高考數(shù)學立體幾何向量法總結

1、向量方法部分向量方法部分學海無涯學海無涯空間向量空間向量的運算空間向量基本定理空間向量的坐標運算加減和數(shù)乘運算共線向量共面向量空間向量的數(shù)量積知識結構夾角和距離平行和垂直學海無涯學海無涯1、空間直角坐標系、空間直角坐標系以單位正方體以單位正方體 的頂點的頂點O為原點，分別以射線為原點，分別以射線OA，OC， 的方向的方向 為正方為正方向，以線段向，以線段OA，OC， 的的長為單位長，建立三條數(shù)軸：長為單位長，建立三條數(shù)軸：x軸軸,y軸軸,z軸軸,這時我們建立了一這時我們建立了一個個空間直角坐標系空間直角坐標系CBADOABC xyzO DO DO CDBACOAByzxO為坐標原點，為坐標原點

2、， x軸軸,y軸軸,z軸叫坐標軸，通過每兩個坐軸叫坐標軸，通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面標軸的平面叫坐標平面一、基本概念學海無涯學海無涯xo右手直角坐標系右手直角坐標系yz空間直角坐標系空間直角坐標系Oxyz橫軸橫軸縱軸縱軸豎軸豎軸學海無涯學海無涯2、空間直角坐標系中點的坐標、空間直角坐標系中點的坐標有序實數(shù)組（有序實數(shù)組（x,y,z）叫做點）叫做點M在此在此空間空間直角坐標系中的坐標，直角坐標系中的坐標，記作記作M（x,y,z）其中其中x叫做點叫做點M的橫坐標，的橫坐標，y叫做點叫做點M的的縱坐標縱坐標, z叫做點叫做點M的豎坐標的豎坐標點點M（X，Y，Z）學海無涯學海無涯 如果表示向量如

3、果表示向量n的有向線段所在的直線垂的有向線段所在的直線垂直于平面直于平面,稱這個向量垂直于平面稱這個向量垂直于平面,記作記作n,這時向量這時向量n叫做平面叫做平面的法向量的法向量. 4、平面的法向量、平面的法向量n /若, 則稱 是直線 的方向向量alal3、直線的方向向量、直線的方向向量學海無涯學海無涯1、假設平面法向量的坐標為、假設平面法向量的坐標為n=(x,y,z).2、根據(jù)、根據(jù)na = 0且且nb = 0可列出方程組可列出方程組11122200 x xy yz zx xy yz z3、取、取某一個變量某一個變量為常數(shù)為常數(shù)(當然取得越簡單越好當然取得越簡單越好), 便得到平面法向量便

4、得到平面法向量n的坐標的坐標. anb5、平面法向量的求法、平面法向量的求法設設a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面是平面內的兩個不共線內的兩個不共線的非零向量的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知由直線與平面垂直的判定定理知,若若na且且nb,則則n.換句話說換句話說,若若na = 0且且nb = 0,則則n.可按如下步驟求出平面的法向量的坐標可按如下步驟求出平面的法向量的坐標學海無涯學海無涯例、已知例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平求平面面ABCABC的法向量的法向量( 4

5、,6, 1),(4,3, 2)ABAC 4604320 xyzxyz解：解：平面平面ABCABC的法向量為的法向量為: :(3,4,12)n 得43zxzy得12z 令(3,4,12)ABCn平面的法向量( , , )nx y 學海無涯學海無涯 例、在棱長為例、在棱長為2的正方體的正方體ABCD-A1B1C1D1中中,O是面是面AC的中心的中心,求面求面OA1D1的法向量的法向量.解：以解：以A為原點建立空間直角坐標系為原點建立空間直角坐標系O-xyz（如圖），（如圖），則則O（1，1，0），），A1（0，0，2），），D1（0，2，2），），設平面設平面OA1D1的法向量的法向量為的法向量的

