第十四章+機(jī)械振動(dòng)課件

1、機(jī)械振動(dòng)第十四章第十四章 振動(dòng)振動(dòng) 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué) 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 同方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 諧振分析諧振分析廣義振動(dòng)廣義振動(dòng)：任一物理量任一物理量( (如位移、電流如位移、電流等等) )在某一在某一 數(shù)值附近數(shù)值附近作周期性作周期性變化。變化。機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近作周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)。物體在一定位置附近作周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)。自然界的振動(dòng)自然界的振動(dòng)心跳心跳簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體發(fā)生機(jī)械振動(dòng)的條件：物體發(fā)生機(jī)械振動(dòng)的條件：物體受到始終指向平衡位

2、置的物體受到始終指向平衡位置的回復(fù)力回復(fù)力；物體具有物體具有慣性慣性。掌握機(jī)械振動(dòng)的基本規(guī)律是研究其它形式振動(dòng)的基礎(chǔ)。掌握機(jī)械振動(dòng)的基本規(guī)律是研究其它形式振動(dòng)的基礎(chǔ)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)（簡(jiǎn)諧振動(dòng)（simple harmonic vibration) 是最簡(jiǎn)單、是最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)理想模型。它是研究各種復(fù)雜振動(dòng)的重要基礎(chǔ)最基本的振動(dòng)理想模型。它是研究各種復(fù)雜振動(dòng)的重要基礎(chǔ)。動(dòng)力學(xué)特征以物體受力為零的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)以物體受力為零的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)水平光滑面，彈簧勁度水平光滑面，彈簧勁度 質(zhì)量可忽略，物體質(zhì)量質(zhì)量可忽略，物體質(zhì)量物體在任一位物體在任一位置受的彈性力置受的彈性力以鉛垂方向以鉛垂方向 為擺

3、角參考軸，為擺角參考軸， 單擺在任一角位置單擺在任一角位置 所受的重力矩為所受的重力矩為則取擺幅很小取擺幅很小X正X向反X向運(yùn)動(dòng)學(xué)特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度A簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度A應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，同理也可求得單擺的角振動(dòng)方程應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，同理也可求得單擺的角振動(dòng)方程X簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程對(duì)于給定的彈簧振子對(duì)于給定的彈簧振子 為常量，其比值亦為常量。為常量，其比值亦為常量。令令則則即即得得A為微分方程求解時(shí)的積分常量，由系統(tǒng)的為微分方程求解時(shí)的積分常量，由系統(tǒng)的初始條件決定初始條件決定。簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程A該微分方程的解該微分方程的解通常表成余弦函數(shù)通常表成余弦

4、函數(shù)續(xù)4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度AA簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度AAA最大最大最大AAA簡(jiǎn)諧振動(dòng)參量XAA振幅振幅 ： 的最大絕對(duì)值的最大絕對(duì)值A(chǔ)周期周期：完成一次振動(dòng)需時(shí)完成一次振動(dòng)需時(shí)頻率頻率：角頻率角頻率：彈簧振子彈簧振子單單 擺擺AA相位相位 ：是界定振子在時(shí)刻是界定振子在時(shí)刻 的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量運(yùn)動(dòng)狀態(tài)要由位置運(yùn)動(dòng)狀態(tài)要由位置 和速度和速度 同時(shí)描述，而同時(shí)描述，而 和和 的正負(fù)取決于的正負(fù)取決于 ，不是指開始振動(dòng)，而是指開始觀測(cè)和計(jì)時(shí)。，不是指開始振動(dòng)，而是指開始觀測(cè)和計(jì)時(shí)。所謂時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)AA位置位

