《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第一章課后習(xí)題解答

1、.吳贛昌編 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（理工類）三版課后習(xí)題解答習(xí)題131、袋中5個(gè)白球，3個(gè)黑球，一次任取兩個(gè)。（1）求取到的兩個(gè)求顏色不同的概率；（2）求取到的兩個(gè)求中有黑球的概率。解：略2、10把鑰匙有3把能打開門，今取兩把，求能打開門的概率。解:設(shè)A=“能打開”，則法一，取出的兩把鑰匙，可能只有一把能打開，可能兩把都能打開，則所以法二，=都打不開，即取得兩把鑰匙是從另7把中取得的，則，所以3、兩封信投入四個(gè)信筒，求（1）前兩個(gè)信筒沒有信的概率，（2）第一個(gè)信筒內(nèi)只有一封信的概率。解：（兩封信投入四個(gè)信筒的總的方法，重復(fù)排列）（1）設(shè)A=“前兩個(gè)信筒沒有信”，即兩封信在余下的兩個(gè)信筒中重復(fù)排列，；

2、（2）設(shè)B=“第一個(gè)信筒內(nèi)只有一封信”，則應(yīng)從兩封信中選一封放在第一個(gè)信筒中，再把余下的一封信放入余下的三個(gè)信筒中的任一個(gè)，帶入公式既得兩個(gè)概率。4、一副撲克牌52張，不放回抽樣，每次取一張，連續(xù)抽4張，求花色各異的概率.解：略5、袋中有紅、黃、黑色求各一個(gè)，有放回取3次，求下列事件的概率。A=“三次都是紅球”；B=“三次未抽到黑球”，C=“顏色全不相同”，“顏色不全相同”解：略6、從等個(gè)數(shù)字中，任意選出不同的三個(gè)數(shù)字，試求下列事件的概率：三個(gè)數(shù)字中不含0和5，三個(gè)數(shù)字中不含0或5，三個(gè)數(shù)字中含0但不含5. 解 . ，或 ， .7、從一副52張的撲克牌中任取3張，不重復(fù)，計(jì)算取出的3張牌中至少

3、有2張花色相同的概率。解：略8、10個(gè)人中有一對夫婦，他們隨意坐在一張圓桌周圍，求該對夫婦正好坐在一起的概率。解：設(shè)“該對夫婦恰坐在一起”，則法一：個(gè)人在個(gè)座位上隨意坐，則；將兩個(gè)人綁在一起共種，有個(gè)位置可坐，其余八個(gè)人在個(gè)位置上隨意坐，共有；法二：設(shè)夫婦中一人已經(jīng)坐好，則余下的個(gè)人在個(gè)位置隨意坐共！，而夫婦中的另一人只有兩種坐法，余下的個(gè)人隨意坐，有！種，所以9、在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品，1100個(gè)正品，任取200個(gè)。（1）求恰有90個(gè)次品的概率；（2）求至少有2個(gè)次品的概率。解：略10、從5雙不同的鞋子中任取4只，求這四只鞋子中至少有兩只配對的概率。解：設(shè)A=“四只鞋子中至少有兩只

4、配對”，則其對立事件為=“四只中無配對的”法一：從10只中取1只，將與其配對的另一只排除在外，再從余下的8只中取1只，依次類推，則法二：先從5雙中抽取四雙，再從每一雙中取一只，則法三：至少有一雙配對等價(jià)于“有一雙配對”=C和四只都配對”=D，有一雙配對，先從5雙中取1雙，再從余下的8只中任取兩只，但這種取法中有可能出現(xiàn)成對的情況，應(yīng)減去，成對的種類有，所以；有兩雙配對，從5雙中取兩雙即可，所以11、把52張牌發(fā)給四人，求指定的某人沒有得到黑桃A或黑桃K的概率。解：設(shè)C=“指定的某人沒有得到黑桃A或黑桃K”，則其對立事件為=“指定的某人得到黑桃A和黑桃K”12、50只鉚釘隨機(jī)裝入10個(gè)部件上，其

5、中3個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱。每個(gè)部件裝有3個(gè)鉚釘。如果3只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝入同一個(gè)部件，則這個(gè)部件的強(qiáng)度太弱，求發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率。解：法一：用古典概率作：把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個(gè)釘一組，三個(gè)釘一組去鉚完10個(gè)部件（在三個(gè)釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但10組釘鉚完10個(gè)部件要分先后次序）對E：鉚法有種，每種裝法等可能對A：三個(gè)次釘必須鉚在一個(gè)部件上。這種鉚法有×10種法二：用古典概率作把試驗(yàn)E看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計(jì)先后次序）對E：鉚法有種，每種鉚法等可能對A：三支次釘必須鉚在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，或“28，2