6、法向量為n=(x,y,z), 由由 =（-1，-1，2），）， =（-1，1，2）得）得 1OA1OD 2020 xyzxyz 20 xzy解得解得取取z =1得平面得平面OA1D1的法向的法向量的坐標量的坐標n=(2,0,1)A A BOzyA1C1B1AxCDD學海無涯學海無涯5、兩法向量所成的角與二面角的關系、兩法向量所成的角與二面角的關系l1n2nl1n2n設設n1 、n2分別是二面角兩個半平面分別是二面角兩個半平面、的法向量，的法向量，由幾何知識可知，二面角由幾何知識可知，二面角-L-的大小與法向量的大小與法向量n1 、n2夾角相等或互補，于是求二面角的大小可轉化為夾角相等或互補，于

7、是求二面角的大小可轉化為求兩個平面法向量的夾角求兩個平面法向量的夾角學海無涯學海無涯二、基本公式：1 1、兩點間的距離公式（線段的長度）、兩點間的距離公式（線段的長度）222212121ABABxxyyzz 2 2、向量的長度公式（向量的模）、向量的長度公式（向量的模）學海無涯學海無涯12121 2a bx xy yz z 3 3、向量的坐標運算公式、向量的坐標運算公式111222( ,)(,)ax y zbxyz若那么121212(,)abxxyyzz111(,)學海無涯學海無涯121212|,() a bxx yyzzR111222|xyzabxyz4 4、兩個向量平行的條件、兩個向量平行

8、的條件5 5、兩個向量垂直的條件、兩個向量垂直的條件12121 20abx xy yz z或學海無涯學海無涯123123123333xxxxyyyyzzzz7 7、重心坐標公式、重心坐標公式6 6、中點坐標公式、中點坐標公式學海無涯學海無涯9 9、直線與平面、直線與平面所成角公式所成角公式|sin| | |PM nPMn (PMlMn為為 的法向量的法向量)8 8、直線與直線所成角公式、直線與直線所成角公式 |cos| |AB CDABCD 1010、平面與平面所成角公式、平面與平面所成角公式 1212cos| |n nnn ( 為二面角兩個半平面的法向量）為二面角兩個半平面的法向量）1n2n

9、 學海無涯學海無涯1111、點到平面、點到平面的距離公式的距離公式|PMndn （PM為平面為平面 的斜線的斜線, 為平面為平面 的法向量）的法向量）n1212、異面直線的、異面直線的距離公式距離公式|AB ndn （A,B為異面直線上兩點為異面直線上兩點, 為公垂線的方向向量）為公垂線的方向向量）學海無涯學海無涯利用向量求利用向量求角角直線與直線所成的角直線與直線所成的角直線與平面所成的角直線與平面所成的角平面與平面所成的角（二面角）平面與平面所成的角（二面角）利用向量求距離利用向量求距離點到直線的距離點到直線的距離點到平面的距離點到平面的距離直線到平面的距離直線到平面的距離平行到平面的距離

10、平行到平面的距離直線到直線的距離直線到直線的距離三、基本應用學海無涯學海無涯利用向量證平行利用向量證平行利用向量證垂直利用向量證垂直直線與直線垂直直線與直線垂直直線與平面垂直直線與平面垂直平面與平面垂直平面與平面垂直直線與直線平行直線與直線平行直線與平面平行直線與平面平行平面與平面平行平面與平面平行學海無涯學海無涯四、基本方法1 1、平行問題、平行問題學海無涯學海無涯、垂直問題、垂直問題學海無涯學海無涯、角度問題、角度問題學海無涯學海無涯、距離問題、距離問題（）點到點的距離、點到平面的距離、直線（）點到點的距離、點到平面的距離、直線到直線的距離直接用公式求解。到直線的距離直接用公式求解。（）點

11、到直線的距離、直線到平面的距離、平（）點到直線的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離轉化為點到平面的距離求面到平面的距離轉化為點到平面的距離求解。解。學海無涯學海無涯例：090 ,Rt ABCBCAABC中，現(xiàn)將沿著111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1111111，取、的中點、 ，BCCACCABACDF11BDAF求與所成的角的余弦值.CA1AB1B1C1D1F題型一：線線角題型一：線線角五、典型例題學海無涯學海無涯A1AB1BC1C1D1Fxyz所以：題型一：線線角題型一：線線角A1AB1B1C1D1F(1,0,0),(0,1,0),AB解：以點C 為坐標原點建立空間直角坐

