六年級奧數(shù)培訓教材2012年春季

1、目 錄第一章 數(shù)與代數(shù)第一講 比較大小第二章 實踐與應用（一）第一講 行程問題（一） 第二講 行程問題（二） 第三講 行程問題（三） 第四講 流水行船問題第三章 空間與圖形 第一講 表面積、體積（一） 第二講 表面積、體積（二）第四章 數(shù)論與整除 第一講應用同余解題第五章 應用（二）第一講 “ 牛吃草”問題第二講 不定方程 第三講 比例（補充）第六章 組合與推理第一講 最大、最小問題第二講 乘法與加法原理第三講 抽屜原理（一） 第四講 抽屜原理（二） 第五講 邏輯推理（一）第六講 邏輯推理（二） 第其講 對策問題第一章 數(shù)與代數(shù)第一講 比較大小【專題導引】我們已經(jīng)掌握了基本的比較整數(shù)、小數(shù)、分

2、數(shù)大小的方法。本周將進一步研究如何比較一些較復雜的數(shù)或式子的值的大小。解答這種類型的題目，需要將原題進行各種形式的轉(zhuǎn)化，再利用一些不等式的性質(zhì)進行推理判斷。如:a>b>0，那么a2>b2；如果a>b>0，那么>1，b>0，那么a>b等等。比較大小時，如果要比較的分數(shù)都接近1時，可先用1減去原分數(shù)，再根據(jù)被減數(shù)相等（都是1），減數(shù)越小，差越大的道理判斷原分數(shù)的大小。如果兩個數(shù)的倒數(shù)接近，可以先用1分別除以這兩個數(shù)。再根據(jù)被除數(shù)相等，商越小，除數(shù)越大的道理判斷原數(shù)的大小。除了將比較大小轉(zhuǎn)化為比差、比商等形式外，還常常要根據(jù)算式的特點將它作適當?shù)淖冃魏?/p>

3、再進行判斷。【典型例題】【例1】比較的大小。【試一試】1、 比較的大小。2、將按從小到大的順序排列出來?！纠?】比較哪個分數(shù)大？【試一試】1、 比較的大小。2、 比較的大小。【例3】的積與0.25比較，哪個大？【試一試】：1、的積與比較，哪個大？2、的積與比較，哪個大？【例4】已知A×15×=B×=C×15.2÷=D×14.8×。A，B，C，D四個數(shù)中最大的是_?！驹囈辉嚒?、 已知A×。把A，B，C，D，E這五個數(shù)從小到大排列，第2個數(shù)是_。2、 有八個數(shù)，是其中的六個數(shù)，如果從小到大排列時，第四個數(shù)是，那么從大

4、到小排列時，第四個數(shù)是哪個？【例5】下圖中有兩個紅色的正方形，兩個藍色的正方形，它們的面積已在圖中標出（單位：厘米2）。問：紅色的兩個正方形的面積大，還是藍色的兩個正方形面積大？藍藍20102紅紅199722011219962【試一試】1、如圖所示，有兩個紅色的圓與兩個藍色的圓。紅色兩圓的直徑分別是1992厘米與1949厘米，藍色兩圓的半徑分別是1990厘米與1951厘米。問：紅色兩圓面積之與大，還是藍色兩圓的面積之與大？藍紅 藍紅AByx2、如圖所示，正方形被一條曲線分成了A、B兩部分，如果x>y，試比較A、B兩部分周長的大小。課外作業(yè) 家長簽名： 1、比較的大小。2、比較的大小。3、

5、的積與0.002比較，哪個大？4、在下面四個算式中，最大的得數(shù)是幾？（1） （2） （3） （4）5、問與相比，哪個更大？為什么？第一章 實踐與應用（一）第一講 行程問題（一）【專題導引】行程問題的三個基本量是距離、速度與時間。其互逆關系可用乘、除法計算，方法簡單，但應注意行駛方向的變化，按所行方向的不同可分為三種：（1）相遇問題；（2）相離問題；（3）追及問題。行程問題的主要數(shù)量關系是：距離=速度×時間。它大致分為以下三種情況：（1） 相向而行：相遇時間=距離÷速度與。（2） 相背而行：相背距離=速度與×時間。（3） 同向而行：速度慢的在前，快的在后。 追及時間

6、=追及距離÷速度差。在環(huán)行跑道上，速度快的在前，慢的在后。 追及距離=速度差×時間。解行程問題時，要注意充分利用圖示把題中的情形形象地表示出來，有助于分析數(shù)量關系，有助于迅速地找到解題思路?！镜湫屠}】【例1】兩輛汽車同時從某地出發(fā)，運送一批貨物到距離165千米的工地。甲車比乙車早到48分鐘，當甲車到達時，乙車還距工地24千米。甲車行完全程用了多少個小時？【試一試】1、甲、乙兩地之間的距離是420千米。兩輛汽車同時從甲地開往乙地。第一輛汽車每小時行42千米，第二輛汽車每小時行28千米。第一輛汽車到乙地立即返回。兩輛車從開出到相遇共用多少小時？2、A、B兩地相距900千米，甲

7、車由A地到B地需15小時，乙車由B地到A地需10小時。兩車同時從兩地開出，相遇時甲車距B地還有多少千米？【例2】兩輛汽車同時從東、西兩站相向開出。第一次在離東站60千米的地方相遇。之后，兩車繼續(xù)以原來的速度前進。各自到達對方車站后都立即返回。又在距中點西側(cè)30千米處相遇。兩站相距多少千米？【試一試】1、兩輛汽車同時從南、北兩站相對開出，第一次在離南站55千米的地方相遇，之后兩車繼續(xù)以原來的速度前進。各自到站后都立即返回，又在距中點南側(cè)15千米處相遇。兩站相距多少千米？2、兩列火車同時從甲、乙兩站相向而行。第一次相遇在離甲站40千米的地方。兩車仍以原速繼續(xù)前進。各自到站后立即返回，又在離乙站20