6、9，30”位置上。這種鉚法有種法三：3個(gè)強(qiáng)度太弱的鉚釘有可能裝入10個(gè)部件中的任何一個(gè)，不妨設(shè)=“第I 個(gè)部件的強(qiáng)度太弱”=“3個(gè)強(qiáng)度太弱的鉚釘裝入第i個(gè)部件”所以A=“發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”，則，且兩兩互斥，所以13、某復(fù)試考試，有3張考簽，3個(gè)考生應(yīng)試，一個(gè)人抽一張立即放回，再由另一個(gè)抽，如此3人各抽一次，求抽簽結(jié)束后，至少一張沒抽到的概率。解：提示：重復(fù)排列，利用對立事件的概率求解，設(shè)A=“至少有一只沒有被抽到”，則其對立事件為=“三張都被抽到”。所以14、從1-9的9個(gè)數(shù)中有放回地取3次，每次取一個(gè)，求取出的3個(gè)數(shù)之積能被10整除的概率。解：取出的3個(gè)數(shù)中應(yīng)有偶數(shù)，且必須有5，才能保證

7、三數(shù)之積能被10整除。.設(shè)A=“取出的3個(gè)數(shù)中有偶數(shù)”，B=“取出的3個(gè)數(shù)中有5”，所求概率為15、提示 如右圖所示（1）帶點(diǎn)的四個(gè)區(qū)域的面積所占的比例（2）6個(gè)黑框和4個(gè)帶點(diǎn)區(qū)域的面積和所占的比例習(xí)題1-41、一批產(chǎn)品100件，有80件正品，20件次品，其中甲廠生產(chǎn)的為60件，有50件正品；余下的40見均由乙廠生產(chǎn)；現(xiàn)從該批產(chǎn)品中任取一件，記A=“正品”，B=“甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品”，求：解：，2假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，從中任取一件，發(fā)現(xiàn)它不是三等品，求它是一等品的概率. 解 設(shè)任取一件是等品 ，所求概率為 ，因?yàn)?所以 故 .*2、10件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任

8、取兩件，已知有1件是次品，求另一件也是次品的概率。（9題與之類似）解：已知兩件中有一件是次品等價(jià)于“兩件中至少有一件是次品”=A；B=“另一件也是次品”等價(jià)于“兩件都是次品”所以所求條件概率為：另解： 設(shè)所取兩件中有一件是不合格品 所取兩件中恰有件不合格 則 ，所求概率為 .3、。解：由由乘法公式，得由加法公式，得4，求56、甲、乙兩人參加乒乓球比賽，甲先發(fā)球，甲發(fā)球成功后，乙回球失誤的概率為0.3；若乙回球成功，甲回球失誤的概率為0.4；若甲回球成功，乙再次回球失誤的概率為0.5，計(jì)算這幾個(gè)回合中乙輸一分的概率。解：本次比賽共進(jìn)行兩個(gè)回合，甲發(fā)一次球，回一次球，而乙回球兩次。乙輸分的可能情況

9、有：甲發(fā)球成功，乙回球失誤；或甲發(fā)球成功，乙第一次回球成功，甲第一次回球成功，而乙第二次回球失誤。所以設(shè)A=“甲回球失誤”B=“第i次乙回球失誤”，由題意，已知下列概率，則p乙輸一分=7、用3個(gè)機(jī)床加工同一種零件，由各機(jī)床加工的概率分別為0.5，0.3，0.2，各機(jī)床加工的零件為合格品的概率分別是0.94、0.9、0.95，求全部產(chǎn)品中的合格率。解：略8、一個(gè)盒子中裝有15個(gè)乒乓球【原題為12個(gè)球】，其中9個(gè)新球，在第一次比賽時(shí)任意抽取3只，比賽后仍放回原盒中；在第二次比賽時(shí)同樣地任取3只球，求第二次取出的3個(gè)球均為新球的概率。 解 設(shè)第二次取出的均為新球， 第一次取出的3個(gè)球恰有個(gè)新球由全概

