第五章因素模型

1、 1、掌握因素模型是根據(jù)收益生成過程通過回歸分析建立的收益和風(fēng)險關(guān)系的資產(chǎn)定價模型2、認識因素模型與資本資產(chǎn)定價模型的關(guān)系3、了解因素模型是實踐中具有操作性的替代資本資產(chǎn)定價模型的測定風(fēng)險和收益關(guān)系的模型 ： 掌握因素模型的生成性質(zhì)及實際運用 第一節(jié) 單因素模型第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型與因素模型第三節(jié) 多因素模型 第一節(jié)第一節(jié)單因素模型單因素模型 一、系統(tǒng)風(fēng)險與公司特有風(fēng)險 二、單指數(shù)模型的估計v 威廉威廉. .夏普（夏普（Sharpe）繼馬科維茲之后于1963年提出了“單指數(shù)模型”，將“均值方差模型”予以簡化。他認為馬科維茲的投資組合分析中，方差協(xié)方差矩陣太過復(fù)雜不易計算，因此提出用對角線模式

2、來簡化方差協(xié)方差矩陣中的非對角線元素。此模型假設(shè)證券間彼此無關(guān)且各證券的收益率僅與市場因素有關(guān)，這一因素可能是股票市場的指數(shù)、國民生產(chǎn)總值、物價指數(shù)或任何對股票收益產(chǎn)生最大影響的因素。經(jīng)由夏普的模型，任一股票收益率可由單一的外在指數(shù)來決定，這大大簡化了馬科維茲資產(chǎn)組合模型的分析工作。 o 隨后，Sharpe又鑒于馬科維茲“均值方差組合模型”及其早期提出“單指數(shù)模型”中方差與投資比例不呈線性關(guān)系，必須用二次規(guī)劃法求解，求解程序復(fù)雜的問題，因而于1967年提出線性規(guī)劃法，將馬科維茲的組合模型以線性規(guī)劃的方式求解。根據(jù)Sharpe進行的實證研究，當(dāng)股票種類達20種以上時，投資組合的非系統(tǒng)風(fēng)險逐漸趨于

3、零，此時風(fēng)險只剩下了系統(tǒng)風(fēng)險，從而只與市場因素的方差有關(guān)，投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差逐漸成為一個線性函數(shù)，因此可用“線性規(guī)劃法”迅速找出有效邊界。一、系統(tǒng)風(fēng)險與公司特有風(fēng)險一、系統(tǒng)風(fēng)險與公司特有風(fēng)險 由第二章的內(nèi)容可知，總風(fēng)險系統(tǒng)風(fēng)險非系統(tǒng)風(fēng)險。其中： 1.系統(tǒng)風(fēng)險系統(tǒng)風(fēng)險是指整個市場所承受到的風(fēng)險，如經(jīng)濟的景氣情況、市場總體利率水平的變化等因為整個市場環(huán)境發(fā)生變化而產(chǎn)生的風(fēng)險，即每一證券的風(fēng)險來源是一樣的。由于市場風(fēng)險與整個市場的波動相聯(lián)系，因此，無論投資者如何分散投資資金都無法消除和避免這一部分風(fēng)險。 2.非系統(tǒng)風(fēng)險非系統(tǒng)風(fēng)險是公司特有的風(fēng)險，諸如企業(yè)陷入法律糾紛、罷工、新產(chǎn)品開發(fā)失敗等等，即每一證

4、券的風(fēng)險來源是獨立的。風(fēng)險與整個市場的波動無關(guān)，投資者可以通過投資分散化來消除這部分風(fēng)險。o 當(dāng)所有的風(fēng)險都是對特定公司有影響時，分散化就可以把風(fēng)險降至任意低的水平。這是因為所有風(fēng)險來源都是獨立的，任何一種風(fēng)險來源的暴露可以降低至可以忽略的水平。當(dāng)共同的風(fēng)險來源影響所有的公司時，即便是最充分的分散化亦不能消除風(fēng)險。資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差隨著證券的增加而下降，但是它不能降至為零。o 因為投資者可以通過分散化投資降低以至于消除非系統(tǒng)風(fēng)險，所以持有風(fēng)險分散化投資組合的投資者比起不進行風(fēng)險分散化的投資者，可以要求相對較低的投資回報率，這樣，在市場競爭中就處于比較有利的競爭地位。市場均衡定價將根據(jù)競爭優(yōu)勢者的