8、千米的地方相遇。兩站相距多少千米？【例3】A、B兩地相距960米。甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)。若相向而行，6分鐘相遇；若同向行走，80分鐘甲可以追上乙。甲從A地走到B地要用多少分鐘？【試一試】1、一條筆直的馬路通過A、B兩地，甲、乙兩人同時從A、B兩地出發(fā)，若相向行走，12分鐘相遇；若同向行走，8分鐘甲就落在乙后面1864米。已知A、B兩地相距1800米。甲、乙每分鐘各行多少米？2、父、子二人在一400米長的環(huán)行跑道上散步。他倆同時從同一地點出發(fā)。若相背而行，分鐘相遇；若同向而行，分鐘父親可以追上兒子。問：在跑道上走一圈，父、子各需要多少分鐘？【例4】上午8時8分，小明騎自行車從家里出

9、發(fā)。8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他。在離家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后他又立即回頭去追小明。再追上他的時候，離家恰好是8千米，這時是幾時幾分？【試一試】1、A、B兩地相距21千米，上午8時甲、乙分別從A、B兩地出發(fā)，相向而行。甲到達B 地后立即返回，乙到達A地后立即返回。上午10時他們第二次相遇。此時，甲走的路程比乙走的多9千米。甲一共行了多少千米？甲每小時走多少千米？2、張師傅上班坐車，回家步行，路上一共要用80分鐘。如果往、返都坐車，全部行程要50分鐘；如果往、返都步行，全部行程要多長時間？【例5】甲、乙、丙三人，每分鐘分別行68米、70.5米、72米?，F(xiàn)甲、乙從東鎮(zhèn)去西鎮(zhèn)

10、，丙從西鎮(zhèn)去東鎮(zhèn)，三人同時出發(fā)，丙與乙相遇后，又過2分鐘與甲相遇。東、西兩鎮(zhèn)相距多少千米？【試一試】1、有甲、乙、丙三人，甲每分鐘行70米，乙每分鐘行60米，丙每分鐘行75米，甲、乙從A地去B地，丙從B地去A地，三人同時出發(fā)，丙遇到甲8分鐘后，再遇到乙。A、B兩地相距多少千米？2、一只狼以每秒15米的速度追捕在它前面100米處的兔子。兔子每秒行4.5米，6秒鐘后獵人向狼開了一槍。狼立即轉(zhuǎn)身以每秒16.5米的速度背向兔子逃去。問：開槍多少秒后兔子與狼又相距100米？課外作業(yè) 家長簽名： 1、甲、乙兩輛汽車早上8點鐘分別從A、B兩城同時相向而行。到10點鐘時兩車相距112.5千米。繼續(xù)行進到下午1

11、時，兩車相距還是112.5千米。A、B兩地間的距離是多少千米？2、甲、乙兩輛汽車同時從A、B兩地相對開出。第一次相遇時離A站有90千米。然后各按原速繼續(xù)行駛，分別到達對方車站后立即沿原路返回。第二次相遇時離A地的距離占A、B兩站間全程的65%。A、B兩站間的路程是多少千米？3、兩條公路呈十字交叉。甲從十字路口南1350米處向北直行，乙從十字路口處向東直行。同時出發(fā)10分鐘后，二人離十字路口的距離相等；二人仍保持原來速度直行，又過了80分鐘，這時二人離十字路口的距離又相等。求甲、乙二人的速度。4、當甲在60米賽跑中沖過終點線時，比乙領先10米，比丙領先20米。如果乙與丙按原來的速度繼續(xù)沖向終點，

12、那么乙到達終點時將比丙領先多少米？5、甲、乙兩車同時從A地開往B地，乙車6小時可以到達，甲車每小時比乙車慢8千米，因此比乙車遲一小時到達。A、B兩地間的路程是多少千米？第二講 行程問題（二）【專題導引】 在行程問題中，與環(huán)形有關的行程問題的解決方法與一般行程問題的方法類似，但有兩點值得注意：一是兩人同地背向運動，從第一次相遇到下次相遇共行一個全程；二是同地、同向運動時，甲追上乙時，甲比乙多行一個全程?！镜湫屠}】【例1】甲、乙、丙三人沿著湖邊散步，同時從湖邊一固定點出發(fā)。甲按順序針方向行走，乙與丙按逆時針方向行走。甲第一次遇到乙后分遇到丙，再過分鐘第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的，湖的周長為6

13、00米，求丙的速度?！驹囈辉嚒?、甲、乙、丙三人環(huán)湖跑步，同時從湖邊一固定點出發(fā)。乙、丙兩人同向，甲與乙、丙反向。在甲第一次遇到乙后分鐘第一次遇到丙；再過分鐘第二次遇到乙。已知甲的速度與乙的速度比是3：2，湖的周長為2000米，求三人的速度。2、兄、妹二人在周長為30米的圓形小池邊玩。從同一地點同時背向繞水池而行。兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米。他們第10次相遇時，妹還要走多少米才能回到出發(fā)點？【例2】甲、乙兩人在同一條橢圓形跑道上做特殊訓練。他們同時從同一地點出發(fā)，沿相反方向跑。每人跑完第一圈到達出發(fā)點后，立即回頭加速跑第二圈。跑第一圈時，乙的速度是甲的。甲跑第二圈時速度比第一圈提高了，