10、公式 9、某倉庫有同樣規(guī)格的產(chǎn)品六箱，其中三箱由甲廠生產(chǎn)，二箱為乙廠生產(chǎn)，另一箱由甲廠生產(chǎn)，他們的次品率分別為1/10，1/15，1/20，從中任取一件，求取得的是正品的概率。解：10、某人忘記電話號碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意撥號，求（1）他撥號不超過3次而接通所需電話的概率；（2）若已知最后一個(gè)是數(shù)字是奇數(shù)，則他撥號不超過3次而接通所需電話的概率。解：設(shè)“第i次撥號接通”，A=“他撥號不超過3次而接通所需電話的概率”則（三者之間兩兩互斥，之間不獨(dú)立，利用有限可加性和乘法公式即得。或 “三次都沒有撥通”，則 利用乘法公式即得。11、駕駛員甲、乙找到目標(biāo)的概率分別為0.9、0.8，投彈員丙、丁

11、在找到目標(biāo)的條件下投中的概率分別為0.7、0.6，現(xiàn)在要配備兩組人員，問甲，乙和丙、丁如何配合才能使完成使命有較大的概率（只要有一架命中目標(biāo)即可）？求此概率。12、甲、乙兩個(gè)盒子各裝10只螺釘，每個(gè)盒子的螺釘中各有一只是次品，現(xiàn)從甲盒中任取二只螺釘放入乙盒，再從乙盒中取出兩只，問從乙盒中取出的恰好有一只正品的概率。習(xí)題151、2、3、4、5、制造一種零件可采用兩種工藝，第一種工藝有三種工序，每道工序的廢品率分別為0.1、0.2、0.3；第二種工藝有二種工序，每道工序的廢品率都是0.3。如果采用第一種工藝，在合格零件中，一級品率為0.9；而用第二種工藝，在合格零件中，一級品率為0.8.問哪一種工

12、藝得到的一級品的概率更大？解：設(shè)A=“第一種工藝得到合格品”，“第一種工藝的第i道工序得到合格品”， B=“第一種工藝得到合格品”，“第一種工藝的第i道工序得到合格品” ， 在每中工藝中，哪一道工序生產(chǎn)出合格品是相互獨(dú)立的，所以，則由題意所以而在采用第一種工藝時(shí)，在合格零件中，一級品率為0.9，所以得到的一級品率為而用第二種工藝，在合格零件中，一級品率為0.8，所以第一種大。6、三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別是，求他們將此密碼譯出的概率. 解1 設(shè)將密碼譯出，第個(gè)人譯出 則 . 解2 事件如上所設(shè)，則7、8、一獵人射擊野兔，第一槍距離野兔200米，如果未擊中，他追至離野兔150米

13、射擊第2次，如果仍未擊中，他追至100米處再射擊第三次，此時(shí)擊中的概率為0.5，假設(shè)獵人的命中率與他離野兔的距離平方成反比，求他擊中野兔的概率。解：設(shè)第i次擊中野兔，B“擊中野兔”則由題意，所以而，所以9、排球競賽規(guī)定：發(fā)球方贏球時(shí)得分，輸球時(shí)對方得到發(fā)球權(quán)。甲乙兩隊(duì)進(jìn)行比賽。根據(jù)以往的戰(zhàn)例，已知甲隊(duì)發(fā)球時(shí)，甲隊(duì)贏球和輸球的概率分別為0.4和0.6；當(dāng)乙隊(duì)發(fā)球時(shí)，甲隊(duì)贏球和輸球的概率都為0.5。無論哪個(gè)隊(duì)先發(fā)球，比賽進(jìn)行到任一隊(duì)得分時(shí)為止，求甲隊(duì)先發(fā)球時(shí)各隊(duì)得分的概率。解：分析，只要有一隊(duì)得分比賽就結(jié)束。設(shè)A=“甲隊(duì)發(fā)球甲隊(duì)得分”，B=“甲隊(duì)發(fā)球乙隊(duì)得分”。=“甲隊(duì)第i次發(fā)球甲隊(duì)贏球”， =“

