奧數(shù)四年級行程問題53204

1、許老師奧數(shù)第三部分 行程問題 第一講 行程基礎(chǔ) 【專題知識點概述】行程問題是一類常見的重要應(yīng)用題，在歷次數(shù)學競賽中經(jīng)常出現(xiàn)。行程問題包括：相遇問題、追及問題、火車過橋問題、流水行船問題、環(huán)形行程問題等等。行程問題思維靈活性大，輻射面廣，但根本在于距離、速度和時間三個基本量之間的關(guān)系，即：距離速度時間，時間距離速度，速度距離時間。在這三個量中，已知兩個量，即可求出第三個量。掌握這三個數(shù)量關(guān)系式，是解決行程問題的關(guān)鍵。在解答行程問題時，經(jīng)常采取畫圖分析的方法，根據(jù)題意畫出線段圖，來幫助我們分析、理解題意，從而解決問題。一、行程基本量我們把研究路程、速度、時間以及這三者之間關(guān)系的一類問題，總稱為行程

2、問題.我們已經(jīng)接觸過一些簡單的行程應(yīng)用題，行程問題主要涉及時間（t）、速度（v）和路程（s）這三個基本量，它們之間的關(guān)系如下：（1）速度×時間=路程 可簡記為：s = vt（2）路程÷速度=時間 可簡記為：t = s÷v（3）路程÷時間=速度 可簡記為：v = s÷t顯然，知道其中的兩個量就可以求出第三個量. 二、平均速度平均速度的基本關(guān)系式為：平均速度總路程總時間；總時間總路程平均速度；總路程平均速度總時間?！局攸c難點解析】1. 行程三要素之間的關(guān)系2平均速度的概念3注意觀察運動過程中的不變量【競賽考點挖掘】1.注意觀察運動過程中的不變量【習

3、題精講】【例1】（難度等級 ）郵遞員早晨7時出發(fā)送一份郵件到對面山里，從郵局開始要走12千米上坡路，8千米下坡路。他上坡時每小時走4千米，下坡時每小時走5千米，到達目的地停留1小時以后，又從原路返回，郵遞員什么時候可以回到郵局?【分析與解】 法一：先求出去的時間，再求出返回的時間，最后轉(zhuǎn)化為時刻。郵遞員到達對面山里需時間：12÷4+8÷5=4.6(小時);郵遞員返回到郵局共用時間：8÷4+12÷5+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小時)郵遞員回到郵局時的時刻是：7+10-12=5(時).郵遞員是下午5時回到郵局的。法二：從整體上考慮，郵遞

4、員走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用時間為：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10(小時)，郵遞員是下午7+10-12=5(時) 回到郵局的?！纠?】（難度等級 ）甲、乙兩地相距100千米。下午3點，一輛馬車從甲地出發(fā)前往乙地，每小時走10千米；晚上9點，一輛汽車從甲地出發(fā)駛向乙地，為了使汽車不比馬車晚到達乙地，汽車每小時最少要行駛多少千米？.【分析與解】 馬車從甲地到乙地需要100÷10=10小時，在汽車出發(fā)時，馬車已經(jīng)走了9-3=6(小時)。依題意，汽車必須在10-6=4小時內(nèi)到達乙地，其每小時最少要行駛100÷

5、;4=25(千米)【例3】（難度等級 ）小明每天早晨6：50從家出發(fā)，7：20到校，老師要求他明天提早6分鐘到校。如果小明明天早晨還是6：50從家出發(fā)，那么，每分鐘必須比往常多走25米才能按老師的要求準時到校。問：小明家到學校多遠？（第六屆小數(shù)報數(shù)學競賽初賽題第1題）【分析與解】原來花時間是30分鐘，后來提前6分鐘，就是路上要花時間為24分鐘。這時每分鐘必須多走25米，所以總共多走了24×25=600米，而這和30分鐘時間里，后6分鐘走的路程是一樣的，所以原來每分鐘走600÷6=100米?？偮烦叹褪?100×30=3000米?！纠?】（難度等級 ）韓雪的家距離學校

6、480米，原計劃7點40從家出發(fā)8點可到校，現(xiàn)在還是按原時間離開家，不過每分鐘比原來多走16米，那么韓雪幾點就可到校？【分析與解】原來韓雪到校所用的時間為20分鐘，速度為：480÷20=24（米/分），現(xiàn)在每分鐘比原來多走16米，即現(xiàn)在的速度為24+16=40（米/分），那么現(xiàn)在上學所用的時間為：480÷40=12（分鐘），7點40分從家出發(fā)，12分鐘后，即7點52分可到學?！纠?】（難度等級 ）王師傅駕車從甲地開往乙地交貨.如果他往返都以每小時60千米的速度行駛,正好可以按時返回甲地.可是,當?shù)竭_乙地時,他發(fā)現(xiàn)從甲地到乙地的速度只有每小時50千米.如果他想按時返回甲地,他

