xmx-03章扭轉(zhuǎn)

1、PPPQP QAbsbsPbsA剪切的實用計剪切的實用計算算明確四個問題：明確四個問題：剪切面，擠壓面；剪切面，擠壓面；剪力，擠壓力。剪力，擠壓力。扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形受扭桿件的力學模型特征受扭桿件的力學模型特征受力特點：變形特點：兩端受等值、反向的兩外力偶兩端受等值、反向的兩外力偶作用，外作用，外力偶的作用面與桿件力偶的作用面與桿件軸線垂直軸線垂直。橫截面之間繞桿件的軸線產(chǎn)橫截面之間繞桿件的軸線產(chǎn)生相對角位移。生相對角位移。具有上述特征的變形稱為扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形。工程上，把承受扭轉(zhuǎn)變形的桿件稱為“軸軸（Shaft）”。橫截面之間的相對角位移，稱為扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角。3-1 3-1 扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念

2、MM桿件表面縱向直線的轉(zhuǎn)角，稱為剪切角剪切角。（與兩橫截面相對位置有關(guān)）（與兩橫截面相對位置有關(guān)）（與兩橫截面相對位置無關(guān)）（與兩橫截面相對位置無關(guān)）軸向拉壓1.1.概念概念2.2.內(nèi)力內(nèi)力3.3.應(yīng)力應(yīng)力4.4.變形變形（外力）（外力）軸力軸力N N， 截面法，截面法，N N圖圖 NA平面假設(shè)平面假設(shè)受力分析獲得受力分析獲得EA : 抗拉(壓)剛度llENllEA 5.5.強度強度 max( ) max()( )N xA x扭轉(zhuǎn)實驗實驗6.6.剛度剛度受力受力，變形，變形3-2 3-2 扭轉(zhuǎn)的外力偶矩、內(nèi)力、扭矩圖扭轉(zhuǎn)的外力偶矩、內(nèi)力、扭矩圖工程上傳遞功率的圓軸及其扭轉(zhuǎn)變形工程上傳遞功率的圓

3、軸及其扭轉(zhuǎn)變形圓圓軸軸ABAB發(fā)發(fā)生生扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變變形形1 1、外力偶矩的計算、外力偶矩的計算9550kPMnN mkW/ min(/kMPnr外力偶矩，單位： .軸傳遞的功率，單位：（千瓦）軸的轉(zhuǎn)速，單位：轉(zhuǎn) 分）(1) 扭矩扭矩橫截面上的內(nèi)力偶矩橫截面上的內(nèi)力偶矩符號：符號：T由靜平衡確定其大小由靜平衡確定其大小正負規(guī)定：右手法則正負規(guī)定：右手法則確定方法：確定方法：截面法截面法2 2、內(nèi)力偶矩的計算、內(nèi)力偶矩的計算(2) (2) 扭矩的計算扭矩的計算ABxMMAMTBxMT 0 xMTM0 xM TMTxO+M扭矩圖扭矩圖取截面左側(cè)研究取截面左側(cè)研究取截面右側(cè)研究取截面右側(cè)研究單位：單位：

4、;N m kN mmmMBMCMAMDBCADx1面面2面面3面面MBBxT1MBMCBCxT2MDDxT3xTON.m318955955例題例題：軸，：軸，n =300轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分分；各輪功率：各輪功率：60,1020,30ABCDPkW PkWPkW PkW試畫軸的扭矩圖。試畫軸的扭矩圖。解：解：求求各輪的外力偶矩各輪的外力偶矩95501910318637955BCDPMnMN mMN mMN mMN mA由解得：max955TN m截面法求各段軸的扭矩截面法求各段軸的扭矩T1 =318N.mT2 =955N.mT3 = -955N.m+_BCAD傳動軸。已知三個輪各自的傳傳動軸。已知三個輪各

5、自的傳動功率為動功率為: :P PA A=19kW,=19kW,P PB B= = 44kW44kW,P,PC C =25kW=25kW, , 轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n n =150rpm=150rpm。試畫傳動軸的扭矩圖。試畫傳動軸的扭矩圖。12101590 xT1995501210.150AMN m同樣 =2800N.m, =1590N.m BMCM練習題_+T1 =1210N.mT2 = -1590N.mN.m Tmax = 1590N.mABC問：若交換輪問：若交換輪A A和輪和輪B B的位置，的位置，傳動軸的扭矩圖有何變化？傳動軸的扭矩圖有何變化？28001590 xT1210.AMN m =28