14、甲隊(duì)第i次發(fā)球乙隊(duì)贏球”，=“乙隊(duì)第i次發(fā)球甲隊(duì)贏球”， =“乙隊(duì)第i次發(fā)球乙隊(duì)贏球”則由題意得：甲先發(fā)球時(shí)，可能第一次就贏球得一分，結(jié)束；可能甲第一次輸球，乙得發(fā)球權(quán)，發(fā)球后乙輸球，甲得發(fā)球權(quán)，發(fā)球后甲贏球得一分，結(jié)束；依次類推，得所以同理，即B與A是對立事件所以（或利用P（）的求法也能得到）。10、（設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1，2，3，4。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。記Ai表示第i個(gè)元件正常工作，i=1，2，3，4，2413A表示系統(tǒng)正常。 A=A1A2A3+ A1A4兩種情況不互斥 P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4

15、)P (A1A2A3 A4) (加法公式)= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)= P1P2P3+ P1P4P1P2P3P4(A1, A2, A3, A4獨(dú)立)11、證明若三事件相互獨(dú)立，則及都與獨(dú)立。 證 即與獨(dú)立. 即 與相互獨(dú)立.12、13、14、15、有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)驗(yàn)收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無次品時(shí)接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率（2）需作

16、第二次檢驗(yàn)的概率（3）這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率（4）這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過的概率（5）這批產(chǎn)品被接受的概率解：X表示10件中次品的個(gè)數(shù)，Y表示5件中次品的個(gè)數(shù)， 由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故XB（10，0.1），YB（5，0.1）（近似服從）（1）P X=0=0.9100.349（2）P X2=P X=2+ P X=1=（3）P Y=0=0.9 50.590（4）P 0<X2，Y=0(0<X2與 Y=2獨(dú)立) = P 0<X2P Y=0 =0.581×0.5900.343（5）P X=0+ P 0<X2，Y=0 0.349+0

17、.343=0.692總習(xí)題一5、設(shè)是三個(gè)事件，且，求至少有一個(gè)發(fā)生的概率。 解 因?yàn)?，所以，于是 6、已知都滿足證明：，而7、 某書店一天中售出數(shù)學(xué)書50本，外語書50本，理化書50本。設(shè)每位顧客每類書至多夠買一本。其中，只購數(shù)學(xué)書的占顧客總數(shù)的20%，只購?fù)庹Z書的占25%，只購理化書占15%，三類書全購的占10%，求（1） 總共有多少顧客購書？（2）只購數(shù)學(xué)和外語書的人數(shù)占顧客總?cè)藬?shù)的比例。解：設(shè)A=“顧客購買數(shù)學(xué)書”，B=“顧客購買外語書”，C=“顧客購買理化書”，則由題意知，還需要求出只購買其中兩類書的顧客，設(shè)，則由所有購書的顧客共購買了150書知：，所以有0.2+0.25+0.15+

18、0.1+x+y+z=1 （1）另外，設(shè)購買書的總?cè)藬?shù)為w，則賣出的50本數(shù)學(xué)書應(yīng)該是總?cè)藬?shù)乘以只購數(shù)學(xué)、購數(shù)學(xué)和外語、購數(shù)學(xué)和理化及三種書都購所占比例之和，即 （2）同理可得： （3） （4）聯(lián)立四個(gè)方程成方程組，解得w=100,x=0.05,y=0.15,z=0.1,所以（1）共有100名顧客購書，（2）只購數(shù)學(xué)和外語的占5%9、某賓館一樓有3部電梯，現(xiàn)有5人要乘坐，求每部電梯至少有一人的概率。解：設(shè)A=“每部電梯至少有一人”，其對立事件為=“有電梯中沒有人”等價(jià)于至少有一部電梯中無人，設(shè)=“第I部電梯中無人”，則，所以， 有題意可知，所以或：14、隨機(jī)地向半圓（為正常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在園

19、內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率. 解：半圓域如圖0yxyxax 設(shè)原點(diǎn)與該點(diǎn)連線與軸夾角小于 由幾何概率的定義 18、假設(shè)有兩箱同種零件：第一箱內(nèi)裝50件，其中10件一等品；第二箱內(nèi)裝30件其中18件一等品，現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱，然后從該箱中先后隨機(jī)取出兩個(gè)零件（取出的零件均不放回），試求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率. 解 設(shè)第次取出的零件是一等品，. 取到第箱，.則 （1）. （2） . 23、某人有兩盒火柴，吸煙時(shí)從任一盒中取一根火柴，經(jīng)過若干時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)一盒火柴已用完

