《中值定理與洛必達》PPT課件

1、 羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理統(tǒng)稱統(tǒng)稱微分學中值定理微分學中值定理，它們在理論上和應它們在理論上和應用上都有著重大意義，尤其是拉格朗日中用上都有著重大意義，尤其是拉格朗日中值定理，它刻劃了函數(shù)在整個區(qū)間上的變值定理，它刻劃了函數(shù)在整個區(qū)間上的變化與導數(shù)概念的局部性之間的聯(lián)系，是研化與導數(shù)概念的局部性之間的聯(lián)系，是研究函數(shù)性質(zhì)的理論依據(jù)。究函數(shù)性質(zhì)的理論依據(jù)。學習時，可借助于幾何圖形來幫助理學習時，可借助于幾何圖形來幫助理解定理的條件，結(jié)論以及證明的思路，并解定理的條件，結(jié)論以及證明的思路，并初步掌握應用微分學中值定理進行論證的初步掌握應用微分學中值定理進行論

2、證的思想方法。思想方法。本章重點本章重點： 利用導數(shù)研究函數(shù)以及曲線的性態(tài)利用導數(shù)研究函數(shù)以及曲線的性態(tài)（如單調(diào)性、凹凸性、漸進線等）（如單調(diào)性、凹凸性、漸進線等） 微分學中值定理微分學中值定理（羅爾定理、拉格朗日中值定理）（羅爾定理、拉格朗日中值定理） 洛必達法則洛必達法則 計算不定型極限計算不定型極限 利用導數(shù)證明不等式利用導數(shù)證明不等式整理課件31. 中值定理中值定理一、羅爾定理一、羅爾定理( Rolle 1652 1719 法國法國 )滿滿足足如如果果函函數(shù)數(shù))(xf上上連連續(xù)續(xù)，在在,)1(ba內(nèi)可導，內(nèi)可導，在在),()2(ba,)()()3(bfaf ，內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一

3、點在在那么那么)(),(baba .0)( f使使整理課件4幾何意義：幾何意義： AB 為為 a , b 上連續(xù)曲線，且除上連續(xù)曲線，且除a, b 兩點外都有切線存在，兩端點縱標相等，兩點外都有切線存在，兩端點縱標相等，則在則在 (a , b) 中至少能找到一點，使這點對應中至少能找到一點，使這點對應曲線上的點處的曲線上的點處的切線平行于切線平行于 x 軸軸。AB 1 xy08整理課件5證：證： f (x) 在在 閉區(qū)間閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，上連續(xù)，f (x) 在在 a, b 必有最大值必有最大值 M 及最小值及最小值 m,有兩種情況有兩種情況: (1) M = m ;(2) M m .(

4、1) 若若 M = m ，則則 m = f (x) = M ,f (x) 為常數(shù)，即有為常數(shù)，即有 ,0)( xf那么那么 ( a, b ) 內(nèi)任一點都可取作內(nèi)任一點都可取作 ， M = m 時，定理必成立。時，定理必成立。整理課件6(2) 若若 M m ， f (a) = f (b) ,M , m 中至少有一個不等于中至少有一個不等于 f (a) 或或 f (b),不妨設不妨設 M f (a) , (設設 m f (a) 同樣可證）同樣可證）又設又設 有有 f () = M, . 0)(),( fba要證要證 f (x) 在在( a, b ) 可導，可導，存存在在，xfxffx )()(li

5、m)(0 xfxfx )()(lim0 即即xfxfx )()(lim0 都都有有或或且且無無論論,00 xx).()(xff 整理課件7由極限的保號性：由極限的保號性：,0)()(, 0 xfxfx 則當則當)()(xff ;0)()(lim0 xfxfx ,0)()(, 0 xfxfx 當當;0)()(lim0 xfxfx .0)()( ff只能只能存在，存在，要使要使可見在函數(shù)取到最大值與最小值的點處，可見在函數(shù)取到最大值與最小值的點處，其導數(shù)等于其導數(shù)等于 0 。例：例：說明：說明：1. 羅爾定理的條件是充分的，但非必要的。羅爾定理的條件是充分的，但非必要的。2 yxO1 .。,0,1