6、00N.m, =1590N.m BMCM練習題_T1 =-2800N.mT2 =-1590N.m_N.m Tmax = 2800N.mABC接下來該討論圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力問題了！接下來該討論圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力問題了！ABxMKMKAMKTBxMKTTxO+MK扭矩圖扭矩圖mm關(guān)于應(yīng)力的三個問題：存在什么應(yīng)力存在什么應(yīng)力應(yīng)力如何分布應(yīng)力如何分布應(yīng)力如何計算應(yīng)力如何計算？先研究一個比較簡單的問題先研究一個比較簡單的問題薄壁筒的純扭轉(zhuǎn)3-3-3 3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力MTR等厚度薄壁圓筒，平均半徑為等厚度薄壁圓筒，平均半徑為R，厚度為厚度為，長為，

7、長為l。/10R2 RRT 22MRM切切應(yīng)力互等定理應(yīng)力互等定理：在相互垂直的兩個面上，切在相互垂直的兩個面上，切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，而且大小相等，而且大小相等，方向或指向、或背離兩面的交線。方向或指向、或背離兩面的交線。MTdxdy （+） （-）（+） （-）正負號規(guī)定：正負號規(guī)定：)dy （與( )dx 分別組成一力偶，由力偶平衡得：0)()(dydxdxdy二、切二、切應(yīng)變、剪切虎克定律應(yīng)變、剪切虎克定律Rl切切應(yīng)變應(yīng)變 ：在切應(yīng)力作用下，這兩直角邊的夾角的變化，單位為弧度。 為減小量時為正。22MRlR（+） （-）（+） （-）線彈性范圍內(nèi)（ P）：G剪切虎克定律：

8、剪切虎克定律：G剪切彈性模量 ( 量綱同E 力/長度2 )通過實驗可以確定：其中2(1)EG3-1（a），3-3（a）ABCD ABCD3-4 3-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形和變形 圓軸受扭后，將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。圓軸上的直角微元均發(fā)圓軸受扭后，將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。圓軸上的直角微元均發(fā)生了變化，這種直角的改變量即為生了變化，這種直角的改變量即為切切應(yīng)變應(yīng)變。這表明，圓軸橫這表明，圓軸橫截面和縱截面上都將出現(xiàn)截面和縱截面上都將出現(xiàn)切應(yīng)力切應(yīng)力分別用分別用 和和 表示。表示。（1 1） 圓周線大小、形狀及兩圓周線之間的距離不變圓周線大小、形狀及兩圓周線之間的距離不變；（2 2） 縱向線轉(zhuǎn)動

9、縱向線轉(zhuǎn)動 ，但仍保持位置相互平行但仍保持位置相互平行；（3 3） 圓周線繞軸線轉(zhuǎn)動，但仍在原來的平面內(nèi)。圓周線繞軸線轉(zhuǎn)動，但仍在原來的平面內(nèi)。切應(yīng)力方向沿圓周邊切線方向；切應(yīng)力方向沿圓周邊切線方向；截面只有切截面只有切應(yīng)力，無正應(yīng)力；應(yīng)力，無正應(yīng)力；2 2、推論、推論 沿圓周上各點，橫截面上的切應(yīng)力相同；沿圓周上各點，橫截面上的切應(yīng)力相同； 平截面假定。平截面假定。扭轉(zhuǎn)后圓軸各橫截面仍為平面，其形狀、大小扭轉(zhuǎn)后圓軸各橫截面仍為平面，其形狀、大小不變，橫截面上的半徑也保持為一條直線。不變，橫截面上的半徑也保持為一條直線。幾何關(guān)系幾何關(guān)系：（確定切應(yīng)變的分布）討論距討論距0-00-0軸為軸為 的

