函數(shù)的單調(diào)性的題型分類及解析

1、函數(shù)的單調(diào)性知識點1、增函數(shù)定義、減函數(shù)的定義：(1)設(shè)函數(shù)y f(x)的定義域為 A,區(qū)間M A,如果取區(qū)間 M中的任意兩個值Xi,X2，當 改變量 x x2 x10時，都有 y f(x2) f(x1) 0,那么就稱函數(shù) y f (x)在區(qū)間M上是增函數(shù)，如圖(1)當改變量 x x2 x1 0時，都有 y f(x2) f(x1) 0,那 么就稱 函數(shù)y f (x)在區(qū)間M上是減函數(shù)，如圖(2) jv<1><2>圖8 7注意：單調(diào)性定義中的xi、x2有什么特征：函數(shù)單調(diào)性定義中的 xi,x2有三個特征，一是任意 性，二是有大小，三是同屬于一個單調(diào)區(qū)間.1、根據(jù)函數(shù)的 單

2、調(diào)性 的定義思考：由f(x)是增(減)函數(shù)且 f(xi)<f(x2)能否推出 xi<x2(xi>x2)2、我們來比較一下增函數(shù)與減函數(shù)定義中x, y的符號規(guī)律，你有什么發(fā)現(xiàn)沒有？3、如果將增函數(shù)中的“當x x2 xi 0 時，都有y f(x2) f(xi) 0 ” 改為當x x2 xi 0 時，都有 y f(x2)f(xi) 0結(jié)論是否一樣呢?4、定義的另一種表示方法f (x) f (xc)如果對于定義域I某個區(qū)間 D上的任意兩個自變量xi,x2，若一(_3 0即xi x2上 0,則函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)，若 f(xDnx2) 0即 0,則函數(shù)y=f(x)為減 xx1x2x

3、函數(shù)。判斷題：1已知f (x)因為f( 1)xf (2),所以函數(shù)f(x)是增函數(shù).若函數(shù)f(x)滿足f(2)f(3)則函數(shù)f(x)在區(qū)間2,3上為增函數(shù).若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù) f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù).11因為函數(shù)f(x) 在區(qū)間 ,0),(0,)上都是減函數(shù)，所以f(x) 在 xx(,0) (0,)上是減函數(shù).通過判斷題，強調(diào)幾點：單調(diào)性是對定義域某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性.對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù)).單調(diào)性是對定義域

4、的某個區(qū)間上的整體性質(zhì)，不能用特殊值說明問題。函數(shù)在定義域的兩個區(qū)間AB上都是增(或減)函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在 A B上是增(或減)函數(shù).(2)單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y=f (x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y = f (x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y=f (x)的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)：(1)增函數(shù)：如果對于屬于定義域I某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值句, 當'三時，都有/ ( 1)0x1 x2(2)減函數(shù)：如果對于屬于定義域I某個區(qū)間的任意兩個自變量的值 工口工2 ,當位 一士時，都有 10 x x2(3)函數(shù)的單調(diào)性還有以下性質(zhì).1 .函數(shù)y =

5、f (x)與函數(shù)y= f (x)的單調(diào)性相反.12 .當f (x)恒為正或恒為負時，函數(shù) y= f(x)與y=f (x)的單調(diào)性相反.3 .在公共區(qū)間，增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，增函數(shù)一減函數(shù)=增函數(shù)等.4 .如果k>0 函數(shù)k f x與函數(shù)f x具有相同的單調(diào)性。如果k<0 函數(shù)k f x與函數(shù)f x具有相反的單調(diào)性。5. 若f X 0,則函數(shù)一-與f X具有相反的單調(diào)性,. f X6 . 若f X >0,函數(shù)f X與函數(shù)f X具有相同的單調(diào)性。若f X <0,函數(shù)f X與函數(shù)f X具有相同的單調(diào)性7 。.函數(shù)f x在R上具有單調(diào)性，則 f x在R上具有相反的單調(diào)性。復(fù)