6、0,sin)( xxxxf 雖不滿足條件雖不滿足條件 (1)、(3)但仍存在但仍存在.0)(,2 f使使但若條件都不滿足，則但若條件都不滿足，則一定找不到定理中的一定找不到定理中的 。整理課件92.特別，當特別，當 f (a) = f (b) = 0 時，時，Rolle 定理定理 可簡述為：可簡述為：若若 f (x) 在在 a, b 連續(xù)，在連續(xù)，在 ( a, b ) 可導，可導，則在函數(shù)的則在函數(shù)的兩個零點兩個零點之間，它的之間，它的一階導數(shù)一階導數(shù)至少有一個至少有一個零點零點（或一個（或一個根根）。）。例題討論例題討論例例1： 驗證羅爾定理對函數(shù)驗證羅爾定理對函數(shù) f (x) = sin

7、x在在 0， 上的正確性，并求出上的正確性，并求出 。證：證：可可導導，在在連連續(xù)續(xù)，在在), 0(,0sin)( xxf 0)()0( ff滿足羅爾定理條件，滿足羅爾定理條件，,cos)(xxf ,cos)( f2, 0cos)( 有有要要使使 f 羅爾定理成立。羅爾定理成立。), 0( 例例2：，設設xxxxfn 2122)(中中至至少少有有一一個個根根。在在證證明明0, 10)( xf可可導導，在在連連續(xù)續(xù)，在在)01(,01)( xf證：證：由由Rolle定理，至少存在定理，至少存在)1( f)0, 1( 即即得得證證。，使使0)( f，若若設設14)12()(2 xxnxfn中至少有

8、一個根。中至少有一個根。在在證明方程證明方程0, 10)( xf，0)0( f整理課件12，設設14)12()(2 xxnxfn中至少有一個根。中至少有一個根。在在證明方程證明方程0, 10)( xf例例3：證：證：，作作xxxxn 2122)( 可可導導，在在連連續(xù)續(xù)，在在則則) , 01(,01)( x ，0)0()1( 由由Rolle定理，至少存在定理，至少存在)0, 1( ，使使0)( 14)12()(2 xxnxn 即即得得證證。中中至至少少有有一一個個根根在在 ,0, 1 0)( xf設)(xf在0， 1上可微， 對0,1上的每個x，有1)(0 xf，且1)( xf，證明方程xxf

9、 )( 在（0，1）內(nèi)有且只有一個根。 xxfxF )()(上連續(xù)，上連續(xù)，在在且由條件，且由條件，10)(xF, 0)0()0( fF，)1 , 0( ，使使0)( F內(nèi)有根。內(nèi)有根。至少在至少在即即)1, 0()(xxf 證：先證根的存在性：令證：先證根的存在性：令01)1()1( fF由零點定理，必有由零點定理，必有例例4：)(0)()(2121xxxFxF ，),(21xx ，使使01)()( fF，1)( xf再證唯一性：再證唯一性：有兩個根有兩個根 x1 與與 x2 , 即即設設 F (x) = 0 在在 (0, 1)又又F(x) 在在 0, 1 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 (0, 1)

10、 內(nèi)可導，內(nèi)可導，由羅爾定理，必存在由羅爾定理，必存在但已知但已知 F (x) = 0 只有一個小于只有一個小于1的正根。的正根。矛盾矛盾 !反證：反證：，有有若若0)()(21 xFxF；0)( F，若若0)()(21 xFxF0)( F由上述即知，由上述即知，則在則在 x1, x2 間有間有 ，使，使則在則在 x1, x2 間有間有 ，使，使以此類推。以此類推。 若若 f (x) 在在0, 1上有二階導數(shù)，且上有二階導數(shù)，且 f (1) = 0，設設 F (x) = x2 f (x)，試證在（，試證在（0, 1）內(nèi)至少存）內(nèi)至少存在一點在一點 ，使，使, )()(2)(2xfxxxfxF

