2021-2022學年第二學期福州市高二期中質(zhì)量抽測--參考答案

1、2021-2022 學年第二學期福州市高二期中質(zhì)量抽測數(shù)學參考答案及評分細則評分說明：1本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制定相應的評分細則。2對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分。3解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)。4只給整數(shù)分數(shù)。一、單項選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分1B 2A 3C 4A5D 6B 7D 8B二、多項

2、選擇題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分9BD 10CD 11ABD 12ACD三、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分131 14 -11 15 0.1359 167 + 32a+b-2 b -1【第 8 題解析】選項 A：令 a = 0,b = 2 ，得 e + = 0成立，故 A 正確；a -1a+b-2 b -1 b -1選項 B：由 e 0 < 0 ，得 (b -1)(a -1) < 0 ，若b -1> 0 且 a -1< 0 ，+ = 得a -1 a -1得 a <1< b，則 a -3b <1-3

3、0;1= -2 ；若b -1< 0且 a -1> 0，得b <1< a ，則a -3b >1-3´1= -2 ，從而 a -3b = -2不可能成立. B 錯誤；a+b-2 b -1由 e 0+ =a -1得(a -1)ea-1 = (1-b)e1-b ，令1f (x) = xex ，則 a -1與1-b 可以是方程 f (x) = k（ k Î(- , 0) ）e的兩個根. f ¢(x) = (x +1)ex ，由 f ¢(x) > 0 ，得 x > -1， f (x) 在(-1,+¥) 內(nèi)單調(diào)遞增，

4、由 f ¢(x) < 0 ，得 x < -1，f (x) 在(-¥,-1)內(nèi)單調(diào)遞減，得1f x f - = - .注意到 lim ( ) 0( ) ( 1) f x = ，故ex®-¥可繪制出 f (x) = xex 的大致圖象.根據(jù)圖象，存在 a -1® -¥ 且1-b ® 0 的情形，此時數(shù)學參考答案 (第 1頁 共 10頁)a ® -¥ ，b ®1，得 a + b < 2， a -b < -2 成立，故 C，D 選項正確.綜上所述，選擇 B.【第 12 題解析】將

5、表中的數(shù)字寫成冪的形式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構成“楊輝三角”. C1 = 7 ，故 第 8 行第 2 個數(shù)為 27 =128，A選項 A：該數(shù)表中第 8 行第 2 個數(shù)的指數(shù)為7正確；10 10 å å 1 45 ，B 錯誤；選項 B：根據(jù)數(shù)表a = 2i- ¹ 2i,2i=2 i=2選項 C：該數(shù)表中第 9 行的奇數(shù)項的指數(shù)之和為C +C +C +C +C = 2 ；偶數(shù)項0 2 4 6 8 7 8 8 8 8 8的指數(shù)之和為 C +C +C +C = 2 ，故第 9 行的奇數(shù)項之積等于偶數(shù)項之積，C 正確；1 3 5 7 7 8 8 8 8選 項 D ： 假 設

6、存 在 ， 由log a : log a + : log a + = 3:4:5 得2 63, j 2 63, j 1 2 63, j 2C 3j-162=C 4j62，C 4j62 =j+ ，即1C 5624´62! 3´62!=( j -1)!(63- j)! j!(62- j)!且5´62! 4´62!=j!(62- j)! ( j +1)!(61- j)!，化 簡得4 3 =63- j j且5 4 =62- j j +1，得 j = 27 ，故 D 正確.綜上所述，選 ACD.【第 16 題解析】不妨設 P 點在第二象限， C 的左、右焦點分別為

7、 F1,F2 .如圖，由于| AB |= 2 | PQ |= 4c ，由對稱性可得| DQ |= c ，過點 Q 作 x 軸的垂線，可得垂足為 C 的右焦點F .在直角三角形2QF O 中2|QF |= | OQ | -| OF | = 4c -c = 3c ，則在直角三角 2 2 2 22 2形QF F 中2 1| QF |= | QF | + | F F | = 3c + 4c = 7c .2 2 2 21 2 1 2根 據(jù) 雙 曲 線 的 定 義 可 知| QF | -| QF |= 2a ， 即1 27c - 3c = 2a ，則離心率 ec 2 7 + 3= = =a 7 - 3 2

