應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

1、1第八章第八章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 81 概概 述述 zMFQ220coscos p2sin2sin0 p單向應(yīng)力狀態(tài)FF ,0AFcoscos0AFP3 受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處所有方位截面上應(yīng)力的集合，受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處所有方位截面上應(yīng)力的集合，稱為稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 。研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，往往研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，往往圍繞該點(diǎn)取一個(gè)無(wú)限小的正六面體圍繞該點(diǎn)取一個(gè)無(wú)限小的正六面體單元體來(lái)研究。單元體來(lái)研究。 xyxxyxyyxyxyxxzyxzzyzyxyzyzx空間應(yīng)力狀態(tài)空間應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)4 任何應(yīng)力狀態(tài)，總能找到三對(duì)互相垂直的面，在任何應(yīng)力狀

2、態(tài)，總能找到三對(duì)互相垂直的面，在這些面上只有正應(yīng)力，而切應(yīng)力等于零，這樣的面稱這些面上只有正應(yīng)力，而切應(yīng)力等于零，這樣的面稱為為應(yīng)力主平面應(yīng)力主平面(簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱主平面主平面)，主平面上的正應(yīng)力稱為，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力主應(yīng)力。 12132三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)雙向應(yīng)力狀態(tài)雙向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)5max簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下材料的強(qiáng)度條件：下材料的強(qiáng)度條件：max 單軸拉壓狀態(tài)單軸拉壓狀態(tài) 純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的強(qiáng)度條件：下材料的強(qiáng)度條件：,工作應(yīng)力；工作應(yīng)力；maxmax,許用應(yīng)力，通

3、過(guò)直接試驗(yàn)的方法確定。許用應(yīng)力，通過(guò)直接試驗(yàn)的方法確定。 不可不可能總是通過(guò)直接試驗(yàn)的方法來(lái)確定材料的極限能總是通過(guò)直接試驗(yàn)的方法來(lái)確定材料的極限應(yīng)力。通過(guò)應(yīng)力。通過(guò)應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力狀態(tài)分析來(lái)探求材料破壞的規(guī)律，確定來(lái)探求材料破壞的規(guī)律，確定引起材料破壞的決定因素，從而建立相應(yīng)的強(qiáng)度條件，引起材料破壞的決定因素，從而建立相應(yīng)的強(qiáng)度條件，即即強(qiáng)度理論強(qiáng)度理論。 682 平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析解析法解析法 一、斜截面應(yīng)力一、斜截面應(yīng)力 圖圖(a)(a)所示平面應(yīng)力單元體常用平面圖形所示平面應(yīng)力單元體常用平面圖形(b)(b)來(lái)表示。來(lái)表示?，F(xiàn)欲現(xiàn)欲求垂直于平面求垂直于平面xy的

4、任意斜截面的任意斜截面ef上的應(yīng)力上的應(yīng)力。7 圖圖(b)中所示任意斜截面中所示任意斜截面ef 的外法線的外法線n與與x軸的夾角（方位軸的夾角（方位角）為角）為 ，故，故截面截面ef簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱 截面截面。其中其中 角規(guī)定自角規(guī)定自x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)至軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)至外法線外法線n為正為正。 斜截面上的斜截面上的正應(yīng)力正應(yīng)力 以以拉應(yīng)力為正拉應(yīng)力為正，切應(yīng)力切應(yīng)力 以使其以使其所作用的體元有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨所作用的體元有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)者為正勢(shì)者為正( (圖圖(c) )。8 由圖由圖(c)知，如果斜截面知，如果斜截面ef的面積為的面積為dA，則體元左側(cè)面，則體元左側(cè)面eb的面積為的面積為dAcosa，而底面，而底

5、面bf的的面積為面積為dAsina。圖。圖(d)示出了示出了作用于體元作用于體元ebf 諸面上的力。諸面上的力。體元的平衡方程為：體元的平衡方程為：0sinsindcossind coscosdsincosdd0AAAAAFyyxxn，0cossindsinsind sincosdsincosdd0AAAAAFyyxxt，9根據(jù)根據(jù)切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理有：有：xyxyxcossin2sincos22(8-1) )sincos(cossin)(22xyx(8-2) 利用三角關(guān)系整理后可得到利用三角關(guān)系整理后可得到 斜截面上應(yīng)力斜截面上應(yīng)力 、 的計(jì)算公式為的計(jì)算公式為：xyxyx2sin

6、2cos22(8-3) xyx2cos2sin2(8-4) 將其代入平衡方程可得：將其代入平衡方程可得：10MPa 30MPa, 20,MPa 30 xyxMPa33.19)302cos(30)302sin(22030MPa52. 1)302sin(30)302cos(22030220303030例題例題81 圖圖a為為一平面應(yīng)力狀態(tài)單一平面應(yīng)力狀態(tài)單元體，試求與元體，試求與x軸軸成成30角的斜截面角的斜截面上的應(yīng)力。上的應(yīng)力。則由公式則由公式(133)及及(134)可直接得到該斜截面上的應(yīng)力：可直接得到該斜截面上的應(yīng)力：?jiǎn)挝唬篗Pa203030 xy(a)3030(b)xn30301020y