12、標系 如圖所示，不妨設 則 11CC CxyzC1111 1( ,0,1),( ,1)22 2FD) 1 ,21,21(,) 1 , 0 ,21(11DBFA1111|3010|AFBDAFBD11cos,AF BD |所以所以 與與 所成角的余弦值為所成角的余弦值為1BD1AF學海無涯學海無涯, 例.在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求證：ABCA B CAAABCA CABBCAB.2,( 3,0,0), (0,1,0),(0, 1,0).( 3,0, ),(0,1, ),(0, 1, ).解.建立如圖空間坐標系不妨設底面邊長為 高為hABCAh Bh ChABCBCA), 2, 0(),

13、 1, 3(), 1 , 3(hBChCAhAB22203 1,2.020.ABA Ch hABBChBCAB 題型二：線線垂直題型二：線線垂直學海無涯學海無涯題型三：線面角題型三：線面角ABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN解：如圖建立坐標系A-xyz,則(0,0,0),A)6 , 2 , 6(M可得由, 51NA)3 , 4 , 0(N(6,2,6),(0,4,3).AMAN 由的法向量設平面),(zyxn 00nNAnMA0340626zyzyx即在長方體在長方體 中，中，例：例：1111ABCDABC D112,MBCB M 為上的一點,且1NAD點 在線段上，15

14、,A NADANM求與平面所成的角., 61AA, 8, 6ADAB學海無涯學海無涯題型三：線面角題型三：線面角ABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN)34, 1 , 1 (n得222|0 1 80|3 34,344811()3 (0,8,0),AD 又ADANM與平面所成角的正弦值是34343例：例：在長方體在長方體 中，中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，1112,MBCB M 為上的一點,且1NAD點 在線段上，15,求與平面所成的角.A NADANM, 61AA|sincos,|AD nAD nAD 學海無涯學海無涯ABDCA1B1D1C1例例.

15、.在正方體在正方體ACAC1 1中，中，E E為為DDDD1 1的中點，求證：的中點，求證：DBDB1 1/面面A A1 1C C1 1E EEF題型四：線面平行題型四：線面平行) 1 , 0 , 0(),2 , 2 , 0(),2 , 0 , 2(. 2,11ECAADxyzD則設證明：如圖建立坐標系xyz1111( 2,2,0),( 2,0, 1),(1,1,1).ACAEDB 則的法向量設平面),(11zyxnCEA00111nEAnCA02022zxyx即即)2, 1 , 1 (n解得, 021111nBDnBD./111ECADB平面學海無涯學海無涯: ,.例 在正方體中.E,F分別

16、是的中點.求證：平面ABCDA B C DCC BDA FBDEFEXYZ,DA DC DDxyzA 證明:如圖取分別為 軸, 軸, 軸建立空間直角坐標系,設正方體的棱長為2.A(2,0,0),B(2,2,0), (2,0,2)E(0,2,1),F(1,1,0)( 1,1, 2),(2,2,0),(0,2,1)( 1,1, 2) (2,2,0)0( 1,1, 2) (0,2,1)0, ,.A FDBDEA F DBA F DEA FDB A FDEDBDEDA FBDE 又平面題型五：線面垂直題型五：線面垂直或先求平面BDE的法向量 再證明A F n 學海無涯學海無涯題型六：面面角題型六：面面

17、角ABCDS090 ,11,2例、已知，是一直角梯形，平面求面與面所成的二面角的余弦值。ABCDABCSAABCDSAABBCADSCDSBA解： 建立直角坐系A-xyz如所示,),0 ,21, 0(DA( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) ,(0,0,1)S) 1,21, 0(),0 ,21, 1 (DSDC),0 ,21, 0(1DAnSBA的法向量易知，面2( , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：設平面0202zyyx) 1 , 2 , 1 (2n解得：,36|,cos212121nnnnnn63即所求二面角的余弦值是。學海無涯學海無涯11111

