向量法解決空間立體幾何---點存在性問題--教師版

1、向量法解決空間立體幾何-點存在性問題-教師版設平面BiCD的法向量為m=(x,y,z),1、如圖所示，在直三棱柱ABC-AiB1Ci中，/ACB=90°,AAi=BC=2AC=2.(1)若D為AAi中點，求證：平面BiCD，平面BiCiD;(2)在AAi上是否存在一點D,使得二面角Bi-CD-Ci的大小為60°?m福=02y+2z=0,則uuu?+0令z=-i,得m=(a,i,i).又Cur=(0,2,0)為平面CiCD的一個法向量，則cos60°-|m|m|iia2+22'2，一解彳3a=42(負值舍去)，故AD=，2=gAAi.在AAi上存在一點uur

2、rCB|uur-ICB|D滿足題解：(i)證明：如圖所示，以點C為原點，CA,CB,CCi所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.則C(0,0,0),A(i,0,0),Bi(0,2,2),Ci(0,0,2),D(i,0,i),uuuuruuuuuuu即CiBi=(0,2,0),DC=(i,0,i),CD=(i,0,i).,ULWTuuu山LUuuu»由C1B1CD=(0,2,0)(i,0,i0+0*0=0,得CiBi，CD,IPCiBi±CD.uuuuuuuuuiuruuu由DCCD=(i,0,i)(i,0,i)i#0i=0,得DCLCD,即DCiCD.又DCinCi

3、Bi=Ci,CD,平面BiCiD.又CD?平面BiCD,.平面BCD，平面BiCiD.2(2)存在.當AD=1-AAi時，二面角B-CD-Ci的大小為60°.理由如下：uuruuir設AD=a,則D點坐標為(i,0,a),CD=(i,0,a),CBi=(0,2,2),Word資料(2)由(1)知AAilAC,AAilAB.由題知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB±AC.如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A-xyz,則B(0,3,0),Ai(0,0,4),Bi(0,3,4),2.如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi中，AAiCiC是邊長為4的正方形，平面ABC，平面AA1C

4、1C,AB=3,BC=5.(i)求證：AAi,平面ABC;(2)求二面角Ai-BCi-Bi的余弦值；BD(3)證明：在線段BCi上存在點D,使得ADAiB,并求g丁的值.BCiCi(4,0,4),uuuruuuirAiB=(0,3,4),A1cl=(4,0,0).設平面AiBCi的法向量為n=(x,y,z),uuuun'A1B0,3y4z=0,則uuiur即令z=3,WJx=0,y=4,所以n=(0,4,3).n-A1C1=0.4x=0.同理可得，平面BiBCi的一個法向量為m=(3,4,0).所以cosn,m=n-m16.In|m|2516由題知二面角Ai-BCi-Bi為銳角，所以二

5、面角Ai-BCi-Bi的余弦值為主.25uuiruuuu(3)證明：設D(x,y,z)是直線BCi上一點，且BD=XBC1.所以(x,y-3,z)=/(4,3,4).解得x=4入，y=33%z=4%uuuruuiruuur9所以AD=(4入，3-3入，4a.由ADA1B=0,即9-25人=0,解得入=.259因為:0,1,所以在線段BCi上存在點D,使得ADAiB.25一一BD9此時，出=入=9解：(i)證明：因為四邊形AAiCiC為正方形，所以AAilAC.因為平面ABC，平面AAiCiC,且AAi垂直于這兩個平面的交線AC,所以AAi,平面ABC.Word資料解：(1)在PAD中，PA=P

6、D,O為AD中點，所以POLAD.又側面PAD±底面ABCD”面PADn平面ABCD=AD,PO?平面PAD,所以PO，平面ABCD.又在直角梯形ABCD中，連接OC,易得OCLAD,所以以O為坐標原點,T,0),B(1uur.PB=(1,T,3、如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD，底面ABCD,側棱PA=PD='/2,PA1PD,底面ABCD為直角梯形，其中BC/AD,AB1AD,AB=BC=1,O為AD中點.OC,OD,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則P(0,0,1),A(0,，-1.0),C(1,0,0),D(0,1,0),uuu-1),易證O

7、A，平面POC,OA=(0,1,0)是平面POC的(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值；(2)求B點到平面PCD的距離；6(3)線段PD上是否存在一點Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值為4-?若存在,3法向量,uuucosPB,uuuOA二|uuuuuu一PB-OA、3一uuuutar=之-.直線PB與平面POC所成角的余弦值PB|OA|3為學3求出京的值；若不存在，請說明理由.xQDuuu(2)PD=(0,1,-1),uuuCP=(1,0,1).設平面PDC的一個法向量為u=(x,z),uuuu-CPuuuuPD=x+z=0,=yz=0,取z=1,得u=(1,1,1).；B點到平面PC