10、的lmnp面面切切應(yīng)力沿半徑分布是應(yīng)力沿半徑分布是未知的，因此，以切應(yīng)變?nèi)胧址治?。未知的，因此，以切?yīng)變?nèi)胧址治?。d ooR1243mlndxpm n32 ddx()mmmmddx 令ddx 扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率 幾何方程 (1)d 物理關(guān)系：物理關(guān)系：( (剪切虎克定律剪切虎克定律) )(2)(2) G得得橫截面上切橫截面上切應(yīng)力分布應(yīng)力分布: : (1) (1) 對于單一材料對于單一材料, , 以軸心為原點線性分布以軸心為原點線性分布; ; (2) (2) 對于同心復(fù)合材料對于同心復(fù)合材料, , 以軸心為原點分段線性分布以軸心為原點分段線性分布. .實實心心圓圓截截面面T空空心心圓圓截截面

11、面TG(3)(3) (1)(1)幾何關(guān)系幾何關(guān)系：同同心心復(fù)復(fù)合合材材料料T靜力學關(guān)系（確定微觀切靜力學關(guān)系（確定微觀切應(yīng)力與宏觀扭矩的關(guān)系）應(yīng)力與宏觀扭矩的關(guān)系）dAodA AdAT (4)(4)(3)3)代入代入(4), (4), 積分后得：積分后得：pTGIpTI切切應(yīng)力計算公式應(yīng)力計算公式2PAdAI令：2AAGdAGdATIP 極慣性矩極慣性矩物理關(guān)系物理關(guān)系 ( (剪切虎克定律剪切虎克定律) ) ： G(3)(3) 幾何關(guān)系幾何關(guān)系：( (5 5) )GDdD極慣性矩的計算極慣性矩的計算2pAIdA取微分面積：取微分面積：2dAd442220320.321220DpADDIdAdd

12、D44442220.1322DdpDdIdDdOd存在什么應(yīng)力存在什么應(yīng)力: : 實心圓截面和空心圓截面上僅有切應(yīng)力實心圓截面和空心圓截面上僅有切應(yīng)力. .應(yīng)力如何分布應(yīng)力如何分布: : 與扭矩方向一致與扭矩方向一致, ,以軸心為原點線性分布以軸心為原點線性分布應(yīng)力怎樣計算應(yīng)力怎樣計算三個待定問題的答案三個待定問題的答案pITmaxpTRImaxPTIW令maxTTW則：抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)；量綱量綱 長度長度 3 3T最大切最大切應(yīng)力發(fā)生在最外沿應(yīng)力發(fā)生在最外沿,即即:max=R處處4444()0.1()32pDdIDdDdD抗扭截面摸量抗扭截面摸量WT的計算的計算4m33ax032/1

13、62.2PTDIWDDD4444max32/ 216PTDdDdIWDD440.132PDIDmaxPTIWdD令343410.2116DD例題：軸，例題：軸，d = 50mm，MO =1kN.m,求求 處的處的切應(yīng)力切應(yīng)力及邊緣處及邊緣處的的最大切應(yīng)力。最大切應(yīng)力。12.5Amm解：解：1.求任意截面上的扭矩求任意截面上的扭矩1000OTMN m2.求極慣性矩及抗扭截面系數(shù)求極慣性矩及抗扭截面系數(shù)43 4484(50 10 )61 103232pdImm8363361 1024 1025 10pTIWmmR3.求 及Amax38100012.5 102061 10AAPTMPaI（）max6

14、10004224 10TTMPaW（）pITmaxpTTTRIW例題例題:圖示傳動機構(gòu)，圖示傳動機構(gòu)，E軸通過聯(lián)軸器與軸通過聯(lián)軸器與H軸連接，軸連接，A輪帶輪帶動動D輪使輪使C軸轉(zhuǎn)動。從軸轉(zhuǎn)動。從B輪輸入功率輪輸入功率P1=14kW，功率的一，功率的一半通過錐形齒輪傳給半通過錐形齒輪傳給C軸，另一半由軸，另一半由H軸輸出。已知：軸輸出。已知： n1= n2= 120 r/min, z1=36, z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求求: 各各軸軸橫截面上的最大切應(yīng)力。橫截面上的最大切應(yīng)力。3聯(lián)軸器聯(lián)軸器輪系傳動：輪系傳動：1331nznz31.求各軸的外力偶矩