7、303030解：由圖可知：解：由圖可知：11二、主應(yīng)力和主平面二、主應(yīng)力和主平面 根根據(jù)式據(jù)式(83)和和(84)可以確定應(yīng)力的極值及其作用面可以確定應(yīng)力的極值及其作用面的方位。將式的方位。將式(83)對(duì)對(duì) 取導(dǎo)數(shù)：取導(dǎo)數(shù)：xyx2cos2sin22dd令此導(dǎo)數(shù)等于零，可求得令此導(dǎo)數(shù)等于零，可求得 達(dá)到極值時(shí)的達(dá)到極值時(shí)的 值，以值，以 0表表示此值，即示此值，即02cos2sin200 xxyyxx22tan0(85) （a） （b） 12 由由式式(85)可求出可求出 0相差相差90 的兩個(gè)根，亦即有相互的兩個(gè)根，亦即有相互垂直的兩個(gè)面，其中一個(gè)面上作用的正應(yīng)力是極大值，垂直的兩個(gè)面，其中

8、一個(gè)面上作用的正應(yīng)力是極大值，以以 max表示，另一個(gè)面上的是極小值，以表示，另一個(gè)面上的是極小值，以 min表示。表示。02000202tan12tan2sin2tan112cos22minmax2)(2xyxyx(86) 將式將式(85)代入以上兩式，再回代到式代入以上兩式，再回代到式(83)經(jīng)整理后即可經(jīng)整理后即可得到求得到求 max和和 min的公式如下：的公式如下：（c） yxx22tan0利用三角關(guān)系：利用三角關(guān)系：13 由由式式(85)求得兩個(gè)求得兩個(gè) 0值后，確定哪個(gè)是值后，確定哪個(gè)是 max作用面作用面的方位角的方位角(以以 0max表示表示)，哪個(gè)是，哪個(gè)是 min作用面的

9、方位角作用面的方位角(以以 0min表示表示)，則可按下述規(guī)則進(jìn)行判定：，則可按下述規(guī)則進(jìn)行判定：)0(45)0(45max0 xx(87)(1) 若若 x y ，則有，則有 | 0max|45 5(2) 若若 x y ，則有，則有 | 0max|45 5(3) 若若 x = y ，則有，則有90max0min0 (88) 求得求得 0max后，后， 0min可按下式計(jì)算：可按下式計(jì)算：14這里指出一點(diǎn)，將式這里指出一點(diǎn)，將式(b)與式與式(84)比較，可知：比較，可知：000時(shí)，當(dāng) 這這表明表明在正應(yīng)力達(dá)到極值的面上，切應(yīng)力必等于零在正應(yīng)力達(dá)到極值的面上，切應(yīng)力必等于零，即該截面為即該截面為

10、主平面主平面，相應(yīng)的正應(yīng)力即為，相應(yīng)的正應(yīng)力即為主應(yīng)力主應(yīng)力。主應(yīng)力常。主應(yīng)力常用用 1、 2、 3 表示，并按表示，并按 1 2 3排序。應(yīng)注意在平面排序。應(yīng)注意在平面應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)力為零的平面也是主平面，其主應(yīng)力等于應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)力為零的平面也是主平面，其主應(yīng)力等于零，應(yīng)將它與零，應(yīng)將它與 max和和 min 比較，確定出比較，確定出 1、 2、 3 。 yxminmax(89) 即對(duì)即對(duì)于同一個(gè)點(diǎn)所截取的不同方位的單元體，其相互于同一個(gè)點(diǎn)所截取的不同方位的單元體，其相互垂直面上的正應(yīng)力之和是一個(gè)不變量，稱之為垂直面上的正應(yīng)力之和是一個(gè)不變量，稱之為第一彈性應(yīng)第一彈性應(yīng)力不變量力不變量。可

11、利用此關(guān)系來(lái)校核計(jì)算結(jié)果。可利用此關(guān)系來(lái)校核計(jì)算結(jié)果。另外，由式另外，由式(86) 可知：可知：15 用用類似的方法，可以討論切應(yīng)力類似的方法，可以討論切應(yīng)力 的極值和它們所在的極值和它們所在的平面。將式的平面。將式(84)對(duì)對(duì) 取導(dǎo)數(shù)：取導(dǎo)數(shù)：令此導(dǎo)數(shù)等于零，可求得令此導(dǎo)數(shù)等于零，可求得 達(dá)到極值時(shí)的達(dá)到極值時(shí)的 值，以值，以 表示表示此值，即此值，即(810) xy2sin22cos)(ddx02sin22cos)(xxyxyx22tan由式由式(810)解出解出sin2 和和cos2 ，代入式，代入式(84)可求得切應(yīng)可求得切應(yīng)力的最大和最小值：力的最大和最小值：1622minmax2)

12、(xyx(811) 2minmaxminmax對(duì)比式對(duì)比式(86)可知：可知：(812) 2tan12tan0這表明這表明2 0與與2 相差相差90，即，即切應(yīng)力極值所在平面與主平切應(yīng)力極值所在平面與主平面的夾角為面的夾角為45 。(813) 另外，對(duì)比式另外，對(duì)比式(85)和式和式(810)可知：可知：17例題例題82 圖示為某構(gòu)件某一點(diǎn)的應(yīng)力圖示為某構(gòu)件某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，試確定該點(diǎn)的主應(yīng)力的大小及狀態(tài)，試確定該點(diǎn)的主應(yīng)力的大小及方位。方位。 單位：MPa20303035.813解：由圖可知：解：由圖可知：MPa 30MPa, 20,MPa 30 xyx將其代入式將其代入式(86)有：有：M