6、合函數(shù)的單調(diào)性。如果函數(shù) u g x x A u By f u C B y D,則 y f g x稱為x的復(fù)合函數(shù)。解決復(fù)合函數(shù)的問題，關(guān)鍵是弄清復(fù)合的過程，即中間變量U的定義域與值域的作用。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷：同增異減。函數(shù)單調(diào)狀況層函數(shù)u g X增增減減外層函數(shù)y f u增減增減復(fù)合函數(shù)y f g x增減減增函數(shù)的單調(diào)性題型分類講解題型一：.單調(diào)性討論1 .討論函數(shù)y=(k-2)x+3 (aw0)在區(qū)間R的單調(diào)性.2 .討論函數(shù)f(x)=一%(aw0)在區(qū)間(-1 , 1)的單調(diào)性.1 Xax1ax2a(x1 x2 )(1 x1x2)解： 設(shè)-1 <X1<X2< 1

7、, 則 f(x 1)-f(x 2) =2-2 =221X12 1 X22(1 X12)(1 X2). x1, X2 (-1 , 1),且 X1<X2,x 1-x2<0, 1+x1x2>0, (1-x 21)(1-x 22)>0于是，當 a>0 時，f(x 1)<f(x 2)；當 a<0 時，f(x 1) >f(x 2).故當a>0時，函數(shù)在(-1 , 1)上是增函數(shù)；當a<0時，函數(shù)在(-1 , 1)上為減 函數(shù).題型二：單調(diào)性判斷與證明1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)的是A. y=|x21| B. y 2 C. y = 2

8、x2-x+ 1 D . y=|x|+1 x題型三：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及該區(qū)間上的單調(diào)性1 .求下列函數(shù)的增區(qū)間與減區(qū)間(1)y =|x2+2x3|x2_2x1 |x 1y . x2 2x 32 .判斷函數(shù)f(x)=x3+1在(00 ,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；如果xC (0,+ °°),函數(shù)f (x)是增函數(shù)還是減函數(shù)？題型四：.已知簡單函數(shù)的單調(diào)性求與其相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性b若函數(shù)y = ax, y = x在(0,十8)上都是減函數(shù)，則函數(shù)y= ax2+ bx在(0,十8)上是 (填單調(diào)性).設(shè)y=f(x)的單增區(qū)間是(2 , 6),求函數(shù)y=f (2 x)的單

9、調(diào)區(qū)間.解：令t(x)=2-x,則由已知得,f(t)在區(qū)間是(2, 6),解：令t(x) 2 x,則由已知得 f在t (2,6)上是增函數(shù)， 而 t(x) 2 x (2,6)fx(2 ( *40臬減區(qū)間是(一4,0)又t(x) 2 x在x ( 4,0)上 是單減的，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知， f(2 x) ft(x)在 x ( 4,0) .上是單調(diào)遞減的。設(shè)函數(shù)y=f (x)是定義在(一1,1)上的增函數(shù)，則函數(shù) y = f (x21)的單調(diào)遞減區(qū)間 是已知函數(shù) f(x)=8 + 2x-x2,如果 g(x)=f( 2 x2 ),那么函數(shù) g(x)()A .在區(qū)間(一1, 0)上是減函數(shù)B.在區(qū)間(

10、0, 1)上是減函數(shù)C .在區(qū)間(一2, 0)上是增函數(shù)D.在區(qū)間(0, 2)上是增函數(shù)設(shè)y f x是R上的減函數(shù)，則 y f x 3的單調(diào)遞減區(qū)間為 .題型五：已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值圍。已知函數(shù)f(x) =x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-00, 4上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值圍 是 .已知函數(shù)y= x2+2x+1在區(qū)間3, a上是增函數(shù)，則 a的取值圍是 函數(shù)f(x)= ax2+4(a+1)x3在2,十8上遞減，則 a的取值圍是_.函數(shù)f (x)A. 0 aax 1x 212在區(qū)間(-2 , +8)B. a上是增函數(shù)，那么 a的取值圍是()C.a<-1a>1D.a>

11、-2解：f (x)=ax+1a(x+2) + 1 2ax+ 21-2a7""+ a. x+21 -2a 1 -2a任取 x1, X2C(2, +oo),且 x1<x2,則 m -r(1 2a)( x2 x1)(x1+2)( x2+2). ax+1, 一一，.:函數(shù) f(x)= 。在區(qū)間(一2, +00)上為增函數(shù). f(x1) -f(x2)<0.x+211,. x2-x1>0, x1 + 2>0, x2+2>0,1- 2a<0, a>2.即實數(shù) a 的取值圍是 2, +°0題型六：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用11 .已知f(x)在區(qū)間