11、.0)( F可可導導，在在連連續(xù)續(xù)在在), 0(, 0)(11 xF 0)0( F使使, )1 , 0(1 ；0)(1 F例例5：證：證：F (x) 在在0,1連續(xù)連續(xù), 在在(0, 1)可導可導(由題意由題意),)1()1(fF 則由羅爾定理，則由羅爾定理，,0)0( F顯然顯然又由羅爾定理，又由羅爾定理，), 0(1 , )1, 0( .0)( F使使這條件很特殊，若取消這條件，這條件很特殊，若取消這條件，AB 弦就不弦就不一定平行于一定平行于 x 軸，此時結(jié)論又如何？軸，此時結(jié)論又如何？)()(bfaf三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理（Lagrange 1736 - 1813 法

12、國）法國）羅爾定理中：羅爾定理中：拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理： 若函數(shù)若函數(shù) f (x)（1）在）在 a, b 上連續(xù)，上連續(xù)， （2）在（）在（a, b）內(nèi)可導，）內(nèi)可導， 則在（則在（a, b）內(nèi)至少存在一點）內(nèi)至少存在一點 ，使得：，使得： 而右端正是而右端正是AB弦的斜率弦的斜率 . abafbff )()()(abfafbf xAByOab12幾何意義：幾何意義：式式 可寫成可寫成:ABxyOab12在上述條件下，曲線在上述條件下，曲線AB上至少有一點上至少有一點，使使 ( , f () 處的切線平行于處的切線平行于 AB 弦。弦。ABxyOab12顯然，羅爾定理顯然，羅爾定理

13、 是是 L 定理定理 的特殊情況的特殊情況 ：弦弦 AB 平行于平行于 x 軸。軸。曲線曲線AB與弦與弦AB交于交于A、B點，此處它們的點，此處它們的 ,ba axabafbfafy ，若取若取yxfx .0 ba （1）分析：）分析：這樣就要使兩端點函數(shù)值相等，為此引進這樣就要使兩端點函數(shù)值相等，為此引進希望能用羅爾定理來證，希望能用羅爾定理來證，輔助函數(shù)輔助函數(shù) (x) , 且要滿足且要滿足注意，弦注意，弦AB的方程：的方程：f (x) 為為曲線曲線AB上縱坐標，上縱坐標，y 為為弦弦AB上的縱坐標。上的縱坐標。差即為差即為0，即，即證：證：至少存在一點至少存在一點 axabafbfafx

14、fx 0 a 且且 使使,ba ,0 ,abafbfxfx （2）證：）證：作輔助函數(shù)：作輔助函數(shù)： f (x) 在在 a, b 連續(xù)，在（連續(xù)，在（a, b）可導，）可導， (x) 在在 a, b 連續(xù)，在（連續(xù)，在（a, b）可導，）可導， ,b 則由羅爾定理，則由羅爾定理， ,0 abafbff 即即須掌握這種引進輔助函數(shù)來證明須掌握這種引進輔助函數(shù)來證明一些等式的方法。一些等式的方法。 ,0 abafbff 即即 ,abafbff )()()(abfafbf ,ba ,0 bfaf且且 ,ba . ff 使使例：例： 設設 f (x) 在在 a, b 連續(xù)，在（連續(xù)，在（a, b）可導

15、，）可導，證明存在一點證明存在一點分析：分析：由羅爾定理，存在由羅爾定理，存在 ，作作xexfxF , 0 aeafaF 使使,ba , 0 F證明：證明：由條件知由條件知F(x) 在在a, b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導，且內(nèi)可導，且 , 0)( bebfbF, )()(bFaF 0 ff即即 ,)(xxexfexfxF ，有有0)( efefF . ff 得證。得證。整理課件25此類問題的關鍵是構(gòu)造合理的輔助函數(shù)，可此類問題的關鍵是構(gòu)造合理的輔助函數(shù)，可采用采用反向演繹反向演繹的思維方式，多掌握一些函數(shù)的思維方式，多掌握一些函數(shù)的導數(shù)形式，如的導數(shù)形式，如 ,)(lnxfxfxf