13、Pa45MPa45530220302203022minmax.182 .548 .3543.10871.6215320-30(-30)-22tan00yxx根據(jù)式（根據(jù)式（87）進(jìn)行判斷，由于）進(jìn)行判斷，由于 ，即主應(yīng)力即主應(yīng)力 1與與x軸的夾角為軸的夾角為35.8。 8 .35,1yx則由式（由式（85）可得：）可得：則主應(yīng)力為：則主應(yīng)力為：MPa450MPa455321.,.19例題例題83 對(duì)圖對(duì)圖(a)所示單元體，試用解析法求：（所示單元體，試用解析法求：（1）主應(yīng)力值；）主應(yīng)力值；（2）主平面的方位（用單元體圖表示）；）主平面的方位（用單元體圖表示）；（3）最大切應(yīng)力值。）最大切應(yīng)力

14、值。單位：MPa200300200圖(a)30 MPa,20 MPa ,30 MPaxyx MPa361MPa3613002200200220020022minmax解：由圖可知：解：由圖可知：（1）20128.153圖(b)（2）5 . 1)200(200)300(22tan085.6115.2869.12331.56200由式（由式（87）進(jìn)行判斷，由于）進(jìn)行判斷，由于 ，即主應(yīng)力即主應(yīng)力 1與與x軸的夾角為軸的夾角為28.15（如圖（如圖(b)所示）。所示）。15.28,1yx則（3）最大切應(yīng)力為）最大切應(yīng)力為：MPa3612)361(3612minmaxmax2183 應(yīng)應(yīng) 力力 圓圓

15、(a)將式將式(83)與式與式(84)改寫(xiě)成如下形式：改寫(xiě)成如下形式： xyxyx2sin2cos22xyx2cos2sin20將以上二式各自平方后再相加可得：將以上二式各自平方后再相加可得：22222)0(2xyxyx(c)(b)一、應(yīng)力圓一、應(yīng)力圓22 這這是一個(gè)以正應(yīng)力是一個(gè)以正應(yīng)力、切、切應(yīng)力應(yīng)力為坐標(biāo)的圓的方程，為坐標(biāo)的圓的方程，此圓此圓稱為稱為應(yīng)力圓應(yīng)力圓或或莫爾莫爾(O.Mohr)圓圓。其。其圓心坐標(biāo)為圓心坐標(biāo)為 ，半徑為半徑為 。02,yx222xyxOC2yx222xyx圖 134 圓圓上任意一點(diǎn)的縱、橫坐上任意一點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)分別代表單元體相應(yīng)截面上標(biāo)分別代表單元體相應(yīng)截面

16、上的切應(yīng)力和正應(yīng)力。的切應(yīng)力和正應(yīng)力。23二、應(yīng)力圓的繪制及應(yīng)用二、應(yīng)力圓的繪制及應(yīng)用OC(b)xxD,1yyD,2 圖圖a所示單元體的應(yīng)力圓可按如下方法所示單元體的應(yīng)力圓可按如下方法作出：由單元體作出：由單元體x截面上的應(yīng)力截面上的應(yīng)力x,x按某一比例尺定出點(diǎn)按某一比例尺定出點(diǎn)D1，由單元體由單元體y截面上截面上的應(yīng)力的應(yīng)力y,y(取取y = -x)定出點(diǎn)定出點(diǎn)D2，然后連以直線，以它與，然后連以直線，以它與 軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)C為圓心，以為圓心，以 或或 為半徑可作出應(yīng)力圓為半徑可作出應(yīng)力圓(圖圖b)。1CD2CD(a)24 利用應(yīng)力圓求 斜截面(圖a)上的應(yīng)力，時(shí)，只需將應(yīng)力圓圓周上表示x

17、截面上的應(yīng)力的點(diǎn)D1所對(duì)應(yīng)的半徑 按方位角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)2角，得到半徑 ，那么圓周上E點(diǎn)的座標(biāo)便代表了單元體斜截面上的應(yīng)力。現(xiàn)證明如下(參照?qǐng)Db)：1DCEC25E點(diǎn)橫座標(biāo)2sin2cos22 2sin2sin2cos2cos 2sin2sin2cos2cos 22cos0101000 xyxyxCDCDOCCECEOCCEOCCFOCOF26E點(diǎn)縱座標(biāo)2sin22cos 2sin2cos2cos2sin 22sin01010yxxCDCDCEEF27 當(dāng)單當(dāng)單元體內(nèi)截面元體內(nèi)截面A和和B的夾角為的夾角為 時(shí)，應(yīng)力圓上相應(yīng)時(shí)，應(yīng)力圓上相應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)a和和b所所夾夾的圓心角則為的圓心角則為2 ，且二角之轉(zhuǎn)

18、向相同。因此，且二角之轉(zhuǎn)向相同。因此，單元體上兩個(gè)相互垂直的截面在應(yīng)力圓上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)單元體上兩個(gè)相互垂直的截面在應(yīng)力圓上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所夾所夾圓心角為圓心角為180180，即它們必位于同一直徑的兩端。，即它們必位于同一直徑的兩端。圖 86ABOC2ab28例題例題84 試用圖解法求解圖示應(yīng)力狀態(tài)單元體的主應(yīng)力。試用圖解法求解圖示應(yīng)力狀態(tài)單元體的主應(yīng)力。 (a)200300200單位：kPa0 100kPaOCCD(b)1283x62(c)解解：首先選定坐標(biāo)系的比例尺，由坐標(biāo)：首先選定坐標(biāo)系的比例尺，由坐標(biāo)(200,- -300)和和(- -200,300)分別確定分別確定C和和C點(diǎn)點(diǎn)(圖圖b）。然后）

