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1、一、 判斷題1.有限或可數(shù)個可數(shù)集的并集必為可數(shù)集。( )2.可數(shù)集的交集必為可數(shù)集。(× )3.設(shè)P,QRn,則P,Q=0ÛP=Q。(× )4.設(shè)點P為點集E的內(nèi)點,則P為E的聚點,反之P為E的聚點,則P為E的內(nèi)點。(× )5.開集中的每個點都是內(nèi)點,也是聚點。( )6.任意多個開集的并集仍為開集。( )7.任意多個開集的交集仍為開集。(× )8.設(shè)AÍB,則m*A<m*B。(× )9.設(shè)E為Rn中的可數(shù)集,則m*E=0。( )10.設(shè)E為無限集,且m*E=0,則E是可數(shù)集。(× )二、填空題1.設(shè),是上的
2、全部有理點,則 0,1 ;的內(nèi)部 空集 ; 0,1 。2.設(shè),則 0,1 ;的內(nèi)部 空集 ;。3.設(shè),則;的內(nèi)部;。4.設(shè)P是Cantor集,則為 閉 集;為 完全 集;沒有 內(nèi) 點; c ; m*P=_0_。5. 設(shè)為上的開集的構(gòu)成區(qū)間,則滿足,且,。三、證明題1.證明:。證明:因為,所以,從而反之,對任意,即對任意,有為無限集,從而為無限集或為無限集至少有一個成立,即或,所以,。綜上所述,。2.設(shè)A2n-1=(0,1n),A2n=(0,n),n=1,2,求出集列An的上限集和下限集。解:;設(shè),則存在N,使時,因此時,即,所以屬于下標(biāo)比N 大的一切偶數(shù)指標(biāo)集,從而屬于無限多,得,又顯然,所以。若有,則存在N,使對任意,有,因此若時, 即,令,得,此不可能,所以。3.可數(shù)點集的外側(cè)度為零。證明: 設(shè)對則則 4.證明:不可數(shù)集減可數(shù)集的差集仍為不可數(shù)集。證明:記是不可數(shù)集,是可數(shù)集,因為,且為無限集(因為,否則的話,是至多可數(shù)集,與是不可數(shù)集矛盾),為至
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