共多行801070（千米），所以甲車每時(shí)比乙車多行 70÷710（千米），又因?yàn)閮绍嚸繒r(shí)共行90千米，所以每時(shí)甲車行 50千米，乙車行40千米行一個(gè)單程，乙車比甲車多用360÷40360÷5097218（時(shí)）1時(shí)48分【例13】（難度等級(jí) ）甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分

28、鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離.【分析與解】若設(shè)甲、乙二人相遇地點(diǎn)為C，甲追及乙的地點(diǎn)為D，則由題意可知甲從A到C用6分鐘.而從A到D則用26分鐘，因此，甲走C到D之間的路程時(shí)，所用時(shí)間應(yīng)為：（26-6）=20（分）。同時(shí)，由上圖可知，C、D間的路程等于BC加BD.即等于乙在6分鐘內(nèi)所走的路程與在26分鐘內(nèi)所走的路程之和，為50×（266）=1600（米）.所以，甲的速度為1600÷2080（米/分），由此可求出A、B間的距離。50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷2080

29、（米/分）（80+50）×6130×6=780（米）【例14】（難度等級(jí) ）小張從甲地到乙地，每小時(shí)步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時(shí)步行4千米.兩人同時(shí)出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn)1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離？【分析與解】畫一張示意圖（可讓學(xué)生先判斷相遇點(diǎn)在中點(diǎn)哪一側(cè)，為什么？）離中點(diǎn)1千米的地方是A點(diǎn)，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米小張比小王每小時(shí)多走（5-4）千米，從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是2÷（5-4）2（小時(shí)）.因此，甲、乙兩地的距離是（5 4）×

30、218（千米）.【例15】（難度等級(jí) ）甲、乙兩車分別同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開出，第一次在離A地95千米處相遇相遇后繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇求A、B兩地間的距離？【分析與解】畫線段示意圖(實(shí)線表示甲車行進(jìn)的路線，虛線表示乙車行進(jìn)的路線)：可以發(fā)現(xiàn)第一次相遇意味著兩車行了一個(gè)A、B兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個(gè)A、B兩地間的距離當(dāng)甲、乙兩車共行了一個(gè)A、B兩地間的距離時(shí)，甲車行了95千米，當(dāng)它們共行三個(gè)A、B兩地間的距離時(shí)，甲車就行了3個(gè)95千米，即95×3=285（千米），而這285千米比一個(gè)A、B兩地間的距離多25千米，可得：95

31、15;3-25=285-25=260(千米) 第三講 行程之流水行船 【專題知識(shí)點(diǎn)概述】通常我們所接觸的行程問題可以稱作為“參考系速度為0”的行程問題，例如當(dāng)我們研究甲乙兩人在一段公路上行走相遇時(shí)，這里的參考系便是公路，而公路本身是沒有速度的，所以我們只需要考慮人本身的速度即可。但是在流水行船問題中，我們的參考系將不再是速度為0的參考系，因?yàn)樗旧硪彩窃诹鲃?dòng)的，所以這里我們必須考慮水流速度對(duì)船只速度的影響. 一、基本概念順?biāo)俣?船速+水速， 逆水速度=船速-水速. ( 其中為船在靜水中的速度，為水流的速度)由上可得：船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2；水速=（順?biāo)俣?逆水速度）&#

32、247;2.二、流水行船中的相遇與追及（1）兩只船在河流中相遇問題.當(dāng)甲、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向開出，它們單位時(shí)間靠攏的路程等于甲、乙兩船速度和.這是因?yàn)椋杭状標(biāo)俣?乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速.這就是說(shuō)，兩船在水中的相遇問題與靜水中的及兩車在陸地上的相遇問題一樣，與水速?zèng)]有關(guān)系.（2）同樣道理，如果兩只船，同向運(yùn)動(dòng)，一只船追上另一只船所用的時(shí)間，也只與路程差和船速有關(guān)，與水速無(wú)關(guān).這是因?yàn)椋杭状標(biāo)俣?乙船順?biāo)俣?（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速.也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水

33、速）=甲船速-乙船速.這說(shuō)明水中追及問題與在靜水中追及問題一樣.由上述討論知，解流水行船問題，更多地是把它轉(zhuǎn)化為已學(xué)過(guò)的相遇和追及問題來(lái)解答【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】1掌握流水行船的基本概念2掌握流水行船中的相遇與追及【競(jìng)賽考點(diǎn)挖掘】1流水行船中的相遇與追及【習(xí)題精講】【例1】（難度等級(jí) ）一艘輪船在兩個(gè)港口間航行，水速為每小時(shí)6千米，順?biāo)滦行枰?小時(shí)，返回上行需要7小時(shí)求：這兩個(gè)港口之間的距離?【分析與解】 （船速+6）×4=（船速-6）×7，可得船速=22，兩港之間的距離為：（22+6）×4=112千米【例2】（難度等級(jí) ）兩個(gè)碼頭相距352千米，一船順流而下，行完全