16、 ,xfxxfxfx 以以下下對對拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理（L L- -定定理理）作作說說明明，并并導導出出它它的的其其它它一一些些形形式式。 bafbfaf 為為： ,ab 1.說明：說明：),(),)()()(baabfafbf 定定理理中中又稱為又稱為拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式。 若若 a b , 即在即在 b, a 中，中，L 定理仍成立，定理仍成立，2.注意：此式并不是注意：此式并不是 式的反向，式的反向， 的范圍不同。的范圍不同。 10 aba ,aba 10 ba, 表表示示 ，或或ab, ba 由由aba 0ab 由由0 aab Lagrange中值定理的另一些形

17、式：中值定理的另一些形式：3.(1)aba 令令則有則有)()()()(ababafafbf ).10( ),00( xx或或,xaxxb .)(xxaba 則則(2)設設 x, x + x 為（為（a, b）內(nèi)任意兩點）內(nèi)任意兩點,則則 f (x) 在在 x, x + x 或或 x + x, x 上上仍滿足仍滿足L 定理，定理，在在中令：中令： xxxfxfxxf )()()( ,)(xxxfy 即即).10( 式即稱為式即稱為有限增量公式有限增量公式。由此。由此 L 定理定理也稱為也稱為有限增量定理有限增量定理，或，或微分中值定理微分中值定理。xxxfxfxxf )()()( ,)(xxx

18、fy 即即).10( 曾知曾知)(,)(xoxxxfy 從從L 定理可得以下推論：定理可得以下推論： )( ,很很小小時時當當而而xyxxfdy xxf 即即 xxxf 而而只是只是y 的近似式，的近似式，是是y 的精確表達式，的精確表達式，它明確表達了函數(shù)增量與函數(shù)在某點它明確表達了函數(shù)增量與函數(shù)在某點導數(shù)的關系。導數(shù)的關系。 IxCxf )(常數(shù)常數(shù)，任任取取Ixx 21,，設設21xx 連連續(xù)續(xù)，在在則則21,)(xxxf 可導，可導，在在21,xx定理：定理： Ixxf 0(原已知常數(shù)的的導數(shù)為原已知常數(shù)的的導數(shù)為0，現(xiàn)逆命題也成立，現(xiàn)逆命題也成立)證：證：由由L 定理：定理：Ixxf

19、 , 0)( .,)(Ixcxf 21,xx )(1212xxfxfxf ,0)( f0 )()(12xfxf 由由 x1, x2 的任意性，的任意性，（P. 129）（說明若兩個函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)具有相同的（說明若兩個函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)具有相同的導數(shù)，則這兩個函數(shù)僅差一個常數(shù)）導數(shù)，則這兩個函數(shù)僅差一個常數(shù)）, )()(xgxf 為常數(shù)。為常數(shù)。CCxgxf,)()( 推論推論 ：若若 f (x) , g (x) 在在 (a, b) 內(nèi)成立內(nèi)成立則在則在 (a, b) 內(nèi)內(nèi)證：證：),()()(xgxfxF 令令)()()(xgxfxF , 0 由定理由定理: F (x) = C,.)()(Cx

20、gxf即即 整理課件32例題討論例題討論證：證： .,1 , 0arctan)( 并并求求出出上上的的正正確確性性在在xxf ,10,1, 0)(可導可導，在在連續(xù)連續(xù)在在xf例例1：驗證拉格朗日中值定理對驗證拉格朗日中值定理對 滿足滿足 L 定理定理 的條件，的條件， ).01)( )0()1(,10 fff使使，)01)()0()1( fff由由2114 )01(110arctan1arctan2 14142 1 , 0 利用利用L 定理證明一些不等式：定理證明一些不等式：.sinsinyxyx 例例2：證明不等式證明不等式證：證：)(yx 即即,sin)(yxuuuf ，設設則則 f (