14、乙跑第二圈時速度提高了。已知甲、乙兩人第二次相遇點距第一次相遇點190米。這條橢圓形跑道長多少米？【試一試】：1、小明繞一個圓形長廊游玩。順時針走，從A處到C處要12分鐘，從B處到A處要15分鐘，從C處到B處要11分鐘。從A處到B處需要多少分鐘（如下圖所示）？ABC2、摩托車與小汽車同時從A地出發(fā)，沿長方形的邊行駛，結(jié)果在B地相遇。已知B地與C地的距離是4千米，且小汽車的速度為摩托車速度的。這條長方形路的周長是多少千米（如圖）？ABC【例3】繞湖的一周是24千米，小張與小王在湖邊某一地點同時出發(fā)反向而行。小王以每小時4千米速度走1小時后休息5分鐘，小張以每小時6千米速度每走50分鐘后休息10分

15、鐘。兩人出發(fā)多少時間第一次相遇？【試一試】1、在400米環(huán)行跑道上，A、B兩點相距100米。甲、乙兩人分別從A、B兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步，甲每秒行5米，乙每秒行4米，每人跑100米都要停留10秒鐘。那么，甲追上乙需要多少秒？2、一輛汽車在甲、乙兩站之間行駛。往、返一次共用去4小時。汽車去時每小時行45千米，返回時每小時行駛30千米，那么甲、乙兩站相距多少千米？【例4】一個游泳池長90米。甲、乙二人分別從游泳池的兩端同時出發(fā)，游到另一端立即返回。照這樣往、返游，兩人游10分鐘。已知甲每秒游3米，乙每秒游2米。在出發(fā)后的兩分鐘內(nèi)，兩人相遇了幾次？【試一試】1、甲、乙兩個運動員同時從游泳池的

16、兩端相向出發(fā)做往、返游泳訓練。從池的一端到另一端甲要3分鐘，乙要3.2分鐘。兩人下水后連續(xù)游了48分鐘，一共相遇了多少次？2、一游泳池泳道長100米，甲、乙兩個運動員從泳道的兩端同時下水，做往、返訓練15分鐘，甲每分鐘游81米，乙每分鐘游89米。甲運動員一共從乙運動員身邊經(jīng)過了多少次？【例5】甲、乙兩地相距60千米。張明8點從甲地出發(fā)去乙地，前一半時間平均速度為每分鐘1千米，后一半時間平均速度為每分鐘0.8千米。張明經(jīng)過多少時間到達乙地？【試一試】1、A、B兩地相距90千米。一輛汽車從A地出發(fā)到B地，前一半時間平均每小時行60千米，后一半時間平均每小時行40千米。經(jīng)過多少時間可以到達B地？2、

17、甲、乙兩人同時從A地背向出發(fā)，沿400米環(huán)行跑道行走。甲每分鐘走80米，乙每分鐘走50米。兩人至少經(jīng)過多少分鐘才能在A點相遇？課外作業(yè) 家長簽名： CDAB1、如圖所示，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B點，同時出發(fā)反向而行，他們在C點第一次相遇，C點離A點80米；在D點第二次相遇，D點離B點60米。求這個圓的周長。2、甲、乙兩人在圓形跑道上，同時從某地出發(fā)沿相反方向跑步。甲速是乙速的3倍，他們第一次與第二次相遇地點之間的路程是100米。環(huán)行跑道有多少米？3、龜、兔進行10000米跑步比賽。兔每分鐘跑400米，龜每分鐘跑80米，兔每跑5分鐘歇25分鐘，龜不休息。誰先到達終點？4、馬路

18、上有一輛身長為15米的公共汽車，由東向西行駛，車速為每小時18千米。馬路一旁人行道上有甲、乙兩名年輕人正在練長跑，甲由東向西跑，乙由西向東跑。某一時刻，汽車追上了甲，6秒鐘之后汽車離開了甲，半分鐘后，汽車遇到迎面跑來的乙，又過了2秒鐘，汽車離開乙。再過幾秒鐘后，甲、乙兩人相遇？5、在300米的環(huán)行跑道上，甲、乙兩人同時并排起跑。甲平均每秒行5米，乙平均每秒行4.4米。兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前面多少米？第三講 行程問題（三）【專題導引】本周主要講結(jié)合分數(shù)、百分數(shù)知識相關的較為復雜抽象的行程問題。要注意：出發(fā)的時間、地點與行駛方向、速度的變化等，常常需畫線段圖來幫助理解題意?！镜湫屠}】【

19、例1】客車與貨車同時從A、B兩地相對開出?？蛙嚸啃r行駛50千米，貨車的速度是客車的80，相遇后客車繼續(xù)行3.2小時到達B地。A、B兩地相距多少千米？【試一試】1、甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，相遇點距中點320米。已知甲的速度是乙的速度的，甲每分鐘行800米。求A、B兩地的路程。2、甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，勻速前進。如果每人按一定的速度前進，則4小時相遇；如果每人各自都比原計劃每小時少走1千米，則5小時相遇。那么A、B兩地的距離是多少千米？【例2】從甲地到乙地的路程分為上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是1：2：3，某人走這三段路所用的時間比是4：5：6。已

20、知他上坡的速度為每小時2.5千米，路程全長為20千米。此人從甲地走到乙地需多長時間？【試一試】1、從甲地到乙地的路程分為上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是2：3：5，小亮走這三段路所用的時間之比是6：5：4。已知小亮走平路時速度為每小時4.5千米，他從甲地走到乙地共用了5小時。問：甲、乙兩地相距多少千米？2、小明去登山，上午6點出發(fā)，走了一段平坦的路，爬上了一座山，在山頂停了1小時后按原路返回，上坡速度為每小時3千米，下坡速度為每小時6千米。問：小明一共走了多少千米？【例3】甲、乙兩人分別從A、B兩地出發(fā)，相向而行，出發(fā)時他們的速度比是3：2。他們第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度