34、程需要11小時(shí).逆流而上，行完全程需要16小時(shí)，求這條河水流速度。【分析與解】 （352÷11-352÷16）÷2=5（千米/小時(shí)）【例3】（難度等級(jí) ）甲、乙兩港間的水路長(zhǎng)208千米，一只船從甲港開往乙港，順?biāo)?小時(shí)到達(dá)，從乙港返回甲港，逆水13小時(shí)到達(dá)，求船在靜水中的速度和水流速度?！痉治雠c解】順?biāo)俣龋?08÷8=26（千米/小時(shí)），逆水速度：208÷13=16（千米/小時(shí)），船速：（26+16）÷2=21（千米/小時(shí)），水速：（2616）÷2=5（千米/小時(shí)）【例4】（難度等級(jí) ）船往返于相距180千米的兩港之間，順

35、水而下需用10小時(shí)，逆水而上需用15小時(shí)。由于暴雨后水速增加，該船順?biāo)兄恍?小時(shí)，那么逆水而行需要幾小時(shí)?【分析與解】本題中船在順?biāo)?、逆水、靜水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影響，水速發(fā)生變化，要求船逆水而行要幾小時(shí)，必須要先求出水速增加后的逆水速度.船在靜水中的速度是：（180÷10+180÷15）÷2=15（千米/小時(shí)）.暴雨前水流的速度是：（180÷10-180÷15）÷2=3（千米/小時(shí)）.暴雨后水流的速度是：180÷9-15=5（千米/小時(shí)）.暴雨后船逆水而上需用的時(shí)間為：180÷（

36、15-5）=18（小時(shí)）【例5】（難度等級(jí) ）甲、 乙兩艘小游艇， 靜水中甲艇每小時(shí)行 2.2 千米， 乙艇每小時(shí)行 1.4 千米。 現(xiàn)甲、乙兩艘小游艇于同一時(shí)刻相向出發(fā)，甲艇從下游上行， 乙艇從相距 18 千米的上游下行，兩艇于途中相遇后，又經(jīng)過(guò) 4 小時(shí)， 甲艇到達(dá)乙艇的出發(fā)地。問航道上水流速度為每小時(shí)多少千米?【分析與解】 18÷(2.2+1.4)=5(小時(shí))，所以經(jīng)過(guò) 5 小時(shí)后兩艇相遇。 2.2-18÷(5+4)=0.2(千米/小時(shí))，所以航道上水流速度為每小時(shí) 0.2 千米【例6】（難度等級(jí) ）乙船順?biāo)叫?小時(shí)，行了120千米，返回原地用了4小時(shí).甲船順?biāo)叫?/p>

37、同一段水路，用了3小時(shí).甲船返回原地比去時(shí)多用了幾小時(shí)?【分析與解】 乙船順?biāo)俣龋?20÷2=60（千米/小時(shí)）.乙船逆水速度：120÷4=30（千米/小時(shí)）。水流速度：（60-30）÷215（千米/小時(shí)）.甲船順?biāo)俣龋?2O÷34O（千米/小時(shí)）。甲船逆水速度：40-2×15=10（千米/小時(shí)）.甲船逆水航行時(shí)間：120÷10=12（小時(shí)）。甲船返回原地比去時(shí)多用時(shí)間：12-3=9（小時(shí)）【例7】（難度等級(jí) ）甲、乙兩船在靜水中速度分別為每小時(shí)24千米和每小時(shí)32千米，兩船從某河相距336千米的兩港同時(shí)出發(fā)相向而行，幾小時(shí)相遇？

38、如果同向而行，甲船在前，乙船在后，幾小時(shí)后乙船追上甲船？【分析與解】相遇時(shí)用的時(shí)間：336÷（24+32）=6（小時(shí)），追及用的時(shí)間（不論兩船同向逆流而上還是順流而下）：336÷（3224）42（小時(shí)）【例8】（難度等級(jí) ）小剛和小強(qiáng)租一條小船，向上游劃去，不慎把水壺掉進(jìn)江中，當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)并調(diào)過(guò)船頭時(shí)，水壺與船已經(jīng)相距2千米，假定小船的速度是每小時(shí)4千米，水流速度是每小時(shí)2千米，那么他們追上水壺需要多少時(shí)間？【分析與解】此題是水中追及問題，已知路程差是2千米，船在順?biāo)械乃俣仁谴?水速.水壺飄流的速度只等于水速，所以速度差=船順?biāo)俣?水壺飄流的速度=（船速+水速）-水速=