8、D的距離為duuur一_|BP-u|_3二|u|=3.uuuuuuruuin假設存在一點Q,則設PQ=入PD(0入1).PD=(0,1,1),Word資料uuuuuinuuuruuurPQ=(0,入，一力=OQOP,OQ=(0,入，1力，.Q(0,入，1.一*,，一,uuir設平面CAQ的一個法向量為m=(x,y,z),又AC=(1,1,0),AQ=(0,入+1,1，一一，一二一二,冗，,，(2)在才受AB上是否存在點E,使二面角D1-EC-D的平面角為石？若存在，求出AE的長；若不存在，請說明理由.uuurmAC=x+y=0,則uuur取z=入+1,得m=(1入，入1,入十mAQ=入+1y+

9、1入z=0.1),6又平面CAD的一個法向量為n=(0,0,1),二面角Q-AC-D的余弦值為，3所以|cosm,n>|=Jm,得3/210X+3=0,解得人=可或入Im|n|33=3(舍),4、如圖1,A,D分別是矩形A1BCD1上的點，AB=2AA1=2AD=2,DC=2DD1,把四邊形A1ADD1沿AD折疊，使其與平面ABCD垂直，如圖2所示，連接AB,D1C得幾何體ABA1-DCD1.(1)當點E在才SAB上移動時，證明：D1E，AD;解：(1)證明，如圖，以點D為坐標原點，DA,DC,DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D-xyz,則D(0,0,0),A(1,0,

10、0),C(0,2,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1).設E(1,t,0),uuuuuuuruuuuuuur則D1E=(1,t,1),A1D=(T,0,-1),D1E-A1D=1X(4)+tX0+(1)X(書=0,.D1E±A1D.uuir(2)假設存在符合條件的點E.設平面DEC的法向量為n=(x,y,z),由(1)知EC=(-1,2-t,0),uuurnEC=0,x+2ty=0,11貝uuuir得令y="2，貝Ux=1-t,z=1,Word資料.11.n=1-2t,萬，1是平面DiEC的一個法向量,uuum顯然平面ECD的一個法向量為DD1=(0,0,1),則c

11、osuuumuuuuIn-DD1l1冗一DD1>=uuuu=一f=cos-,解得11n11DD11、-2F+16t=2-93線段CCi上是否存在一點E,使BE,平面AiCCi?若不存在，請說明理由,5、如圖是多面體ABC-A1B1C1和它的三視圖.若存在，請找出并證明;故存在點E,當AE=2、3-時，二面角D1-EC-D的平面角為：.(2)求平面C1A1C與平面AiCA夾角的余弦值.解：(1)由題意知AAi,AB,AC兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，uuuu則A(0,0,0),Ai(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),Ci(-1,1,2),則CC1=(1,1,2),

12、A1c1=(-1,-1,0),AuC=(0,2,2).設E(x,y,z),則健=(x,y+2,z),uuuuuuuuuurEC1=(1x,-1-y,2-z).設CE=EC1(狂0),x入一入X一入-2一入2人則則EE，"TE，z=2入一入zuuin2+入-2一入2人BE=1+,1+入'1+入.Word資料uuurBE由uuurBEuuuir-A1C1=0,uuurA1c=0,所以線段CC1上存在一點2+入2+入TTT0，解得人=2,一2一入2人1+入+?n=0,uuiruuurrE,CE=2EC1,使BE，平面ACC1.uuuurm,A1cl=0,(2)設平面C1A1C的法向

13、量為m=(x,y,z),則由uuur得m,A1c=0,6、如圖1,正ABC的邊長為4,CD是AB邊上的高，E,F分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如圖2).一xy=0,2y2z=0,試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由;(2)求二面角E-DF-C的余弦值；取x=1,則y=-1,z=1.故m=(1,1,1),而平面A1CA的一個法向量為nBP,，(3)在線段BC上是否存在一點P,使APLDE?如果存在，求出季的值；如果BC=(1,0,0)，m-n1x/3上.-F八=；一-一故平面C1A1C與平面A1CA夾角的Im|n|33入、,土'3余弦值

14、為3不存在，請說明理由.解(1)在ABC中，由E,F分別是AC,BC中點，得EF/AB.又AB?平面DEF,EF?平面DEF,.AB/平面DEF.(2)以點D為坐標原點，以直線DB,DC,DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則uuir一DF=(1,43,A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,250),E(0,V31),F(1,g0),uuir-uuu0),DE=(0,<3,1),DA=(0,0,2).uuur平面CDF的法向量為DA=(0,0,2).設平面EDF的法向量為n=(x,y,z),Word資料uuirDFn則uuurDE-=0,x+J3y=0,即取n=(3,g3),Ay3y+z=0,uuucosDAuuirDA