21、提高了30%。這樣，當甲到達B地時，乙離A地還有14千米。那么A、B兩地間的距離是多少千米？【試一試】1、甲、乙兩人步行的速度比是13：11，他們分別由A、B兩地同時出發(fā)相向而行，0.5小時后相遇。如果他們同向而行，那么甲追上乙需要幾小時？2、從A地到B地，甲要走2小時，乙要走1小時40分鐘。若甲從A地出發(fā)8分鐘后，乙從A地出發(fā)追甲。乙出發(fā)多久能追上甲？【例4】甲、乙兩班學生到離校24千米的飛機場參觀，一輛汽車一次只能坐一個班的學生。為了盡快到達機場，兩個班商定，由甲班先坐車，乙班步行，同時出發(fā)。甲班學生在中途下車步行去飛機場，汽車立即返回接途中步行的乙班同學。已知兩班學生步行速度相同，汽車的

22、速度是步行的7倍，汽車應在距飛機場多少千米處返回接乙班同學，才能使兩班學生同時到達飛機場（學生上下車及汽車換向時間不計算）？【試一試】1、紅星小學有80名學生租了一輛40座的車去海邊看日出。未上車的學生步行，與汽車同時出發(fā)，由汽車往返接送。學校離海邊48千米，汽車的速度是步行的9倍。汽車應在距海邊多少千米處返回接第二批學生，才能使學生同時到達海邊？2、一輛汽車把貨物從甲地運往乙地往返只用了5小時，去時所用的時間是回來的倍，去時每小時比回來時慢17千米。汽車往、返共行了多少千米？【例5】一輛汽車從甲地開往乙地，如果把車速提高20，可以比原定時間提前1小時到達；如果按原速行駛120千米后，再將速度

23、提高25，則可提前40分鐘到達。那么甲、乙兩地相距多少千米？【試一試】1、一輛車從甲地開往乙地。如果把車速提高25，那么可以比原定時間提前1小時到達；如果以原速行駛80千米后，再將速度提高，那么可以提前10分鐘到達乙地。甲、乙兩地相距多少千米？2、一個正方形的一邊減少20，另一邊增加2米，得到一個長方形。這個長方形的面積與原正方形面積相等。原正方形面積是多少平方米？課外作業(yè) 家長簽名： 1、甲、乙兩人同時騎自行車從東、西兩鎮(zhèn)相向而行，甲與乙的速度比是3：4。已知甲行了全程的，離相遇地點還有20千米，相遇時甲比乙少行多少千米？2、青青從家到學校正好要翻過一座小山，她上坡每分鐘行50米，下坡速度比

24、上坡速度快40，從家到學校的路程為2800米，上學要用50分鐘。從學?；丶乙枚嗌贂r間？3、甲、乙兩車分別從A、B兩地出發(fā)，相向而行。出發(fā)時，甲、乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度減少20%，乙的速度增加20%，這樣，當甲到達B地時，乙離A地還有10千米。那么，A、B兩地相距多少千米？4、甲、乙兩人以同樣的速度，同時從A、B兩地相向出發(fā)，相遇后甲的速度提高了，用小時到達B地。乙的速度減少了，再用多少小時可到達A地？5、客、貨兩車同時從甲、乙兩的相對開出，相遇時客、貨兩車所行路程的比是5：4，相遇后貨車每小時比相遇前每小時多走27千米?？蛙嚾园丛偾斑M，結(jié)果兩車同時到達對方的出發(fā)站。已知客車一

25、共行了10小時。甲、乙兩地相距多少千米？第四講 流水行船問題【專題導引】當你逆風騎自行車時有什么感覺？是的，逆風時需用很大力氣，因為面對的是迎面吹來的風。當順風時，借著風力，相對而言用力較少。在你的生活中是否也遇到過類似的如流水行船問題。解答這類題的要素有下列幾點：水速、順速、船速（速水速度）、逆速、距離，解答這類題與與差問題相似。船速相當于與差問題中的大數(shù)，水速相當于小數(shù)，順流速度相當于與數(shù)，逆流速相當于差數(shù)。船速=（順流船速+逆流船速）÷2；水速=（順流船速-逆流船速）÷2；順流船速=船速+水速；逆流船速=船速-水速；順流船速=逆流船速+水速×2；逆流船速=順

26、流船速-水速×2?！镜湫屠}】【例1】一條輪船往返于A、B兩地之間，由A地到B地是順水航行，由B地到A地是逆水航行。已知船在靜水中的速度是每小時20千米，由A到B用了6小時，由B到A所用的時間是由A到B所用時間的1.5倍，求水流速度。【試一試】：1、水流速度是每小時15千米?，F(xiàn)在有船順水而行，8小時行320千米。若逆水行駛320千米需幾小時？2、水流速度每小時5千米?，F(xiàn)在有一船逆水在120千米的河中航行需6小時，順水航行需幾小時？【例2】有一船行駛于120千米長的河中，逆行需10小時，順行要6小時，求船速與水速?！驹囈辉嚒?、有只大木船在長江中航行。逆流而上5小時行5千米，順流而下1

27、小時行5千米。求這只木船的靜水速度與水流速度各是多少？2、有一船完成360千米的水程運輸任務。順流而下30小時到達，但逆流而上則需60小時。求河水流速與靜水中船的速度？【例3】輪船以同一速度往返于兩碼頭之間。它順流而下，行了8小時；逆流而上，行了10小時。如果水流速度是每小時3千米，求兩碼頭之間的距離?！驹囈辉嚒浚?、一艘輪船以同樣的速度往返于甲、乙兩個港口，它順流而下行了7小時，逆流而上行了10小時。如果水流速度是每小時3.6千米，求甲、乙兩個港口之間的距離？2、一艘漁船順水每小時行18千米，逆水每小時行15千米。求船速與水速各是多少？【例4】汽船每小時行30千米，在長176千米的河中逆流航

