特殊平行四邊形（三）教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第三章 證明（三）特殊平行四邊形（三）山東省青島市第五十三中學(xué) 裴瑋一、學(xué)生知識(shí)狀況分析學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在八年級(jí)已經(jīng)借助折紙、畫圖、測(cè)量等活動(dòng)直觀的探索過平行四邊形、菱形、矩形、正方形等性質(zhì)和判定，本章教材主要是對(duì)這些結(jié)論進(jìn)行理論的證明，而前面的探索過程和方法又為本章證明提供了鋪墊，為學(xué)生提供了相應(yīng)的定理證明思路。本章前幾節(jié)課中，學(xué)生又學(xué)習(xí)了“三角形中位線定理”，這些都為探究“中點(diǎn)四邊形”做了鋪墊，學(xué)生已經(jīng)具備了探究該命題的基本技能；學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，并初步體會(huì)了獲得猜想后還應(yīng)予以證明的意義，感受到了合情推理與論證推理的相互

2、依賴和相互補(bǔ)充的辨證關(guān)系，并且學(xué)生具有了一定的推理證明的能力。同時(shí)在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與交流的能力。二、教學(xué)任務(wù)分析教科書基于學(xué)生對(duì)特殊平行四邊形認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)之上，提出了本課的具體學(xué)習(xí)任務(wù)：理解中點(diǎn)四邊形形狀取決于原四邊形的對(duì)角線的位置和數(shù)量關(guān)系。但這僅僅是這堂課外顯的具體的教學(xué)目標(biāo)，或者說是一個(gè)近期目標(biāo)。數(shù)學(xué)教學(xué)由一系列相互聯(lián)系而又漸次梯進(jìn)的課堂組成，因而具體的課堂教學(xué)也應(yīng)滿足于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的遠(yuǎn)期目標(biāo)，或者說，數(shù)學(xué)教學(xué)的遠(yuǎn)期目標(biāo)，應(yīng)該與具體的課堂教學(xué)任務(wù)產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。本課特殊平行四邊形（3）內(nèi)容從屬于“空間與圖形”這

3、一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域中的“圖形與證明”，因而務(wù)必服務(wù)于推理與論證教學(xué)的遠(yuǎn)期目標(biāo)：“讓學(xué)生經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)猜想證明的過程，體會(huì)證明的必要性，掌握用綜合法證明的格式，初步感受公理化思想，發(fā)展空間觀念”，同時(shí)也應(yīng)力圖在學(xué)習(xí)中逐步達(dá)成學(xué)生的有關(guān)情感態(tài)度目標(biāo)。為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：再次經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，發(fā)現(xiàn)決定中點(diǎn)四邊形形狀的因素，熟練運(yùn)用學(xué)過的各種特殊四邊形的識(shí)別及性質(zhì)對(duì)中點(diǎn)四邊形進(jìn)行識(shí)別，并能對(duì)自己的猜測(cè)進(jìn)行證明，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生推理論證的能力。使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性以及計(jì)算與證明在解決問題中的作用。通過平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、任意四邊形等凸四邊形的中點(diǎn)四邊形的探求過程，以

4、及引申至凹四邊形的中點(diǎn)四邊形的探求過程，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)證明過程中所運(yùn)用的由一般到特殊再到一般的歸納思想方法、類比的思想方法、轉(zhuǎn)化的思想方法等，培養(yǎng)積極探索、勇于創(chuàng)新的精神，以及推陳出新的創(chuàng)新能力。通過師生互動(dòng)、合作交流以及多媒體軟件的使用，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力，并使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性、積極性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：?jiǎn)栴}引入；第二環(huán)節(jié)：猜想結(jié)論；第三環(huán)節(jié)：分組探究，驗(yàn)證結(jié)論；第四環(huán)節(jié)：運(yùn)用鞏固；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：?jiǎn)栴}引入FECABCGHFEDABCGHFEDAB活動(dòng)內(nèi)容

5、：圖3-6-1 圖3-6-2 圖3-6-3問題：1.如圖，在ABC中，EF為ABC的中位線，若BEF=30°，則A= . 若EF=8cm, 則AC= .2.在AC的下方找一點(diǎn)D,做CD和AD的中點(diǎn)G、H,問EF和GH有怎樣的關(guān)系？EH和FG呢？3.四邊形EFGH的形狀有什么特征？活動(dòng)目的：通過問題串，復(fù)習(xí)三角形中位線性質(zhì)定理，探索新命題“依次連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)可以得到一個(gè)平行四邊形”?；顒?dòng)的實(shí)際效果：老師在提問時(shí)選擇了平時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有困難的學(xué)生，由于是前面已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，學(xué)生們回答得很流暢，這種低起點(diǎn)的問題引入，也增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。此外，課件的運(yùn)用，直觀形象，也分解了難