39、船速.路程差÷船速=追及時(shí)間 ，2÷4=0.5（小時(shí)）【例9】（難度等級(jí) ）乙兩船的船速分別為每小時(shí)22千米和每小時(shí)18千米兩船先后從同一港口順?biāo)_出，乙船比甲船早出發(fā)2小時(shí)，如果水速是每小時(shí)4千米，問：甲船開出后幾小時(shí)能追上乙船？【分析與解】要求甲船追上乙船所用的時(shí)間，根據(jù)公式：路程差=速度差×追及時(shí)間，關(guān)鍵要求出路程差(速度差由題干所給條件容易求出)，即甲出發(fā)時(shí)，乙已經(jīng)行駛過(guò)的路程，為順?biāo)谐虇栴}乙船先行的路程為：(18+4)x2=44(千米)，追及時(shí)間為：44÷(22-18)=44+4=11(小時(shí))?！纠?0】（難度等級(jí) ）某河有相距45千米的上、

40、下兩碼頭，每天定時(shí)有甲、乙兩艘船速相同的客輪分別從兩碼頭同時(shí)出發(fā)相向而行.一天甲船從上游碼頭出發(fā)時(shí)掉下一物，此物浮于水面順?biāo)h下，4分鐘后，與甲船相距1千米.預(yù)計(jì)乙船出發(fā)后幾小時(shí)可以與此物相遇?【分析與解】 船速：1000÷4=250（米/分），相遇時(shí)間：45000÷250=180（分）=3（小時(shí)）【例11】（難度等級(jí) ）甲、乙兩船在靜水中速度相同，它們同時(shí)自河的兩個(gè)碼頭相對(duì)開出，3小時(shí)后相遇已知水流速度是4千米小時(shí)求：相遇時(shí)甲、乙兩船航行的距離相差多少千米? 【分析與解】 為了求出相遇時(shí)兩船航行的距離相差多少，若考慮將兩船的各自航程分別求出的話，需根據(jù)：航程=速度

41、5;時(shí)間，要求出兩船的順?biāo)俣然蚰嫠俣?，即要求兩?在靜水中)的船速而由已知條件分析，船速無(wú)法求出下面我們來(lái)分析一下，在兩船的船速相同的情況下，一船順?biāo)?，一船逆水，它們的航程差是什么造成的，不妨設(shè)甲船順?biāo)?，乙船逆水甲船的順?biāo)俣?船速+水速，乙船的逆水速度=船速一水速，故：速度差=(船速+水速)一(船速一水速)=2×水速，即：每小時(shí)甲船比乙船多走2×4=8(千米)3小時(shí)的距離差為3×8=24(千米)【例12】（難度等級(jí) ）甲、乙兩船從相距64千米的A、B、兩港同時(shí)出發(fā)相向而行，2小時(shí)相遇；若兩船同時(shí)同向而行，則甲用16小時(shí)趕上乙問：甲、乙兩船的速度各是多少？【分

42、析與解】 兩船的速度和=64÷2=32 (千米小時(shí))，兩船的速度差=64÷16=4 (千米小時(shí))，根據(jù)和差問題，分別求甲、乙兩船的速度：18和14千米小時(shí)【例13】（難度等級(jí) ）江上有甲、 乙兩碼頭， 相距 15 千米，甲碼頭在乙碼頭的上游， 一艘貨船和一艘游船同時(shí)從甲碼頭和乙碼頭出發(fā)向下游行駛， 5 小時(shí)后貨船追上游船。 又行駛了 1 小時(shí)， 貨船上有一物品落入江中（該物品可以浮在水面上）， 6 分鐘后貨船上的人發(fā)現(xiàn)了，便掉轉(zhuǎn)船頭去找， 找到時(shí)恰好又和游船相遇。 則游船在靜水中的速度為每小時(shí)多少千米.【分析與解】此題可以分為幾個(gè)階段來(lái)考慮。 第一個(gè)階段是一個(gè)追及問題。在貨