7、應(yīng)以多大的速度往回開?【分析與解】 假設(shè)甲地到乙地的路程為300,那么按時的往返一次需時間300÷60×2=10（小時）,現(xiàn)在從甲到乙花費了時間300÷50=6（小時）,所以從乙地返回到甲地時所需的時間只能是10-6=4（小時）.即如果他想按時返回甲地,他應(yīng)以300÷4=75（千米/時）的速度往回開【例6】（難度等級 ）劉老師騎電動車從學校到韓丁家家訪，以10千米/時的速度行進，下午1點到；以15千米/時的速度行進，上午11點到.如果希望中午12點到，那么應(yīng)以怎樣的速度行進？【分析與解】 這道題沒有出發(fā)時間，沒有學校到韓丁家的距離，也就是說既沒有時間又沒

8、有路程，似乎無法求速度.這就需要通過已知條件，求出時間和路程.假設(shè)有A，B兩人同時從學校出發(fā)到韓丁家，A每小時行10千米，下午1點到；B每小時行15千米，上午11點到.B到韓丁家時，A距韓丁家還有10×2=20（千米），這20千米是B從學校到韓丁家這段時間B比A多行的路程.因為B比A每小時多行15-10=5（千米），所以B從學校到韓丁家所用的時間是20÷（15-10）=4（時）.由此知，A，B是上午7點出發(fā)的，學校離韓丁家的距離是15×4=60（千米）.劉老師要想中午12點到，即想（12-7=）5時行60千米，劉老師騎車的速度應(yīng)為60÷（12-7）=12

9、（千米/時）【例7】（難度等級 ）小紅上山時每走30分鐘休息10分鐘，下山時每走30分鐘休息5分鐘.已知小紅下山的速度是上山速度的2倍，如果上山用了3時50分，那么下山用了多少時間？【分析與解】上山用了3時50分，即60×3+50=230（分），由230÷（30+10）=530，得到上山休息了5次，走了230-10×5=180（分）.因為下山的速度是上山的2倍，所以下山走了180÷2=90（分）.由90÷30=3知，下山途中休息了2次，所以下山共用90+5×2=100（分）=1時40分.【例8】（難度等級 ）老王開汽車從A到B為平地（

10、見右圖），車速是30千米時；從B到C為上山路，車速是22.5千米時；從C到D為下山路，車速是36千米時. 已知下山路是上山路的2倍，從A到D全程為72千米，老王開車從A到D共需要多少時間？【分析與解】設(shè)上山路為x千米，下山路為2x千米，則上下山的平均速度是：（x+2x）÷（x÷22.5+2x÷36）=30（千米/時），正好是平地的速度，所以行AD總路程的平均速度就是30千米/時，與平地路程的長短無關(guān).因此共需要72÷302.4（時）【例9】（難度等級 ）汽車以72千米/時的速度從甲地到乙地，到達后立即以48千米/時的速度返回甲地。求該車的平均速度?！痉治?/p>

11、與解】想求汽車的平均速度=汽車行駛的全程÷總時間 ，在這道題目中如果我們知道汽車行駛的全程，進而就能求出總時間，那么問題就迎刃而解了。在此我們不妨采用“特殊值”法，這是奧數(shù)里面非常重要的一種思想，在很多題目中都有應(yīng)用。把甲、乙兩地的距離視為1千米，總時間為：1÷72+1÷48，平均速度=2÷（1÷72+1÷48）=57.6千米/時。 我們發(fā)現(xiàn)中的取值在計算過程中不太方便，我們可不可以找到一個比較好計算的數(shù)呢？在此我們可以把甲、乙兩地的距離視為72，48=144千米，這樣計算時間時就好計算一些，平均速度=144×2÷

12、（144÷72+144÷48）=57.6千米/時?！纠?0】（難度等級 ）如圖，從A到B是12千米下坡路，從B到C是8千米平路，從C到D是4千米上坡路.小張步行，下坡的速度都是6千米/小時，平路速度都是4千米/小時，上坡速度都是2千米/小時.問小張從A到D的平均速度是多少?【分析與解】 從A到B的時間為：12÷6=2（小時），從B到C的時間為：8÷4=2（小時），從C到D的時間為：4÷2=2（小時），從A到D的總時間為：2+2+2=6（小時），總路程為：12+8+4=24（千米），那么從A到D 的平均速度為：24÷6=4（千米/時）【

