概率論與數理統(tǒng)計第1.3節(jié)-條件概率及獨立性

1、1.3.1 1.3.1 條件概率條件概率1.3.3 1.3.3 全概率公式全概率公式1.3.2 1.3.2 事件的獨立性事件的獨立性1.3 1.3 條件概率與事件的獨立性條件概率與事件的獨立性1.3.4 1.3.4 貝葉斯貝葉斯公式公式1.3.5 1.3.5 伯努力概型伯努力概型 條件概率是概率論中一個重要而實用的條件概率是概率論中一個重要而實用的概念概念.它所考慮的是事件它所考慮的是事件 B 已經發(fā)生的條件下已經發(fā)生的條件下事件事件 A 發(fā)生的概率，將此概率記作發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).1. 3. 1 條件概率條件概率例 盒中有4個外形相同的球，它們的標號分別 為1、2、3、4，

2、每次從盒中取出一球，有放回地取兩次則該試驗的所有可能的結果為 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 其中(i,j)表示第一次取i號球，第二次取j號球設B= 第一次標號為 2 A=兩球標號之和為 4 則事件B： (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)事件A：(1,3) (2,2) (3,1) 事件AB=第一次標號為2，第二次標號為2： (2,2) P A B若我們考慮在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率并記此記此概率為概率為:則所求的

3、概率為14PA B注：注：由此例可以看出，事件A在“條件B已發(fā)生這附加條件的概率與不附加這個條件的概率是不同的因此，有必要引入下面的定義：41)(BP163)(AP161)(ABP163)(AP4141161)()(BPABP定義定義1 1 對事件A、 B，若P(B)0，則稱為事件A在事件B(條件)發(fā)生下的條件概率。相對地，有時就把概率P(A)，P(B) 等稱作無條件概率。 P(AB)P(A | B)P(B)vvAAPA樣本點數樣本點數)(BABvBvABBAP樣本點數樣本點數)|(方法1： 用原樣本空間計算條件概率方法2：用新樣本空間B計算條件概率 2)從加入條件后改變了的情況去算從加入條件

4、后改變了的情況去算 1) 用定義計算用定義計算:316361)()()|( BPABPBAP 擲骰子擲骰子例例2A=擲出擲出2 點點， B=擲出偶數點擲出偶數點P(A|B）=31B發(fā)生后的發(fā)生后的縮減樣本空間縮減樣本空間所含樣本點總數所含樣本點總數在縮減樣本空間在縮減樣本空間中中A所含樣本點所含樣本點個數個數不難驗證條件概率P(A|B)具有概率的三個基本性質，即三條公理：則兩兩互斥，若, 0)(,21BPAAAn11)|()|(nnnnBAPBAP11)|()|(nnnnBAPBAP條件概率也是概率由此得由此得1PA CPA C0)|(BAP1. 非負性1)|(BP2. 規(guī)范性3.完全可加性)

5、|(CBAP)()(CPCBAP)()()(CPBCPACP)()()()(CPABCPBCPACP)()()()()()(CPABCPCPBCPCPACP)|()|()|(CABPCBPCAP同理同理補充)|(BP )()(BPBP 1)()(BPBP)|(BP)()(PBP)()(PBP)(BP)|(AP)(AP)|(AAP)()(APAAP1)()(APAP例例2 設某種動物由出生算起活20年以上的概率為0.8，活25年以上的概率為0.4，現有一只20歲的這種動物，問它能活到25歲以上的概率是多少？解年以上能活25B8 . 0)(AP4 . 0)(BP4 . 0)()(BPABP根據條件

6、概率公式可得：設年以上能活20A)()(APABP歲20A歲25B)|(ABP5 . 08 . 04 . 0例例3 3 據歷年氣象資料，某地4月份刮東風的概率為，既“刮東風”又“下雨”的概率為問“刮東風”與“下雨”有無密切關系？解 設刮東風A下雨B則刮東風又下雨AB根據條件概率公式可得：9 . 098309308)()()|(APABPABP東風下雨)|(ABP)()(APABP根據已知條件可知309)(AP308)(ABP計算結果說明，刮東風時下雨的可能性比較大乘法公式全概率公式貝葉斯公式條件概率的三大公式一袋中裝有一袋中裝有 10 個球個球, ,先后兩次從袋中各取一球先后兩次從袋中各取一球

