高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第二節(jié) 不等式的證明課件 文

1、第二節(jié)不等式的證明總綱目錄教材研讀1.比較法考點(diǎn)突破2.綜合法與分析法3.反證法考點(diǎn)二用綜合法、分析法證明不等式考點(diǎn)一比較法證明不等式考點(diǎn)三放縮法證明不等式4.放縮法5.平均值不等式考點(diǎn)四柯西不等式的應(yīng)用1.比較法比較法(1)作差法(a、bR):a-b0ab;a-b0a0,b0):1ab;1ab1,x=a+,y=b+,則x與y的大小關(guān)系是()A.xyB.xb1得ab1,a-b0,所以0,即x-y0,所以xy.1a1bbbaab()(1)ab abab()(1)ab ababA3.若a,b,mR+,且ab,則下列不等式一定成立的是()A.B.C.D.b,-=0,即,故選B.bmamba()()m

2、 aba ambmambaB4.設(shè)a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,則的最小值為.22mn答案答案5解析解析根據(jù)柯西不等式得=|ma+nb|=,當(dāng)且僅當(dāng)=(a2+b2=5,ma+nb=5),即m=a=n=b=時取等號,故的最小值為.22mn152222()()mnab155manb10222mn555.設(shè)a0,b0,若是3a與3b的等比中項,求證:+4.31a1b證明證明由是3a與3b的等比中項得3a3b=3,即a+b=1.要證原不等式成立,只需證+4,即證+2.因?yàn)閍0,b0,所以+2=2當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=b=時,取等號,所以+4.3abaabbbaabbaabb aa b

3、baab121a1b6.若a,b,c(0,+),且a+b+c=1,求+的最大值.abc解析解析(+)2=(1+1+1)2(12+12+12)(a+b+c)=3.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時,等號成立.(+)23.故+的最大值為.abcabc13abcabc3典例典例1設(shè)a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),求證:a3+b3(a2+b2).ab考點(diǎn)一比較法證明不等式考點(diǎn)一比較法證明不等式考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破證明證明a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),a3+b3-(a2+b2)=a2(-)+b2(-)=(-)()5-()5.當(dāng)ab時,從而()5()5,得(-)()5-()50;當(dāng)ab時,從而()50.所以a3+b3(a2+b2).abaabbb

4、aababababababababababab方法技巧方法技巧作差比較法證明不等式的步驟(1)作差;(2)變形;(3)判斷差的符號;(4)下結(jié)論.其中“變形”是關(guān)鍵,通常將差變形成因式連乘的形式或平方和的形式,再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù).注:作商比較法也有類似的步驟,但注意其比較的是兩個正數(shù)的大小,且第(3)步要判斷商與1的大小.1-1已知a,b都是正數(shù),且ab,求證:a3+b3a2b+ab2.證明證明(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2.因?yàn)閍,b都是正數(shù),所以a+b0.又因?yàn)閍b,所以(a-b)20.于是(a+b)(a-b)20,即(a3+b3)-(a2b+ab

5、2)0,所以a3+b3a2b+ab2.1-2已知a,b(0,+),證明:aabb(ab.2)a b證明證明a,b(0,+),=,當(dāng)a=b時,=1.當(dāng)ab時,1,0,則1.當(dāng)ba時,01,1.綜上可知,aabb(ab成立.2()aba ba bab2a ba2b ab2a bab2a babab2ab2a babab2ab2a bab2)a b典例典例2(2017課標(biāo)全國理,23,10分)已知a0,b0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.考點(diǎn)二考點(diǎn)二用綜合法、分析法證明不等式用綜合法、分析法證明不等式證明證明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5

6、b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+(a+b)=2+,所以(a+b)38,因此a+b2.23()4ab33()4ab規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)1.利用綜合法證明不等式時,應(yīng)注意對已證不等式的使用,常用的不等式有:(1)a20;(2)|a|0;(3)a2+b22ab,它的變形形式有(a+b)24ab,等;(4)(a0,b0),它的變形形式有a+2(a0),+2(ab0),+-2(abcd,則+;(2)+是|a-b|cd,所以(+)2(+)2.因此+.(2)(i)若|a-b|c

7、-d|,則(a-b)2(c-d)2,ababcdcdabcdabcd即(a+b)2-4abcd.由(1)得+.(ii)若+,則(+)2(+)2,即a+b+2c+d+2.因?yàn)閍+b=c+d,所以abcd.abcdabcdabcdabcd于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|+是|a-b|c-d|的充要條件.abcd典例典例3若a,bR,求證:+.|1 |abab|1 |aa|1 |bb考點(diǎn)三放縮法證明不等式考點(diǎn)三放縮法證明不等式證明證明當(dāng)|a+b|=0時,不等式顯然成立.當(dāng)|a+b|0時,由0|a+b|a|+|b|,所以=+.1|ab1|ab|1

8、 |abab111|ab111|ab|1 |abab|1 |aab|1 |bab|1 |aa|1 |bb規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)在不等式的證明中,“放”和“縮”是常用的推證技巧.常見的放縮變換:變換分式的分子和分母,如,.以上不等式中kN*,k1;利用函數(shù)的單調(diào)性;真分?jǐn)?shù)性質(zhì)“若0a0,則”.(2)在用放縮法證明不等式時,“放”和“縮”均需把握一個度.21k1(1)k k 21k1(1)k k 1k21kk1k21kkabambm3-1設(shè)n是正整數(shù),求證:+n(k=1,2,n),得.當(dāng)k=1時,;當(dāng)k=2時,;當(dāng)k=n時,所以=+=1.原不等式成立.12n1nk1n12n11n1n12n12n1

9、n12n1nn1n122nn11n12n12nnn典例典例4已知x,y,z均為實(shí)數(shù).(1)若x+y+z=1,求證:+3;(2)若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值.31x32y 33z 3考點(diǎn)四柯西不等式的應(yīng)用考點(diǎn)四柯西不等式的應(yīng)用解析解析(1)證明:因?yàn)?+)2(12+12+12)(3x+1+3y+2+3z+3)=27.所以+3.當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=,z=0時取等號.(2)因?yàn)?=x+2y+3z,所以x2+y2+z2,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=,y=,z=時,x2+y2+z2有最小值.31x32y 33z 31x32y 33z 32313222xyz1491872y3z376797187

10、規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形,化為符合它的結(jié)構(gòu)形式,當(dāng)一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時,就可使用柯西不等式進(jìn)行證明.(2)利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu):(+)(1+1+1)2=n2.在使用柯西不等式時,要注意右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等號成立的條件.21a22a2na22212111naaa4-1設(shè)x,y,zR,x2+y2+z2=25,試求x-2y+2z的最大值與最小值.解析解析根據(jù)柯西不等式,有(1x-2y+2z)212+(-2)2+22(x2+y2+z2),即(x-2y+2z)2925,所以-15x-2y+2z15,故x-2y+2z的最大值為15,最小值為-15.4-2已知大于1的正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=3.求證:+.3223xxyz223yyzx223zzxy32證明證明由柯西不等式