21、u) 在在 x, y 連續(xù)，在連續(xù)，在( x, y ) 可導，可導，由由L 定理：定理： yx, ),()()()(xyfxfyf 使使; )(cossinsinxyxy 即即,xyu 即即);,(),(cossinsinyxxyxy 同理，同理，x y,),(xy )(cossinsinyxyx ,cossinsinyxyx , 1cos .sinsinyxyx ).0(1arctanarctan122baaababbab ,arctan)(baxxxf 可可導導，連連續(xù)續(xù)，在在在在則則babaxf,)(例例3：證明：證明：分析：分析：出現(xiàn)函數(shù)出現(xiàn)函數(shù) arctan x 在在a, b上的增量

22、上的增量,用用 L定理定理 。由由L 定理：定理：使使),(ba , )()()(abfafbf , )(11arctanarctan2abab 即即令令證證 ：, )(11arctanarctan2abab ,111111222ba ,0ba ,111222ba 21bab, 0 ab又又21 ab21aab ).0(1arctanarctan122baaababbab 可可導導，連連續(xù)續(xù)，在在在在設設bxbxxf,)(00存存在在，又又設設)0()(lim00 xfxfxx)0()(00 xfxf例例4:則則 f (x) 在在 x0 處右導數(shù)存在處右導數(shù)存在, 且且)(lim0 xfxx

23、（即導函數(shù)在左端點處的右極限值（即導函數(shù)在左端點處的右極限值該點右導數(shù)值）該點右導數(shù)值）整理課件38定理。定理。上滿足上滿足在在則則Lxxxf,)(0 )10( ,)()()(0000 xxxfxxxfxf證：證： ，任任取取bxx,0 )0()(00 xfxf)(lim0 xfxx 要證：要證： )(lim)()(lim000000 xxxfxxxfxfxxxx )(0 xf )0(0 xf)0( 0得證。得證。=整理課件39課外作業(yè)課外作業(yè)習題習題 3-1 （A）1, 2, 4, 6, 8, 10習題習題 3-1 （B）2, 3, 5, 6, 9, 10, 12而而弦弦AB的的斜斜率率為為

24、 )()()()(agbgafbf ABCYXf(b)f(a)g(a)g(b)g()四、柯西中值定理四、柯西中值定理 (Cauchy 1789-1857 法國法國)若曲線若曲線AB: Y = f (X) 用參數(shù)方程表示：用參數(shù)方程表示：,)()(xgxfdXdY 則曲線斜率則曲線斜率 ,)()(bxaxfYxgX若曲線上某點若曲線上某點 c c（對應于參數(shù)（對應于參數(shù) x）的）的切線切線欲平行于弦欲平行于弦AB，則有，則有 與這一事實相應的就是與這一事實相應的就是柯西中值定理柯西中值定理： )()()()()( )( agbgafbfgfdXdYx ABCYXf(b)f(a)g(a)g(b)g

25、(),)()(xgxfdXdY 曲曲線線斜斜率率而而弦弦AB的的斜斜率率為為 )()()()(agbgafbf 柯柯西西中中值值定定理理：( ( P P. .1 13 31 1 ) ) 若若兩兩函函數(shù)數(shù)f f( (x x) )，g g( (x x) ) 滿滿足足： ( (1 1) )在在 a a, ,b b 上上連連續(xù)續(xù)； ( (2 2) )在在（a a, ,b b）內(nèi)內(nèi)可可導導，且且 ;0)( xg 則則在在( (a a, ,b b) )內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點，使使得得 )()()()()()( gfagbgafbf 成成立立。 注意注意：柯西中值定理并不是分子分母分別：柯西中值定理并