13、例11】（難度等級 ）有一座橋，過橋需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。某人騎自行車過橋時，上坡、走平路和下坡的速度分別為米/秒、米/秒和米/秒，求他過橋的平均速度?！痉治雠c解】 假設(shè)上坡、走平路及下坡的路程均為24米，那么總時間為：24÷4+24÷6+24÷8=13（秒），過橋的平均速度為 （米/秒） 【例12】（難度等級 ）汽車往返于A，B兩地，去時速度為40千米時，要想來回的平均速度為48千米時，回來時的速度應(yīng)為多少？【分析與解】 假設(shè)AB兩地之間的距離為480÷2=240千米，那么總時間=480÷48=1

14、0（小時），回來時的速度=240÷（10-240÷40）=60（千米/時）【例13】（難度等級 ）有一座橋，過橋需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人騎電動車過橋時，上坡、走平路和下坡的速度分別為11米秒、22米秒和33米秒，求他過橋的平均速度.【分析與解】假設(shè)上坡、平路及下坡的路程均為66米，那么總時間=66÷11+66÷22+66÷33=6+3+2=11（秒），過橋的平均速度=66×3÷11=18（米/秒）【例14】（難度等級 ）一只螞蟻沿等邊三角形的三條邊由A點開始爬行一周. 在三條邊

15、上它每分鐘分別爬行50cm，20cm，40cm（如右圖）.它爬行一周平均每分鐘爬行多少厘米？【分析與解】假設(shè)每條邊長為200厘米，則總時間=200÷50+200÷20+200÷40=4+10+5=19（分鐘），爬行一周的平均速度=200×3÷19=（厘米/分鐘）.【例15】（難度等級 ）甲、乙兩地相距6千米，某人從甲地步行去乙地，前一半時間平均每分鐘行80米，后一半時間平均每分鐘行70米.問他走后一半路程用了多少分鐘？【分析與解】全程的平均速度是每分鐘（80+70）÷2=75米，走完全程的時間是6000/75=80分鐘，走前一半路程速

16、度一定是80米，時間是3000÷80=37.5分鐘，后一半路程時間是80-37.5=42.5分鐘第二講 相遇與追及 【專題知識點概述】在今天這節(jié)課中，我們來研究行程問題中的相遇與追及問題這一講就是通過例題加深對行程問題三個基本數(shù)量關(guān)系的理解，使學生養(yǎng)成畫圖解決問題的好習慣！在行程問題中涉及到兩個或兩個以上物體運動的問題，其中最常見的是相遇問題和追及問題.一、相遇甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實質(zhì)上是甲和乙一起走了A,B之間這段路程，如果兩人同時出發(fā)，那么相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度×相遇時間+乙的速度×相遇時間=（甲的速度+乙的

17、速度）×相遇時間=速度和×相遇時間.一般地，相遇問題的關(guān)系式為：速度和×相遇時間=路程和，即二、追及有兩個人同時行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問題”.實質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計算兩人走的路程之差（追及路程）.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同的時間（追及時間）內(nèi)：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度×追及時間-乙的速度×追及時間=（甲的速度-乙的速度）×追及時間=速度差×追及時間. 一般地，追擊問題有這樣的數(shù)量關(guān)

18、系：追及路程=速度差×追及時間，即【重點難點解析】1直線上的相遇與追及2環(huán)線上的相遇與追及【競賽考點挖掘】1. 多人多次相遇與追及【習題精講】【例1】（難度等級 ）一輛客車與一輛貨車同時從甲、乙兩個城市相對開出，客車每小時行46千米，貨車每小時行48千米。3.5小時兩車相遇。甲、乙兩個城市的路程是多少千米？【分析與解】 （46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）【例2】（難度等級 ）兩地間的路程有255千米，兩輛汽車同時從兩地相對開出，甲車每小時行45千米，乙車每小時行40千米。甲、乙兩車相遇時，各行了多少千米？【分析與解】 255÷（45+4

19、0）=255÷85=3（小時）。45×3=135（千米）。40×3=120（千米）?！纠?】（難度等級 ）兩地相距3300米，甲、乙二人同時從兩地相對而行，甲每分鐘行82米，乙每分鐘行83米，已經(jīng)行了15分鐘，還要行多少分鐘兩人可以相遇？【分析與解】3300-（82+83）×15÷（82+83）=3300-165×15÷165=3300-2475÷165=825÷165=5（分鐘）【例4】（難度等級 ）甲、乙二人都要從北京去天津，甲行駛10千米后乙才開始出發(fā)，甲每小時行駛15千米，乙每小時行駛10千米，問