20、。如果最初每盒中各有n根火柴，求這時(shí)另一盒中還有r 根火柴的概率。解：設(shè)有甲、乙兩盒火柴，每次從甲還是從乙中取火柴的概率都是0.5.而用完的哪盒火柴可能是甲盒也可能是乙盒。該人總共取火柴的次數(shù)為2n-r+1 ，在最后一次即第2n-r+1次取的過程中發(fā)現(xiàn)火柴沒有了，因此實(shí)際上取火柴的次數(shù)為2n-r 次，在這2n-r 次取火柴的過程中，有n次從其中的一個(gè)盒子里取得，另外的n-r次從另外一個(gè)盒子里取得，從哪一個(gè)盒子里取的概率都為0.5，因此這是一個(gè)貝努利概型：每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果：要么從甲盒取、要么從乙盒取，共進(jìn)行了2n-r次試驗(yàn)，并且是獨(dú)立的，要求的是：在2n-r 次試驗(yàn)中恰好從其中一個(gè)盒子里取到

21、n只火柴的概率。所以 另解：設(shè)發(fā)現(xiàn)一盒已經(jīng)用完另一盒還有根。 發(fā)現(xiàn)甲盒已經(jīng)用完乙盒還有根。則 發(fā)生甲盒拿了次，乙盒拿了次，共進(jìn)行了次試驗(yàn)，而且前次試驗(yàn)，甲發(fā)生次，第次試驗(yàn)甲發(fā)生。故 從而 .24、甲乙丙3人同向一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中飛機(jī)的概率分別為0.4、0.5、0.7。如果只有一人擊中飛機(jī)，則飛機(jī)被擊落的概率為0.2，如果有兩人擊中飛機(jī)，則飛機(jī)被擊落的概率為0.6，如果有三人擊中飛機(jī)，則飛機(jī)一定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。解：設(shè)A“甲擊中飛機(jī)”，B“乙擊中飛機(jī)”，C“丙擊中飛機(jī)”； “有i人擊中飛機(jī)”（i0，1，2，3）；D“飛機(jī)被擊中”則由已知，由于A、B、C相互獨(dú)立，所以而，所以所以題型2

22、利用古典概型、幾何概型與加法公式計(jì)算概率解題思路 （1）如果基本事件是等可能事件，則利用古典概率公式求解，在計(jì)算樣本點(diǎn)的數(shù)量是，必須在同一確定的樣本空間中考慮。（2） 屬于“至少存在一個(gè)”的命題，用對立事件求解（3） 如果樣本空間是一個(gè)區(qū)域，且具有等可能性，則由幾何概率計(jì)算公式求解。（4） 如果一個(gè)復(fù)雜的事件能分解成若干個(gè)簡單事件（兩兩互斥）的并，則由有限可加性求解。例9 n個(gè)人各帶一件禮品參加聚會(huì)，先把所有禮品編號，然后每人各抽一個(gè)號碼，按號碼領(lǐng)取禮品，求（1） 所有的人都得到別人的禮品的概率（2） 恰有r個(gè)人取回自己的禮品的概率。解：（1）設(shè)=“第i人得到自己的禮品”，A=“所有的人都得到

23、別人的禮品”等價(jià)于“每個(gè)人都沒有得到自己的禮品”，則其對立事件為=“至少有一人得到自己的禮品”，所以，第i個(gè)人得到自己禮品的概率為 （i=1，2n）第i人和第j人都得到自己禮品的概率為第i，j，k三人都得到自己禮品的概率為N個(gè)都得到自己的禮品的概率為而，所以當(dāng)n充分大時(shí)，所以（2）B=“恰有r個(gè)人取回自己的禮品”，說明n個(gè)人中只有這r個(gè)人取得自己的禮品，其他人不用考慮 。而這r 個(gè)人是任意地從n 個(gè)人中選取，所以有，而這r 個(gè)取得的禮品是從n件禮品中隨意選取，共有，所以題型3 利用條件概率、乘法公式及事件的獨(dú)立性計(jì)算概率解題思路 例7 某商場各柜臺(tái)受到消費(fèi)者投訴的事件數(shù)為0、1、2三種情形，其