26、不是分子分母分別利用拉格朗日中值定理而得，如這樣，則利用拉格朗日中值定理而得，如這樣，則不不會是一個會是一個，但柯西中值定理中的，但柯西中值定理中的是同一個是同一個。).10( , xx時時，當當xxg )(，1)(,)()( xgabagbg說明：說明： (1) 當當 b a 時定理同樣成立，并仍有時定理同樣成立，并仍有(2)()()()()()( gfagbgafbf ),(ba 柯西中值定理主要用于證明計算極限的柯西中值定理主要用于證明計算極限的一個非常重要的法則一個非常重要的法則洛必達法則洛必達法則。 此時即為此時即為 Lagrange 中值定理。中值定理。整理課件442. 洛必達法則

27、洛必達法則型不定式型不定式”“”及”及“一、一、 00滿滿足足設設)(),(xgxf定理：定理：;0)(, 0)()1(0 xgxfxx時時，當當,)()(),()2(0都都存存在在與與內(nèi)內(nèi)，在在xgxfxU ;0)( xg且且;)()()(lim)3(0 或或Axgxfxx.)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx 則則證：證：,0)(, 0)(0 xgxfxx時，時，當當則則 x 0 至多是至多是 f (x), g (x) 的可去間斷點的可去間斷點 設設 f (x0) = 0, g (x0) = 0,那么那么 f (x), g (x) 在在 x0 的某個鄰域內(nèi)連續(xù)的某個鄰

28、域內(nèi)連續(xù), 且且除除 x0 外外 f (x), g (x) 可導，可導，由柯西中值定理由柯西中值定理)()(xgxf)()()()(00 xgxgxfxf )()( gf 之間，之間，與與在在xx0 ,00 xxx 時，時，且且. x0. x. x0. . )()(lim0 xgxfxx)()(lim0 gfxx )()(lim0 gfx .)()(lim0 xgxfxx ( 或連續(xù)點或連續(xù)點 )，.)()(lim)()(lim0000 xgxfxgxfxxxx ”“說明：說明：),()()(lim)1(0 或或若若Axgxfxx；或或則則)()()(lim0 Axgxfxx處處連連續(xù)續(xù)，在在

29、若若0)(),()2(xxgxf .)()()()(lim000 xgxfxgxfxx 則則, 0)(, 0)()3(0 xgxfxx時時，若若)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx 則則 )()(lim0 xgxfxx”“00, 0)(0 xg滿滿足足洛洛必必達達法法則則條條件件，)()(xgxf 同理同理,定理相仿。定理相仿。時，時，,0)(, 0)( xgxfx定定理理相相仿仿。時時，,)(,)(0 xgxfxx定定理理相相仿仿。時時，,)(,)( xgxfx)()(lim)(0 xgxfxxx 即即對對”，”，“00”“ )()(lim)(0 xgxfxxx整理課件

30、48例題討論例題討論求下列極限:axaxax sinsinlim. 11coslimxax ”“00acos .lnlnlnbaba xbaxxx 0lim. 2”“001lnlnlim0bbaaxxx .201120sin6lim0 xxx420536cos6lim. 3xxxx 0030206sin6limxxxx 20606cos6limxxx 20cos1101limxxx =xxxcotlnlim. 40 xxx20csc1lim 整理整理 xxx20sinlim . 0 0000axxln1lim )1, 0,(lim. 6 axaxx )1, 0(loglim. 5 axxax

31、1ln1lim xaxx 22)1()ln(lim xaaxx1lnlim xaaxx !)()( x!)ln(lim xxaa = 0.)1, 0(loglim. 5 axxax )1, 0,(lim. 6 axaxx 0 由例由例5、6 可見，三個函數(shù)可見，三個函數(shù) a x , x , log a x當當 x + 時都是時都是無窮大量無窮大量, 但它們趨于無但它們趨于無窮大的快慢程度不同。窮大的快慢程度不同。以以指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) a x 的速度最快，的速度最快，冪函數(shù)冪函數(shù) x 次之，次之，對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) log a x 最慢。最慢?？梢娨晃队寐灞剡_法則，則永遠無結(jié)果?？梢娨晃队寐灞剡_法

