全國通用2017屆高考數(shù)學一輪總復習第十章圓錐曲線10.1橢圓及其性質課件理

1、10.1橢圓及其性質高考理數(shù)高考理數(shù)1.橢圓的標準方程(1)焦點在x軸上:+=1(ab0);焦點在y軸上:+=1(ab0).(2)統(tǒng)一方程:+=1(m0,n0),由m,n的大小來判斷焦點在哪個坐標軸上.若焦點位置不確定,則可設橢圓方程為Ax2+By2=1(A0,B0且AB).22xa22yb22xb22ya2xm2yn知識清單3.點P(x0,y0)和橢圓+=1的關系(1)P(x0,y0)在橢圓內(nèi)+1.【知識拓展】【知識拓展】1.離心率e=(0,1),離心率越小,橢圓越圓;反之,橢圓越扁.2.若P為橢圓上的動點,F1PF2=,稱PF1F2為焦點三角形,則:(1)=c|yP|=b2=b2tan.(

2、2)PF1F2的周長=2(a+c).(3)點P為短軸端點時,F1PF2最大.3.設P,A,B是橢圓上不同的三點,其中A,B關于點(0,0)對稱,則kPAkPB=-.22xa22yb202xa202yb202xa202yb202xa202ybca21ba211bc1 2PFFSsin1cos222ba高考對橢圓定義的考查通常以客觀題的形式出現(xiàn),難度中等,考查形式主要有兩種:一是根據(jù)定義判斷曲線的軌跡,二是根據(jù)定義進行計算,常結合正弦定理、余弦定理等知識解焦點三角形.例例1 (2015東北三校二聯(lián),8)設F1、F2分別為橢圓+y2=1的左、右焦點,點P在橢圓上,且|+|=2,則F1PF2=()A.

3、B.C.D.解析解析由橢圓方程,得a=2,c=,設|=m,|=n.由橢圓定義知m+n=2a=4.因為|+|=2,所以|+|2=12,即m2+n2+2mncosF1PF2=12,在F1PF2中,由余弦定理,得m2+n2-2mncosF1PF2=(2c)2=12,24x1PF2PF3643231PF2PF1PF2PF31PF2PF突破方法方法方法1橢圓定義的應用橢圓定義的應用+,得m2+n2=12,又由得m2+n2+2mn=16,從而得mn=2,將m2+n2=12,mn=2代入,解得cosF1PF2=0,所以F1PF2=,故選D.答案答案D2求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過程是先定型,

4、再定量,即首先確定焦點所在位置,然后再根據(jù)條件建立關于a,b的方程組.如果焦點位置不確定,那么要考慮是否有兩解.有時為了解題方便,也可把橢圓方程設成mx2+ny2=1(m0,n0,mn)的形式.解題步驟如下:方法方法2橢圓的標準方程橢圓的標準方程例例2 (2013課標全國,10,5分)已知橢圓E:+=1(ab0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交E于A,B兩點.若AB的中點坐標為(1,-1),則E的方程為()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析解析直線AB的斜率k=,設A(x1,y1),B(x2,y2),則-得=-.即k=-,=.22xa22yb245x236y236x227y22

5、7x218y218x29y0 13 1122211222222221,1,xyabxyab1212yyxx22ba1212xxyy22ba2222ba12又a2-b2=c2=9,由得a2=18,b2=9.所以橢圓E的方程為+=1,故選D.答案答案 D2-1 (2015陜西西安八校二聯(lián),20,12分)如圖,橢圓C:+=1(ab0)的右焦點為F,右頂點、上頂點分別為A、B,且|AB|=|BF|.(1)求橢圓C的離心率;(2)過橢圓C內(nèi)一點M的直線l交橢圓C于P、Q兩點,且M為線段PQ的中點,OPOQ.求218x29y22xa22yb5216 2,17 17直線l的方程及橢圓C的方程.解析解析(1)

6、由|AB|=|BF|,得=a,即4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2,e=.(2)由(1)知橢圓C:+=1.設P(x1,y1),Q(x2,y2),M是線段PQ的中點,x1+x2=-,y1+y2=,由+=1,+=1,得+=0,即+=0,+(y1-y2)=0,從而kPQ=2,5222ab52ca32224xb22yb16 2,17 1732174172124xb212yb2224xb222yb221224xxb22122yyb12122()()4xxxxb12122()()yyyyb1232()174xx4171212yyxx進而可得直線l的方程為y-=2,即2x-y+2=0,

7、由x2+4(2x+2)2-4b2=0,即17x2+32x+16-4b2=0.=322+1617(b2-4)0b.x1+x2=-,x1x2=.OPOQ,=0,即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(x1+x2)+4=0.從而-+4=0,解得b=1.滿足題意.橢圓C的方程為+y2=1.2171617x 2222220,14xyxybb2 17173217216417bOP OQ25(164)17b1281724x橢圓的性質包括:范圍、對稱性、頂點、離心率等,常考內(nèi)容是離心率,解決離心率問題的關鍵在于構造關于a與c的等式或不等式,同時還要關注其他幾個性質

8、的應用.求橢圓離心率或其范圍的方法:(1)求a,b,c的值,由e2=1-直接求.(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解.例例3 (2013遼寧,15,5分)已知橢圓C:+=1(ab0)的左焦點為F,C與過原點的直線相交于A,B兩點,連結AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cosABF=,則C的離心率e=.解析解析如圖,設右焦點為F1,|BF|=x,則cosABF=.解得x=8,故AFB=90.22ca222aba2ba22xa22yb4522210620 xx45方法方法3橢圓的幾何性質橢圓的幾何性質由橢圓及直線關于原點對稱可知|AF1|=8,且FAF1=90,FAF1是直角三角形,|F1F|=10,故2a=8+6=14,2c=10,e=.答案答案 3-1 (2013山東威海期末)已知三個數(shù)2,m,8構成一個等比數(shù)列,則圓錐曲線+=1的離心率為()A.B.C.或D.或答案答案 Cca57572xm22y2232232262解析解析因為三個數(shù)2,m,8構成一個等比數(shù)列,所以m2=28=16,即m=4