高等數(shù)學(xué)(微積分)第三章第六節(jié)

1、一、邊際的概念一、邊際的概念二、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的邊際函數(shù)二、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的邊際函數(shù)五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題三、彈性的概念三、彈性的概念 第六節(jié)第六節(jié) 邊際與彈性邊際與彈性四、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)四、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù) 一、 邊際的概念如如果果函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，則則在在),(00 xxx內(nèi)內(nèi)的的平平均均變變化化率率為為xy；在在0 xx 處處的的瞬瞬時(shí)時(shí)變變化化率率為為 )()()(lim0000 xfxxfxxfx ， 經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)學(xué)中中稱稱它它為為)(xf在在0 xx 處處的的邊邊際際函函數(shù)數(shù)值值. 定義定義1例例1解解1. 邊際成本邊際成本00()()(

2、)()QQC QCC QQC QCQLimLimQQ 總 成 本 函 數(shù)的 導(dǎo) 數(shù)稱 為 邊 際 成 本 。1)邊際成本邊際成本二、 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的邊際函數(shù)它表示：假定已經(jīng)生產(chǎn)了它表示：假定已經(jīng)生產(chǎn)了Q件產(chǎn)品，再生產(chǎn)一件產(chǎn)品件產(chǎn)品，再生產(chǎn)一件產(chǎn)品所增加的成本，即生產(chǎn)最后一個(gè)單位的產(chǎn)品所花費(fèi)的所增加的成本，即生產(chǎn)最后一個(gè)單位的產(chǎn)品所花費(fèi)的成本。成本。例例 2 2 設(shè)設(shè)某某產(chǎn)產(chǎn)品品生生產(chǎn)產(chǎn)Q單單位位的的總總成成本本為為12001100)(2QQC ， 求求：( (1 1) )生生產(chǎn)產(chǎn) 9 90 00 0 個(gè)個(gè)單單位位的的總總成成本本和和平平均均成成本本； ( (2 2) )生生產(chǎn)產(chǎn) 9 90 00

3、 0 個(gè)個(gè)單單位位到到 1 10 00 00 0 個(gè)個(gè)單單位位時(shí)時(shí)的的總總成成本本的的平平均均變變化化率率； ( (3 3) )生生產(chǎn)產(chǎn) 9 90 00 0 個(gè)個(gè)單單位位的的邊邊際際成成本本，并并解解釋釋其其經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義. . 解解(1)生產(chǎn)生產(chǎn)900個(gè)單位時(shí)的總成本為個(gè)單位時(shí)的總成本為177512009001100)(2900 QQC平均成本為平均成本為99. 19001775)(900 QQC（2）生產(chǎn)）生產(chǎn)900個(gè)單位到個(gè)單位到1000個(gè)單位時(shí)總成本的個(gè)單位時(shí)總成本的 平均變化率為平均變化率為58. 1100177519939001000)900()1000()( CCQQC5 .

4、1)(900,60012002)()3(900 QQCQQQQC時(shí)時(shí)的的邊邊際際成成本本當(dāng)當(dāng)邊邊際際成成本本函函數(shù)數(shù)2. 邊際收益邊際收益定義：定義：.)()()()(00稱稱為為邊邊際際收收益益函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)總總收收益益函函數(shù)數(shù)QQRQQRLimQRLimQRQRQQ )()()()()()(QPQQPQRQPQPQQRQPPP ，因因此此為為價(jià)價(jià)格格，設(shè)設(shè)它表示：假定已經(jīng)銷售了它表示：假定已經(jīng)銷售了Q件產(chǎn)品，再銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加件產(chǎn)品，再銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總收益，也就是銷售最后一個(gè)單位產(chǎn)品所得到的收入，即最后的總收益，也就是銷售最后一個(gè)單位產(chǎn)品所得到的收入，即最后那個(gè)單位產(chǎn)

5、品的售價(jià)。那個(gè)單位產(chǎn)品的售價(jià)。例例 3 設(shè)設(shè)某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的需需求求函函數(shù)數(shù)為為520QP ， 其其中中P為為價(jià)價(jià)格格，Q為為銷銷售售量量，求求銷銷售售量量為為 15 個(gè)個(gè)單單位位時(shí)時(shí)的的總總收收益益，平平均均收收益益與與邊邊際際收收益益并并求求銷銷售售量量從從 15 個(gè)個(gè)單單位位增增加加到到 20 個(gè)個(gè)單單位位時(shí)時(shí)收收益益的的平平均均變變化化率率 解解520)(2QQQQPR 總總收收益益為為1715255)(1515 QQQQRR平平均均收收益益255)520(1515215 QQQQR總總收收益益?zhèn)€個(gè)單單位位時(shí)時(shí)銷銷售售15152()(20)145QQR QQ邊際收益1352553201