6、點(diǎn)。第二環(huán)節(jié)：猜想結(jié)論活動(dòng)內(nèi)容：?jiǎn)栴}：如果四邊形ABCD變?yōu)樘厥獾乃倪呅危悬c(diǎn)四邊形EFGH會(huì)有怎樣的變化呢？活動(dòng)目的：在一個(gè)開放的情景中，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)由一般到特殊的歸納思想方法、類比的思想方法、轉(zhuǎn)化的思想方法，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的積極探索、勇于創(chuàng)新的精神?；顒?dòng)的實(shí)際效果：有的學(xué)生猜測(cè)還是平行四邊形，有的學(xué)生猜測(cè)是正方形，有的學(xué)生猜測(cè)是矩形，有的學(xué)生猜測(cè)是菱形，甚至有的學(xué)生猜測(cè)是梯形。經(jīng)過師生的共同探討，達(dá)成一致的結(jié)論：一定是平行四邊形，而非梯形。于是老師順勢(shì)提出問題“會(huì)不會(huì)是特殊的平行四邊形呢？從結(jié)論來探索有一些困難，那么我們可以換一種角度思考：四邊形ABCD可以為哪些特殊的四邊形？”學(xué)生的回答多

7、種多樣，原四邊形可以為平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，甚至還有學(xué)生回答為梯形和直角梯形。于是老師請(qǐng)學(xué)生選擇一種自己感興趣的原四邊形來研究中點(diǎn)四邊形，從而順利進(jìn)入下一環(huán)節(jié)。此環(huán)節(jié)的設(shè)置引發(fā)了學(xué)生對(duì)特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形的思考，學(xué)生們暢所欲言，互相補(bǔ)充完善，氣氛熱烈，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生合作交流的能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力，同時(shí)也是對(duì)之前所學(xué)的特殊四邊形進(jìn)行回顧。老師在這一環(huán)節(jié)中，對(duì)學(xué)生的回答給予充分的肯定和鼓勵(lì)，再一次增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。第三環(huán)節(jié)：分組探究，驗(yàn)證結(jié)論活動(dòng)內(nèi)容1：學(xué)生以數(shù)學(xué)小組的形式，在眾多的特殊四邊形（平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形和直角梯形）中選擇一種自己

8、感興趣的原四邊形來研究中點(diǎn)四邊形，并驗(yàn)證結(jié)論的正確性。活動(dòng)目的：由學(xué)生非常熟悉的、常見的特殊四邊形得到結(jié)論，為后面的知識(shí)形成作好鋪墊，并把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)讓給學(xué)生，目的在于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人；同時(shí)讓學(xué)生再一次體會(huì)由一般到特殊的歸納思想、類比、轉(zhuǎn)化的思想方法，進(jìn)一步提高學(xué)生的合作交流和數(shù)學(xué)表達(dá)能力。活動(dòng)的實(shí)際效果：學(xué)生結(jié)合前面學(xué)過的各種特殊四邊形的識(shí)別與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，人人參與、積極進(jìn)行探究和交流，通過類比和轉(zhuǎn)化共歸納出以下幾種情況。各小組派代表展示自己小組的猜想和驗(yàn)證，講解中小組之間互相補(bǔ)充、互相競(jìng)爭(zhēng)，氣氛熱烈,使驗(yàn)證的過程更加嚴(yán)謹(jǐn)。把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給了學(xué)生

9、，真正體現(xiàn)了學(xué)生的自主性，也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。ABCDEFGHABCDEFGH圖3-6-4 圖3-6-5 圖3-6-6 圖3-6-7圖3-6-8 圖3-6-9 圖3-6-10得出結(jié)論：平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形；菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形；正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形；等腰梯形的中點(diǎn)四邊形是菱形；直角梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形。在這一環(huán)節(jié)中，老師走入學(xué)生中適時(shí)地進(jìn)行指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，提高學(xué)生的概括能力。對(duì)學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)，對(duì)學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生鼓勵(lì)他們研究第2個(gè)甚至更多個(gè)圖形，使以上7個(gè)圖形的結(jié)論能夠順利得