5、行為來確定，因此，市場定價的結(jié)果，將只對系統(tǒng)風(fēng)險提供風(fēng)險補償，只有系統(tǒng)風(fēng)險才是市場所承認的風(fēng)險。所以，對于有風(fēng)險資產(chǎn)而言，通過市場交易定出對于有風(fēng)險資產(chǎn)而言，通過市場交易定出的均衡價格，其收益率只包含系統(tǒng)風(fēng)險的風(fēng)險的均衡價格，其收益率只包含系統(tǒng)風(fēng)險的風(fēng)險補償而不對非系統(tǒng)風(fēng)險提供風(fēng)險補償。補償而不對非系統(tǒng)風(fēng)險提供風(fēng)險補償。 o( )iiiirE rmo 我們還可以得出進一步的結(jié)論，即不同企業(yè)對宏觀經(jīng)濟事件有不同的敏感度。因此，如果我們記宏觀因素的非預(yù)測成分為F，記證券i對宏觀經(jīng)濟事件的敏感度為 ；o 則證券i的宏觀成分為 ，則上面的等式則可表達為等式山：o 這個等式被稱為股票收益的單因素模型（s

6、ingle-factor model）iiimF( )iiiirE rF二、單指數(shù)模型的估計二、單指數(shù)模型的估計 1 1. .單因素模型的定義單因素模型的定義v單因素模型單因素模型是描述證券收益率生成過程的一種模型，往往以指數(shù)形式出現(xiàn)（如GNP指數(shù)、股價指數(shù)、物價指數(shù)等）,所以又稱為指數(shù)模型。單因素模型相對CAPM是為了解決兩個問題，一是提供一種簡化地應(yīng)用CAPM的方式；二是細分影響總體市場環(huán)境變化的宏觀因素，如國民收入、通脹率、利率、能源價格等具體帶來風(fēng)險的因素。o 根據(jù)指數(shù)模型，依照與等式三相似的原理，我們可以把實際的或已實現(xiàn)的證券收益率區(qū)分成宏觀（系統(tǒng)）的與微觀（公司特有）的兩部分。我們

7、把每個證券的收益率寫成三個部分的總和，也就是我們這的等式四：o 我們用大寫的R代表超過無風(fēng)險收益的超額收益，把這個等式改寫為等式五：()ifiiMfirrrr iiiMiRR o 一些投資者可能認為證券的回報率生成過程僅包含一個因素，例如他們認為證券的回報率與預(yù)期國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長率有關(guān)，那么預(yù)期國內(nèi)生產(chǎn)總值與證券回報率之間的關(guān)系以方程形式可以表示為：iiiiRGoooo3.3.以回歸分析得出單指數(shù)或單一因素模型以回歸分析得出單指數(shù)或單一因素模型o 假設(shè)先考慮經(jīng)濟增長GDP對公司之股票收益率的影響，即只考慮GDP變化對風(fēng)險補償?shù)挠绊?。歷史數(shù)據(jù)庫 年GDP增長率（%）證券收益率（%）1 12 2

8、3 34 45 56 65.75.76.46.47.97.97.07.05.15.12.92.914.314.319.219.223.423.415.615.69.29.213.013.0o 用回歸分析的方法可以得出二者的關(guān)系，如下：iiiiRG()iifRrr 兩邊求期望得 假定上例中，i =4%，i =2，則()( )iiiE RE G4%2iiRGo 這一關(guān)系也可用下面的圖形表示 24201612844826ri0GDPo 為了闡明圖中所反映的數(shù)量關(guān)系，我們使用一元回歸分析的統(tǒng)計技術(shù)做一條直線來擬合圖中的點。那么，圖中這條直線的回歸方程則為Ri=4%+2GDPo 回歸方程和直線都表示較高