20、：乙經(jīng)過多長時間能追上甲？【分析與解】 出發(fā)時甲、乙二人相距10千米，以后兩人的距離每小時都縮短15-105（千米），即兩人的速度的差（簡稱速度差），所以10千米里有幾個5千米就是幾小時能追上.10÷（15-10）10÷52（小時）【例5】（難度等級 ）南轅與北轍兩位先生對于自己的目的地s城的方向各執(zhí)一詞，于是兩人都按照自己的想法駕車同時分別往南和往北駛?cè)?，二人的速度分別為50千米/時，60千米/時，那么北轍先生出發(fā)5小時他們相距多少千米?【分析與解】 兩人雖然不是相對而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）【例6】（難度等級 ）軍事演習中，

21、“我”海軍英雄艦追擊“敵”軍艦，追到A島時，“敵”艦已在10分鐘前逃離，“敵”艦每分鐘行駛1000米，“我”海軍英雄艦每分鐘行駛1470米，在距離“敵”艦600米處可開炮射擊，問“我”海軍英雄艦從A島出發(fā)經(jīng)過多少分鐘可射擊敵艦?【分析與解】 “我”艦追到A島時，“敵”艦已逃離10分鐘了，因此，在A島時，“我”艦與“敵”艦的距離為10000米（=1000×10）.又因為“我”艦在距離“敵”艦600米處即可開炮射擊，即“我”艦只要追上“敵”艦9400（=10000米-600米）即可開炮射擊.所以，在這個問題中，不妨把9400當作路程差，根據(jù)公式求得追及時間.即（1000×10-

22、600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分鐘），所以，經(jīng)過20分鐘可開炮射擊“敵”艦【例7】（難度等級 ）小紅和小藍練習跑步，若小紅讓小藍先跑20米，則小紅跑5秒鐘就可追上小藍；若小紅讓小藍先跑4秒鐘，則小紅跑6秒鐘就能追上小藍.小紅、小藍二人的速度各是多少？【分析與解】小紅讓小藍先跑20米，則20米就是小紅、小藍二人的路程差，小紅跑5秒鐘追上小藍，5秒就是追及時間，據(jù)此可求出他們的速度差為20÷5=4（米/秒）；若小紅讓小藍先跑4秒，則小紅6秒可追上小藍，在這個過程中，追及時間為6秒，根據(jù)上一個條件，由

23、追及差和追及時間可求出在這個過程中的路程差，這個路程差即是小藍4秒鐘所行的路程，路程差就等于4×6=24（米），也即小藍在4秒內(nèi)跑了24米，所以可求出小藍的速度，也可求出小紅的速度.綜合列式計算如下：小藍的速度為：20÷5×6÷4=6（米/秒），小紅的速度為：6+4=10（米/秒）【例8】（難度等級 ）小明步行上學，每分鐘行70米.離家12分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)小明的文具盒忘在家中，爸爸帶著文具盒，立即騎自行車以每分鐘280米的速度去追小明.問爸爸出發(fā)幾分鐘后追上小明？【分析與解】爸爸要追及的路程：70×12=840（米）,爸爸與小明的速度差：280

24、-70=210（米/分）,爸爸追及的時間：840÷210=4（分鐘）【例9】（難度等級 ）上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？【分析與解】畫一張簡單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）.而爸爸騎的距離是 4 8 12（千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷43（倍）.按照這個倍數(shù)計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×324（千米）.但事實上，爸爸

25、少用了8分鐘，騎行了41216（千米）.少騎行24-168（千米）.摩托車的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸騎行16千米需要16分鐘.881632.所以這時是8點32分?！纠?0】（難度等級 ）甲車每小時行40千米，乙車每小時行60千米。兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，相遇后3時，甲車到達B地。求A，B兩地的距離?！痉治雠c解】 相遇后甲行駛了40×3=120千米，即相遇前乙行駛了120千米，說明甲乙二人的相遇時間是120÷60=2小時，則兩地相距（40+60）×2=200千米【例11】（難度等級 ）小紅和小強同時從家里出發(fā)相向而行。小紅每分鐘走

26、52米，小強每分鐘走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分鐘出發(fā)，但速度不變，小強每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強的家相距多遠? 【分析與解】 因為小紅的速度不變，相遇地點不變，所以小紅兩次走的時間相同，推知小強第二次比第一次少走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小強第二次走了14分，第一次走了18分，兩人的家相距（52+70）×18=2196（米）【例12】（難度等級 ）甲乙兩車分別從A、B兩地同時相向開出，4小時后兩車相遇，然后各自繼續(xù)行駛3小時，此時甲車距B地10千米，乙車距A地80千米問：甲車到達B地時，乙車還要經(jīng)過