24、概率分別為0.6、0.3、0.1.有關(guān)部門每月抽查商場的兩個(gè)柜臺(tái)，規(guī)定：如果兩個(gè)柜臺(tái)受到的投訴之和超過1次，則給商場通報(bào)批評；若一年中有三個(gè)月受到通報(bào)批評則該商場受掛牌處分一年，求該商場受處分的概率。分析：首先應(yīng)該求出一月內(nèi)兩柜臺(tái)受投訴的次數(shù)超過1次的概率，再求一年內(nèi)受通報(bào)批評次數(shù)大于等于3次的概率。解：設(shè)A=“商場一月內(nèi)受到通報(bào)批評”，=“第一柜臺(tái)一月內(nèi)受到投訴i次”（i=1，2，3）=“第二柜臺(tái)一月內(nèi)受到投訴i次”（i=1，2，3），則由題意得，受到通報(bào)批評的情況有一下幾種：第一柜臺(tái)0投訴第二柜臺(tái)2次投訴或第一柜臺(tái)2次投訴第二柜臺(tái)0投訴或者第一柜臺(tái)至少一次投訴第二柜臺(tái)至少一次投訴，即（兩兩

25、互斥，之間獨(dú)立）所以 =0.28設(shè)X表示商場一年12個(gè)月內(nèi)受到通報(bào)批評的次數(shù)，則這是一個(gè)貝努利概型，n=12，p=0.28，“受掛牌處分”等價(jià)于“”所以題型4 利用全概率公式何貝葉斯公式求解例5 一條自動(dòng)生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n件產(chǎn)品不出故障的概率為，（n=0，1，2，）。假設(shè)產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為。如果各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立。（1） 計(jì)算生產(chǎn)線在兩次故障間共生產(chǎn)k（k=0，1，2，）件優(yōu)質(zhì)品的概率；（2） 如已知在某兩次故障之間該生產(chǎn)線生產(chǎn)了k件優(yōu)質(zhì)品，求它共生產(chǎn)m件產(chǎn)品的概率。解：設(shè)=“生產(chǎn)線在兩次故障間共生產(chǎn)k（k=0，1，2，）件優(yōu)質(zhì)品”，=“兩次故障之間共生產(chǎn)n（n=0，1，2，）件產(chǎn)品”，

26、由題意（1）由于生產(chǎn)線在兩次故障間共生產(chǎn)k（k=0，1，2，）件優(yōu)質(zhì)品是在兩次故障之間共生產(chǎn)n件產(chǎn)品（即在一條自動(dòng)生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n件產(chǎn)品不出故障）的前提下，所以，在兩次故障之間連續(xù)生產(chǎn)的n件產(chǎn)品中，恰有k件優(yōu)質(zhì)品的概率表示為，又相互獨(dú)立，所以這是一個(gè)伯努利概型，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而構(gòu)成一個(gè)完備事件組所以所以（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)總復(fù)習(xí)題一15、（課本分房子問題與之類似）把個(gè)不同的球隨機(jī)地放入個(gè)盒子中，求下列事件的概率：（1）某指定的個(gè)盒子中各有一個(gè)球；（2）任意個(gè)盒子中各有一個(gè)球；（3）指定的某個(gè)盒子中恰有個(gè)球.分析：這是古典概率的一個(gè)典型問題，許多古典概率的計(jì)算問題都可歸結(jié)為這一類型.每個(gè)球都有種放法，

27、個(gè)球共有種不同的放法.“某指定的個(gè)盒子中各有一個(gè)球”相當(dāng)于個(gè)球在個(gè)盒子中的全排列；與（1）相比，（2）相當(dāng)于先在個(gè)盒子中選個(gè)盒子，再放球；（3）相當(dāng)于先從個(gè)球中取個(gè)放入某指定的盒中，再把剩下的個(gè)球放入個(gè)盒中.解：樣本空間中所含的樣本點(diǎn)數(shù)為.（1）該事件所含的樣本點(diǎn)數(shù)是，故：；（2）在個(gè)盒子中選個(gè)盒子有種選法，故所求事件的概率為：；（3）從個(gè)球中取個(gè)有種選法，剩下的個(gè)球中的每一個(gè)球都有種放法，故所求事件的概率為：.18、10本書任意擺在書架上，其中有3卷一套的和4卷一套的，求下列事件的概率（1）A：3卷一套的放在一起；（2）B：4卷一套的放在一起；（3）C：兩套各自放在一起；（4）D：兩套中至少