28、行要11小時到達，返回需幾小時？【試一試】：1、當一機動船在水流每小時3千米的河中逆流而上時，8小時行48千米。返回時水流速度是逆流而上的2倍。需幾小時行195千米？2、已知一船自上游向下游航行，經(jīng)9小時后，已行673千米，此船每小時的船速是47千米。求此河的水速是多少？【例5】有甲、乙兩船，甲船與漂流物同時由河西向東而行，乙船也同時從河東向西而行。甲船行4小時后與漂流物相距100千米，乙船行12小時后與漂流物相遇，兩船的船速相同，河長多少千米？【試一試】1、有兩只木排，甲木排與漂流物同時由A地向B地前行，乙木排也同時從B地向A地前行，甲木排5小時后與漂流物相距75千米，乙木排航行15小時后與

29、漂流物相遇，兩只木排的船速相同，A、B兩地長多少千米？2、有一條河在降雨后，每小時水的流速在中流與沿岸不同。中流每小時59千米，沿岸每小時45千米。有一汽船逆流而上，從沿岸航行15小時走完570千米的路程，回來時幾小時走完中流的全程？課外作業(yè) 家長簽名： 1、一船從A地順流到B地，航行速度是每小時32千米，水流速度是每小時4千米，天可以到達。此船從B地返回到A地需多少小時？2、一海輪在海中航行。順風每小時行45千米，逆風每小時行31千米。求這艘海輪每小時的船速與風速各是多少？3、沿河有上、下兩個市鎮(zhèn)，相距85千米。有一只船往返兩市鎮(zhèn)之間，船的速度是每小時18.5千米，水流速度每小時1.5千米。

30、求往、返一次所需的時間。4、一只小船在河中逆流航行3小時行3千米，順流航行1小時行3千米。求這只船每小時的速度與河流的速度各是多少？5、有一架飛機順風而行4小時飛360千米。今出發(fā)至某地順風去，逆風回，返回的時間比去的時間多3小時。已知逆風速度為75千米/小時，求距目的地多少千米？第二章 空間與圖形第一講 表面積、體積（一）【專題導引】小學階段所學的立體圖形主要有四種：長方體、正方體、圓柱體與圓錐體。從平面圖形到立體圖形是認識上的一個飛躍，需要有更高水平的空間想象能力。因此，要牢固掌握這些幾何圖形的特征與有關的計算方法，能將公式做適當?shù)淖冃危B(yǎng)成“數(shù)、形”結(jié)合的好習慣，解題時要認真細致的觀察，

31、合理大膽的想象，正確靈活的運用。在解答立體圖形的表面積問題時，要注意以下幾點： （1）充分利用正方體六個面的面積都相等，每個面都是正方形的特點。 （2）把一個立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之，把兩個立體圖形粘合到一起，減少的表面積等于粘合面積的兩倍。 （3）若把幾個長方體拼成一個表面積最大的正方體，應把它們最小的面拼合起來。若把幾個長方體拼成一個表面積最小的長方體，應把它們最大的面積拼合起來。【專題導引】【例1】從一個棱長10厘米的正方體木塊上挖去一個長10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長方體，剩下部分的表面積是多少？（考慮有多種挖法）【試一試】1、從一個長10厘米、寬

32、6厘米、高5厘米的長方體木塊上挖去一個棱長2厘米的小正方體，剩下部分的表面積是多少？2、把一個長為12分米，寬為6分米，高為9分米的長方體木塊鋸成兩個相同的小長方體木塊，這兩個小長方體的表面積之與，比原來長方體的表面積增加了多少平方分米？【例2】把19個棱長為3厘米的正方體重疊起來，如下圖所示，拼成一個立體圖形，求這個立體圖形的表面積。從上往下看從前往后看從左往右看【試一試】1、用棱長是一厘米的立方體拼成下圖所示的立方體圖形。求這個立體圖形的表面積。2、一堆積木（如圖所示），是由16塊棱長是2厘米的小正方體堆成的。它們的表面積是多少平方厘米？【例3】把兩個長、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米

33、的相同長方體，拼成一個大長方體，這個大長方體的表面積最少是多少平方厘米？【試一試】1、把底面積為20平方厘米的兩個相等的正方體拼成一個長方體，長方體的表面積是多少？2、將一個表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個長方體，再將這兩個長方體拼成一個大長方體。求大長方體的表面積是多少？【例4】一個長方體，如果長增加2厘米，則體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米，則體積增加90立方厘米。求原長方體的表面積。【試一試】1、一個長方體，如果長減少2厘米，則體積減少48立方厘米；如果寬增加厘米，則體積增加65立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方厘米。原來長方體的表面積是多少平方厘米？2、一個長方

34、體木塊，從下部與上部分別截去高為3厘米與2厘米的長方體后，便成為一個正方體，其表面積減少了120平方厘米。原來長方體的體積是多少立方厘米？【例5】如圖所示，將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米與0.5米的三個圓柱組成一個物體。求這個物體的表面積。【試一試】1、一個棱長為40厘米的正方體零件（如圖所示）的上、下兩個面上，各有一個直徑為4厘米的圓孔，孔深為10厘米。求這個零件的表面積。2、用鐵皮做一個如圖所示的工件（單位：厘米），需用鐵皮多少平方厘米？154654課外作業(yè) 家長簽名： 1、在一個棱長是4厘米的長方體上挖一個棱長是1厘米的小正方體后，表面積會發(fā)生怎樣的變化？（考慮有多種挖法）2