19、。然后以以CC為直徑畫(huà)圓為直徑畫(huà)圓，即得相應(yīng)的，即得相應(yīng)的應(yīng)力圓。應(yīng)力圓。從應(yīng)力圓量得主應(yīng)力及方位角，并畫(huà)出主應(yīng)力的應(yīng)力從應(yīng)力圓量得主應(yīng)力及方位角，并畫(huà)出主應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)如圖。狀態(tài)如圖。 131max360kPa ,360kPa ,28 , 360kPa 2984 三向應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力三向應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力dabc12xzy3213 表示表示與主應(yīng)力與主應(yīng)力3平行平行的斜截面上應(yīng)力的點(diǎn)，必的斜截面上應(yīng)力的點(diǎn)，必位于由位于由1與與2所確定的應(yīng)所確定的應(yīng)力圓上。同理，與主應(yīng)力力圓上。同理，與主應(yīng)力2 (或或1)平行的各截面的平行的各截面的應(yīng)力，則可由應(yīng)力，則可由1與與3(或或2與與3)所畫(huà)應(yīng)力圓

20、確定。所畫(huà)應(yīng)力圓確定。 一、三向應(yīng)力圓一、三向應(yīng)力圓30圖 88O132K圖 8912xzyB3CA 在在坐標(biāo)平面內(nèi)，表示與三個(gè)主應(yīng)力均不平行的任坐標(biāo)平面內(nèi)，表示與三個(gè)主應(yīng)力均不平行的任意斜截面意斜截面ABC（圖（圖89）上應(yīng)力的點(diǎn)）上應(yīng)力的點(diǎn)K必位于圖必位于圖88所示以所示以主應(yīng)力作出的三個(gè)應(yīng)力圓所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)。主應(yīng)力作出的三個(gè)應(yīng)力圓所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)。 31二、最大應(yīng)力二、最大應(yīng)力 1max3min231max(819) (817) (818) 而最大切應(yīng)力則為：而最大切應(yīng)力則為： 由由應(yīng)力圓可知，一點(diǎn)處的最大與最小正應(yīng)力分別應(yīng)力圓可知，一點(diǎn)處的最大與最小正應(yīng)力分別為最大與最小主應(yīng)力，

21、即為最大與最小主應(yīng)力，即32 根據(jù)應(yīng)力圓點(diǎn)根據(jù)應(yīng)力圓點(diǎn)B的位置可知，的位置可知，最大切應(yīng)力的作用面與主應(yīng)力最大切應(yīng)力的作用面與主應(yīng)力2作用面垂直而與作用面垂直而與1作用面成作用面成45，即右側(cè)圖中的即右側(cè)圖中的abcd截面截面。abcd4532211acd12231max231b2333abcd4532211acd12231max231b23max45efgh2231 根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，在與截面根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，在與截面abcd垂直的截面垂直的截面efgh上有數(shù)值上與上有數(shù)值上與max相等的切應(yīng)力，如下面圖中所示相等的切應(yīng)力，如下面圖中所示。34例題例題85 圖圖a所示應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)

22、力所示應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力 x = 80 MPa， x = 35 MPa， y = 20 MPa， z =-40 MPa，試畫(huà)三向應(yīng)力圓，試畫(huà)三向應(yīng)力圓，并求主應(yīng)力、最大切應(yīng)力。并求主應(yīng)力、最大切應(yīng)力。 (a)xyxxyzyz(c)CEODAB(b)yxx35解：解： 1. 畫(huà)三向應(yīng)力圓畫(huà)三向應(yīng)力圓 對(duì)對(duì)于圖示應(yīng)力狀態(tài)，已知于圖示應(yīng)力狀態(tài)，已知 z為主應(yīng)力為主應(yīng)力，其它兩個(gè)主應(yīng)，其它兩個(gè)主應(yīng)力則可由力則可由 x ， x與與 y確定確定(圖圖b) 。在。在 坐標(biāo)平面內(nèi)坐標(biāo)平面內(nèi)(圖圖c)，由坐標(biāo)由坐標(biāo)(80,35)與與(20, -35)分別確定分別確定A和和B點(diǎn)點(diǎn)，然后，以，然后，以AB為為直徑畫(huà)圓并

23、與直徑畫(huà)圓并與 軸相交于軸相交于C和和D，其橫坐標(biāo)分別為：，其橫坐標(biāo)分別為：96.1MPa3.90MPaCD取取E(-40, 0)對(duì)應(yīng)于主平面對(duì)應(yīng)于主平面z，于是，分別以，于是，分別以ED及及EC為直徑為直徑畫(huà)圓，即得三向應(yīng)力圓。畫(huà)圓，即得三向應(yīng)力圓。36而最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力則分別為：而最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力則分別為：MPa1 .682MPa1 .9631max1maxMPa0 .40MPa90. 3MPa1 .96321EDC2. 主應(yīng)力與最大應(yīng)力主應(yīng)力與最大應(yīng)力由上述分析可知，主應(yīng)力為：由上述分析可知，主應(yīng)力為：3785 空間應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律空間應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律 對(duì)于各向同