6、520)15()20(2015 RRQR化化率率為為個(gè)個(gè)單單位位時(shí)時(shí)收收益益的的平平均均變變個(gè)個(gè)單單位位增增加加到到當(dāng)當(dāng)銷銷售售量量從從解解)60(10)(2 QQePQQRQ收收益益函函數(shù)數(shù))60()2(5)(2 QeQQRQ邊邊際際收收益益函函數(shù)數(shù)3. 邊際利潤邊際利潤定義：定義：.)()()()(00稱稱為為邊邊際際利利潤潤的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)總總利利潤潤函函數(shù)數(shù)QQLQQLLimQLLimQLQLQQ 邊際利潤表示：若已經(jīng)生產(chǎn)了邊際利潤表示：若已經(jīng)生產(chǎn)了Q單位產(chǎn)單位產(chǎn)品，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總利潤品，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總利潤 000)(,)()()()(,)()()(),()()

7、(QLQCQCQCQRQCQRQLQCQRQL時(shí)時(shí)與與邊邊際際成成本本決決定定邊邊際際利利潤潤可可由由邊邊際際收收入入顯顯然然則則邊邊際際利利潤潤為為之之差差即即與與總總成成本本函函數(shù)數(shù)等等于于總總收收益益函函數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)一一般般情情況況下下，總總利利潤潤函函)()()(QCQRQL則則邊邊際際利利潤潤為為,10250)(QQL 50)20()(20 LQLQ0)25()(25 LQLQ100)35()(35 LQLQ上述結(jié)果表明當(dāng)生產(chǎn)量為每月上述結(jié)果表明當(dāng)生產(chǎn)量為每月2020噸時(shí)，再增加一噸，利潤噸時(shí)，再增加一噸，利潤將增加將增加5050元，當(dāng)產(chǎn)量為每月元，當(dāng)產(chǎn)量為每月2525噸時(shí)，再增加一噸，

8、利潤不噸時(shí)，再增加一噸，利潤不變；當(dāng)產(chǎn)量為變；當(dāng)產(chǎn)量為3535噸時(shí)，再增加一噸，利潤將減少噸時(shí)，再增加一噸，利潤將減少100100此此處說明，對(duì)廠家來說，并非生產(chǎn)的產(chǎn)品越多，利潤越高處說明，對(duì)廠家來說，并非生產(chǎn)的產(chǎn)品越多，利潤越高. .解解1. 1. 彈性的定義彈性的定義三、彈性的概念定義定義)()(limlim0000000000 xfxxfxyxyxxyyxEyExxxx 即即 .彈性函數(shù)的定義彈性函數(shù)的定義.),()(lim/lim0)(),()(00彈彈性性函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)的的點(diǎn)點(diǎn)彈彈性性函函數(shù)數(shù)，簡簡稱稱在在區(qū)區(qū)間間為為函函數(shù)數(shù)，則則稱稱且且可可導(dǎo)導(dǎo)，在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)一一般般的的，若若函

9、函數(shù)數(shù)baxfyyxyyxxyxxyyExEyxfbaxfyxx 2 常見函數(shù)的彈性（常見函數(shù)的彈性（a,b,c, 為常數(shù)為常數(shù)）xxExxExxExxEaxxExaxbEaxbxfaxExbaEbaxfExaxEaxxfbaxaxExbaxEbaxxfExEcCxfxxtan)(cos,cot)(sin)6(ln)ln(ln)()5(ln)()()4()()()3()()()2(0)()1( 三三角角函函數(shù)數(shù)的的彈彈性性對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的彈彈性性指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的彈彈性性冪冪函函數(shù)數(shù)的的彈彈性性線線性性函函數(shù)數(shù)的的彈彈性性常常數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù) 3 彈性的四則運(yùn)算彈性的四則運(yùn)算 ExxEfEx

10、xEfExxfxfEExxEfExxEfExxfxfExfxfExxEfxfExxEfxfExxfxfE)()()()()3()()()()()2()()()()()()()()()1(2121212121221121 4 函數(shù)彈性的圖解方案函數(shù)彈性的圖解方案)22(tan)tan()( 圖圖即即上上各各點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線斜斜率率，的的幾幾何何意意義義為為所所示示曲曲線線邊邊際際函函數(shù)數(shù)mmxfy .)(tantantantantan)(,ExEyOAABAAxfyExEyExEyxxfmmm進(jìn)進(jìn)而而就就可可得得，和和，就就可可得得夾夾角角的的切切線線和和線線段段曲曲線線作作處處對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的彈彈