10、出，并對(duì)學(xué)生的回答給予充分的肯定和鼓勵(lì)。學(xué)生們展示完自己的結(jié)論后，老師利用幾何畫板進(jìn)行演示，讓學(xué)生們觀察中點(diǎn)四邊形的邊和角的變化情況，體會(huì)圖形運(yùn)動(dòng)變化的過程，驗(yàn)證同學(xué)們歸納的結(jié)論的正確性，給予學(xué)生直觀的感受?；顒?dòng)內(nèi)容2：?jiǎn)栴}：1.矩形和等腰梯形是形狀不同的四邊形，為什么中點(diǎn)四邊形都由平行四邊形變化為菱形？2.平行四邊形變化為菱形需要增加什么條件？3.你是從什么角度考慮的？4.你從哪兒得到的啟發(fā)？5.你能用你的發(fā)現(xiàn)解釋其它的圖形變化嗎？例如：原四邊形為菱形，其中點(diǎn)四邊形為矩形？活動(dòng)目的：以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生逐步深入思考，前2個(gè)問題的設(shè)置幫助學(xué)生回憶特殊四邊形的性質(zhì)與判定定理，第3、4個(gè)問題幫助

11、學(xué)生揭示變化的原因：矩形和等腰梯形的對(duì)角線有相同的性質(zhì)“對(duì)角線相等”，而且其它中點(diǎn)四邊形的變換也和原四邊形的對(duì)角線有關(guān)系。有了前4問的鋪設(shè)，第5個(gè)問題可以通過類比的思想解決；同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)由一般到特殊再到一般的歸納思想方法，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力?；顒?dòng)的實(shí)際效果：這一環(huán)節(jié)緊緊圍繞“中點(diǎn)四邊形”再次提出問題串，是對(duì)上一活動(dòng)的拓展。通過問題串的解答，使學(xué)生對(duì)決定中點(diǎn)四邊形形狀的因素更加明了。教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)研究的問題歸納總結(jié)。概括出規(guī)律：決定中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀的主要因素是原四邊形ABCD的對(duì)角線的長度和位置關(guān)系。（1） 若對(duì)角線相等，則中點(diǎn)四邊形EFGH為菱形；（2） 若對(duì)角線互相垂直，

12、則中點(diǎn)四邊形EFGH為矩形；（3） 若對(duì)角線既相等，又垂直，則中點(diǎn)四邊形EFGH為正方形；（4） 若對(duì)角線既不相等，又不垂直，則中點(diǎn)四邊形EFGH為平行四邊形。BCDAHGFE圖3-6-11 圖3-6-12 圖3-6-13 圖3-6-14這里讓學(xué)生通過歸納，學(xué)會(huì)把知識(shí)整理成一個(gè)系統(tǒng)，也就是我們常要求的：教學(xué)過程貴在讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)的方法，讓學(xué)生真正地“會(huì)學(xué)”，既學(xué)法指導(dǎo)。這里正是滲透了這種思想。老師再次利用幾何畫板進(jìn)行演示，讓學(xué)生們觀察中點(diǎn)四邊形的邊和角的變化情況，體會(huì)圖形運(yùn)動(dòng)變化的過程，驗(yàn)證同學(xué)們歸納的結(jié)論的正確性，給予學(xué)生們直觀的感受。第四環(huán)節(jié)：運(yùn)用鞏固活動(dòng)內(nèi)容1：（圖形發(fā)散練習(xí)）利用幾何畫

13、板，拖動(dòng)A點(diǎn)使四邊形ABCD的圖形變化進(jìn)行研究。圖3-6-15 圖3-6-16 圖3-6-17 圖3-6-18活動(dòng)目的：用動(dòng)畫的形式讓同學(xué)們觀察四邊形的不斷變化過程中，中點(diǎn)四邊形的變化情況，體會(huì)變化中存在的不變的幾何關(guān)系：圖中幾何圖形的位置關(guān)系處在相互依存的狀態(tài)之中，靜態(tài)圖形只是動(dòng)態(tài)圖形在變化過程中的某一瞬間，意在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，提高學(xué)生研究數(shù)學(xué)的興趣和創(chuàng)新意識(shí)。在題目的設(shè)置上，采用逐步遞進(jìn)的策略，其中圖3-6-15是ABCD為凸四邊形，圖3-6-16是AB、 AD在同一線段上，圖3-6-17是ABCD為凹四邊形，圖3-6-18是ABCD為扭曲四邊形?；顒?dòng)的實(shí)際效果：利用幾何畫板演示，