24、性材料，它在各個(gè)方向上應(yīng)力與應(yīng)變之對(duì)于各向同性材料，它在各個(gè)方向上應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系相同。因此，對(duì)于各向同性材料：間的關(guān)系相同。因此，對(duì)于各向同性材料： (1)(1)在正應(yīng)力作用下，沿正應(yīng)力方向及與之垂直的方在正應(yīng)力作用下，沿正應(yīng)力方向及與之垂直的方向產(chǎn)生線應(yīng)變，而在包含正應(yīng)力作用面在內(nèi)的三個(gè)相互向產(chǎn)生線應(yīng)變，而在包含正應(yīng)力作用面在內(nèi)的三個(gè)相互垂直的平面內(nèi)不會(huì)發(fā)生切應(yīng)變；垂直的平面內(nèi)不會(huì)發(fā)生切應(yīng)變； (2)(2)在在切應(yīng)力作用下只會(huì)在切應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)力作用下只會(huì)在切應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變，而在與之垂直的平面內(nèi)不會(huì)產(chǎn)生切應(yīng)變；也不切應(yīng)變，而在與之垂直的平面內(nèi)不會(huì)產(chǎn)生切應(yīng)變；也不會(huì)

25、在切應(yīng)力方向和與它們垂直的方向產(chǎn)生線應(yīng)變。會(huì)在切應(yīng)力方向和與它們垂直的方向產(chǎn)生線應(yīng)變。38一、雙向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律一、雙向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律11(b)22(c)1122(a) 當(dāng)材當(dāng)材料處于雙向應(yīng)力狀態(tài)料處于雙向應(yīng)力狀態(tài)(圖圖a)時(shí)，為計(jì)算沿兩個(gè)主時(shí)，為計(jì)算沿兩個(gè)主應(yīng)力方向的應(yīng)變應(yīng)力方向的應(yīng)變1和和2 ，可按疊加原理將原應(yīng)力狀態(tài)分解，可按疊加原理將原應(yīng)力狀態(tài)分解為圖為圖b和圖和圖c兩種單向應(yīng)力狀態(tài)的疊加。兩種單向應(yīng)力狀態(tài)的疊加。 39E11 (a) 式中式中E為拉、壓彈性模量。而垂直于為拉、壓彈性模量。而垂直于1或或2方向的線應(yīng)變方向的線應(yīng)變分別為：分別為： 當(dāng)材料處于圖當(dāng)材料處于圖

26、b或圖或圖c所示單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，沿主應(yīng)力所示單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，沿主應(yīng)力1或或2方向的線應(yīng)變分別為：方向的線應(yīng)變分別為：E112 (b) E22E221 式中式中 為泊松比。為泊松比。因此因此當(dāng)材料處于圖當(dāng)材料處于圖a所示雙向應(yīng)力狀態(tài)所示雙向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，沿兩個(gè)主應(yīng)力方向的應(yīng)變時(shí)，沿兩個(gè)主應(yīng)力方向的應(yīng)變1和和2分別為：分別為：40yxyx圖 1311 EEEE1222221111GEEEExxyxyyyxx (8-20) 上式即上式即雙向應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律雙向應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律。而對(duì)于圖。而對(duì)于圖1311所示平面應(yīng)力狀態(tài)，廣義胡克定律表達(dá)式為所示平面應(yīng)力狀態(tài)，廣義胡克定律表達(dá)式為 ： (

27、8-21) 式中式中xy是在是在xy平面內(nèi)由切應(yīng)力平面內(nèi)由切應(yīng)力x或或y所引起的切應(yīng)變，所引起的切應(yīng)變，G是是切變模量。切變模量。 41二、空間應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律二、空間應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律)(1)(1)(1213313223211EEE當(dāng)空間應(yīng)力狀態(tài)以主應(yīng)力表示時(shí)，廣義胡克定律為：當(dāng)空間應(yīng)力狀態(tài)以主應(yīng)力表示時(shí)，廣義胡克定律為：式中，式中，e1，e2，e3分別為沿主應(yīng)力分別為沿主應(yīng)力1，2，3方向的線應(yīng)變方向的線應(yīng)變。42一般一般空間應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律空間應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律為：為：)(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxEEEeeeGGGzxzxyzyzxyxy43例題例題

28、86 有一邊長(zhǎng)有一邊長(zhǎng)a=200mm的立方體混凝土試塊，無(wú)空隙的立方體混凝土試塊，無(wú)空隙地放在剛性凹座里地放在剛性凹座里(圖圖a) 。上表面受壓力。上表面受壓力F300kN作用。已作用。已知混凝土的泊松比知混凝土的泊松比 1/6。試求凹座壁上所受的壓力。試求凹座壁上所受的壓力FN 。 FNxFNyFa圖(a)FNx解解：混凝土塊在：混凝土塊在z方向受壓力方向受壓力F作用作用后，將在后，將在x、y方向發(fā)生伸長(zhǎng)。但由方向發(fā)生伸長(zhǎng)。但由于于x、y方向受到座壁的阻礙，兩個(gè)方向受到座壁的阻礙，兩個(gè)方向的變形為零，即方向的變形為零，即0yxyxFFNN上式即為變形條件。另外，根據(jù)對(duì)稱上式即為變形條件。另外