7、 (不放回不放回). .其中其中 3 個黑球個黑球, ,7 個白個白(1)(2)已知第一次取出的是黑球已知第一次取出的是黑球, , 求第二次取出的仍求第二次取出的仍是黑球的概率是黑球的概率; ;已知第二次取出的是黑球已知第二次取出的是黑球, , 求第一次取出的也求第一次取出的也是黑球的概率是黑球的概率. .解解例例4(1)在已知在已知1A發(fā)生發(fā)生, ,第二次取球就在剩下的第二次取球就在剩下的 2 個個根據古典概率計算根據古典概率計算, ,球球, ,1次取到的是黑球次取到的是黑球”記記1A為為“第第黑球、黑球、7 個白球個白球, ,即有即有.9/2)|(12 AAP2次取到的是黑球次取到的是黑球

8、”記記2A為為“第第(2) 在已知在已知2A發(fā)生發(fā)生, , 即第二次取到的是黑球的條件即第二次取到的是黑球的條件下下, , 求第一次取到黑球的概率求第一次取到黑球的概率. .在第二次取球之前在第二次取球之前, ,第一次取球發(fā)生第一次取球發(fā)生故問題的結構不像故問題的結構不像 (1) 那么直那么直觀觀. . 我們可按定義計算我們可按定義計算)|(21AAP更方便一些更方便一些.由由)(21AAP103)(2 AP)|(21AAP92103)()(221APAAP .92 由條件概率的定義：由條件概率的定義：即即 若若P(B)0,則則P(AB)=P(B)P(A|B) (2)()()|(BPABPBA

9、P而而 P(AB)=P(BA)乘法公式乘法公式若已知若已知P(B), P(A|B)時時, 可以反求可以反求P(AB).將將A、B的位置對調，有的位置對調，有故故 P(A)0,則則P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若若 P(A)0,則則P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和和(3)式都稱為乘法公式式都稱為乘法公式, 利用利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率設設A,B,C為事件為事件, , 且且P P( (ABAB)0,)0,則則)()()()(ABCPABPAPABCP 設設nAAA,21為為n n個事件個事件, , 且且, 0)(121 nAAAP則則

10、)()()()(21312121AAAPAAPAPAAAPn ).(121 nnAAAAP乘法公式易推廣到多個事件的情形乘法公式易推廣到多個事件的情形 乘法公式主要用于求幾個事件同時發(fā)生的概率. 一批零件共有100個，其中10個不合格品。從中一個一個不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率. 解：記 Ai=“第i 次取出的是不合格品” 用乘法公式 乘法公式的應用)(321AAAP)(1AP)|(12AAP)|(213AAAP1009099899810例例5 一場精彩的足球賽將要舉行，一場精彩的足球賽將要舉行，5個球迷個球迷好不容易才搞到一張入場券好不容易才搞到一張入場券.大家都想去，只好大家都

11、想去，只好用抽簽的方法來解決用抽簽的方法來解決.入場入場券券5張同樣的卡片，只有一張上寫有張同樣的卡片，只有一張上寫有“入場入場券券”，其余的什么也沒寫，其余的什么也沒寫. 將它們放在一起，洗將它們放在一起，洗勻，讓勻，讓5個人依次抽取個人依次抽取.“大家不必爭先恐后，你們一個一個大家不必爭先恐后，你們一個一個按次序來，誰抽到按次序來，誰抽到入場券入場券的機會都的機會都一樣大一樣大.”“先抽的人當然要比后抽的人先抽的人當然要比后抽的人抽到的機會大抽到的機會大.” 到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計算一下來計算一下,每個人抽到每個人抽到“入場券入場券”的

12、概率到底的概率到底有多大有多大?設設Ai = “第第i個人抽到入場券個人抽到入場券”，i=1, 2, 3, 4, 5.iA則則 表示表示“第第i個人未抽到入場券個人未抽到入場券”.顯然，顯然，P(A1)=1/5，P( )4/5.1A也就是說，第也就是說，第1個人抽到入場券的概率是個人抽到入場券的概率是1/5.由于由于.212AAA 因為若第因為若第2個人抽到了入場券，個人抽到了入場券，第第1個人肯定沒抽到個人肯定沒抽到.由乘法公式由乘法公式 ).|()()(1212AAPAPAP 計算得計算得 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5.)()(3213AAAPAP 同理，第同理，第3個人要

13、抽到個人要抽到“入場券入場券”，必須第，必須第1、第第2個人都沒有抽到個人都沒有抽到. 因此因此= (4/5)(3/4)(1/3) = 1/5. 繼續(xù)做下去就會發(fā)現繼續(xù)做下去就會發(fā)現, 每個人抽到每個人抽到“入場券入場券” 的概率都是的概率都是1/5.)|()|()(213121AAAPAAPAP 這就是有關抽簽順序問題的正確解答。也就是說，抽簽不必爭先恐后。 會不會出現P(A)=P(A |B)的情形呢？條件概率 與 的區(qū)別 )|(BAP)(AP)(AP是在整個樣本空間)|(BAP是在B的樣本空間發(fā)生A的概率兩者概念不同，在數值上一般也不相同A)()(BPABPBA)()(BPAP事件事件A

