高中數(shù)學(xué)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

1、0m)2極值點(diǎn)偏移問(wèn)題沈陽(yáng)市第十一中學(xué)數(shù)學(xué)組：趙擁權(quán):極值點(diǎn)偏移(俗稱峰谷偏)問(wèn)題的定義若1w ?則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上極值點(diǎn) 2，(1)等？?，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上極值點(diǎn)？?左偏移;等< ?，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上極值點(diǎn)？?右偏移;：極值點(diǎn)偏移的判定定理峰偏右)谷偏左)峰偏左)谷偏右)x=x=?+?對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a,b)上只有一個(gè)極大(小)值點(diǎn) 分另1J為？且a < ?< ?<?<b.=0(f(x)=m)的解對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a,b)上只有一個(gè)極大(小) 解分別為？?且a< ?&

2、lt;?<b.(1)若f(?) < ?(2?- ?)則?2> ?即函數(shù)f(x)在區(qū)間上(a,b)極小值點(diǎn)？?左偏；(即若f(?) > ?(2?- ?)則?1薩> ?即函數(shù)f(x)在區(qū)間上(a,b)極大值點(diǎn)？?左偏；(即若f(?) > ?(2?- ?)則?1產(chǎn)< ?即函數(shù)f(x)在區(qū)間上(a,b)極小值點(diǎn)？?右偏；(即若f(?) < ?(2?-?1+-?2- < ?即函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上極大值點(diǎn)？?右偏；(即?+?y=my=f(x)拓展:ab1)若f(ax)f(bx),則f(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱；特別地，若2f(ax)f(ax)

3、(或f(x)=f(2a-x),則f(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱2)若函數(shù)f(x)滿足？xC(0,a)有下列之一成立：f(x)在(0,a)遞增,在(a,2a)遞減，且f(a-x)<(>)f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)f(x)在(0,a)遞減，在(a,2a)遞增，且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)則函數(shù)f(x)在(0,2a)的圖象關(guān)于直線x=a偏移(偏對(duì)稱)(俗稱峰谷偏函數(shù))其中極大值左偏(或右偏)也稱峰偏左(或右)極小值偏左(或偏右)也稱谷偏左(或右)；性質(zhì)：1)f(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱若？?,？

4、C(0,2?)?W?則？+?=2?R=>f(?)二?(?,(?(?)+?(?)=0,?(竽)=0);2)已知函數(shù)是滿足條件的極大值左偏(峰偏左)若?,?C(0,2?)?w?則f(?)=?(?則?1+?2?+?>2a,及？(-2-2)<0極值點(diǎn)偏移解題步驟：求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)？；構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x+?)-f(?-?)(F(x)=f(?-?)-f(?+?),F(x)=f(x+2?)-f(-?),F(x)=f(x)-f(2?-?)確定F(x)單調(diào)性結(jié)合F(0)=0(F(-?)=0,F(?)=0)判斷F(x)符號(hào)從而確定f(x+?),f(?-?)f(x+2?)與f(-?)；

5、f(x)與f(2?-?)的大小關(guān)系;答題模式：已知函數(shù)y=f(x)滿足f(?)=?(囹,?為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)，求證:?+?<2?求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)？；構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x+?)-f(?-?)確定F(x彈調(diào)性判斷F(x)符號(hào)從而確定f(x+?),f(?-?)的大小關(guān)系；假設(shè)F(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增則F(x)>F(0)=0,從而得到x>0時(shí)f(x+?)>f(?.?)1.(2016年全國(guó)I高考)已知函數(shù)限=(x-2)1+成工iy有兩個(gè)零點(diǎn).設(shè)xi,x2是，(G的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：_+x2<2.2.(2010年高考天津卷理科21)(本小題滿分14分)

6、已知函數(shù)f(x)=xe-x(xRO.(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(n)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，證明當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>g(x)(出)如果為x2，且f(x1)f(x2),證明x1x22證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex2令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)xex(x2)ex2于是F'(x)(x1)(e2x21)ex當(dāng)x>1時(shí)，2x-2>0,從而e2x-210,又ex0,所以F'(x)>0,從而函數(shù)F(x)在1,+°°)是增函數(shù)。又F(1

7、)=e-1e-10,所以x>1時(shí)，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).m)證明：(1)若(x11)(x21)0,由()及眠1)f(x2),則"x21.與xx2矛盾。(2)若(x1)(x21)0,由()及f(x1)f(x2)，得X*2與x2矛盾。根據(jù)(1)(2)得(x11)(x21)0,不妨設(shè)x11,x21.由(n)可知，f(x2)>g(x2)，則g(x2)=f(2-x2),所以f(x2)>f(2-x2),從而f(x1)>f(2-x2).因?yàn)閤21,所以2x21,又由(I)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,1)內(nèi)事增函數(shù)，所以x1>2x

8、2,即xx2>2.23 .已知函數(shù)f(x)lnxax(2a)x.(I)討論f(x)的單倜性；_1一，11(II)設(shè)a0,證明：當(dāng)0x時(shí)，f(一x)f(x);aaa(III)若函數(shù)yf(x)的圖像與x軸交于A,B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,證明：f(xo) v 0.1_解：(I) f(x)的定義域?yàn)?0,), f (x) 2ax (2 a)x(i)若a 0,則f (x) 0,所以f(x)在(0,)單調(diào)增加.1 (ii)若a 0,則由f(x)0得x ,且當(dāng)a1 一一一 1 一一x (0,)時(shí)，f(x) 0,當(dāng)x 時(shí)，f(x) 0.aa(2x 1)(ax 1)x-1 1所以f (x)在(

