北航20102011年研究生數(shù)值分析期末模擬試卷13

1、數(shù)值分析模擬試卷1一、填空(共30分，每空3分)rin1設(shè)A=，則A的譜半徑P(a)=,A的條件數(shù)cond1(A)=5V22設(shè)f(x)=3x+5,Xk=kh,k=0,1,2,則fXn,Xn*Xn42=fXn,Xn1,Xn2,Xn3=332_.x+x,0<x<13設(shè)S(x)=32，是以0,1,2為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，則2xbxcx-1,1<x<2b=,c=.4設(shè)qk(x)N是區(qū)間0,1上權(quán)函數(shù)為P(x)=*的最高項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式族，1其中q0(x)=1，貝U1xqk(x)dx=,q?(x)=.一10al5設(shè)A=01a,當(dāng)aw時(shí)，必有分解式其中l(wèi)為下三角陣，當(dāng)aa1J

2、其對(duì)角線元素Lii(i=1,2,3)滿足條件時(shí)，這種分解是唯一的、(14分)設(shè)f(x)X3,X0,X1=1,X2=94419,(1)試求f(x)在一,一上的二次Hermite插值多項(xiàng)式H(x)使?jié)M足44H(xJ=f(x)i=0,1,2,H仇)=f'(xj.(2)寫出余項(xiàng)R(x)=f(x)H(x)的表達(dá)式.2二、(14分)設(shè)有斛方程123x+2cosx=0的迭代公式為xn由=4+cosxn,3(1)證明Vx0wR均有l(wèi)imxn=x(x為方程的根)；X.(2)取X。=4,用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過(guò)1°一二列出各次迭代值;(3)此迭代的收斂階是多少？證明你的結(jié)論.四、(

3、16分)試確定常數(shù)A,B,C和巴使得數(shù)值積分公式小的4/D+的'+仃Gauss型的？有盡可能高的代數(shù)精度.試問(wèn)所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為,、一一,，、了、什y'=f(x,y),e廠.，五、(15分)設(shè)有常微分方程的初值問(wèn)題，試用Taylor展開原理構(gòu)造形如1y(x0)y0yn+=Wyn+yn)+h(P0fn+P#n)的方法，使其具有二階精度，并推導(dǎo)其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng).1121門、六、(15分)已知方程組Ax=b,其中A=,b=,©3"(1)試討論用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程組的收斂性(2)若有迭代公式x(k的

4、=x(k)十a(chǎn)(Ax(k)十b),試確定一個(gè)口的取值范圍，在這個(gè)范圍內(nèi)任取一個(gè)口值均能使該迭彳t公式收斂.七、(8分)方程組=其中A是對(duì)稱的且非奇異.設(shè)A有誤差辦，則原方程組變化為(A+W(x+&)=b,其中盤為解的誤差向量，試證明網(wǎng)平網(wǎng).其中和入2分別為A的按模最大和最小的特征值.數(shù)值分析模擬試卷2填空題(每空2分，共30分)1 .近似數(shù)x*=0.231關(guān)于真值x=0.229有位有效數(shù)字；2 .設(shè)f(x)可微，求方程x=f(x)根的牛頓迭代格式是；一33 .對(duì)f(x)=x+x+1,差商f0,1,2,3=;f0,1,2,3,4=；.32)4 .已知x=(2,3),A=,則|Ax|g=,

5、-21J-C0ndi(A)=35.6.用二分法求方程f(x)=x+x-1=0在區(qū)間0,1內(nèi)的根，進(jìn)行一步后根所在區(qū)間為,進(jìn)行二步后根所在區(qū)間為3x1+5x2=1求解線性方程組1.c的圖斯一賽德爾迭代格式為x1十4x2=05;該迭代格式迭代矩陣的譜半徑P(G)=；17.為使兩點(diǎn)數(shù)值求積公式：ff(x)dx定80f(X0)+8if(Xi)具有最高的代數(shù)精確度，其1求積節(jié)點(diǎn)應(yīng)為Xo=,Xi=,00=Di=.338.求積公式gf(x)dx定一f(1)+f(2)是否是插值型的,其代數(shù)精度為、(12分)(1)設(shè)A=LU,其中L為下三角陣，U為單位上三角陣。已知2-1120-10000、-10，求L,U。2

6、-1-12>(2)設(shè)A為6父6矩陣，將A進(jìn)行三角分解：A=LU,L為單位下三角陣，U為上三角陣，試寫出L中的元素l65和U中的元素u56的計(jì)算公式。三、(12分)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試確定一個(gè)次數(shù)不超過(guò)3的多項(xiàng)式H(x),滿足H(0)=f(0)=0,H(1)=f(1)=1,H(2)=f(2)=1,H'(1)=f'(1)=3,并寫出插值余項(xiàng)。(12分)線性方程組X1PX2=b12Pxi+2x2=b2(1)請(qǐng)寫出解此方程組的賽德爾迭代法的迭代格式，并討論收斂性。(2)設(shè)P=2,給定松弛因子3=工,請(qǐng)寫出解此方程組的SOR方法的迭代格式，并討論2收斂性