14、A發(fā)生的可能性不受事件發(fā)生的可能性不受事件B B的影響的影響A A對于對于B B是獨立的是獨立的當事件A、B獨立時，有 P(A)=P(A |B)()(BPABP根據乘法公式)()()(BPAPABP)(AP1.3.3 1.3.3 事件的獨立性事件的獨立性若兩事件若兩事件A、B滿足滿足 P(AB)= P(A) P(B) 則稱則稱A、B獨立，或稱獨立，或稱A、B相互獨立相互獨立.不難證明，當不難證明，當P(B)0時，有時，有).()()()()|(BPAPABPAPBAP 1定理顯然顯然 P(A|B)=P(A)這就是說這就是說,已知事件已知事件B發(fā)生發(fā)生,并不影響事件并不影響事件A發(fā)發(fā)生的概率生的

15、概率,這時稱事件這時稱事件A、B獨立獨立.A=第二次擲出第二次擲出6點點， B=第一次擲出第一次擲出6點點，將一顆均勻骰子連擲兩次，將一顆均勻骰子連擲兩次，設設61)(AP61)(BP例例6 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記記 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可見可見, P(AB)=P(A)P(B) 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 說明事件說明事件A、B獨立獨立.問事件問事件A、B是否獨立？是否獨立？解解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2 由于由于“甲命中甲命中”并不影響并不影響“乙命中乙命中”

16、的的概率，故認為概率，故認為A、B獨立獨立 .甲、乙兩人向同一目標射擊，記甲、乙兩人向同一目標射擊，記 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A與與B是否獨立？是否獨立？例如例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生 的概率）的概率） 在實際應用中在實際應用中, 往往往往根據問題的實際意義根據問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立去判斷兩事件是否獨立. 一批產品共一批產品共n件，從中抽取件，從中抽取2件，設件，設 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 則則A1與與A2獨立獨立. 因為第二次抽取的結果受到第一次抽取因為第

17、二次抽取的結果受到第一次抽取的影響的影響.又如：又如：因為第二次抽取的結果不受第一次抽取的因為第二次抽取的結果不受第一次抽取的影響影響.若抽取是無放回的，則若抽取是無放回的，則A1與與A2不獨立不獨立.請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？ AB即即: 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,則則A與與B不獨立不獨立.反之，若反之，若A與與B獨立，且獨立，且P(A)0,P(B)0, 則則A 、B不互斥不互斥.而而P(A) 0, P(B) 0故故 A、B不獨立不獨立我們來計算：我們來計算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即即定理定理2 2 若四對事

18、件 中有一對是相互獨立的，則另外三對事件也是相互獨立的。即這四對事件或者都相互獨立，或者都不相互獨立。：因為A，B事件相互獨立，即P(AB)=P(A)P(B) . 所以 相互獨立A, B; A, B; A, B; A, BPA BPAPA BPAPAPBPA1PBPAPBA 、B其余的證明采用類似的方法所以 相互獨立3 3個事件的獨立性個事件的獨立性定義定義2 若三個事件A、B、C滿足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨立兩兩相互獨立；若在此基礎上還滿足：(2) P(ABC)P(A)P(B)P(C)

19、, （三、三獨立三、三獨立）則稱事件A、B、C相互獨立相互獨立三個事件若兩兩獨立且三三獨立，則相互獨立注注: :兩兩獨立未必相互獨立兩兩獨立未必相互獨立! !例例: :從分別標有從分別標有1,2,3,41,2,3,4四個數字的四個數字的4 4張卡片中隨機抽張卡片中隨機抽取一張取一張, ,以事件以事件A A表示表示“取到取到1 1或或2 2號卡片號卡片”; ;事件事件B B表表示示“取到取到1 1或或3 3號卡片號卡片”; ;事件事件C C表示表示“取到取到1 1或或4 4號卡號卡片片”. .21)(AP)(BP)(CPAB表示取到1號卡片41)(ABPBC表示取到1號卡片AC表示取到1號卡片4