5、置速度速度初始條件即為初始條件即為初相初相 ：是時(shí)，振子的相位。時(shí)，振子的相位。續(xù)6由由 和和 求給定振子的振幅求給定振子的振幅AAAA消去 得初相初相 由由 和和 求給定振子的求給定振子的AAA消去 得但由于但由于 在在 0 20 2p p 范圍內(nèi)，范圍內(nèi)，同一正切值對(duì)應(yīng)有兩個(gè)同一正切值對(duì)應(yīng)有兩個(gè) 值值，因此，還必須再，因此，還必須再根據(jù)根據(jù) 和和 的正負(fù)進(jìn)行判斷的正負(fù)進(jìn)行判斷。聯(lián)系振子運(yùn)動(dòng)。聯(lián)系振子運(yùn)動(dòng)直觀圖不難作出判斷直觀圖不難作出判斷且若則若且則且若則且若則（第一象限）（第一象限）（第二象限）（第二象限）（第三象限）（第三象限）（第四象限）（第四象限）旋轉(zhuǎn)矢量法AAXXOjM ( 0

6、)Aj初相M ( t )twtwM ( t )twM ( t )twM ( t )M ( t )twM ( t )twM (T )Tw周期 TM ( t )twM ( t )twXOjM ( 0 )j初相M ( t )twA矢量端點(diǎn)矢量端點(diǎn)在在X X 軸上軸上的投影對(duì)的投影對(duì)應(yīng)振子的應(yīng)振子的位置坐標(biāo)位置坐標(biāo)t 時(shí)刻的振動(dòng)相位(w w tj j ) )旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量A以勻角速逆時(shí)針逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)循環(huán)往復(fù)x = A cos (w w tj j ) )簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程續(xù)8旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn) M M 作勻速圓周運(yùn)動(dòng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)振子的運(yùn)動(dòng)振子的運(yùn)動(dòng)速度速度（與與 X 軸同向?yàn)檎S同向?yàn)?/p>

7、正）wA其其 速率速率wAjtwAXAAXOwjtwO 旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn) MM 的加速度為的加速度為法向加速度，其大小為法向加速度，其大小為wA振子的運(yùn)動(dòng)加速度（與與 X 軸同向?yàn)檎S同向?yàn)檎﹚Ajtw和任一時(shí)刻的 和 值，其正負(fù)號(hào)僅表示方向。同號(hào)時(shí)為加速同號(hào)時(shí)為加速異號(hào)時(shí)為減速異號(hào)時(shí)為減速例一0.040.0412簡(jiǎn)諧振動(dòng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的曲線曲線完成下述簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程完成下述簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程A = 0.04 (m)T = 2 (s)w w = 2 p / p / T T = p p (rad /s )0.04p pp p2Aw w= p p / 2 t = 0v0 從從 t = 0 作反時(shí)針旋

8、轉(zhuǎn)時(shí)，作反時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，A矢端的投影從矢端的投影從x=0向向X軸的負(fù)方運(yùn)動(dòng)，軸的負(fù)方運(yùn)動(dòng)，即即 ，與，與 已知已知 X t 曲線一致。曲線一致。v0SI 試證明，若選取受力平衡點(diǎn)作為位置坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直彈簧試證明，若選取受力平衡點(diǎn)作為位置坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直彈簧振子與水平彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程和振動(dòng)方程相同。振子與水平彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程和振動(dòng)方程相同。平衡點(diǎn)在受力平衡點(diǎn)小球受彈性力大小選取受力平衡點(diǎn)作為位置坐標(biāo)原點(diǎn)選取受力平衡點(diǎn)作為位置坐標(biāo)原點(diǎn)小球在位置坐標(biāo)小球在位置坐標(biāo) 處所受彈性力處所受彈性力合外力合外力動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程微分方程微分方程的解：振動(dòng)方程振動(dòng)方程A均與水平彈簧振子結(jié)果相同均與水平彈簧

9、振子結(jié)果相同例二例三彈簧振子x0 = 0t = 0 時(shí)v0 = 0.4 ms -1m = 510 - -3 kgk = 210 - -4 Nm -1 完成下述簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程完成下述簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程km0.2 (rad s 1)x0v02 (m)20.2(SI)v0 x0 = 0已知w w相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量圖為v0例四某物體沿 X 軸簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)， 振幅振幅 A = = 0.12 m，周期周期 T = 2 s，t = 0 時(shí)x0 = 0.06 m處初相 j j , ,t = 0 .5 s 時(shí)的位置 x, 速度 v, 加速度 a物體背離原點(diǎn)背離原點(diǎn)移動(dòng)到位置A = 0.12 m，T = 2 s , w