8、.數(shù)學參考答案 (第 2頁 共 10頁)四、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分17. 【考查意圖】本小題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基礎知識；考查抽象概括能力、運算求解能力；考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想；考查數(shù)學建模、數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎性.【解析】（1） ( ) ( )f ¢ x = 3 x2 - 2x - 3 ，··················&#

9、183;········································· 1 分由 f ¢(x) > 0得 x < -1或 x > 3， 由 f

10、 ¢(x)< 0得 -1< x < 3，························4 分所以 f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-¥,-1)和(3,+¥)，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1, 3).·········

11、83;·················································

12、83;··· 6 分（2）令 f ¢(x) = 0得 x = -1或 x = 3，········································

13、;··············· 7 分由（1）可列下表x -2,-1) -1 (-1, 3) 3 (3, 4f ¢ x + 0 - 0 +( )f x 單調(diào)遞增 取極大值 單調(diào)遞減 取極小值 單調(diào)遞增( )注：上述表格沒有列出，不扣分.由于 f (-2)= -1， f (-1)= 6， f (3) = -26 ， f (4) = -19 ，········

14、·············· 9 分得 f (x)在區(qū)間-2, 4上的最大值為 6 ，最小值為 -26.·····························

15、3;· 10 分18. 【考查意圖】本小題考查主要考查數(shù)列的通項與前 n項和的關系式、等差數(shù)列的通項公式、裂項相消法求和等基礎知識；考查運算求解能力；考查化歸與轉化思想、分類與整合思想；考查數(shù)學建模、數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎性.【解析】（1）當 n =1時，由 1 14S -1= a2 + 2a 得 24a -1= a + 2a ， a = .···· 1 分 n n n 1 1 1當 n 2時，由 4S -1= a2 + 2a 得 2 4S 1 a 2a- - = - + - ， n n n n 1 n 1 n 1兩式相減可得

16、4a = a + 2a - a - 2a ，2 2n n n n-1 n-1化簡得( 1 )( 1 2) 0a + a a - a - = ，······································&

17、#183;················ 4 分n n- n n-a + a 1 > 0 ，故由條件得n n-a a= 1 + 2 ，·························

18、;························· 5 分n n-數(shù)學參考答案 (第 3頁 共 10頁)得數(shù)列a 是以1為首項， 2 為公差的等差數(shù)列，················&#

19、183;······················· 6 分n從而數(shù)列 a 的通項公式為 a = 2n -1.·····················

20、83;······························· 7 分n n（2）由（1）得 a = 2n -1，n所以1 1 1 æ 1 1 ö= = ç - ÷a a n n n n(2 -1)(2 +1) 2 è 2 -1 2

21、+1 øn n+1，································· 9 分得1 1 1 1 æ 1 ö 1 æ1 1 ö 1 æ 1 1 ö+ + + = ç1- 

22、47;+ ç - ÷+ + ç - ÷L La a a a a a 2 3 2 3 5 2 2n -1 2n +1è ø è ø è ø 1 2 2 3 n n+11 æ 1 1 1 1 1 ö= ç1- + - +L+ - ÷2 3 3 5 2n -1 2n +1è ø1 æ 1 ö= ç - ÷12 2n +1è ø=n2n +1.···

23、83;················································ 12 分19.