14、學(xué)生們表現(xiàn)出了極大的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生們暢所欲言，互相補(bǔ)充完善，課堂氣氛異?；钴S。經(jīng)過師生共同探索，得到結(jié)論：當(dāng)ABCD是上面的圖形時(shí)，四邊形EFGH仍為平行四邊形。特別是圖3-6-18，學(xué)生理解有困難，老師引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思考角度，即四邊形EFGH可以看作四邊形ADBC的邊AD、BC的中點(diǎn)和對(duì)角線AB、CD的中點(diǎn)的四邊形，這樣就解決了問題。老師在這一環(huán)節(jié)中，對(duì)學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)，對(duì)學(xué)生的回答給予充分的肯定和鼓勵(lì)，再一次增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心?；顒?dòng)內(nèi)容2：（應(yīng)用拓展練習(xí)）1.四邊形ABCD中，AC=6，BD=8，且ACBD，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1；再

15、順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2如此進(jìn)行下去得到四邊形AnBnCnDn。（1）證明：四邊形A1B1C1D1是矩形； （2）寫出四邊形A1B1C1D1和四邊形A2B2C2D2的面積； （3）寫出四邊形AnBnCnDn的面積； （4）求四邊形A5B5C5D5的周長。2. 如圖，矩形ABCD的長為4，寬為3，連續(xù)取三次中點(diǎn)后的最小四邊形的面積為多少？圖3-6-19活動(dòng)目的：利用三角形中位線定理進(jìn)行有關(guān)計(jì)算是一類重要的應(yīng)用，而教材中沒出現(xiàn)計(jì)算應(yīng)用題，因此教師在教學(xué)中編寫了這樣2道計(jì)算類拓展練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)計(jì)算和證明在問題解決中的作用。又因?yàn)樘剿饕?guī)律類的題目是中考的重點(diǎn)

16、和難點(diǎn)，所以教師希望把命題向一般化、規(guī)律化拓展，同時(shí)想借助此題目向?qū)W生展示數(shù)學(xué)的圖形美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。活動(dòng)的實(shí)際效果：由于教師所教的2個(gè)班，一個(gè)是雙語班，一個(gè)是普通班，2個(gè)班的學(xué)生無論是基礎(chǔ)，還是成績都有著巨大的差異，因此在教學(xué)時(shí)教師為雙語班的學(xué)生展示的是練習(xí)1，為普通班的學(xué)生展示的是練習(xí)2，同時(shí)教師考慮到普通班有部分能力強(qiáng)的學(xué)生，又把練習(xí)2進(jìn)行了以下的拓展：（1）若上題連續(xù)取n次中點(diǎn)后的最小四邊形AnBnCnDn的面積為多少呢？（2）若上題改為菱形，邊長為4，連續(xù)取n次中點(diǎn)后的最小四邊形AnBnCnDn的面積為多少呢？（3）若上題改為正方形，邊長為4，連續(xù)取n次中點(diǎn)后的最小四邊形AnB

17、nCnDn的面積為多少呢？（4）若以上題目改為求連續(xù)取n次中點(diǎn)后的最小四邊形AnBnCnDn的周長為多少呢？以滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，通過平日的因材施教，學(xué)生們不再感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有多么困難，大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)活動(dòng)內(nèi)容：1、本節(jié)課重點(diǎn)學(xué)習(xí)了什么知識(shí)，應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)方法？2、決定中點(diǎn)四邊形形狀的主要因素是什么？3、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？在今后的學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該怎么做？活動(dòng)目的：培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力，使學(xué)生形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，總結(jié)研究數(shù)學(xué)問題的一般方法?；顒?dòng)的實(shí)際效果：學(xué)生們暢所欲言自己的收獲，比如：有的學(xué)生說：通過這節(jié)課我知道中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形對(duì)角線有關(guān)；有的學(xué)生說：通過這節(jié)課我了解了類比、轉(zhuǎn)化和歸納概括的數(shù)學(xué)思想，我要把這些運(yùn)用到平日的學(xué)習(xí)和生活中；還有的學(xué)生說：通過這節(jié)課我發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美，我更加喜歡數(shù)學(xué)了；老師對(duì)學(xué)生的回答給予充分的肯定和鼓勵(lì)。第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)1. 用所學(xué)中點(diǎn)四邊形的知識(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)基本圖形，然后在方格紙內(nèi)通過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。2. P91“做一做”，還可以變式圖形（向正方形外內(nèi)作等邊三角形）。ACDXBAXDCB圖3-6-20 圖3-6-21四、教學(xué)反思 1、 要?jiǎng)?chuàng)造性的使用教材在新教材中，課本只是一個(gè)載體，因此，本節(jié)課教師充