11、性性，通通過過則則在在曲曲線線上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)所所示示的的曲曲線線，數(shù)數(shù)如如果果我我們們知知道道了了一一條條函函則則若若考考慮慮彈彈性性的的絕絕對(duì)對(duì)值值，因因而而又又平平均均函函數(shù)數(shù)為為 m 圖圖 2 - 2)(,(xfxA)(xfy yyOxxB1. 1. 需求彈性需求彈性1)需求的價(jià)格彈性需求的價(jià)格彈性 需求的價(jià)格彈性是指當(dāng)價(jià)格變化一定的百分比以后引起需求的價(jià)格彈性是指當(dāng)價(jià)格變化一定的百分比以后引起的需求量的反應(yīng)程度的需求量的反應(yīng)程度.用公式表示為用公式表示為0dlim.ddpQPQPEPQPQ 四、 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)注注因?yàn)樾枨罅颗c價(jià)格的變化總沿著相反的方向，因?yàn)樾枨罅颗c價(jià)格的變化

12、總沿著相反的方向，需求的價(jià)格彈性算出來總是負(fù)值，為了討論方需求的價(jià)格彈性算出來總是負(fù)值，為了討論方便，取其絕對(duì)值。另外，在實(shí)際應(yīng)用中，也常便，取其絕對(duì)值。另外，在實(shí)際應(yīng)用中，也常用符號(hào)用符號(hào) 表示。表示。 例例1 1解解100dd PQ100020 QP時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)201002.1000dE 所 以時(shí)時(shí)的的彈彈性性當(dāng)當(dāng)，求求某某需需求求曲曲線線為為：203000100 PPQ(一一)幾種特殊的價(jià)格彈性幾種特殊的價(jià)格彈性從理論上來說，有以下四種特殊的需求彈性：從理論上來說，有以下四種特殊的需求彈性：).32(0)1(a 圖圖線線的的直直曲曲線線的的圖圖形形是是一一條條垂垂直直變變化化這這種種商商品

13、品的的需需求求發(fā)發(fā)生生何何變變化化，其其需需求求量量都都不不沒沒有有彈彈性性，不不管管價(jià)價(jià)格格如如完完全全也也就就是是說說，這這種種商商品品需需求求的的價(jià)價(jià)格格彈彈性性等等于于(2)23 ).b需求的價(jià)格彈性為無窮大它表明商品在一定價(jià)格條件下，有多少就可以賣掉多少；然而想把價(jià)格稍微提高一點(diǎn)點(diǎn)，就可能一個(gè)也買不掉這種商品的需求曲線為一條水平的直線（圖圖圖條條雙雙曲曲線線種種商商品品的的需需求求曲曲線線是是一一同同樣樣的的百百分分比比變變化化這這百百分分比比時(shí)時(shí)，需需求求量量均均按按水水平平下下，價(jià)價(jià)格格變變動(dòng)動(dòng)一一個(gè)個(gè)也也就就是是說說，在在任任何何價(jià)價(jià)格格，上上各各點(diǎn)點(diǎn)的的彈彈性性均均為為單單元

14、元彈彈性性即即需需求求曲曲線線)32(1)3(c 稱稱之之為為非非彈彈性性需需求求部部分分，需需求求曲曲線線的的稱稱之之為為彈彈性性需需求求；部部分分，需需求求曲曲線線的的；，需需求求曲曲線線的的中中點(diǎn)點(diǎn)；，在在其其下下端端點(diǎn)點(diǎn)；，在在其其上上端端點(diǎn)點(diǎn)圖圖直直線線需需求求曲曲線線是是一一條條傾傾斜斜的的111)(0)()()32()4( EPMBEPAMEPMEPBEPAdPPPPOOOOQQQQMAB)(a)(b)(c)(dDDD(二二)需求彈性與總收益（市場(chǎng)銷售總額）的關(guān)系需求彈性與總收益（市場(chǎng)銷售總額）的關(guān)系 當(dāng)需求價(jià)格彈性大于當(dāng)需求價(jià)格彈性大于1時(shí)，降價(jià)增加銷售收入；時(shí)，降價(jià)增加銷售收

15、入；當(dāng)需求價(jià)格彈性小于當(dāng)需求價(jià)格彈性小于1時(shí)，降價(jià)反而會(huì)減少銷時(shí)，降價(jià)反而會(huì)減少銷售收入售收入 此時(shí)，需求變動(dòng)的幅度大與價(jià)格變動(dòng)的幅度，此時(shí)，需求變動(dòng)的幅度大與價(jià)格變動(dòng)的幅度，邊際收益小于邊際收益小于0 0，即價(jià)格上漲，總收益減少，價(jià)格，即價(jià)格上漲，總收益減少，價(jià)格下跌，總收益增加；下跌，總收益增加； 此時(shí)，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度，此時(shí)，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度，邊際收益大于邊際收益大于0 0，即價(jià)格上漲，總收益增加，價(jià)格，即價(jià)格上漲，總收益增加，價(jià)格下跌，總收益減少；下跌，總收益減少；當(dāng)需求價(jià)格彈性等當(dāng)需求價(jià)格彈性等于于1時(shí)，當(dāng)價(jià)格變化時(shí)，時(shí)，當(dāng)價(jià)格變化時(shí)，總收益不變總收益