24、【考查意圖】本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關系，平面與平面的夾角等基礎知識；考查推理論證能力、運算求解能力與空間想象能力；考查數(shù)形結合思想；考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎性、綜合性【解析】（1）因為平面 AED 平面 BCDE ，平面 AED I 平面 BCDE = DE ，BE DE ， BE Ì 平面 BCDE ，所以 BE 平面 AED ，·················

25、············· 2 分因為 AE Ì 平面 AED ，所以 AE BE ，·······························&

26、#183;·····················3 分因為 AE BD ， BD I BE = B ， BD, BE Ì 平面 BCDE ，所以 AE 平面 BCDE .·················&

27、#183;·················································&

28、#183;········································ 4 分（2）因為 AE 平面 BCDE ， BE DE ，所以 BE,DE, AE 兩兩互相垂直，以 E 點

29、為原點， EB, ED, EA所在直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸，建立空間直角坐標系.·········5 分得各點坐標分別為： A(0,0, 2)、 B(2, 0, 0) 、C(2,1, 0) 、 D(0, 2, 0) ，··············· 6 分得 BA = (-2, 0, 2) ， BC = (0,1, 0)， BD = (-2, 2,

30、 0) .·····································7 分數(shù)學參考答案 (第 4頁 共 10頁)設 平 面 CAB 的 一 個 法 向 量 為u = (x , y , z ) ， 由 BA×

31、;n = 0 ， BC ×n = 0 ， 得1 1 1ì-2x + 2z = 0,1 1íy = 0,î1令 x1 =1得 y1 = 0 ，z = ，從而u = (1, 0,1) .··························8 分1 1設 平 面 ABD 的 一 個 法 向 量 為v =

32、(x , y , z ) ， 由 BA×v = 0 ， BD×v = 0 ， 得2 2 2ì-2x + 2z = 0,2 2í-2x + 2y = 0,î2 2令 x2 =1得y = ，2 1z = ，從而 v = (1, 1, 1) .························· 9 分2

33、1r rcos u,vu ×v 2 2 6= r r = = = ，···········································

34、83;··· 11 分u × v 2 ´ 3 33所以平面CAB 與平面 DAB 夾角的余弦值為63.·····································&#

35、183;···· 12 分20.【考查意圖】本小題主要考查離散型隨機變量的分布列、期望、推斷與決策等基礎知識；考查推理論證能力、運算求解能力與創(chuàng)新意識；考查化歸與轉化思想；考查數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性、應用性與創(chuàng)新性【解析】：（1） X 的可能取值為 0,1, 2,3, 4.1 1 1 1 1高二 1 班答對某道題的概率 = ´ + ´ = ，··············

36、·························· 2 分2 2 2 6 3則k 4-kæ 1 öæ1ö æ 2 öX : B 4, ， ( ) ( )kP X k C k 0,1, 2,3, 4= = ç ÷ ç ÷ =ç &

37、#247;è ø 3 334è ø è ø.···················3 分則 X 得分布列為X 0 1 2 3 4P16813281827881181···············

38、83;·················································

39、83;·········································5 分數(shù)學參考答案 (第 5頁 共 10頁)1 4E X = 4´ = .·

40、83;·················································

41、83;··························6 分 則 ( )3 31 1 1 1 1（2）高二 1 班答對某道題的概率為 = ´ + p = + p ，·············

42、83;········· 8 分2 2 2 4 2æ 1 1 ö 3 p答錯某道題的概率為 -ç + p÷ = -1è ø4 2 4 2.··························

43、····················· 9 分4æ 3 p ö 80則1-ç - ÷ ，解得è ø4 2 8156 ，·················&#

44、183;································ 11 分p <1所以 p 的最小值為56.·············&

45、#183;·················································&

46、#183;·············12 分21.【考查意圖】本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的應用等基礎知識；考查抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力與創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、數(shù)形結合思想；考查數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性、應用性與創(chuàng)新性【解析一】（1） f ¢(x) = ln x +1， f ¢(1) =1，·····

47、······································· 2 分又 f (1) = 0，········&#

48、183;·················································&#

49、183;·····························3 分故 f (x)的圖象在點(1,0)處的切線方程為 y = x -1.··············&

50、#183;·······················4 分（2）當 x1，令 ( ) ( )2g x = x ln x -a x -1 ，得 g (1) = 0， g¢(x) = ln x +1- 2ax ，············&#

51、183;·········································· 5 分 1 1-2ax令 h(x) = ln x +1- 2ax ，則 ¢(