15、求各軸的外力偶矩由外力偶矩計算公式由外力偶矩計算公式9550.PMn2.求各軸的最大切應(yīng)力求各軸的最大切應(yīng)力3max33185.721.98()35 10316CTTMPaW2max3255722.69()50 10316HTTMPaW1max31111416.55()70 10316ETTMPaWd1= 70mmd2 = 50mmd3 =35mm繪出半圓柱體各截面上的應(yīng)力分布。說明該部分的平衡情況。maxTTW2.2.強度條件強度條件： maxmax: TTW3-5 3-5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算危險截面的最大切應(yīng)力小于等于許用切應(yīng)力危險截面的最大切應(yīng)力小于等于許用切應(yīng)力例

16、：由無縫鋼管制成的汽車傳動軸例：由無縫鋼管制成的汽車傳動軸AB，外徑，外徑D=90mm,壁厚壁厚t=2.5mm,材料為材料為45號鋼。使用時最大扭矩號鋼。使用時最大扭矩T=1.5KN, ，試校核，試校核AB軸的強度。軸的強度。 MPa60解解：944. 0905 . 2290Dd334490(1)(1 0.944 )1616TDW329400()mm軸的最大切應(yīng)力為軸的最大切應(yīng)力為max915005129400 10TTMPaW AB軸滿足強度條件。軸滿足強度條件。34116TDW討論討論：如果把上例中的傳動軸改為實心軸，要求它與原來的空心如果把上例中的傳動軸改為實心軸，要求它與原來的空心軸強

17、度相同，試確定其直徑，并比較二者的重量。軸強度相同，試確定其直徑，并比較二者的重量。解：按題目要求，實心軸的最大切應(yīng)力也為解：按題目要求，實心軸的最大切應(yīng)力也為51MPa,即即16max3150051 1016TTDW3161500 160.0531()51 10Dm在兩軸材料、長度相同的情況下，重量之比即為截面積之比：在兩軸材料、長度相同的情況下，重量之比即為截面積之比：22222211908540.3153.14DdAAD（）在載荷相同的條件下，要強度相同，空心軸的重量僅為在載荷相同的條件下，要強度相同，空心軸的重量僅為實心軸的實心軸的3131% %，其減輕重量、節(jié)約材料時非常明顯的。，其

18、減輕重量、節(jié)約材料時非常明顯的。這個數(shù)字說明什么？這個數(shù)字說明什么？可導(dǎo)出如下公式：可導(dǎo)出如下公式：pdTdxGIlPTdxGI3-6 3-6 圓軸扭轉(zhuǎn)時變形與剛度計算圓軸扭轉(zhuǎn)時變形與剛度計算積分得：157 1780144 弧度10.01745329 弧度單位為弧度單位為弧度, radlPTdxGI當當G，T，Ip為常量時為常量時TlGI當當G，T，IP 階梯變化時階梯變化時1niiiiPiT lG I用于描述圓軸扭轉(zhuǎn)變形的聚集程度用于描述圓軸扭轉(zhuǎn)變形的聚集程度(單位長度的扭轉(zhuǎn)角單位長度的扭轉(zhuǎn)角).前面已經(jīng)定義前面已經(jīng)定義TGImaxmax: TGImax180max :TGI單位單位:度度/

19、米米; (o/m)ddx單位單位:弧度弧度/米米; (rad/m)2.2.單位長度扭轉(zhuǎn)角單位長度扭轉(zhuǎn)角GIp抗扭剛度解：解：1、外力偶矩：、外力偶矩：9550275.AAPMN mn184.91.BCMN mMN m2、作扭矩圖：、作扭矩圖：試設(shè)計軸的直徑試設(shè)計軸的直徑d例：傳動軸轉(zhuǎn)速例：傳動軸轉(zhuǎn)速 分轉(zhuǎn)208n,6PKWA主動輪KWPKWCB2,4P從動輪 130,80oMPamGGPa已知：max184 .TN mxT91N.m184N.m+_3、按強度條件設(shè)計直徑：、按強度條件設(shè)計直徑： maxmaxtTW63103018416d33616 184d31.5 1030 10m解得xT91N.m184N.m+_4、按剛度條件設(shè)計直徑、按剛度條件設(shè)計直徑：maxmax180PTGI649301