27、多少時間才能到達A地?【分析與解】 由4時兩車相遇知，4時兩車共行A，B間的一個單程相遇后又行3時，剩下的路程之和108090（千米）應(yīng)是兩車共行431（時）的路程所以A，B兩地的距離是（1080）÷（43）×4360（千米）。因為7時甲車比乙車共多行801070（千米），所以甲車每時比乙車多行 70÷710（千米），又因為兩車每時共行90千米，所以每時甲車行 50千米，乙車行40千米行一個單程，乙車比甲車多用360÷40360÷5097218（時）1時48分【例13】（難度等級 ）甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分

28、鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離.【分析與解】若設(shè)甲、乙二人相遇地點為C，甲追及乙的地點為D，則由題意可知甲從A到C用6分鐘.而從A到D則用26分鐘，因此，甲走C到D之間的路程時，所用時間應(yīng)為：（26-6）=20（分）。同時，由上圖可知，C、D間的路程等于BC加BD.即等于乙在6分鐘內(nèi)所走的路程與在26分鐘內(nèi)所走的路程之和，為50×（266）=1600（米）.所以，甲的速度為1600÷2080（米/分），由此可求出A、B間的距離。50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷2080

29、（米/分）（80+50）×6130×6=780（米）【例14】（難度等級 ）小張從甲地到乙地，每小時步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時步行4千米.兩人同時出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離？【分析與解】畫一張示意圖（可讓學生先判斷相遇點在中點哪一側(cè)，為什么？）離中點1千米的地方是A點，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米小張比小王每小時多走（5-4）千米，從出發(fā)到相遇所用的時間是2÷（5-4）2（小時）.因此，甲、乙兩地的距離是（5 4）×

30、218（千米）.【例15】（難度等級 ）甲、乙兩車分別同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A地95千米處相遇相遇后繼續(xù)前進到達目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇求A、B兩地間的距離？【分析與解】畫線段示意圖(實線表示甲車行進的路線，虛線表示乙車行進的路線)：可以發(fā)現(xiàn)第一次相遇意味著兩車行了一個A、B兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個A、B兩地間的距離當甲、乙兩車共行了一個A、B兩地間的距離時，甲車行了95千米，當它們共行三個A、B兩地間的距離時，甲車就行了3個95千米，即95×3=285（千米），而這285千米比一個A、B兩地間的距離多25千米，可得：95

31、15;3-25=285-25=260(千米) 第三講 行程之流水行船 【專題知識點概述】通常我們所接觸的行程問題可以稱作為“參考系速度為0”的行程問題，例如當我們研究甲乙兩人在一段公路上行走相遇時，這里的參考系便是公路，而公路本身是沒有速度的，所以我們只需要考慮人本身的速度即可。但是在流水行船問題中，我們的參考系將不再是速度為0的參考系，因為水本身也是在流動的，所以這里我們必須考慮水流速度對船只速度的影響. 一、基本概念順水速度=船速+水速， 逆水速度=船速-水速. ( 其中為船在靜水中的速度，為水流的速度)由上可得：船速=（順水速度+逆水速度）÷2；水速=（順水速度-逆水速度）&#

32、247;2.二、流水行船中的相遇與追及（1）兩只船在河流中相遇問題.當甲、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向開出，它們單位時間靠攏的路程等于甲、乙兩船速度和.這是因為：甲船順水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速.這就是說，兩船在水中的相遇問題與靜水中的及兩車在陸地上的相遇問題一樣，與水速沒有關(guān)系.（2）同樣道理，如果兩只船，同向運動，一只船追上另一只船所用的時間，也只與路程差和船速有關(guān)，與水速無關(guān).這是因為：甲船順水速度-乙船順水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速.也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水

33、速）=甲船速-乙船速.這說明水中追及問題與在靜水中追及問題一樣.由上述討論知，解流水行船問題，更多地是把它轉(zhuǎn)化為已學過的相遇和追及問題來解答【重點難點解析】1掌握流水行船的基本概念2掌握流水行船中的相遇與追及【競賽考點挖掘】1流水行船中的相遇與追及【習題精講】【例1】（難度等級 ）一艘輪船在兩個港口間航行，水速為每小時6千米，順水下行需要4小時，返回上行需要7小時求：這兩個港口之間的距離?【分析與解】 （船速+6）×4=（船速-6）×7，可得船速=22，兩港之間的距離為：（22+6）×4=112千米【例2】（難度等級 ）兩個碼頭相距352千米，一船順流而下，行完全

34、程需要11小時.逆流而上，行完全程需要16小時，求這條河水流速度?！痉治雠c解】 （352÷11-352÷16）÷2=5（千米/小時）【例3】（難度等級 ）甲、乙兩港間的水路長208千米，一只船從甲港開往乙港，順水8小時到達，從乙港返回甲港，逆水13小時到達，求船在靜水中的速度和水流速度。【分析與解】順水速度：208÷8=26（千米/小時），逆水速度：208÷13=16（千米/小時），船速：（26+16）÷2=21（千米/小時），水速：（2616）÷2=5（千米/小時）【例4】（難度等級 ）船往返于相距180千米的兩港之間，順