28、有一套放在一起；（5）兩套各自放在一起，并且各自按順序排好解（1）3卷一套的擺放種數(shù)為3！，再將這一套與其它7本書在8個(gè)位置上全排列有8！所以；（2）（3）（將兩套和其余的3本在5個(gè)位置上全排列；（4）；（5）兩套各按次序排放在一起，各有2種排法（正序或反序），這兩套和其余3本在5個(gè)位置全排列，共有5！，所以19、盒中有50個(gè)電阻、20個(gè)電感、30個(gè)電容，從中任取30個(gè)元件，求所取的元件中至少有一個(gè)電阻同時(shí)至少有一個(gè)電感的概率。解：設(shè)A=“取得30個(gè)中至少有一個(gè)電阻”，B=“取得30個(gè)中至少有一個(gè)電感”，則=“取得30個(gè)中沒有電阻” =“取得30個(gè)中沒有電感”，=“取得30個(gè)中沒有電感也沒有電

29、阻”=“30個(gè)全是電容”，所以20、甲乙兩人先后從52張牌中各取13張，求甲或乙拿到四張A的概率（1）甲抽后不放回，乙再抽；（2）甲抽后放回，乙再抽解：設(shè)A=“甲抽到4張A”，B=“乙抽到4張A”（1）因?yàn)榧壮榈?張A后，乙不可能抽到A，隨意A與B互斥，所求概率為（B是在甲抽完13張后乙再?。?）22、提示，設(shè)=“第i天下雨”，則所求概率為（1）；（2）；（3）；（4）;(5) 23、任取兩個(gè)真分?jǐn)?shù)，求它們的乘積不大于1/4的概率。解：如圖 陰影部分的面積為或18、某人下午5：00下班。他所積累的資料表明B1B2B3B4B5到家時(shí)間5;35-5:395；40-5：445;45-5:495:5

30、0-5:545;54以后乘地鐵到家0.10.250.450.150.05乘汽車到家0.30.350.20.20.05某日他拋一枚硬幣決定是乘地鐵還是乘汽車回家，結(jié)果他在5:47到家，求他是乘地鐵到家的概率。（該題可問他乘什么交通工具回家的可能性大？）解：本題是求已知他在5:45-5:49之間到家，求乘地鐵的概率。設(shè)A=“乘地鐵回家”，=“乘汽車回家”，則由“他拋一枚硬幣決定是乘地鐵還是乘汽車回家”知，設(shè)B3=“他在5：47到家”等價(jià)于“他在5:45-5:49之間到家”；所以所求概率為而，所以又所以=0.69220、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率分別為0.8，0.

31、1，0.1，一顧客欲購一箱玻璃杯，售貨員隨意取一箱，顧客開箱隨意地察看四只，若無殘次品，則買下該箱，否則退回。試求： （1）顧客買下該箱的概率； （2）在顧客買下的一箱中，確無殘次品的概率. 解 設(shè)顧客買下該箱， 箱中恰有件殘次品， （1） ； （2）22、原題，運(yùn)輸貨物的損壞情況解：物品損壞的情況共有三種，所以有，所以而，則可得P(B),利用條件概率公式則可求所求三個(gè)概率。9、某單位招工需經(jīng)過4項(xiàng)考核，設(shè)能通過一、二、三、四項(xiàng)考核的概率分別為0.6、0.8、0.91、0.95，各項(xiàng)考核相互獨(dú)立，只要有一項(xiàng)考核不通過則被淘汰。求（1）這項(xiàng)招工的淘汰率；（2）通過一、三項(xiàng)被淘汰的概率（3）考核按

32、順序進(jìn)行，一旦某項(xiàng)考核不合格就淘汰，求淘汰率。解：設(shè)“第i項(xiàng)考核通過”，則（1）（2）B“通過一、三項(xiàng)被淘汰”意味著“在四項(xiàng)考核中，一三通過二未過四過或一三過二過四未過或一三過二四都未過”所以，所以 0.131（3）0.58510、11、設(shè)，證明、互不相容與、相互獨(dú)立不能同時(shí)成立. 證 若、互不相容，則，于是所以、不相互獨(dú)立. 若、相互獨(dú)立，則，于是，即、不是互不相容的. 注：從上面的證明可得到如下結(jié)論： 1）若、互不相容，則、又是相互獨(dú)立的或. 2）因，所以 如果 ，則，從而可見概率是1的事件與任意事件獨(dú)立，自然，必然事件與任意事件獨(dú)立. 如果，則，即概率是零的事件與任意事件獨(dú)立，自然，不可能事件與任何事件獨(dú)立。 12、14、A、B、C三人在同一辦公室，共三部電話。據(jù)統(tǒng)計(jì)，打給A、B、C三人電話的概率分別為2/5，2/5，1/5.三人因公外出的