20、1)(BCP41)(ACPABC表示取到1號卡片41)(ABCP)()(BPAP)()(CPAP)()(CPBP事件事件A,B,CA,B,C兩兩獨立兩兩獨立)()()(CPBPAP事件事件A,B,CA,B,C相互獨立相互獨立. .定理3： 若事件 ， ， 相互獨立，則有 1A2AnA)()()()(2121nnAPAPAPAAAP定理4： 若事件 ， ， 相互獨立，則有 1A2AnA)()()(1)(2121nnAPAPAPAAAP 若A、B、C 相互獨立，則 AB 與 C 獨立, AB 與 C 獨立, AB 與 C 獨立. 一 些 結 論若A，B，C獨立，則AB與C獨立()AB CA CB

21、C)(BCACP)()()(ABCPBCPACP)()()()()()()(CPBPAPCPBPCPAP)()()()()(BPAPBPAPCP)()(BAPCPABC與相 互 獨 立 。解法ii) 用對立事件公式 P(C) = P(AB) =1 P(AB)=1P(AB) = 1 (1 0.9)(1 0.8) = 1 0.02 = 0.98. 例例8 8 兩射手獨立地向同一目標射擊一次，其 命中率分別為 0.9 和 0.8，求目標被擊中的概率. 解: 設 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目標被擊中”, 所以解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B)

22、= 0.9+0.80.90.8 = 0.98.例例7 三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解解：將三人編號為：將三人編號為1，2，3，所求為所求為記記 Ai=第第i個人破譯出密碼個人破譯出密碼 i=1,2,3)(321AAAP)(321AAAP)(1321AAAP )(1321AAAP )()()(1321APAPAP 6 . 0534332541 312例8 （在產品質量管理中應用）某產品的生產分3道工序，設第

23、一、二、三道工序的次品率分別為0.2，0.15，0.1，假設各道工序是互不影響的，求該產品的成品率.解設則由題意知：道工序的產品為正品第iAi3, 2, 1i產品為成品A)()()()()(321321APAPAPAAAPAP)(1)(1)(1 321APAPAP612. 0) 1 . 01)(15. 01)(2 . 01 (題中給出每道工序的次品率雖然不算很高，但最后的成品率還是比較低，由此可見，綜合影響的作用還是比較大，所以在事件操作時，做好每一個環(huán)節(jié)是保證產品質量的有效措施.例9 （在可靠性問題中應用）一個系統(tǒng)由3個部件組成，它們的工作是相互獨立的，若它們正常工作的概率都是0.85，在下

24、列各情形下，分別求系統(tǒng)正常工作的概率.（如圖所示）（1）3個部件同時工作，系統(tǒng)才工作，稱其為系統(tǒng)（1）；（2）3個部件中有一個工作，系統(tǒng)就工作，稱其為系統(tǒng)（2）.系統(tǒng)（1）系統(tǒng)（2）解設個部件正常工作第iAi3, 2, 1i)2, 1( iBi依次表示題中兩種系統(tǒng)正常工作的事件.6141. 085. 0)()()()()(33213211APAPAPAAAPBP由題意知 ， ， 相互獨立 1A2A3A計算結果說明，系統(tǒng)（2）的可靠性高于系統(tǒng)（1），所以在實際中，集成電路大多采用并聯(lián)形式.)()(3212AAAPBP)()()(1321APAPAP9966. 015. 013例例1010 設有甲

25、、乙兩個袋子，甲袋子中裝有2個紅球和3個白球；乙袋子中裝有1個紅球和3個白球.今任選一個袋子，然后再從選到的袋子中任取一個球，問取到紅球的概率為多少？325. 041215221)(BP上述分析的實質是把一個復雜事件分解為若干個互不相容的簡單事件，再將概率的加法公式和乘法定理結合起來，這就產生了全概率公式.加法公式乘法公式綜合應用綜合應用1A2A4A3A全概率公式可以形象地看作“由原因推結果”，結果發(fā)生的可能性與各種原因有關。就可以用全概率公式表示原因與結果的關系：是原因iA是結果BniiiABPAPBP1)|()()(1. 3. 3 1. 3. 3 全概率公式全概率公式 例例11. 某人去某

26、地，乘火車、輪船、汽車、飛機的概率分別為某人去某地，乘火車、輪船、汽車、飛機的概率分別為0.3,0.2, 0.1, 0.4，遲到的概率分別為，遲到的概率分別為 0.25, 0.3, 0.1, 0, 求他遲到求他遲到的概率的概率 解：解：設設B1乘火車來乘火車來， B2乘輪船來乘輪船來， B3乘汽車來乘汽車來， B4乘飛機來乘飛機來， A遲到遲到. 易見易見, B1 1, B2 2, B3 3, B, ,是對選擇交通工具是對選擇交通工具(先行先行)試驗樣本空間試驗樣本空間的一個劃分，的一個劃分，由全概率公式得由全概率公式得41()()(/)iiiP AP BP AB=0.30.25 0.0.3