35、水而下需用10小時，逆水而上需用15小時。由于暴雨后水速增加，該船順水而行只需9小時，那么逆水而行需要幾小時?【分析與解】本題中船在順水、逆水、靜水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影響，水速發(fā)生變化，要求船逆水而行要幾小時，必須要先求出水速增加后的逆水速度.船在靜水中的速度是：（180÷10+180÷15）÷2=15（千米/小時）.暴雨前水流的速度是：（180÷10-180÷15）÷2=3（千米/小時）.暴雨后水流的速度是：180÷9-15=5（千米/小時）.暴雨后船逆水而上需用的時間為：180÷（

36、15-5）=18（小時）【例5】（難度等級 ）甲、 乙兩艘小游艇， 靜水中甲艇每小時行 2.2 千米， 乙艇每小時行 1.4 千米。 現(xiàn)甲、乙兩艘小游艇于同一時刻相向出發(fā)，甲艇從下游上行， 乙艇從相距 18 千米的上游下行，兩艇于途中相遇后，又經(jīng)過 4 小時， 甲艇到達乙艇的出發(fā)地。問航道上水流速度為每小時多少千米?【分析與解】 18÷(2.2+1.4)=5(小時)，所以經(jīng)過 5 小時后兩艇相遇。 2.2-18÷(5+4)=0.2(千米/小時)，所以航道上水流速度為每小時 0.2 千米【例6】（難度等級 ）乙船順水航行2小時，行了120千米，返回原地用了4小時.甲船順水航行

37、同一段水路，用了3小時.甲船返回原地比去時多用了幾小時?【分析與解】 乙船順水速度：120÷2=60（千米/小時）.乙船逆水速度：120÷4=30（千米/小時）。水流速度：（60-30）÷215（千米/小時）.甲船順水速度：12O÷34O（千米/小時）。甲船逆水速度：40-2×15=10（千米/小時）.甲船逆水航行時間：120÷10=12（小時）。甲船返回原地比去時多用時間：12-3=9（小時）【例7】（難度等級 ）甲、乙兩船在靜水中速度分別為每小時24千米和每小時32千米，兩船從某河相距336千米的兩港同時出發(fā)相向而行，幾小時相遇？

38、如果同向而行，甲船在前，乙船在后，幾小時后乙船追上甲船？【分析與解】相遇時用的時間：336÷（24+32）=6（小時），追及用的時間（不論兩船同向逆流而上還是順流而下）：336÷（3224）42（小時）【例8】（難度等級 ）小剛和小強租一條小船，向上游劃去，不慎把水壺掉進江中，當他們發(fā)現(xiàn)并調(diào)過船頭時，水壺與船已經(jīng)相距2千米，假定小船的速度是每小時4千米，水流速度是每小時2千米，那么他們追上水壺需要多少時間？【分析與解】此題是水中追及問題，已知路程差是2千米，船在順水中的速度是船速+水速.水壺飄流的速度只等于水速，所以速度差=船順水速度-水壺飄流的速度=（船速+水速）-水速=

39、船速.路程差÷船速=追及時間 ，2÷4=0.5（小時）【例9】（難度等級 ）乙兩船的船速分別為每小時22千米和每小時18千米兩船先后從同一港口順水開出，乙船比甲船早出發(fā)2小時，如果水速是每小時4千米，問：甲船開出后幾小時能追上乙船？【分析與解】要求甲船追上乙船所用的時間，根據(jù)公式：路程差=速度差×追及時間，關(guān)鍵要求出路程差(速度差由題干所給條件容易求出)，即甲出發(fā)時，乙已經(jīng)行駛過的路程，為順水行程問題乙船先行的路程為：(18+4)x2=44(千米)，追及時間為：44÷(22-18)=44+4=11(小時)?！纠?0】（難度等級 ）某河有相距45千米的上、

40、下兩碼頭，每天定時有甲、乙兩艘船速相同的客輪分別從兩碼頭同時出發(fā)相向而行.一天甲船從上游碼頭出發(fā)時掉下一物，此物浮于水面順水飄下，4分鐘后，與甲船相距1千米.預計乙船出發(fā)后幾小時可以與此物相遇?【分析與解】 船速：1000÷4=250（米/分），相遇時間：45000÷250=180（分）=3（小時）【例11】（難度等級 ）甲、乙兩船在靜水中速度相同，它們同時自河的兩個碼頭相對開出，3小時后相遇已知水流速度是4千米小時求：相遇時甲、乙兩船航行的距離相差多少千米? 【分析與解】 為了求出相遇時兩船航行的距離相差多少，若考慮將兩船的各自航程分別求出的話，需根據(jù)：航程=速度