43、艙追上游船的過(guò)程中， 兩者的追及距離是 15 千米， 共用了 5 小時(shí)，故兩者的速度差是 15÷5=3 千米。由于兩者都是順?biāo)叫校?故在靜水中兩者的速度差也是 3 千米。 在緊接著的 1 個(gè)小時(shí)中， 貨船開始領(lǐng)先游船， 兩者最后相距 3×1=3千米.這時(shí)貨船上的東西落入水中， 6 分鐘后貨船上的人才發(fā)現(xiàn)。 此時(shí)貨船離落在水中的東西的距離已經(jīng)是貨船的靜水速度1/10 千米， 從此時(shí)算起， 到貨船和落入水中的物體相遇， 又是一個(gè)相遇問題， 兩者的速度之和剛好等于貨船的靜水速度，所以這段時(shí)間是貨船的靜水速度1/10÷貨船的靜水速度=1/10小時(shí)。 按題意，此時(shí)也剛好遇

44、上追上來(lái)的游船。貨船開始回追物體時(shí)，貨船和游船剛好相距3+3×1/10=33/10 千米，兩者到相遇共用了 1/10 小時(shí)，幫兩者的速度和是每小時(shí) 33/10÷1/10=33 千米，這與它們兩在靜水中的速度和相等。（解釋一下）又已知在靜水中貨船比游船每小時(shí)快 3 千米，故游船的速度為每小時(shí)（33-3）÷2=15 千米【例14】（難度等級(jí) ）一條船往返于甲、乙兩港之間，已知船在靜水中的速度為每小時(shí)9千米，平時(shí)逆行與順行所用的時(shí)間比為2:1。一天因?yàn)橄卤┯辏魉俣仁窃瓉?lái)的2倍，這條船往返共用了10小時(shí)，甲、乙兩港相距多少千米？【分析與解】平時(shí)逆行與順行所用的時(shí)間比為

45、2:1，設(shè)水流的速度為x，則9+x=2（9-x），x=3。那么下暴雨時(shí)，水流的速度是3×2=6（千米），順?biāo)俣染褪?+6=15（千米），逆水速度就是9-6=3（千米）。逆行與順行的速度比是15:3=5:1。逆行用的時(shí)間就是10×5/(1+5)=25/3 (小時(shí))，兩港之間的距離是3×25/3=25（千米）.【例15】（難度等級(jí) ）A 、 B 兩景點(diǎn)相距 10 千米， 一艘觀光游船從 A 景點(diǎn)出發(fā)抵達(dá) B 景點(diǎn)后立即返回， 共用 3 小時(shí) 已知第一小時(shí)比第三小時(shí)多行 8 千米， 那么水速為每小時(shí) 千米？【分析與解】第一小時(shí)比第三小時(shí)多行， 所以去的時(shí)候順?biāo)?回的

46、時(shí)候逆水因?yàn)榈谝恍r(shí)比第三小時(shí)多行8千米， 所以第一小時(shí)行的肯定超過(guò)8千米 如果第一小時(shí)之內(nèi)尚未到達(dá) B 景點(diǎn)， 則后兩小時(shí)行的總和超過(guò)10千米， 第三小時(shí)要逆水而行超過(guò)5千米(不然的話逆水而行一小時(shí)不超過(guò)5千米， 第二小時(shí)又要先順行一段， 又要逆行超過(guò)5千米， 這不可能在一小時(shí)內(nèi)完成)， 但這樣的話第一小時(shí)比第三小時(shí)多行的將少于8千米， 矛盾 所以第一小時(shí)之內(nèi) 已經(jīng)到達(dá)B景點(diǎn)了， 后兩小時(shí)都逆水行駛 那么后兩小時(shí)行的路程相等， 為20 ÷（8-3）=4 千米， 第一小時(shí)行了 4+ 8 =12 千米 所以逆水速度為4千米/時(shí)， 逆水行2千米需要半小時(shí)， 所以第一小時(shí)的前半小時(shí)順?biāo)辛?/p>

47、 10千米， 順?biāo)俣葹?0千米/時(shí)， 所以水速為(20 4 )÷2 =8千米/時(shí) 第四講 行程之火車問題 【專題知識(shí)點(diǎn)概述】在行程問題這個(gè)大家族中，除了我們常常研究的相遇與追擊外，還有三大類我們必須了解的問題：火車過(guò)橋、流水行程和時(shí)鐘問題.它們雖然也涉及速度、時(shí)間、路程這三個(gè)基本關(guān)系，但在應(yīng)用中要兼顧考慮一些其它因素，譬如：火車車長(zhǎng)、水流速度等等.其中火車過(guò)橋、流水行程是我們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)有所接觸的內(nèi)容，在下面的學(xué)習(xí)中我們先回憶鞏固原有基本概念，而后相應(yīng)的拓展提高！ 一、解火車過(guò)橋問題常用方法 火車過(guò)橋時(shí)間是指從車頭上橋起到車尾離橋所用的時(shí)間，因此火車的路程是橋長(zhǎng)與車身長(zhǎng)度之和