29、，根據(jù)對(duì)稱性可知，試塊在性可知，試塊在x、y方向所受到的座方向所受到的座壁反力壁反力FNx和和FNy應(yīng)相等，即應(yīng)相等，即44FNxFNyFNy圖(b)FNx由三向應(yīng)力的胡克定律，有：由三向應(yīng)力的胡克定律，有：0)(10)(1xzyyzyxxEE由上式可解出：由上式可解出：zyx1由于試塊較小，可由于試塊較小，可近似認(rèn)為應(yīng)力分布均勻近似認(rèn)為應(yīng)力分布均勻，則，則22N2N,aFaFaFzyyxx45將有關(guān)數(shù)據(jù)代入，可得將有關(guān)數(shù)據(jù)代入，可得kN60N106010200105 . 1MPa5 . 1)5 . 7(611611MPa5 . 7Pa105 . 7102001030036262NN66232

30、zaFFaFxyxzyx46單元體受力變形時(shí)其體積的改變率稱為單元體受力變形時(shí)其體積的改變率稱為體應(yīng)變體應(yīng)變q q。 123213dzdydxdzdydxdzdydxVVV321111eeeq 設(shè)單元體變形前三個(gè)設(shè)單元體變形前三個(gè)邊長(zhǎng)分別為邊長(zhǎng)分別為dx、dy、dz，在受力變形后其邊長(zhǎng)分別在受力變形后其邊長(zhǎng)分別為為dx(1+e1)、dy(1+e2)、dz(1+e3)，故體應(yīng)變?yōu)椋?，故體應(yīng)變?yōu)椋喝Ⅲw應(yīng)變的概念三、體應(yīng)變的概念47將上式展開(kāi)并略去高階微量將上式展開(kāi)并略去高階微量e1e2、e2e3、e3e1、e1e2e3，再利，再利用各向同性材料的廣義胡克定律可得：用各向同性材料的廣義胡克定律可得

31、：32132121eeeqE 在一般空間應(yīng)力狀態(tài)下在一般空間應(yīng)力狀態(tài)下，由于單，由于單元體每一個(gè)平面內(nèi)的切應(yīng)力引起的純?cè)w每一個(gè)平面內(nèi)的切應(yīng)力引起的純剪切相當(dāng)于該平面內(nèi)的二向等值拉壓剪切相當(dāng)于該平面內(nèi)的二向等值拉壓，它們引起的體應(yīng)變?yōu)榱?，故體應(yīng)變只它們引起的體應(yīng)變?yōu)榱?，故體應(yīng)變只與三個(gè)線應(yīng)變之和有關(guān)，即：與三個(gè)線應(yīng)變之和有關(guān)，即：zyxzyxEeeeq2148例例87 一體積為一體積為10 mm10 mm10 mm的正方形鋼塊放人的正方形鋼塊放人寬度也為寬度也為10 mm的鋼槽中如圖的鋼槽中如圖a所示。在鋼塊頂部表面作用所示。在鋼塊頂部表面作用一合力一合力F8kN的均布?jí)毫?，試求鋼塊的三個(gè)主應(yīng)

32、力及體應(yīng)的均布?jí)毫Γ嚽箐搲K的三個(gè)主應(yīng)力及體應(yīng)變。已知材料的泊松比變。已知材料的泊松比0.33，材料的彈性模量，材料的彈性模量E = 200 GPa，且不計(jì)鋼槽的變形。，且不計(jì)鋼槽的變形。 MPa80Pa1080101010108663AFy解：由分析可知，正解：由分析可知，正方形鋼塊處于方形鋼塊處于雙向應(yīng)雙向應(yīng)力狀態(tài)力狀態(tài)（圖（圖b）。在）。在 y方向的應(yīng)力為壓應(yīng)方向的應(yīng)力為壓應(yīng)力，即力，即(a)F(b)yxxy490)(1zyxxEMPa4 .26)80(33. 0yxMPa80,MPa4 .26, 03214693211081. 110)804 .26(1020033. 021)(21q

33、E在在x方向，應(yīng)變?yōu)榱悖瑒t由廣義胡克定律方向，應(yīng)變?yōu)榱悖瑒t由廣義胡克定律而而z = 0，代入上式，得，代入上式，得因此，正方形鋼塊的三個(gè)主應(yīng)力為因此，正方形鋼塊的三個(gè)主應(yīng)力為由體積應(yīng)變計(jì)算公式由體積應(yīng)變計(jì)算公式(1326)，可得，可得5086 主應(yīng)力跡線的概念主應(yīng)力跡線的概念 一、一、m-m截面上的主應(yīng)力截面上的主應(yīng)力 （a）（b）（c）abcdemmmmmmxq510)4(212210)4(212230222tan0梁內(nèi)任一點(diǎn)處的主應(yīng)力及其方位角：梁內(nèi)任一點(diǎn)處的主應(yīng)力及其方位角： 在在梁內(nèi)任一點(diǎn)處的非零主應(yīng)力中，其中必有一個(gè)為梁內(nèi)任一點(diǎn)處的非零主應(yīng)力中，其中必有一個(gè)為拉應(yīng)力，另一個(gè)為壓應(yīng)力。