35、、一個正方體的表面積是384平方厘米，把這個正方體平均分割成64個相等的小正方體。每個小正方體的表面積是多少平方厘米？3、用6塊長、寬、高分別是3厘米、2厘米、1厘米的長方體木塊拼成一個大長方體，有許多種拼法，其中表面積最小的是多少平方厘米？4、有一個長方體（如圖所示），它的正面與上面的面積之與是209。如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個長方體的體積是多少？5、如圖所示，在一個立方體的兩對側(cè)面的中心各打通一個長方體的洞，在上、下側(cè)面的中心打通一個圓柱形的洞。已知立方體棱長為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長為4厘米的正方形，上、下側(cè)面的洞口是直徑為4厘米的圓，求該立方體的表面積與體積。（取3.14）。

36、第二講 表面積、體積（二）【專題導引】解答立體圖形的體積問題時，要注意以下幾點：（1）物體沉入水中，水面上升部分的體積等于物體的體積。把物體從水中取出，水面下降部分的體積等于物體的體積。這是物體全部浸沒在水中的情況。如果物體不全部浸在水中，那么排開水的體積就等于浸在水中的那部分物體的體積。（2）把一種形狀的物體變?yōu)榱硪环N形狀的物體后，形狀變了，但它的體積保持不變。（3）求一些不規(guī)則形體體積時，可以通過變形的方法求體積。（4）求與體積相關的最大、最小值時，要大膽想象，多思考、多嘗試，防止思維定勢?！镜湫屠}】【例1】有大、中、小三個正方體水池，它們的內(nèi)邊長分別為6米、3米、2米。把兩堆碎石都沉在

37、中、小水池里，兩個水池水面分別升高了6厘米與4厘米。如果將這兩堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？【試一試】1、有大、中、小三個正方體水池，它們的內(nèi)邊長分別為4米、3米、2米。把兩堆碎石都沉在中、小水池的水中，兩個水池的水面分別升高了4厘米與11厘米。如果將這兩堆碎石都沉在大水池里，那么大水池的水面將升高多少厘米？2、用直徑為20厘米的圓鋼，鍛造成長、寬、高分別為30厘米、20厘米、5厘米的長方體鋼板，應截取圓鋼多長（精確到0.1厘米）？【例2】一只底面直徑是10厘米的圓柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入長與寬都是8厘米、高是15厘米的一塊鐵塊，把鐵塊豎放在水中，水面上升幾厘米？【

38、試一試】1、一個底面積是15平方厘米的玻璃杯中裝有高3厘米的水?，F(xiàn)把一個底面半徑是1厘米、高5厘米的圓柱形鐵塊垂直放入玻璃杯水中，問水面升高了多少厘米（取3）？2、一個圓柱形玻璃杯內(nèi)盛有水，水面高5厘米，玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積是72平方厘米。在這個杯中放進棱長6厘米的正方體鐵后，水面沒有淹沒鐵塊，這時水面高多少厘米？【例3】某面粉廠有一容積是24立方米的長方體儲糧池，它的長是寬或高的2倍。當貼著它一最大的內(nèi)側(cè)面將面粉堆成一個最大的半圓錐體時，求這堆面粉的體積。（如圖所示）【試一試】1、已知一個圓錐體的底面半徑與高都等于一正方體的棱長，這個正方體的體積是216立方分米。求這個圓錐體的體積。2、一個正

39、方體的紙盒中，恰好能裝入一個體積6.28立方厘米的圓柱體。紙盒的容積有多大（取3.14）？【例4】如果把12件同樣長的長方體物品打包，形成一件大的包裝物，有幾種包裝方法？怎樣打包物體的表面積最小呢？【試一試】1、如果把長8厘米，寬7厘米，高3厘米的12件同樣的長方形物品打包，形成一件大的包裝物，有幾種包裝方法？怎樣打包，物體的表面積最??？2、一個精美小禮品盒的形狀是長9厘米，寬6厘米，高4厘米的長方體。請你幫廠家設計一個能裝10個小禮品盒的大紙箱，你覺得怎樣設計比較合理？為什么？【例5】一只集裝箱，它的內(nèi)尺寸是18×18×18?，F(xiàn)在有一批貨箱，它的外尺寸是1×4&

40、#215;9。問這只集裝箱能裝多少只貨箱？【試一試】1、有一個長方體的盒子，從里面量長為40厘米、寬為12厘米、高為7厘米。在這個盒子里放長5厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體木塊，最多可放幾塊？2、從一個長、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的長方體上面，盡可能大地切下一個正方體，然后從剩余的部分再盡可能大地切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大地切下一個正方體，剩下的體積是多少立方厘米？課外作業(yè) 家長簽名： 1、將表面積為54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三個鐵質(zhì)正方體熔鑄成一個大正方體（不計損耗）。求這個大正方體的體積。2、在底面是邊長為60厘米的正方形的一個長方

41、體容器里，直立放著一個長100厘米、底面邊長為15厘米的正方形的四棱柱鐵棍。這時容器里的水深50厘米。現(xiàn)在把鐵棍輕輕地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱鐵棍浸濕部分長多少厘米？3、如圖所示，圓錐形容器中裝有3升水，水面高度正好是圓錐高度的一半。這個容器還能裝多少水？4、一包香煙的形狀是長方體，它的長是9厘米，寬是5厘米，高是2厘米。把10包香煙包裝在一起形成一個大長方體，稱為一條?？梢栽鯓影b？算一算需要多少包裝紙（包裝紙的重疊部分忽略不計）。你認為哪一種包裝比較合理？5、現(xiàn)有一張長40厘米、寬20厘米的長方形鐵皮，請你用它做一只深是5厘米的長方體無蓋鐵皮盒（焊接處及鐵皮厚度不計，容積越大