12、(一8, +oo)上是增函數(shù)，a、be R且a+bw。，則下列不等式中正確的是()A.f(a) +f(b)<-f (a) + f(b)B,f (a) + f ( b)< f (-a) + f (-b)C.f(a)+f(b)> f (a) + f ( b) D.f(a) + f(b)>f( a) + f ( b)12 .定義在 R上的函數(shù)y=f(x)在(一8, 2)上是增函數(shù)，且y=f (x + 2)圖象的對稱軸是x=0,則( )D. f(2)A. f(1) vf(3) B. f (0) >f(3)C. f ( 1)=f ( 3)<f(3)已知函數(shù)f(x)在區(qū)

13、間a, b上單調(diào)，且f(a)f(b)0,則方程f(x)=0在區(qū)間a, b()A.至少有一實根B.至多有一實根C.沒有實根D.必有唯一的實根題型七：已知函數(shù)的單調(diào)性，解含函數(shù)符號的不等式。7.已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，A(0, 1)、B(3, 1)是其圖象上的兩點，那么不等式 |f(x+1)| <1的解集的補集是()A . (-1, 2)B, (1,4)C . ( 一00, - 1)U4,+°°)D. ( 一00, - 1)U2,十oo)已知：f(x)是定義在1, 1上的增函數(shù)，且f(x1)<f(x21)求x的取值圍.2 .x +4x, x>0,已知函

14、數(shù)f(x)= 4x x2 x<0若f (2 a2)>f(a),則實數(shù)a的取值圍是()A. ( -oo, -1) U(2 , +oo) B , ( - 1,2) C , ( -2,1) D . ( 8, 2) U(1 , 十0o)解析:f(x) =x2 + 4x= (x+2)2-4, x>0,4x x2=(x 2)2+4, x<0,由f(x)的圖象可知f (x)在(一8, +oo)上f (x)為R +上的增函數(shù)x 0x 2 02x2 2x 8解得x2,4是單調(diào)遞增函數(shù)，由f(2 a2)>f(a)得2 a2>a,即a2+a-2<0,解彳導(dǎo)一2<a&l

15、t;1.故選C.8.已知f(x)在其定義域R+上為增函數(shù),f(2) =1, f (xy)=f(x)+f(y),解不等式 f(x)+f(x2)<3解：f (xy) f (x) f (y) f(4)f(2) f(2) 2f(8)f(4) f(2) 3又f(x) f(x 2) f(x2 2x)由題意有f(x2 2x) f(8)題型八：已知函數(shù)的單調(diào)性求最值已知xC 0 , 1,則函數(shù)yx'2x2 J1x的最大值為 最小彳t為 函數(shù)y=x 2 v1 x + 2的值域為題型九：綜合題型 已知定義在區(qū)間(0, +8)上的函數(shù)f(x)滿足f(三產(chǎn)f(x i)-f(x 2)，且當x>1時，

16、f(x) <0.X2(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x )的單調(diào)性；(3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|) v-2.(1) f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。(2)當 0 < x < y 時，y/x > 1 ,所以 f(y) - f(x) = f(y/x) < 0。故 f 單調(diào)減。(3) f(3) = -1, f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3), f(9) = -2 而 f (| x | ) v-2 = f(9),且f單調(diào)減，所以| x | > 9 x >9或xv -9 .函數(shù) f(x)對

17、任意的 a、bC R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且當 x>0 時，f(x) >1.(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；(2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2) <3.(1)設(shè) x1,x2 C R,且 x1vx2,貝U x2-x1 >0,，f(x2-x1) > 1.f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.f (x2) >f(x1). 即f(x)是R上的增函數(shù).(2) .f (4) =f (2+2) =f (2) +f (2)

18、-1=5,，f (2) =3, .原不等式可化為 f(3m2-m-2) v f(2), f(x)是 R上的增函數(shù)，3m2-m-2v2,41,1解得-1 v m< ，故解集為., 333x設(shè)f (x)的7E義域為(0, +8),且在(0, +OO)是遞增的，f () f (x) f (y) y(1)求證：f (1) =0, f (xy) =f (x) +f (y);11(2)設(shè) f (2) =1,解不等式 f(x) f () 2。x 3(1)證明：f (x) f (x) f (y),令 x=y=1 ,則有：f (1) =f (1) -f (1) =0, yf (xy)f(y) f(x) f