41、5;時間，要求出兩船的順水速度或逆水速度，即要求兩船(在靜水中)的船速而由已知條件分析，船速無法求出下面我們來分析一下，在兩船的船速相同的情況下，一船順水，一船逆水，它們的航程差是什么造成的，不妨設(shè)甲船順水，乙船逆水甲船的順水速度=船速+水速，乙船的逆水速度=船速一水速，故：速度差=(船速+水速)一(船速一水速)=2×水速，即：每小時甲船比乙船多走2×4=8(千米)3小時的距離差為3×8=24(千米)【例12】（難度等級 ）甲、乙兩船從相距64千米的A、B、兩港同時出發(fā)相向而行，2小時相遇；若兩船同時同向而行，則甲用16小時趕上乙問：甲、乙兩船的速度各是多少？【分

42、析與解】 兩船的速度和=64÷2=32 (千米小時)，兩船的速度差=64÷16=4 (千米小時)，根據(jù)和差問題，分別求甲、乙兩船的速度：18和14千米小時【例13】（難度等級 ）江上有甲、 乙兩碼頭， 相距 15 千米，甲碼頭在乙碼頭的上游， 一艘貨船和一艘游船同時從甲碼頭和乙碼頭出發(fā)向下游行駛， 5 小時后貨船追上游船。 又行駛了 1 小時， 貨船上有一物品落入江中（該物品可以浮在水面上）， 6 分鐘后貨船上的人發(fā)現(xiàn)了，便掉轉(zhuǎn)船頭去找， 找到時恰好又和游船相遇。 則游船在靜水中的速度為每小時多少千米.【分析與解】此題可以分為幾個階段來考慮。 第一個階段是一個追及問題。在貨

43、艙追上游船的過程中， 兩者的追及距離是 15 千米， 共用了 5 小時，故兩者的速度差是 15÷5=3 千米。由于兩者都是順水航行， 故在靜水中兩者的速度差也是 3 千米。 在緊接著的 1 個小時中， 貨船開始領(lǐng)先游船， 兩者最后相距 3×1=3千米.這時貨船上的東西落入水中， 6 分鐘后貨船上的人才發(fā)現(xiàn)。 此時貨船離落在水中的東西的距離已經(jīng)是貨船的靜水速度1/10 千米， 從此時算起， 到貨船和落入水中的物體相遇， 又是一個相遇問題， 兩者的速度之和剛好等于貨船的靜水速度，所以這段時間是貨船的靜水速度1/10÷貨船的靜水速度=1/10小時。 按題意，此時也剛好遇

44、上追上來的游船。貨船開始回追物體時，貨船和游船剛好相距3+3×1/10=33/10 千米，兩者到相遇共用了 1/10 小時，幫兩者的速度和是每小時 33/10÷1/10=33 千米，這與它們兩在靜水中的速度和相等。（解釋一下）又已知在靜水中貨船比游船每小時快 3 千米，故游船的速度為每小時（33-3）÷2=15 千米【例14】（難度等級 ）一條船往返于甲、乙兩港之間，已知船在靜水中的速度為每小時9千米，平時逆行與順行所用的時間比為2:1。一天因為下暴雨，水流速度是原來的2倍，這條船往返共用了10小時，甲、乙兩港相距多少千米？【分析與解】平時逆行與順行所用的時間比為

45、2:1，設(shè)水流的速度為x，則9+x=2（9-x），x=3。那么下暴雨時，水流的速度是3×2=6（千米），順水速度就是9+6=15（千米），逆水速度就是9-6=3（千米）。逆行與順行的速度比是15:3=5:1。逆行用的時間就是10×5/(1+5)=25/3 (小時)，兩港之間的距離是3×25/3=25（千米）.【例15】（難度等級 ）A 、 B 兩景點相距 10 千米， 一艘觀光游船從 A 景點出發(fā)抵達 B 景點后立即返回， 共用 3 小時 已知第一小時比第三小時多行 8 千米， 那么水速為每小時 千米？【分析與解】第一小時比第三小時多行， 所以去的時候順水， 回的

46、時候逆水因為第一小時比第三小時多行8千米， 所以第一小時行的肯定超過8千米 如果第一小時之內(nèi)尚未到達 B 景點， 則后兩小時行的總和超過10千米， 第三小時要逆水而行超過5千米(不然的話逆水而行一小時不超過5千米， 第二小時又要先順行一段， 又要逆行超過5千米， 這不可能在一小時內(nèi)完成)， 但這樣的話第一小時比第三小時多行的將少于8千米， 矛盾 所以第一小時之內(nèi) 已經(jīng)到達B景點了， 后兩小時都逆水行駛 那么后兩小時行的路程相等， 為20 ÷（8-3）=4 千米， 第一小時行了 4+ 8 =12 千米 所以逆水速度為4千米/時， 逆水行2千米需要半小時， 所以第一小時的前半小時順水行了