34、拉應(yīng)力，另一個(gè)為壓應(yīng)力。 52二、二、主應(yīng)力跡線主應(yīng)力跡線 根根據(jù)梁內(nèi)各點(diǎn)的主應(yīng)力方向，可繪制兩組曲線。在一據(jù)梁內(nèi)各點(diǎn)的主應(yīng)力方向，可繪制兩組曲線。在一組曲線上，各點(diǎn)的切向即該點(diǎn)的主拉應(yīng)力方向；而在另一組曲線上，各點(diǎn)的切向即該點(diǎn)的主拉應(yīng)力方向；而在另一組曲線上，各點(diǎn)的切向則為該點(diǎn)的主壓應(yīng)力方向。上述曲組曲線上，各點(diǎn)的切向則為該點(diǎn)的主壓應(yīng)力方向。上述曲線族稱為線族稱為梁的主應(yīng)力跡線梁的主應(yīng)力跡線。 在鋼筋混凝土梁中，主要承力鋼筋應(yīng)大致沿主拉應(yīng)力跡在鋼筋混凝土梁中，主要承力鋼筋應(yīng)大致沿主拉應(yīng)力跡線配置，使鋼筋承擔(dān)拉應(yīng)力，從而提高梁的承載能力。線配置，使鋼筋承擔(dān)拉應(yīng)力，從而提高梁的承載能力。 FxF

35、/2F/25387 強(qiáng)度理論概述強(qiáng)度理論概述 材料在簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度可通過(guò)試驗(yàn)加以測(cè)定。材料在簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度可通過(guò)試驗(yàn)加以測(cè)定。但是材料在但是材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度，則下的強(qiáng)度，則不可能總是由試不可能總是由試驗(yàn)來(lái)測(cè)定驗(yàn)來(lái)測(cè)定。因而需要通過(guò)對(duì)材料破壞現(xiàn)象的觀察和分析。因而需要通過(guò)對(duì)材料破壞現(xiàn)象的觀察和分析尋求材料強(qiáng)度破壞的規(guī)律。尋求材料強(qiáng)度破壞的規(guī)律。人們根據(jù)長(zhǎng)期的實(shí)踐和大量人們根據(jù)長(zhǎng)期的實(shí)踐和大量的試驗(yàn)結(jié)果，對(duì)材料失效的原因提出了各種不同的假說(shuō)，的試驗(yàn)結(jié)果，對(duì)材料失效的原因提出了各種不同的假說(shuō)，通常將這些假說(shuō)稱為通常將這些假說(shuō)稱為強(qiáng)度理論強(qiáng)度理論。材料強(qiáng)度破壞的兩種類

36、型：材料強(qiáng)度破壞的兩種類型： 1.1.沒(méi)有明顯塑性變形的沒(méi)有明顯塑性變形的脆性斷裂脆性斷裂； 2.2.產(chǎn)生顯著塑性變形而喪失工作能力的產(chǎn)生顯著塑性變形而喪失工作能力的塑性屈服塑性屈服。54一、一、最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論） 最最大拉應(yīng)力大拉應(yīng)力是引起材料斷裂的主要因素。是引起材料斷裂的主要因素。無(wú)論材料無(wú)論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力1達(dá)到材料在單向達(dá)到材料在單向拉伸試驗(yàn)中發(fā)生脆性斷裂時(shí)的強(qiáng)度極限拉伸試驗(yàn)中發(fā)生脆性斷裂時(shí)的強(qiáng)度極限u，材料即發(fā)生，材料即發(fā)生斷裂斷裂。即材料斷裂破壞的條件為：。即材料斷裂破壞的條件為：u1相

37、應(yīng)的相應(yīng)的強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件為：為：其中，其中， 為對(duì)應(yīng)于脆性斷裂的許用拉應(yīng)力，為對(duì)應(yīng)于脆性斷裂的許用拉應(yīng)力， u/n，其中其中n為安全因數(shù)。為安全因數(shù)。1 55二、二、最大拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）最大拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論） 最最大拉應(yīng)變大拉應(yīng)變是引起材料斷裂的主要因素。是引起材料斷裂的主要因素。無(wú)論材料無(wú)論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)變處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)變1達(dá)到材料在單向達(dá)到材料在單向拉伸試驗(yàn)中發(fā)生脆性斷裂時(shí)的極限拉應(yīng)變值拉伸試驗(yàn)中發(fā)生脆性斷裂時(shí)的極限拉應(yīng)變值u，材料即，材料即發(fā)生斷裂發(fā)生斷裂。即材料斷裂破壞的條件為：。即材料斷裂破壞的條件為：u1ee)(13211E復(fù)

38、雜應(yīng)力狀態(tài)下的最大拉應(yīng)變?yōu)閺?fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的最大拉應(yīng)變?yōu)椋憾牧显趩蜗蚶鞌嗔褧r(shí)的最大拉應(yīng)變?yōu)椋憾牧显趩蜗蚶鞌嗔褧r(shí)的最大拉應(yīng)變?yōu)椋篍uue56u321)(考慮安全因數(shù)后，第二強(qiáng)度理論的考慮安全因數(shù)后，第二強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件為：為：則材料斷裂破壞的條件可改寫(xiě)為則材料斷裂破壞的條件可改寫(xiě)為)(321 當(dāng)當(dāng)脆性材料處于雙向拉伸脆性材料處于雙向拉伸壓縮應(yīng)力狀態(tài)，且應(yīng)力壓縮應(yīng)力狀態(tài)，且應(yīng)力值不超過(guò)拉應(yīng)力值時(shí)，該理論與試驗(yàn)結(jié)果基本符合。但值不超過(guò)拉應(yīng)力值時(shí)，該理論與試驗(yàn)結(jié)果基本符合。但對(duì)于脆性材料雙向受拉或受壓的情況，該理論與試驗(yàn)結(jié)對(duì)于脆性材料雙向受拉或受壓的情況，該理論與試驗(yàn)結(jié)果卻完全不符。果