9、預(yù)期的GDP與較高的證券收益率相關(guān)聯(lián)。4.單因素模型的兩個重要特征單因素模型的兩個重要特征 1）切點組合首先，所有證券的回報率只對一個共同的因素起反應(yīng)的假設(shè)大大地簡化了確定切點組合的任務(wù)。為了確定切點組合構(gòu)成，投資者需要估計出所有的預(yù)期回報率，方差和協(xié)方差。這可以通過估計單因素模型中每種證券的i、i和it來完成。當(dāng)然，我們還必須知道因素的預(yù)期值F和它的標(biāo)準(zhǔn)差F，進而可以導(dǎo)出彎曲的馬氏有效集。最后，對于一個給定的無風(fēng)險利率，切點組合可以被確定。證券對因子共同作出反應(yīng)的假設(shè)，使得我們沒有必要直接估計證券之間的協(xié)方差，而只需要通過證券的敏感性和因素的方差即可獲得協(xié)方差。 2）分散化）分散化 單因素模

10、型的第二個有意義的特征與分散化有關(guān)。在前面已經(jīng)說明，分散化導(dǎo)致系統(tǒng)風(fēng)險的平均化和個別風(fēng)險的降低。對任何因素模型，除了術(shù)語上用因素風(fēng)險和非因素風(fēng)險分別代替系統(tǒng)風(fēng)險和非系統(tǒng)風(fēng)險外，上述特征總是成立的。在單因素模型中，組合的方差由下式給出：2222222()()()pppeppiiepieiXX 其 中 ； 上述方程表明組合的總風(fēng)險也可視為有兩部分構(gòu)成，這與單個證券的總風(fēng)險可以分解成兩個部分一樣。相應(yīng)地，分別稱上述方程的右邊第一項和第二項為組合的因素風(fēng)險和非因素風(fēng)險。 當(dāng)一個組合變得更加分散時（即含有更多的證券），每一個比例xi將變得更小，這并不導(dǎo)致p明顯的降低或升高，除非可以加進那些i值 相 對

11、低 或 高 的 證 券 。 其 原 因 正 如 方 程p=xii所表明的，p僅僅是證券敏感度i以xi為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均。于是，分散化導(dǎo)致因素風(fēng)險的平均化。 然而，組合的更加分散化，可望使得非因素風(fēng)險2(ep)下降。這可以通過考察方程2(ep)=xi22(ei)來加以說明。假設(shè)投資者投資于每種證券的數(shù)量相等，那么可以用1/N代替xi，即2(ep)= （1/N）2 2(ei) = 1/N(2(ei)/N）。這說明隨著組合的更加分散化，組合種證券的數(shù)目N會越來越大，從而使得組合的非因素風(fēng)險變小。簡而言之，分散化降低非因素風(fēng)險。第二節(jié)、資本資產(chǎn)定價模型與因資本資產(chǎn)定價模型與因素模型素模型 一、市場模型二

12、、資本資產(chǎn)定價模型與因素模型的關(guān)系 一、市場模型一、市場模型(MarketModel) 在實際應(yīng)用過程中常用市場指數(shù)來作為影響證券價格的單因素，此時的單因素模型被稱為市場模型。市場模型實際上是單因素模型的一個特例。 假設(shè)一種股票在某一特定時期內(nèi)的收益率與同一時期市場指數(shù)（如標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)）的收益率相聯(lián)系，即如果行情上揚，則很可能該股票價格會上升，市場行情下降，則該股票很可能下跌。因此，可以用市場模型的方程表示這一關(guān)系：iiIiI IiIrr 式中：r i代表某一給定時期證券i的收益率 I代表市場指數(shù) rI代表相同時期市場指數(shù)I的收益率 iI是隨機誤差項o iI 代表了證券市場線的斜率，它表