52、 ) = - = .·································· 6 分 x xh x 2a若 a 0時，得 h¢(x) > 0，則 g¢(x)在1,+¥)上單調(diào)遞增，故 g¢(x) g&#

53、162;(1) =1- 2a 0 ，所以 g (x)在1,+¥)上單調(diào)遞增，所以 g (x) g (1) = 0 ，從而 ( )x x -a x - ，不符合題意；···································

54、83;·············· 7 分ln 1 02若 a > 0 ，令 h¢(x) = 0，得x 1= . 2a（）若 01< a < ，則212a>1，當æ 1 öxÎç ÷1,è ø2aæ 1 ö時， h¢(x) > 0， g¢(x)在 1, 上上ç ÷è ø

55、2a數(shù)學參考答案 (第 6頁 共 10頁)é 1 ö單調(diào)遞增，從而 g¢(x) > g¢(1)=1- 2a > 0 ，所以 g (x)在1,在單調(diào)遞增，此時 ÷êë ø2ag (x) g (1) = 0 ，不符合題意；························&

56、#183;····································· 9 分1 1 a ，則 < ，h¢(x) 0 在1,+¥)上恒成立，所以 g¢(x)在1,+¥)（

57、）若 0 12 2a上單調(diào)遞減， g¢(x) g¢(1) =1- 2a 0 ，從而 g (x)在1,+¥)上單調(diào)遞減，所以g x g = ，所以 x x -a(x2 - ) 恒成立.································&#

58、183;·11 分( ) (1) 0ln 1 0綜上所述， a 的取值范圍是é1 ö,+¥÷êë ø2.··································

59、3;···················· 12 分【解析二】（1）同解析一.··························

60、3;··············································4 分（2）由 ( )f x ax -a 得

61、 xln x ax2 -a ，即 ln2ax ax - .······················· 5 分x a 2g x ax x g¢ x = a + - = .········6 分 x x x xa 1 ax - x +a令 ( ) = - - ln ，得 g (1

62、) = 0， ( )2 2當 a 0時，由 x1得 xln x0 ， ax2 -a = a(x2 -1) 0 ，此時 f (x) ax -a2不恒成立；·····································&#

63、183;·················································&#

64、183;····8 分當 a > 0 時，方程 ax2 - x + a = 0 的判別式 D =1- 4a2 .1（）若1- 4a2 0 ，即 a ，可得 ax2 - x + a 0，g¢(x) 0 ，得 g (x)在1,+¥)2a上單調(diào)遞增，從而 g (x) g (1) = 0 ， - ln 成立. ···················&

65、#183;·········9 分ax xx 1（）若1- 4a2 > 0 ，即 0 h x = ax - x + a（ xÎR ），由 于 h(0) = a > 0 ，< < ，令 ( ) 2a2æ 1 öh(1) = 2a -1< 0 ，h a= >ç ÷è øa0æ 1 ö，由零點存在定理得 h(x)在1,ç ÷è øa內(nèi)存在唯一零點a

66、 ，則當 xÎ1,a )， h(x)< 0，即 g¢(x)< 0，此時可得 g (x) g (1) = 0 ，與題設0 0條件不符，舍去. ···································

67、3;··············································11 分綜上所述， a 的取值范圍是

68、3;1 ö,+¥÷êë ø2.··········································

69、83;············ 12 分數(shù)學參考答案 (第 7頁 共 10頁)22.【考查意圖】本小題主要考查橢圓的圖象和性質(zhì)、直線和橢圓的位置關系等基礎知識；考查推理論證能力、運算求解能力；考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想；考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎性、綜合性與創(chuàng)新性x y2 2【解析一】（1）由條件得 F 坐標為(-2, 0) ，設 P 點坐標為 (x , y ) ，得 0 + 0 =1，0 016 12x2y = - .