42、越好），你做的鐵皮盒容積是多少立方厘米？第三章 數(shù)論與整除第一講 應用同余解題【專題導引】同余這個概念最初是由偉大的德國數(shù)學家高斯發(fā)現(xiàn)的。同余的定義是這樣的：兩個整數(shù)a、b，如果它們除以同一自然數(shù)m所得的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余。記作：ab（mod m）。讀做:a與b關于模m同余。比如，12除以5，47除以5，它們有相同的余數(shù)2，這時我們就說，對于除數(shù)5，12與47同余，記做1247（mod 5）。同余的性質(zhì)比較多，主要有以下一些：性質(zhì)1：對于同一個除數(shù)，兩個數(shù)之與（或差）與它們的余數(shù)之與（或差）同余。比如：32除以5余數(shù)是2，19除以5余數(shù)是4，兩個余數(shù)的與是2+4=6?！?2+19

43、”除以5的余數(shù)就恰好等于它們的余數(shù)與6除以5的余數(shù)。也就是說，對于除數(shù)5，“32+19”與它們的余數(shù)與“2+4”同余，用符號表示就是：322（mod 5），194（mod 5），32+192+41（mod 5）。性質(zhì)2：對于同一個除數(shù)，兩個數(shù)的乘積與它們余數(shù)的乘積同余。性質(zhì)3：對于同一個除數(shù)，如果有兩個整數(shù)同余，那么它們的差就一定能被這個除數(shù)整除。性質(zhì)4：對于同一個除數(shù)，如果兩個整數(shù)同余，那么它們的乘方仍然同余。應用同余性質(zhì)解題的關鍵是要在正確理解的基礎上靈活運用同余性質(zhì)。把求一個較大的數(shù)除以某數(shù)的余數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求一個較小的數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)，使復雜的題變簡單，使困難的問題變?nèi)菀??！镜湫屠}】

44、【例1】求1992×59除以7的余數(shù)?！驹囈辉嚒浚?、求4217×364除以6的余數(shù)。2、求1339655×12除以13的余數(shù)?！纠?】已知2001年的國慶節(jié)是星期一，求2010年的國慶節(jié)是星期幾？【試一試】：1、已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期幾？2、已知2002年的“七月一日”是星期一。求2015年的“十月一日”是星期幾？【例3】求20012003除以13的余數(shù)。【試一試】：1、求16200除以13的余數(shù)。2、求392除以21余幾?！纠?】自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相同，m最大是多少？【試一試】：1、若2836，45

45、82，5164，6522四個整數(shù)都被同一個兩位數(shù)相除，所得的余數(shù)相同。除數(shù)是多少？2、一個整數(shù)除226，192，141都得到相同的余數(shù)，且余數(shù)不為0，這個整數(shù)是幾？【例5】某數(shù)用6除余3，用7除余5，用8除余1。這個數(shù)最小是幾？【試一試】：1、某數(shù)除以7余1，除以5余1，除以12余9。這個數(shù)最小是幾？2、某數(shù)除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此數(shù)最小值？課外作業(yè) 家長簽名： 1、求879×4376×5283除以11的余數(shù)。2、今天是星期四，再過36515天是星期幾？3、9個小朋友坐成一圈，要把357粒瓜子平均分給他們，最后剩下幾粒？4、當1991與1769除以某一個自

46、然數(shù)m時，余數(shù)分別為2與1，那么m最小是多少？5、在一個圓圈上有幾十個孔（如圖），小明像玩跳棋那樣從A孔出發(fā)沿逆時針方向每隔幾個孔跳一步，希望一圈以后能跑回A孔，他先試著每隔2孔跳一步，結(jié)果只能跳到B孔。他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔。問：這個圓圈上共有多少個孔？BA第四章 應用（二）第一講 “牛吃草”問題【專題導引】牛吃草問題是牛頓問題，因牛頓提出而得名的?！耙欢巡菘晒?0頭牛吃3天，供6頭牛吃幾天？”這題很簡單，用3×10÷6=5（天）。如果把“一堆草”換成“一片正在生長的草地”，問題就不那么簡單了。因為草每天都在生長，草的數(shù)

47、量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）的問題就是“牛吃草”問題。解答這類題的關鍵是要想辦法從變化中找到不變的量。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以每天新長出的草是不變的。正確計算草地上原有的草及每天長出的新草，問題就容易解決了?！镜湫屠}】【例1】一片青草地，每天都勻速長出青草，這片青草可供27頭牛吃6周或23頭牛吃9周。那么這片草地可供21頭牛吃幾周？【試一試】：1、一片草地，每天都勻速長出青草。如果可供24頭牛吃6天，20頭牛吃10天。那么，可供19頭牛吃多少天？2、牧場上一片草地，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃1

48、0天。問可供25頭牛吃幾天？【例2】由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？【試一試】：1、由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以均勻的速度在減少。經(jīng)計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃幾天？2、因天氣漸冷，牧場上的草以固定的速度在減少。已知牧場上的草可供33頭牛吃5天，或可供24頭牛吃6天。照此計算，這個牧場可供多少頭牛吃10天？【例3】自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級臺階，女孩每分鐘走1

49、5級臺階，結(jié)果男孩用5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級臺階？【試一試】：1、自動扶梯以均勻速度行駛著，小明與小紅要從扶梯上樓。已知小明每分鐘走25級臺階，小紅每分鐘走20級臺階，結(jié)果小明用5分鐘、小紅用了6分鐘分別到達樓上。該扶梯共多少級臺階？2、兩個頑皮的孩子逆著自動扶梯的方向行走。在20秒鐘里，男孩可走27級臺階，女孩可走24級臺階，男孩走了2分鐘到達另一端，女孩走了3分鐘到達另一端，該扶梯共多少級臺階？【例4】一只船有一個漏洞，水以均勻的速度進入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一些水。如果用12人舀水，3小時舀完。如果只有5個人舀水，要10小時才能舀完?，F(xiàn)在要想2小時舀