48、. 火車與人錯(cuò)身時(shí)，忽略人本身的長(zhǎng)度，兩者路程和為火車本身長(zhǎng)度；火車與火車錯(cuò)身時(shí)，兩者路程和則為兩車身長(zhǎng)度之和. 火車與火車上的人錯(cuò)身時(shí)，只要認(rèn)為人具備所在火車的速度，而忽略本身的長(zhǎng)度，那么他所看到的錯(cuò)車的相應(yīng)路程仍只是對(duì)面火車的長(zhǎng)度.對(duì)于火車過(guò)橋、火車和人相遇、火車追及人、以及火車和火車之間的相遇、追及等等這幾種類型的題目，在分析題目的時(shí)候一定得結(jié)合著圖來(lái)進(jìn)行.【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】1火車過(guò)橋要謹(jǐn)記車身長(zhǎng)度2火車與多人多次相遇與追及【競(jìng)賽考點(diǎn)挖掘】1. 火車與多人多次相遇與追及【習(xí)題精講】【例1】（難度等級(jí) ）慢車的車身長(zhǎng)是142米，車速是每秒17米，快車車身長(zhǎng)是173米，車速是每秒22，慢車在前

49、面行駛，快車從后面追上到完全超過(guò)慢車需要多少時(shí)間?【分析與解】 根據(jù)題目的條件可知，本題屬于兩列火車的追及情況，（142173）÷（2217）63（秒）【例2】（難度等級(jí) ）一列客車長(zhǎng)190米，一列貨車長(zhǎng)240米，兩車分別以每秒20米和23米的速度相向行進(jìn)，在雙軌鐵路上，兩車從車頭相遇到車尾相離共需要多少時(shí)間.【分析與解】 根據(jù)題目的條件可知，本題屬于兩列火車相遇的情況，（190240）÷（2023）=10（秒）【例3】（難度等級(jí) ）一列長(zhǎng)72米的列車，追上長(zhǎng)108米的貨車到完全超過(guò)用了10秒，如果貨車速度為原來(lái)的1.4倍，那么列車追上到超過(guò)貨車就需要15秒。貨車的速度是每

50、秒多少米？【分析與解】根據(jù)題目的條件，可求出兩列火車原來(lái)的速度之差，當(dāng)貨車速度為原來(lái)的1.4倍后，也可求出列車與加速后的貨車速度之差，再根據(jù)前后兩次速度之差的變化，就可求出貨車的速度。兩列火車的長(zhǎng)度和：72+108=180（米）列車與貨車原來(lái)速度差：180÷10=18（米）列車與加速后貨車的速度差：180÷15=12（米）貨車的速度是：（18-12）÷（1.4-1）=15（米）【例4】（難度等級(jí) ）長(zhǎng)180米的客車速度是每秒15米，它追上并超過(guò)長(zhǎng)100米的貨車用了28秒，如果兩列火車相向而行，從相遇到完全離開需要多少時(shí)間？【分析與解】280÷28=10（

51、米）貨車速度：15-10=5（米）兩列火車從相遇到完全離開所需的時(shí)間：280÷（155）14（秒）【例5】（難度等級(jí) ）快車長(zhǎng)106米，慢車長(zhǎng)74米，兩車同向而行，快車追上慢車后，又經(jīng)過(guò)1分鐘才超過(guò)慢車；如果相向而行，車頭相接后經(jīng)過(guò)12秒兩車完全離開。求兩列火車的速度。【分析與解】 根據(jù)題目的條件，可求出快車與慢車的速度差和速度和，再利用和差問題的解法求出快車與慢車的速度。兩列火車的長(zhǎng)度之和：10674=180（米）快車與慢車的速度之差：180÷60=3（米）快車與慢車的速度之和：180÷1215（米）快車的速度：（153）÷2=9（米）慢車的速度：（15-3）÷26（米）【例6】（難度等級(jí) ）方方以每分鐘60米的速度沿鐵路邊步行，一列長(zhǎng)252米的貨車從對(duì)面而來(lái)，從他身邊通過(guò)用了12秒鐘，求列車的速度?【分析與解】 20m/s,可以把火車就看成兩點(diǎn)，頭和尾，頭遇到人的時(shí)候?qū)嶋H上尾和人相距252m，12s后人和尾相遇，人走1