16、不變3. 供給彈性供給彈性定義：定義：，則則供供給給彈彈性性彈彈性性設(shè)設(shè)價(jià)價(jià)格格曲曲線線通通常常指指的的是是供供給給的的價(jià)價(jià)格格)(PfQ 供給的價(jià)格彈性供給的價(jià)格彈性，式中：，式中： PPEQPPQEdd例例 8 8 觀觀察察下下列列供供給給函函數(shù)數(shù)： QPcQPbQPa43)( ;52)( ,3)( 試試判判斷斷其其供供給給彈彈性性PE大大于于，等等于于或或小小于于 1 1. . 解：解：1, 0)(PEaa故其縱軸截距1)0()(PEab，故此函數(shù)與橫軸相交1)0()(PEac，故此函數(shù)與縱軸相交解：解：PPQPQPEPPQ323dd, 3dd 故故時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)3 P11933233 PE.

17、3,327時(shí)時(shí)的的供供給給彈彈性性及及當(dāng)當(dāng)求求供供給給彈彈性性函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的供供給給函函數(shù)數(shù)例例 PPQ.收收益益的的銷銷售售彈彈性性EQER4. 收益彈性收益彈性RPPREPER ddRQQREPER dd收收益益的的價(jià)價(jià)格格彈彈性性；式式中中： EPER解解故故，設(shè)設(shè),)()1(PQRPfQ )dd(1d)(d)(PQPQQPPQPQPEPPQEEPER 1)dd(1dd1PQQPPQQPQPQPQPQPQQEQPQEEQERd)(d1d)(d)( 11dd11)dd(1 PQQPQPQPP，故故知知由由 1)1()2(EPER得得,1dddd PRPQPPRRPEPER)1

18、)()1(dd PfQPR，故故又又由由 1)1(EQER得得 11dddd QRPQQQRRQEQER)11(dd PQR例例 9 9 假假設(shè)設(shè)某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的需需求求函函數(shù)數(shù)XP100 ，其其中中X X 為為產(chǎn)產(chǎn)量量( (假假定定等等于于需需求求量量) )，P P 為為價(jià)價(jià)格格，求求收收益益的的價(jià)價(jià)格格彈彈性性 解：解：PPXPRPX/10)(,/100422 11010/10d)/10(d244244 PPPPPPEPER例例 1 10 0 某某商商品品的的需需求求量量 Q Q 關(guān)關(guān)于于價(jià)價(jià)格格 P P 的的函函數(shù)數(shù)為為275PQ ( (1 1) )求求 P P= =4 4 時(shí)時(shí)的的需需

19、求求的的價(jià)價(jià)格格彈彈性性， 并并說說明明其其經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義。 ( (2 2) )P P= =4 4 時(shí)時(shí)， 若若價(jià)價(jià)格格提提高高 1 1% %， 總總收收益益是是增增加加還還是是減減少少，變變化化百百分分之之幾幾？ 解解22275275)2(dd)1(PPPPPQPPQ 54. 04 時(shí)時(shí)，P%54. 0)(%1 )(4增增加加，需需求求量量減減少少下下降降價(jià)價(jià)格格上上漲漲時(shí)時(shí)，其其經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義是是 P解法二解法二)1()1()1(dd PRPQPQPR由由 1ddPRRPEPER即即46. 0)4(14 PEPER故故%46. 0%1時(shí)時(shí)，總總收收益益增增加加即即當(dāng)當(dāng)價(jià)價(jià)格格上上漲漲解法三解法三)11()11()11(dd QRQPQPQR由由 11dd QRRQEQER即即)%54. 011(4 PEQER故故%46. 0)%54. 011(54. 0,%1 總總收收益益增增加加時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)價(jià)價(jià)格格上上漲漲五小結(jié)思考題邊際的基本概念邊際的基本概念1 邊際成本邊際成本2 邊際收益邊際收益3 邊際利潤邊際利潤4 邊際需求邊際需求彈性的基本概念彈性的基本概念1 需求彈性需求彈性2 供給彈性供給彈性3 收益彈性收益彈性邊際函數(shù)的計(jì)算邊際函數(shù)的計(jì)算彈性函數(shù)的計(jì)算彈性函數(shù)的計(jì)算思考題思考題解法一解法一定定義義，分分別別將將按按照照需需求求對(duì)對(duì)價(jià)價(jià)格格的的