39、卻完全不符。 57三、三、最大最大切應(yīng)力切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）理論（第三強(qiáng)度理論） 最最大切應(yīng)力大切應(yīng)力是引起材料屈服的主要因素。是引起材料屈服的主要因素。無(wú)論材料無(wú)論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大切應(yīng)力處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大切應(yīng)力max達(dá)到材料在單達(dá)到材料在單向拉伸屈服時(shí)的最大切應(yīng)力向拉伸屈服時(shí)的最大切應(yīng)力s ，材料即發(fā)生屈服破壞，材料即發(fā)生屈服破壞。即材料屈服破壞的條件為：即材料屈服破壞的條件為：umax復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的最大切應(yīng)力為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的最大切應(yīng)力為：231max58而材料單向拉伸屈服時(shí)的最大切應(yīng)力則為而材料單向拉伸屈服時(shí)的最大切應(yīng)力則為 ：2su考慮安全因數(shù)后，考慮安全

40、因數(shù)后，第三強(qiáng)度理論第三強(qiáng)度理論的的強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件為：為：則材料屈服破壞的條件可改寫(xiě)為則材料屈服破壞的條件可改寫(xiě)為s3131 這這一理論與試驗(yàn)符合較好，比較滿意地解釋了塑性一理論與試驗(yàn)符合較好，比較滿意地解釋了塑性材料出現(xiàn)屈服的現(xiàn)象，因此在工程中得到廣泛應(yīng)用。但材料出現(xiàn)屈服的現(xiàn)象，因此在工程中得到廣泛應(yīng)用。但對(duì)于三向等值拉伸情況，按該理論分析，材料將永遠(yuǎn)不對(duì)于三向等值拉伸情況，按該理論分析，材料將永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生破壞，這與實(shí)際情況不符。會(huì)發(fā)生破壞，這與實(shí)際情況不符。 59 構(gòu)件因其形狀和體積發(fā)生改變而在其內(nèi)部積蓄的能構(gòu)件因其形狀和體積發(fā)生改變而在其內(nèi)部積蓄的能量，稱為變形能。通常將構(gòu)件單位體積內(nèi)

41、所積蓄的變形量，稱為變形能。通常將構(gòu)件單位體積內(nèi)所積蓄的變形能，稱為能，稱為比能比能。比能可分為。比能可分為形狀改變比能形狀改變比能和和體積改變比體積改變比能能兩部分兩部分 。 該理論認(rèn)為該理論認(rèn)為形狀改變比能形狀改變比能是引起材料屈服的主要因是引起材料屈服的主要因素。素。無(wú)論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要形狀改變比能無(wú)論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要形狀改變比能vd達(dá)到材料在單向拉伸屈服時(shí)的形狀改變比能極限值達(dá)到材料在單向拉伸屈服時(shí)的形狀改變比能極限值vdu，材料即發(fā)生屈服破壞材料即發(fā)生屈服破壞。即材料屈服破壞的條件為：。即材料屈服破壞的條件為：四、形狀改變比能理論四、形狀改變比能理論理論（第四強(qiáng)度

42、理論）理論（第四強(qiáng)度理論） dud60而材料單向拉伸屈服時(shí)的形狀改變比能極限值為而材料單向拉伸屈服時(shí)的形狀改變比能極限值為 ：考慮安全因數(shù)后，考慮安全因數(shù)后，第四強(qiáng)度理論第四強(qiáng)度理論的的強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件為：為：則材料屈服破壞的條件可改寫(xiě)為則材料屈服破壞的條件可改寫(xiě)為三向應(yīng)力狀態(tài)下的形狀改變比能為三向應(yīng)力狀態(tài)下的形狀改變比能為：)()()(61213232221dEv2sdu31Es213232221)()()(21)()()(2121323222161 需要指出的是，需要指出的是，破壞形式不但與材料有關(guān)，還與應(yīng)破壞形式不但與材料有關(guān)，還與應(yīng)力狀態(tài)等因素有關(guān)力狀態(tài)等因素有關(guān)。例如由低碳鋼制成的等直桿處于單例如由低碳鋼制成的等直桿處于單向拉伸時(shí)，會(huì)發(fā)生顯著的塑性流動(dòng)；但當(dāng)它處于三向拉向拉伸時(shí)，會(huì)發(fā)生顯著的塑性流動(dòng)；但當(dāng)它處于三向拉應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，會(huì)發(fā)生脆性斷裂。低碳鋼制圓截面桿在中應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，會(huì)發(fā)生脆性斷裂。低碳鋼制圓截面桿在中間切一條環(huán)形槽，當(dāng)該桿受單向拉伸時(shí)，直到拉斷時(shí)，間切一條環(huán)形槽，當(dāng)該桿受單向拉伸時(shí)，直到拉斷時(shí)，也不會(huì)發(fā)生明顯的塑性變形，最后在切槽根部截面最小也不會(huì)發(fā)生明顯的塑性變形，最后在切槽根部截面最小處發(fā)生斷裂，其斷口平齊，與鑄鐵拉斷時(shí)的斷口相仿，處發(fā)生斷裂，其斷口平齊，與鑄鐵拉斷時(shí)的斷口相仿，屬脆性斷裂。這是因?yàn)樵诮孛婕眲「淖兲幱袘?yīng)力集中，屬脆性