50、完，需要多少人？【試一試】：1、有一水池，池底有泉水不斷涌出。用10部抽水機20小時可以把水抽干，用15部相同的抽水機10小時可以把水抽干。那么用25部這樣的抽水機多少小時可以把水抽干？2、有一個長方形的水箱，上面有一個注水孔，底面有個出水孔，兩孔同時打開后，如果每小時注水30立方分米，7小時可以注滿水箱；如果每小時注水45立方分米，注滿水箱可少用2.5小時。那么每小時由底面小孔排出多少立方分米的水（設每小時排水量相同）？【例5】有三塊草地，面積分別為5，6與8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問第三塊草地可供19頭牛吃多少

51、天？【試一試】：1、某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時打開7個檢票口，那么需多少分鐘？2、快、中、慢三車同時從A地出發(fā)，追趕一輛正在行駛的自行車，三車的速度分別是每小時24千米、20千米、19千米。快車追上自行車用了6小時，中車追上自行車用了10小時，慢車追上自行車用多少小時？課外作業(yè) 家長簽名： 1、牧場上的青草每天都在勻速生長。這片牧草可供27頭牛吃6周或供23頭牛吃9周。那么，可供21頭牛吃幾周？2、經(jīng)測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活3

52、00年。假設地球新生成的資源增長速度是一樣的，那么，為滿足人類不斷發(fā)展的需要，地球最多能養(yǎng)活多少億人？3、兩只蝸牛由于耐不住陽光的照射，從井頂逃向井底。白天往下爬，兩只蝸牛白天爬行的速度是不同的。一只每天白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的。結(jié)果一只蝸牛恰好用5個晝夜到達井底，另一只蝸牛恰好用6個晝夜到達井底。那么，井深多少米？4、有一水井，連續(xù)不斷涌出泉水，每分鐘涌出的水量相等。如果用3臺抽水機來抽水，36分鐘可以抽完；如果使用5臺抽水機，20分鐘抽完。現(xiàn)在12分鐘內(nèi)要抽完井水，需要抽水機多少臺？5、一個牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供17頭牛

53、吃30天，或供19頭牛吃24天?，F(xiàn)有一群牛吃了6天后賣掉4頭，余下的牛又吃了2天將草吃完。這群牛原來有多少頭？第二講 不定方程【專題導引】 當方程的個數(shù)比方程中未知數(shù)的個數(shù)少時，我們就稱這樣的方程為不定方程。如5x-3y=9就是不定方程。這種方程的解是不確定的。如果不加限制的話，它的解有無數(shù)個；如果附加一些限制的條件，那么它的解的個數(shù)就是有限的了。如5x-3y=9的解有：如果限定x,y的解是小于5的整數(shù)，那么解就只有x=3,y=2這組了。因此，研究不定方程主要就是分析討論這些限制條件對解的影響。解不定方程時一般要將原方程適當變形，把其中的一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)來表示，然后在一定范圍內(nèi)試驗求解

54、。解題時要注意觀察未知數(shù)前面系數(shù)的特點，盡量縮小未知數(shù)的取值范圍，減少試驗的次數(shù)。對于有3個未知數(shù)的不定方程組，可用消去法把它轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程后再求解。解答應用題時，要根據(jù)題中的限制條件（有時是明顯的，有時是隱蔽的）取適當?shù)闹??！镜湫屠}】【例1】求3x+4y=23的自然數(shù)解。【試一試】1、求3x+2y=25的自然數(shù)解。2、求4x+5y=37的自然數(shù)解?！纠?】求下面方程組的正整數(shù)解?！驹囈辉嚒壳笙旅娣匠探M的正整數(shù)解。1、 2、【例3】一個商人將彈子放進兩種盒子里，每個大盒子裝12個，每個小盒子裝5個，恰好裝完。如果彈子數(shù)為99，盒子數(shù)大于9，問兩種盒子各有多少個？【試一試】1、某校六（

55、1）班學生48人到公園劃船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船與大船各幾只（大、小船都有）？2、甲級鉛筆7角錢一支，乙級鉛筆3角錢一支，小花用六元錢恰好可以買兩種不同的鉛筆共幾支？【例4】買三種水果30千克，共用去80元。其中蘋果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。問三種水果各買了多少千克？【試一試】1、有紅、黃、藍三種顏色的皮球共26只，其中藍皮球的只數(shù)是黃皮球的9倍，藍皮球有多少只？2、用10元錢買25支筆。已知毛筆每支2角，彩色筆每支4角，鋼筆每支9角。問每種筆各買幾支（每種都要買）？【例5】某次數(shù)學競賽準備了22支鉛筆作為獎品發(fā)給獲得一、二、三等獎的學生。原計劃

56、一等獎每人發(fā)6支，二等獎每人發(fā)3支，三等獎每人發(fā)2支。后來又改為一等獎每人發(fā)9支，二等獎每人發(fā)4支，三等獎每人發(fā)1支。問：一、二、三等獎的學生各有幾人？【試一試】1、某人打靶，8發(fā)打了53環(huán)，全部命中在10環(huán)、7環(huán)與5環(huán)上。他命中10環(huán)、7環(huán)與5環(huán)各幾發(fā)？2、籃子里有煮蛋、茶葉蛋與皮蛋30個，價值24元。已知煮蛋每個0.60元，茶葉蛋每個1元，皮蛋每個1.20元。問籃子里最多有幾個皮蛋？課外作業(yè) 家長簽名： 1、求5x-3y=16的最小自然數(shù)解。2、求下面方程組的正整數(shù)解。3、小華與小強各用6角4分買了若干支鉛筆，他們買來的鉛筆中都是5分一支與7分一支的兩種，而且小華買來的鉛筆比小強多，小華比小強多買來鉛筆多少支？4、小敏在文具店買了三種貼