18、111111111:,(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,0,1)( 1,0,1),( 1,0,1)|.|.|.|111111證明 如圖分別以、三邊所在的直線為軸建立空間直角坐標系.設正方體的棱長為1,則則AA即直線AC，則A平面同理可證：A平面平面AD AD CD Dx y zABCDDB CDB CDBDCB DBCB DBD 11.平面CB DXYZ1CABCD1D1B1A例：在正方體例：在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求證：面中，求證：面A A1 1BDBD面面CBCB1 1D D1 1題型七：面面平行題型七：面面平行或先

19、求兩平面的法向量 再證明12,nn12,學海無涯學海無涯例、在正方體例、在正方體ACAC1 1中，中，E E、F F分別是分別是BBBB1 1、CDCD的中點，的中點，求證：面求證：面AEDAED面面A A1 1FDFD1 1ABCDA1B1C1D1EFXYZ題型八：面面垂直題型八：面面垂直11:(0,0,0) ,(2,0,0),(2,2,1),(0,0,2),(0,1,0)(0,2,1),(2,0,0)(0,1, 2)0,0,111111證明 如圖直角坐標系.設正方體的棱長為2,則則AED FAE D FD FAED FD FD F平面平面平面 DAEDFDADADAAEDA FDAED或證

20、明兩平面的法向量垂直或證明兩平面的法向量垂直學海無涯學海無涯ABC1A1C1BNMzxy練習練習111111111111902(1)(2)cos,(3)如圖，直三棱柱中，棱，、分別是、的中點，求：的長；的值；證明：。OABCA B CCACBBCAAAMNA BAABNBA CBA BC M學海無涯學海無涯xzyABCD1A1D1C1BEF練習練習11111124已知長方體中， 、 分別是，的中點，求異面直線、所成角的大小。ACABBCAAEFADABBECF學海無涯學海無涯BAC1AD1C1B1DEFzxy練習練習11111111111111:1: 2(1)(2)(3)如圖，已知正方體中，

21、是中點，點在上，且，求：平面的法向量；直線與平面所成角；平面與平面所成 角的大小。ABCDA B C DEBCFAAA FFAB EFBBB EFB EFA B C D學海無涯學海無涯ABDC1A1D1C1Bxzy練習練習1111111111112(1)(2)(3)O1為直四棱柱，底面ABCD是直角梯形，DAB= ADC=90 ，求異面直線和所成角；求和底面B所成角；求二面角的大小。ABCDABC DADCDaAAABaACBCACBCCCABA學海無涯學海無涯BMPDCANxzyO練習練習23312如圖所示，已知正方形所在平面，點、 分別在、上，（）求證：面面；（ ）若，求二面角的大小。PA

22、ABCDMNABPCAMABPCNCPADPCDPAABNDMC學海無涯學海無涯題型九：異面直線的距離題型九：異面直線的距離zxyABCC1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC則解：如圖建立坐標系1(1,1,0),(2,2,4),CEAB 則的公垂線的方向向量為設).,(,1zyxnBAEC001BAnECn即即04220zyxyx取x=1,z則y=-1,z=1,所以) 1 , 1, 1 ( n).0,0, 1 (,ACAC在兩直線上各取點1|2 3.|3n CACEABdn與的距離EA1B1111101.4,2

23、,90 ,例 已知：直三棱柱的側棱底面中為的中點。求與的距離。ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB學海無涯學海無涯000:,(0,0,2),(0,4,0),(4,4,0),(4,0,0),(4,2,0),(2,4,0).(4,2, 2),(2,4, 2)( , , ),:020CD CB CGXYZGBADEFGEGFEFGnx y znGExynGF 解 以的方向為軸軸軸的正方向建立空間坐標系,則設平面的法向量為則有000101203(1,1,3),2(0,4, 1)(0,4, 2)|2211.11.1111xzyxyzznGBnGBdBEFGn 又即點 到平面的距離為ABCDEFGXYZ題型十：點到平面的距離題型十：點到平面的距離:4,2,例 如圖已知是邊長為 的正方形,分別是