27、0.0.1 0.40=0.145. 例例12. 設某人按如下原則決定某日的活動：如該天下雨則以設某人按如下原則決定某日的活動：如該天下雨則以0.2的概率外出購物，以的概率外出購物，以0.8的概率去探訪朋友；如該天不下雨，的概率去探訪朋友；如該天不下雨，則以則以0.9的概率外出購物，以的概率外出購物，以0.1的概率去探訪朋友，設某地下雨的概率去探訪朋友，設某地下雨的概率是的概率是0.3試求那天他外出購物的概率試求那天他外出購物的概率 解：解：令令B1=該天下雨該天下雨， B2=該天不下雨該天不下雨 ， A=某人外出購物某人外出購物 顯然顯然B1 1，B2 2為對該日天氣觀察為對該日天氣觀察(先行

28、先行)試驗樣本空間的一個試驗樣本空間的一個劃分，由全概率公式得劃分，由全概率公式得1221()()(/)()(/)P AP BP ABP BP AB0.3 0.20.7 0.90.69.實際上還有下面一類問題：已知結果求原因已知結果求原因例如：有三個箱子，分別編號為1，2，3， 1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅球3白球，3號箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現是紅球，問該球是取自1號箱的概率。號箱球取自記iAi3,2,1i取到紅球B)|(1BAP)()(1BPBAP)|()()|()()|()()|()(33221111ABPAPABPAPABPAPABPAP利

29、用乘法公式利用乘法公式利用全概率公式利用全概率公式131523151315131將這里的數學公式一般化，就是貝葉斯公式1. 3. 4 1. 3. 4 貝葉斯公式貝葉斯公式)|()()|()()|(1jnjjiiiABPAPABPAPBAP它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導致B發(fā)生的每個原因的概率。 例例13. .某商店由三個廠購進一批燈泡，其中甲廠占某商店由三個廠購進一批燈泡，其中甲廠占25%25%，乙廠，乙廠占占35%35%，丙廠占，丙廠占40%40%，且各廠的次品率分別為，且各廠的次品率分別為5%5%，4%4%，2%. 2%. 如果消如果消費者已經買到一個次品燈泡，問是哪個廠出產的可

30、能性大？費者已經買到一個次品燈泡，問是哪個廠出產的可能性大？ 解：解：設設B1=燈泡是甲廠出產的燈泡是甲廠出產的，B2=燈泡是乙廠出產的燈泡是乙廠出產的， B3=燈泡是丙廠出產的燈泡是丙廠出產的，A=買到一個次品燈泡買到一個次品燈泡. 由題設知由題設知 P(B1)=0.25， P(B2)=0.35， P(B3)=0.4，P(A/B1)=0.05，P(A/B2)=0.04，P(A/B3)=0.02，由全概率公式得由全概率公式得31()()(/)iiiP AP BP AB=0.0345 .由貝葉斯公式得由貝葉斯公式得11141() ( /)(/ )( ) ( /)iiiP B P A BP BAP

31、 B P A B0.25 0.050.3623,0.0345同理可得同理可得23(/)0.4058,(/)0.2319.P BAP BA顯然，乙廠出產顯然，乙廠出產的可能性大！的可能性大！例例1 14 4 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設各箱含0,1,2只殘次品的概率相應地為0.8,0.1和0.1.一顧客欲買一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨機地查看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回.試求：（1）顧客買下該箱玻璃杯的概率；（2）在顧客買下的一箱玻璃杯中，確實沒有殘次品的概率.解 記顧客買下該箱的概率A件殘次品箱中恰有iBi）（210i由題意8 . 0)(0BP1 . 0)(1BP1 .

32、0)(2BP1)|(0BAP54)|(4204191CCBAP1912)|(4204182CCBAP（1）由全概率公式20)()|()(iiiBPBAPAP（2）由貝葉斯公式85. 094. 08 . 0)()()|()|(000APBPBAPABP)()|()()|()()|(221100BPBAPBPBAPBPBAP結果結果原因原因94. 019121 . 0541 . 018 . 01. 3. 5 1. 3. 5 伯努利概型伯努利概型如果隨機試驗只有兩種可能的結果：事件A發(fā)生，記為A ,事件A不發(fā)生，記為 , 則A稱這樣的試驗為伯努利試驗記pAP)(pAP1)(若將伯努利試驗在相同條件下獨立地若將伯努利試驗在相同條件下獨立地重復重復進行進行n次次，且