32、則，則永遠無結(jié)果。 洛必達法則并不是萬能的，一旦做不下洛必達法則并不是萬能的，一旦做不下去必須改用其它方法。去必須改用其它方法。xxaxlnlim= 0，xxnxlnlim, xexxlim. shxchxx limchxshxxlim. 7 chxshxxlim若用若用消去無窮因子消去無窮因子法：法：. 111limlim22 xxxxxxxxeeeeee原原式式 原定理只說原定理只說存在等于存在等于A或或，則，則顯然極限不存在，顯然極限不存在，用洛必達法則無意義。用洛必達法則無意義。xxxxxcossinlim. 8 ?)( ,)()(lim 或或存存在在也也等等于于Axgxf)()(li

33、mxgxf 問題：問題：也不存在嗎？也不存在嗎？不存在時不存在時)()(lim,)()(limxgxfxgxf 答：答：否否 ！xxxsin1cos1lim 0 0 極限不存在時只能說明洛必達法極限不存在時只能說明洛必達法則則失效失效，應改用以前學的方法求極限。，應改用以前學的方法求極限。xxxxxcossinlim. 8 xxxxxcos1sin1lim = 1 .整理課件55xexx10lim. 9 001lim10 xxe 21x? xxex101lim yyey lim)(1yx yye1lim = 0. 整理課件56xxxxxx20sin)arcsin(cos2lim.10 30ar

34、csinlim2xxxx 002203111lim2xxx 22201311lim2xxxx 1xxxx612/2lim220 2016lim2xxxx .31 先適當先適當利用利用無窮小代換無窮小代換整理整理212lim11lim. 1121 xxxxx問題：問題：下列計算是否正確？應如何計算？下列計算是否正確？應如何計算？錯錯,法則法則非不定型不可用洛必達非不定型不可用洛必達3162lim622lim1332lim. 222 nnnnnnnn數(shù)列極限不能直接使用洛必達法則，數(shù)列極限不能直接使用洛必達法則，.3131lim22132 nnnn原原式式. 11111 原原式式非連續(xù)變量非連續(xù)變

35、量不可求導不可求導 ！每次使用洛必達法則前，應把函數(shù)盡每次使用洛必達法則前，應把函數(shù)盡量化簡或進行整理：量化簡或進行整理：（1）恒等式化簡）恒等式化簡 （2）約去零）約去零(無窮無窮)因子因子（3）提出非零因子（）提出非零因子（4）等價無窮小代換）等價無窮小代換 隨時檢驗極限的類型，直至求出極限值。隨時檢驗極限的類型，直至求出極限值。注意注意：1.2.整理課件59課外作業(yè)課外作業(yè)習題習題 3-2 （A）1, 2”型型“”“”“”“”二二、“00,1,0,0 ,)(lim, 0)(lim xgxf:0. 1”“ fggfgf1lim1lim)lim(或或則則 )000( 或或然后利用洛必達法則然

36、后利用洛必達法則.0lim0 nxnx例例1：)0(lnlim0 nxxnxnxxx lnlim0 101lim nxxnx?ln1lim0 xxnx若若第第一一步步”“00一般，把求導后函數(shù)形式簡單的因子一般，把求導后函數(shù)形式簡單的因子放分母上。放分母上。”“ 0.11lim22 xxx例例2：xxx1arctan2lim )arctan2(limxxx ”“0 ”“0022111limxxx )lim()11lim(gffggf :.2”“ , 0)(lim, 0)(lim xgxf)00000( 例例3： xxx11ln1lim0 xxxxx 1ln1lnlim0 201lnlimxxxx ”“00”“00 xxx2111lim0 .21