7、。五、(7分)改寫方程2X+x4=0為x=ln(4x)/ln2的形式，問(wèn)能否用迭代法求所給方程在1,2內(nèi)的實(shí)根？六、(7分)證明解方程(x3-a)2=0求處&的牛頓迭代法僅為線性收斂。,八一113七、(12分)已知X。=一,X1=一,X2=.424(1)推導(dǎo)以這3個(gè)點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)在0,1上的插值型求積公式；(2)指明求積公式具有的代數(shù)精度；1(3)用所求公式計(jì)算x2dx。八、(8分)若f(x)=(X-X0)(XXi)(XXn),Xi互異，求fX0,Xi，Xp的值，這里p<n1.數(shù)值分析模擬試卷3一、填空題(每空3分，共30分)1 .設(shè)f(X)=4x8+3x4+2x2+1,則差商f

8、20,21，28=；2 .在用松弛法(SOR)解線性方程組Ax=b時(shí)，若松弛因子與滿足I0-1戶1,則迭代法；._.*._.、3 .設(shè)f(x)=0,f(x)#0,要使求x的Newton迭代法至少三階收斂，f(x)需要酒足;3_2_4 .設(shè)f(x)=(x+2)(x33x2+3x1)，用Newton迭代法求X1=一2具有二階收斂的迭代格式為；求X2=1具有二階收斂的迭代格式為；7-2、5 .已知A=,則P(A)=,Cond3O(A)=1-31)一6 .若x»1,改變計(jì)算式lgx-lgVx2-1=,使計(jì)算結(jié)果更為精確；7 .過(guò)節(jié)點(diǎn)儀函3(i=0,1,2,3)的插值多項(xiàng)式為;228.利用拋物

9、(Simpson)公式求xdx=。,22r二、(14分)已知方陣A=111,心21(1)證明：A不能被分解成一個(gè)單位下三角陣L和一個(gè)上三角陣U的乘積；(2)給出A的選主元的Doolittle分解，并求出排列陣；(3)用上述分解求解方程組Ax=b，其中b=(3.5,2,4)t。三、(12分)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試確定一個(gè)次數(shù)不超過(guò)3的多項(xiàng)式H(x),滿足H(0)=f(0)=0,H(1)=f(1)=-1,H'(1)=f'(1)=10,H"(1)=f"(1)=40,并寫出插值余項(xiàng)。四、（10分）證明對(duì)任意的初值x0,迭代格式xn中=cos

10、xn均收斂于方程x=cosx的根,且具有線性收斂速度。五、（12分）在區(qū)間-1,1上給定函數(shù)f（x）=4x3+1,求其在S=Span1,x,x2中關(guān)于權(quán)函數(shù)P（x）=1的最佳平方逼近多項(xiàng)式。（可用數(shù)據(jù)：321、p0(x)=1,p1(x)=x,p2(x)=x-)六、(12分)(1)試導(dǎo)出切比雪夫(Chebyshev)正交多項(xiàng)式Tn(x)=cos(narccosx)(n=0,1,2,，xw-1,1)的三項(xiàng)遞推關(guān)系式:T0(x)=1,Ti(x)=x,Tni(x)=2xTn(x)-Tn(x)(n=1,2,)（2）用高斯一切比雪夫求積公式計(jì)算積分2x2-11.dx.同當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)n取何值時(shí),0.x(2-x)

11、能得到積分的精確值?yn+=yn+:(K1+K3)七、（10分）驗(yàn)證對(duì)Vt,4K2K1=f(xn,yn)為2階格式.f(xnth,ynthK1)K3=f(xn(1-t)h,yn(1-t)hK1)參考答案1P(a)=66,c0ndi(A)=6.2.fxn,xn+，xn2=3,fxn,xn+,xn七，xn七=0.3.b=2,c=3.4._6x.A51015.);lii0(i=1,2,3)2二、(1)H(x)="x3至x2空x22545045025四、五、六、(2)R(x)=4!16方129192(x-4)(x-1)(x-(44).2L=-;(2)x生3.347;(3)線性收斂.312,-

12、J-;求積公式具有5次代數(shù)精度,51,33,、1；截?cái)嗾`差主項(xiàng)為3h3y“'(xn).48(1)P(BJ)=疝6,P(BGS)=0.6<1,因此兩種迭代法均收斂_1一(2)當(dāng)>a>0時(shí)，該迭代公式收斂.1.0.6參考答案2一、1.2f(xn)2.xn1=xn-(n=0,1,)f(xn)3.1,04.257,75.113(2,1),(石)(k1)x1Gauss型的.6.131L(k1)12“x1(k1)x28.是，1二、(1)一2-1032-1043-123100341a65-。6山15le2U25Ig3U35.1455、165=;(2)U55U56-a55-。51口1652U26153U35654U46)f(4)()2(x)=x-2x(x-1)(x-2),R(x)=x(x-1)(x-2)4!x*=b1：x2k)四、(1)(k書b2力(k書)，M<1時(shí)收斂x2=-：x12=b1x1(k)x2k)(2)22.Ix2k)-x1(k1)42五、收斂211123,七、3f叩一T號(hào)十2巧)2 2)213八、pWn時(shí)為0,p=門+1時(shí)為1參考答案3一、1.43 .發(fā)散*4 .f(x)=0f(Xn)f(Xn)4.Xn1=&