概率論：第3章 多維隨機(jī)變量及其分布2

1、第三章 多維隨機(jī)變量及其分布3.2 邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性1、邊際分布函數(shù)如果在二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)中令y+，則稱為X的邊際分布，記FX(x)=F(x,+).例3.2.1lim( , )(,)()yF x yP Xx YP Xx 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布2、邊際分布列如果在二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)中令y+，則稱為X的邊際分布，記FX(x)=F(x,+).例3.2.1lim( , )(,)()yF x yP Xx YP Xx 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布2、邊際分布列在二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布列P(X=xi,Y=yi)中，對(duì)j求

2、和所得的分布列稱為X的邊際分布列.類似有Y的邊際分布列.例3.2.21(,)()ijijP Xx YyP Xx第三章 多維隨機(jī)變量及其分布3、邊際密度函數(shù)在二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y),，由于可得到X和Y的邊際密度函數(shù). 例3.2.3( )( ,)( , ) )( )( )(, )( , )( )xxXXyyYYF xF xpu v dvdup uduF yFypu v dudvp vdv 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布例3.2.4、例3.2.54、隨機(jī)變量間的獨(dú)立性定義3.2.1 設(shè)n維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為F (x1,x2,xn)，F(xiàn)i(xi)為X

3、i的邊際分布函數(shù)。如果對(duì)任意n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,xn，有則稱X1,X2,Xn相互獨(dú)立。121( ,)( ),nniiiF x xxF x第三章 多維隨機(jī)變量及其分布對(duì)應(yīng)于離散隨機(jī)變量有對(duì)應(yīng)于連續(xù)隨機(jī)變量有例3.2.6、例3.2.7、例3.2.8121( ,)( ),nniiip x xxp x11221(,)(),nnniiiP Xx XxXxP Xx第三章 多維隨機(jī)變量及其分布3.3 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)n維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)的函數(shù)為Y=g (X1,X2,Xn) 1、多維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布例3.3.1例3.3.2 “尋求兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布運(yùn)算”

4、稱為卷積，記PX*PY例3.3.3第三章 多維隨機(jī)變量及其分布2、最大值與最小值的分布例3.3.4例3.3.53、連續(xù)場(chǎng)合的卷積公式定理3.3.1 設(shè)X與Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)隨機(jī)變量，其密度函數(shù)分別為pX(x)和pY(y)，則其和Z=X+Y的密度函數(shù)為( )()( )ZXypzpzy py dy第三章 多維隨機(jī)變量及其分布例3.3.6(正態(tài)分布的可加性)例3.3.7(伽瑪分布的可加性)例3.3.8 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布4、變量變換法變量變換法設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y)，如果函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，還存在唯一的反函數(shù)且變換的雅可比行列式不為0，則U=g1(X,Y)、V=g2(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為12( ,),( ,)ugx yvgx y( , )( ( , ), ( , )|p u vp x u vy u vJ第三章 多維隨機(jī)變量及其分布例3.3.9 (和差公式)增補(bǔ)變量法為了求二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)函數(shù)U=g(X,Y)的密度函數(shù)，可以增補(bǔ)一個(gè)新的隨機(jī)變量V=h(X,Y)，先求出(U,V)的聯(lián)合