19、(y)。一 x 一 一 1 一 一f(7) f(x) f(-)f (x) f(1). 一 一 1(2)解： f (x) f ()x 3f(x) f(1) f(x 3)f (x) f (x 3)f (x2 3x),2=2M=2f (2) =f (2) +f (2) =f (4),1、 c 人2f (x)f()2等價于：f(x2 3x)f(4)，x 3且x>0, x-3>0由f (x)定義域為(0, +°°)可得2- x(x3)x3x0, 4>0,又 f (x)在(0, +8)上為增函數(shù)，x23x41 x 4。又 x>3, .原不等式解集為：x|3<

20、;xW4。 U3ax12 .已知函數(shù) f(x) =-y(awl).a-1若a>0,則f(x)的定義域是 ;(2)若f (x)在區(qū)間(0,1上是減函數(shù)，則實數(shù) a的取值圍是.解析：(1)當a>0且awi時，由3 ax>0得xw,即此時函數(shù)f(x)的定義域是 一0°, | ； aa(2)當a-1>0,即a>1時，要使f(x)在(0,1上是減函數(shù)，則需 3-axi>0,此時1<aw3.當a1<0,即a<1時，要使f(x)在(0,1上是減函數(shù)，則需a>0,此時a<0.綜上所述，所數(shù) a的取值圍是(8, 0)U(1,3.13 .

21、定義在R上的函數(shù)y f(x),f(0) 0,當x 0時，f(x) 1,且對任意的a、b R,x R，恒有 f (x) 0 ;有f(a b) f(a) f(b). (1)求f(0)的值；(2)求證：對任意的2若f(x) f (2x x ) 1,求x的取值圍.解：(1)解：令 a b 0,則 f(0) f 2(0),又 f(0) 0, f (0) 1.(2)證明：當 x 0 時， x 0 , f( x) 1. f (0) f(x) f( x) 1 , 1f(x) 0 又 x 0時， f (x) 1 0 .對任意的 x R,恒有 f(x) 0.f( x)(3)解：設(shè)x1x2,貝 Ux2x10.f (

22、x2x1)1.又 f(x1)0f(x1)f(x2)f(x1) f(x2x)xf(x1)f(x2x1)f(x1)= f(x1)1 f(x2 x1) 0f (x1) f (x2).f(x)是 R 上的增函數(shù), 由 f(x) f (2x x2) 1, f(0) 1一一 一2一 一得f(3x x2)f(0).23x x 0 ,0 x 3所求的x的取值圍為(0, 3)14.已知函數(shù)f (x)對于任意x, yC R,總有 f (x) + f (y) =f(x+y),且當 x>0 時，f (x)<0 ,f(1) =-|.3(1)求證：f (x)在R上是減函數(shù);(2)求f (x)在3,3上的最大值

23、和最小值.(1)解法一：:函數(shù) f(x)對于任意 x, yC R總有 f (x)+f(y) = f (x+y),.令 x= y= 0,得 f (0) =0.再令 y= - x,得 f ( x) = f (x).在 R 上任取 xi>x2,則 xi x2>0, f (xi) f (x2) =f(xi) +f( x2) = f(xi x2).又 = x>0 時，f(x)<0,而 x . 一 ，一，一(i)當a=£時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若對任意xCi , +8 ), f(x)>0恒成立，試數(shù)a的取值圍.i 一i一解析：(i)當2=一時，f(x)=xdF2, xCi, +8)-x2x>0, f (x x2)<0 ,即 f (xi)<f (x2).因此 f (x)在 R 上是減 函數(shù).解法二：設(shè)xi>x2,貝 Uf (xi) f (x2)=f(xi x2+x2) f(x2)=f (xi x2)+f (x2) f(x2)= f (xix2).又x。時，f (x)<0 ,而 xi x2>0,，f ( xi x2)<0 ,即 f (xi)< f ( x2) ,f (x)在 R上為減(2) f(x)在R上是減函數(shù)，f (x)在3,3上也是減函數(shù)，f(x)在3,3上的