47、 10千米， 順水速度為20千米/時， 所以水速為(20 4 )÷2 =8千米/時 第四講 行程之火車問題 【專題知識點概述】在行程問題這個大家族中，除了我們常常研究的相遇與追擊外，還有三大類我們必須了解的問題：火車過橋、流水行程和時鐘問題.它們雖然也涉及速度、時間、路程這三個基本關(guān)系，但在應(yīng)用中要兼顧考慮一些其它因素，譬如：火車車長、水流速度等等.其中火車過橋、流水行程是我們在以前的學習中已經(jīng)有所接觸的內(nèi)容，在下面的學習中我們先回憶鞏固原有基本概念，而后相應(yīng)的拓展提高！ 一、解火車過橋問題常用方法 火車過橋時間是指從車頭上橋起到車尾離橋所用的時間，因此火車的路程是橋長與車身長度之和

48、. 火車與人錯身時，忽略人本身的長度，兩者路程和為火車本身長度；火車與火車錯身時，兩者路程和則為兩車身長度之和. 火車與火車上的人錯身時，只要認為人具備所在火車的速度，而忽略本身的長度，那么他所看到的錯車的相應(yīng)路程仍只是對面火車的長度.對于火車過橋、火車和人相遇、火車追及人、以及火車和火車之間的相遇、追及等等這幾種類型的題目，在分析題目的時候一定得結(jié)合著圖來進行.【重點難點解析】1火車過橋要謹記車身長度2火車與多人多次相遇與追及【競賽考點挖掘】1. 火車與多人多次相遇與追及【習題精講】【例1】（難度等級 ）慢車的車身長是142米，車速是每秒17米，快車車身長是173米，車速是每秒22，慢車在前

49、面行駛，快車從后面追上到完全超過慢車需要多少時間?【分析與解】 根據(jù)題目的條件可知，本題屬于兩列火車的追及情況，（142173）÷（2217）63（秒）【例2】（難度等級 ）一列客車長190米，一列貨車長240米，兩車分別以每秒20米和23米的速度相向行進，在雙軌鐵路上，兩車從車頭相遇到車尾相離共需要多少時間.【分析與解】 根據(jù)題目的條件可知，本題屬于兩列火車相遇的情況，（190240）÷（2023）=10（秒）【例3】（難度等級 ）一列長72米的列車，追上長108米的貨車到完全超過用了10秒，如果貨車速度為原來的1.4倍，那么列車追上到超過貨車就需要15秒。貨車的速度是每

50、秒多少米？【分析與解】根據(jù)題目的條件，可求出兩列火車原來的速度之差，當貨車速度為原來的1.4倍后，也可求出列車與加速后的貨車速度之差，再根據(jù)前后兩次速度之差的變化，就可求出貨車的速度。兩列火車的長度和：72+108=180（米）列車與貨車原來速度差：180÷10=18（米）列車與加速后貨車的速度差：180÷15=12（米）貨車的速度是：（18-12）÷（1.4-1）=15（米）【例4】（難度等級 ）長180米的客車速度是每秒15米，它追上并超過長100米的貨車用了28秒，如果兩列火車相向而行，從相遇到完全離開需要多少時間？【分析與解】280÷28=10（

51、米）貨車速度：15-10=5（米）兩列火車從相遇到完全離開所需的時間：280÷（155）14（秒）【例5】（難度等級 ）快車長106米，慢車長74米，兩車同向而行，快車追上慢車后，又經(jīng)過1分鐘才超過慢車；如果相向而行，車頭相接后經(jīng)過12秒兩車完全離開。求兩列火車的速度?！痉治雠c解】 根據(jù)題目的條件，可求出快車與慢車的速度差和速度和，再利用和差問題的解法求出快車與慢車的速度。兩列火車的長度之和：10674=180（米）快車與慢車的速度之差：180÷60=3（米）快車與慢車的速度之和：180÷1215（米）快車的速度：（153）÷2=9（米）慢車的速度：（15-3）÷26（米）【例6】（難度等級 ）方方以每分鐘60米的速度沿鐵路邊步行，一列長252米的貨車從對面而來，從他身邊通過用了12秒鐘，求列車的速度?【分析與解】 20m/s,可以把火車就看成兩點，頭和尾，頭遇到人的時候?qū)嶋H上尾和人相距252m，12s后人和尾相遇，人走1