13、明了每當(dāng)市場收益變化1%，證券收益變化的程度。用市場模型來描述證券收益，可以幫助我們確定系統(tǒng)性風(fēng)險和非系統(tǒng)性風(fēng)險，證券系統(tǒng)性風(fēng)險等于市場收益的標(biāo)準(zhǔn)差乘以值，因此，代表了股票相對于市場的系統(tǒng)風(fēng)險，非系統(tǒng)性風(fēng)險等于非系統(tǒng)性收益的標(biāo)準(zhǔn)差。如果1，表明了此股票的風(fēng)險大于市場的風(fēng)險，反之，則表明了股票的風(fēng)險小于市場的風(fēng)險；如果截距aiI為正，則證券的表現(xiàn)要優(yōu)于市場，反之，則劣于市場。 v這一分析結(jié)果可用下表表示：這一分析結(jié)果可用下表表示：變量數(shù)值與市場的比較正優(yōu)于0相同負劣于大于1風(fēng)險大1相同小于1風(fēng)險小o 我們可以運用對歷史數(shù)據(jù)的回歸分析估計出市場模型中的參數(shù)，從而得出值。例如，可以計算過去5年內(nèi)的月

14、收益率，這樣市場指數(shù)和某一證券的收益率就分別有60個觀察值，然后對這些觀察值進行回歸分析。的觀察值越多，值的估算就越準(zhǔn)確。o 而資產(chǎn)組合系統(tǒng)性風(fēng)險的計算公式為 pm p=X1 1 +X 2 2 +X3 3 +Xn n Xi為證券i在資產(chǎn)組合中所占的比重。 例子：考慮股票A，有iI =2%，iI =1.2，這意味著股票A的市場模型為： 2%1.2AiIAIrr因此，如果市場指數(shù)回報率為10%，則證券A的回報率預(yù)期為14%（=2%+1.2*10%）。同樣，如果市場預(yù)期的回報率為-5%，則證券A的預(yù)期回報率為-4%。注意：由于隨機誤差項的存在（表示證券回報率中沒有被市場模型所完全解釋的部分），當(dāng)市場

15、指數(shù)上升10%或下降5%時，證券A的回報率將不會準(zhǔn)確地為14%或-4%。即，實際回報率和所給定市場指數(shù)回報率之間的差額將歸結(jié)于隨機誤差項的影響。二、資本資產(chǎn)定價模型與因素模型的關(guān)系二、資本資產(chǎn)定價模型與因素模型的關(guān)系 1.實際收益與期望收益 資本資產(chǎn)定價模型是一個很好的模型。問題是它是否具有現(xiàn)實世界的價值它的含意是否由經(jīng)驗得來。我們現(xiàn)在要扼要地重點討論更基本的問題：資本資產(chǎn)定價模型在原則上是否可以檢驗？首先，資本資產(chǎn)定價模型的核心預(yù)言是，市場資產(chǎn)組合是一個均方差有效的資產(chǎn)組合，目前無法檢驗。再者，資本資產(chǎn)定價模型暗示了各種期望收益之間的關(guān)系，而所有我們可以觀察到的只是實際的或已實現(xiàn)的持有期間的

16、收益，并且它們并不需要等于先前的預(yù)期值。 同資本資產(chǎn)定價模型的簡單與深入一樣，我們必須提出附加的假定條件，以使它可以起作用并可以檢驗。o 兩個方程都表明證券的預(yù)期回報率與證券的一個特征i相聯(lián)系，假定因素E(F)和(E(rM)-rf)的預(yù)期回報率為正，那么特征的值越大，證券的預(yù)期回報率就越大。在這一點上兩個方程幾乎沒有區(qū)別。 關(guān)鍵在于每個方程右邊的第一項：i和rf。根據(jù)資本資產(chǎn)定價模型，決定預(yù)期收益率的唯一特征為iM，而rf表示無風(fēng)險利率，對所有證券都是同一個值。然而在因素模型中，決定證券的預(yù)期收益率還有第二個特征，i它需要估計。正是一種證券與另一種證券i的大小不同，妨礙了因素模型成為一種均衡模

17、型。 換一個角度看，根據(jù)因素模型，兩個具有相同值的證券戲劇性地具有不同的預(yù)期回報率。例如，如果GDP的預(yù)期增長率為5%，A、B兩種證券的i、i分別為4%，2；-2%，2。那么，兩種證券的預(yù)期收益率分別為14%和8%。 相反，由基于均衡的資本資產(chǎn)定價模型，兩個具有相同的iM的證券將具有相同的預(yù)期收益率。例如，如果A、B兩種證券的iM都為1.2，那么在給定無風(fēng)險利率為8%，市場預(yù)期收益率為13%的情況下，它們都具有14%的預(yù)期收益率。 oo3.資本資產(chǎn)定價模型與市場模型資本資產(chǎn)定價模型與市場模型 在資本資產(chǎn)定價模型和市場模型中都有一個被稱為值的斜率，并且這兩個模型或多或少地包含了市場，但是它們之間