70、3;·················································

71、3;··································1 分0 12(1 )2 016x 12PF = (x + 2) + y = (x + 2) +12(1- ) = x + 4x +162 2 2 0 20 0 0 0 016 41 1=

72、 ( x + 4) = x + 4 ，···············································

73、;··········· 3 分20 02 21 1因為 4 x 4 2 x + 4 6 | | 4 2- ，所以 ，得 PF = x + .·················4 分0 0 02 2說明：此處如果直接套用二級結論，沒有詳細過程，僅給 1 分.（2）設E(x , y ) ，G(x , y ) .1 1 2

74、 2 當 直 線 EG 的 斜 率 不 存 在 時 ， 點 E,G 關 于 x 軸 對 稱 ，k k 互 為 相 反 數(shù) ，1, 2k1 + k2 = 0 ¹ 1，與條件矛盾. ··································&#

75、183;·······························5 分當直線 EG 的斜率存在時，設直線 EG 方程為 y = kx +t ，將其與橢圓方程聯(lián)立，得ì x y2 2ï + =1,í16 12ï = +y kx t,î消

76、去 y 得 (4k2 +3)x2 +8ktx + 4t2 -48 = 0 ，則8ktx + x = - ，1 2 24k +34t - 482x x =1 2 24k +3.···································

77、83;················································6 分由y y k

78、x +t kx +tk + k = 得 1 + 2 = 1 + 2 =1 2 1x + 4 x + 4 x + 4 x + 41 2 1 21， 去 分 母 整 理 得(2k -1)x x + (4k +t - 4)(x + x ) +8t -16 = 0 ，····························&#

79、183;············7 分1 2 1 2從 而4t - 48 8kt2(2k -1) + (4k +t - 4)(- )+8t- 16=4k + 3 4k + 32 20， 去 分 母 整 理 得數(shù)學參考答案 (第 8頁 共 10頁)t2 - (8k + 6)t + 4k(4k + 6) = 0 ，即 (t - 4k)t -(4k + 6)= 0 ，得t = 4k 或t = 4k + 6 .······&

80、#183;·················································&

81、#183;·················································&

82、#183;9 分若 t = 4k ，則直線 EG 方程為 y = kx + 4k ，即 y = k(x + 4) ，可知直線 EG 恒過定點(-4, 0) ，與題設條件不符，舍去.···································

83、························· 10 分若t = 4k + 6 ，則直線 EG 方程為 y = kx + 4k + 6，即 y = k(x + 4)+ 6 ，可知直線 EG恒過定點 (-4, 6) .···········

84、;··················································

85、;·····················11 分綜上，可得直線 EG 恒過定點，定點坐標為 (-4, 6) .·······················

86、·············12 分【解析二】（1）由條件得 F 坐標為 (-2, 0) ，設 P 點坐標為 (4 cosq,2 3 sinq)（q 為參數(shù)），··························

87、··················································

88、···················· 1 分PF = (4 cosq + 2) + (2 3 sinq) = 16 cos q +16 cosq + 4+12sin q2 2 2 2= 4 cos q +16 cosq +16 = 2 (cosq + 2) = 2 | cosq + 2 | ，········

89、83;····· 3 分2 2因為| cosq + 2 |= cosq + 21，所以| PF | 2 .·····································

90、······ 4 分說明：此處如果直接套用二級結論，沒有詳細過程，僅給 1 分.（2）設E(x , y ) ，G(x , y ) .1 1 2 2當直線 EG 的斜率為0 在時，點 E,G 關于 y 軸對稱，得x = -x y = y ，2 1, 2 1y y 8y 8yk + k = + = = =1 1 1 11 2 2x + 4 -x + 4 (4- x )(4+ x ) 16- x1 1 1 1 1x y2 21，又1 + 1 =1，則16 12y x - x y1 1 16 1 8 12 2 2=1- = = ，解得12 1

91、6 16 16y1 = 6 ，得此時直線 EG 方程為 y = 6. ····· 5 分當直線 EG 的不為 0 時，設直線 EG 方程為 x = my +t ，將其與橢圓方程聯(lián)立，得ì x y2 2ï + =1,消去 x 得 (3m + 4)y +6mty +3t -48 = 0 ，則2 2 2í16 12ï = +x my t,î6mty + y = -1 2 23m + 4，3t - 482y y = .·······&#