9、0,一)單調(diào)增加，在(-, aa)單調(diào)減少.(II)設(shè)函數(shù)g (x)1f( x)a.1 if (一 x),則 ag(x)ln(1 ax)ln(1 ax)g (x)a1 axa 2a1 ax2ax,C 322a x2 2 .1 a x1x一時(shí),g(x)0,而g(0)0,所以g(x)0.a一，.1一，一1一1故當(dāng)0x一時(shí)，f(x)f(x).8分aaa(III)由(I)可得，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yf(x)的圖像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn),1一1故a0,從而f(x)的最大值為f(一)，且f(一)0.aa1不妨設(shè)A(x1,0),B(x2,0),0x1x2,則0x1一x2.2由(II)得 f (x1)ax1x212a

10、a一，11、一，、一一2一f(一一x1)f(x1)0.從而x2x1,于是x0aaa由(I)知，f(x0)0.14 .已知函數(shù)f(x)=xlnx-2?-?(mCR)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)？?,？?且？<?求證二?>?5 .已知函數(shù)f(x)=?-?eR)若f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)？?,？?且？<?其極值點(diǎn)為？怵證:?+?>2?？+?<2?？?<1(已知函數(shù)f(x)=?"?(aCR),其圖象與軸交于A(?,0)B(?,0)兩點(diǎn)且？<?,求證：?(V?)<0)6 .已知函數(shù)f(x)=ln(x+a)-?>1)若f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)?,?且？

11、<?求證：?+?<07 .已知函數(shù)f(x)=a-1?-?R)若f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)？?,？?且？<?求證：2<?+?<3?-1-128 .已知函數(shù)f(x)=xlnxf(?)=f(?)且0<?<?<1求證:?<?+?<1一一21<V?+V?<分?9 .已知函數(shù)f(x)=lnx-?CR)若f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)？,？?且？<?求證：？?>?10 .已知函數(shù)f(x)=x-?(?>0)f(?)=f(?)=0且？<?求證：?1<?211 .已知函數(shù)f(x)=?-?a,bCR)若f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)？

12、?,？且？<?求證：？：1?<32?12 .已知函數(shù)f(x)=?-(?-2)?qa?R)若f(x)=c有兩個(gè)不同根？?,？?求證：?+?殳?(-)>013 .已知函數(shù)f(x)=alnx-?2(aCR)令g(x)=f(x)+ax,g(x)在(0,3)單調(diào)遞增求a范圍；當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)h(x)=f(x)-mx的圖象與軸交于A(?,0)B(?,0)且0<?<?又?(?是h(x)導(dǎo)函數(shù)，a>0,3>0且aW浦足a+3=1證明：？(?+?<014 .已知函數(shù)f(x)=(lnx-k-1)?(kCR)若x>1時(shí)討論f(x)的單調(diào)性，并確定其極值；若對(duì)?x

13、?都有f(x)<4lnx,求k范圍；若？w?且f(?)=f(?)證明:?<?15 .已知函數(shù)f(x)=a?+?,>0)討論f(x)的單調(diào)性；f(x)的極值點(diǎn)為？盼存在？?,?£(0,+OO)且？半?求證：?+?>2?;16 .已知函數(shù)f(x)=?3-1+?,(aCR);討論f(x)的單調(diào)性； 若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)?,?, ?< ?證明:?(?3?(?)> ;?;.?,.17 .已知函數(shù)f(x)=x+alnx與g(x)=3-?fc(1,1)處有相同切線;若y=2(x+n)與y=f(x)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求n范圍；若F(x)=3(x-?)+?-2?有

14、兩個(gè)極值點(diǎn)?,?,?<?證明：F(?)<?-1;18 .已知函數(shù)g(x)=-a?2+(2-?)?+?(aCR)討論f(x)的單調(diào)性；若f(x)=g(x)+(a+1)?-2?有兩個(gè)不同零點(diǎn)?,?,證明：？?(手2)<0;19 .已知函數(shù)g(x)=x?2-?)?,(aR);討論g(x)的單調(diào)性；若f(x)=lng(x)-a?與y=m,(mCR)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)A、B,線段A、B中點(diǎn)為？證明：?(?)<0；20 .已知函數(shù)f(x)=a?-?多圖象的一條切線為x軸；求a值;令g(x)=|?+?(?)|若存在不同？?,？?滿足g(?)=g(?),證明：?<121.已知函數(shù)F(

15、x)與f(x)=lnx關(guān)于直線y=x對(duì)稱；若xf(x)>ax-1又?xC(0,+8)恒成立，求a最大值;設(shè)f(x)?F(x)=1在(1,+8)的實(shí)根為？，m(x)=?(1<?w?)一！"?)若在區(qū)間?(?)')?+?一(1,+oo)上存在m(?)=m(?,求證：2>?1C22.已知函數(shù)f(x)=?-?-?(aCR)；若函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b,求a,b的值若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；如果函數(shù)g(x)=f(x)-(a-2)?有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)？?,？?,證明：寫2<ln2a;23.已知函數(shù)f(x)=?-(a已)x-alnx(aCR)；討論f(x)的單調(diào)性；?設(shè)函數(shù)g(x)=-?3-?+?-了若？a,3C(0,a使得|?-?(?)<?能立求實(shí)數(shù)a取值范圍；若方程f(x)=c有兩個(gè)