18、卻有明顯的區(qū)別：q 首先首先，資本資產(chǎn)定價模型是一個均衡模型，它描述證券的價格如何確定；市場模型是一個因素模型。q其次其次，資本資產(chǎn)定價模型是相對于整個市場組合而言的，即相對于市場中所有證券的集合。而市場模型是相對于某個市場指數(shù)而言，即基于市場中的一個樣本。 雖然從嚴格意義上講，資本資產(chǎn)定價模型中的值和市場模型中的值是有區(qū)別的，但是在實際操作中，由于我們不能確切知道市場組合的構(gòu)成，所以一般用市場指數(shù)來代替，因此我們可以用市場模型中測算的值來代替資本資產(chǎn)定價模型中的值。第三節(jié)、多因素模型多因素模型 一、多因素模型的經(jīng)驗基礎(chǔ)二、多因素模型 一、多因素模型的經(jīng)驗基礎(chǔ)一、多因素模型的經(jīng)驗基礎(chǔ) 經(jīng)濟狀況

19、影響著大部分企業(yè)，因而對經(jīng)濟前景的預(yù)期的變化被認為對絕大部分證券的收益率產(chǎn)生深刻影響。然而經(jīng)濟并不是一個簡單、統(tǒng)一的實體，因而我們需要確認一些具有廣泛作用的共同影響力，比如：1.國內(nèi)生產(chǎn)總值；2.利率水平；3.通貨膨脹率；4.石油價格水平等。 多因素模型對現(xiàn)實的近似程度更高。這一簡化形式使得證券組合理論廣泛應(yīng)用于實際成為可能，尤其是20世紀(jì)70年代以來計算機的發(fā)展和普及以及軟件的成套化和市場化，極大地促進了現(xiàn)代證券組合理論在實踐中的應(yīng)用。 二、多因素模型（二、多因素模型（Multifactor modelsMultifactor models） 與單因素模型不同，當(dāng)考慮多個因素對證券收益率的影

20、響時，則產(chǎn)生多因素模型，多因素模型更加清晰明確解釋了系統(tǒng)風(fēng)險，從而有可能展示不同的股票對不同的因素有不同的敏感性，這可能會使精確性得以提高。作為多因素模型的一個例子，我們考慮一個雙因素模型雙因素模型，這意味著假設(shè)收益率生成過程中包含有兩個因素。 例子例子：考慮兩個公司，一個是公用事業(yè)單位，另一個是航空公司。 航空公司，它的預(yù)期收益的影響因素更多的是：GDP、國際油價等。 公用事業(yè)單位，如供電公司，它的預(yù)期收益對未來的GDP、國際油價等因素也相關(guān)，但相關(guān)程度就差距很大。oF1t和F2t是兩個對證券回報率具有普遍影響的因素，i1和i2分別是證券i對兩個因素的敏感性。同單因素模型一樣，i是隨機誤差項是解釋其他影響的，i是當(dāng)兩個因素都取值為0是證券i的預(yù)期回報率。 在雙因素模型中，我們需要為每種證券估計4個參數(shù)：i, i1, i2以及隨機誤差的標(biāo)準(zhǔn)差i。對每個因素，需要估計兩個參數(shù)：因素的預(yù)期值以及因素的方差和。此外還要估計兩個因素的協(xié)方差cov(F1, F2)。 同單因素模型一樣，在多因素模型中，一個組合對某一因素的敏感性是對所含證券的敏感性的加權(quán)平均，權(quán)數(shù)為投資于各證券的比例。 切點組合切點組合 跟單因素模型一樣，一旦利用前面那些方程計算出預(yù)期回報率、方差和協(xié)方差后，投資者便可以使用最優(yōu)化來導(dǎo)出彎曲