10、w = 2p / p / T = p p rad s - -1 , 將j j = p / 3 p / 3 rad 及 t = 0 .5 s 代入諧振動(dòng)的代入諧振動(dòng)的 x, v, a 定義式定義式得x A cos (w w tj j ) )0.104 (m)A0.19 ( m s - -1 )A1.03 ( m s - -2 )x = A cos (w w tj j ) )由簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程由簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程t = 0 時(shí)0.06 = 0.12 cos j j 得 j j =p / 3p / 3再由題意知再由題意知 t = = 0 時(shí)時(shí)物體正向運(yùn)動(dòng)，即物體正向運(yùn)動(dòng)，即A0且j j = p / 3p /

11、3，則 j j 在第四象限第四象限，故取例五Acos Acos 或因且在第一象限應(yīng)取Acos Acos 兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位差兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位差從旋轉(zhuǎn)矢量圖可以看出：從旋轉(zhuǎn)矢量圖可以看出：時(shí)，質(zhì)點(diǎn)1第一次通過平衡點(diǎn)A轉(zhuǎn)過1.06 (s)A轉(zhuǎn)過時(shí)，質(zhì)點(diǎn)2第一次通過平衡點(diǎn)2.13(s)周期均為 T = 8.5s 用旋轉(zhuǎn)矢量法兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位差兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位差兩質(zhì)點(diǎn)第一次通過兩質(zhì)點(diǎn)第一次通過平衡點(diǎn)的時(shí)刻平衡點(diǎn)的時(shí)刻兩質(zhì)點(diǎn) 1、2同在 X 軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)t = 0 時(shí) 在 處 質(zhì)點(diǎn)2 AA向平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)向平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)1在 處向平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)向平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)振幅 A 相同相同AA22sindtdJJmghJ為為m繞繞O點(diǎn)

12、轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 復(fù)擺（物理擺）復(fù)擺（物理擺）可見，復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)可見，復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)也滿足諧振動(dòng)方程也滿足諧振動(dòng)方程。且其圓頻率與周期為且其圓頻率與周期為 COmghOC mghJTp2Jmgh0w022Jmghdtd當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)sin簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判斷式簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判斷式平平 動(dòng)動(dòng) 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 動(dòng)動(dòng)BMkxF合合2222dtdJJMdtxdmmaF合合00222222wdtdxdtxdJBmk22w)cos()cos(00jjwttAx振動(dòng)能量 （以X X= =0 0處為零勢(shì)點(diǎn)）系統(tǒng)的系統(tǒng)的 動(dòng)能動(dòng)能A系統(tǒng)的系統(tǒng)的 勢(shì)能勢(shì)能A系統(tǒng)的系統(tǒng)的 機(jī)械能機(jī)械能AA振子運(yùn)動(dòng)速度AA簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程振動(dòng)系統(tǒng)：

13、振動(dòng)系統(tǒng)： 彈簧勁度彈簧勁度振子質(zhì)量振子質(zhì)量振動(dòng)角頻率如 水平彈簧振子均隨時(shí)間而變且能量相互轉(zhuǎn)換變到最大最大時(shí)變?yōu)榱懔阆到y(tǒng)的機(jī)械能機(jī)械能守恒。及A變?yōu)榱懔阕兊阶畲笞畲髸r(shí)時(shí)時(shí) 間間能能 量量例六動(dòng)能動(dòng)能A 勢(shì)能勢(shì)能A則則其中其中得得當(dāng)當(dāng)時(shí)振動(dòng)相位振動(dòng)相位或或一水平彈簧振子彈簧勁度振子質(zhì)量振幅 A沿X X軸振動(dòng) 當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)的以平衡點(diǎn)為原點(diǎn)位置坐標(biāo)位置坐標(biāo) x 相等時(shí)相等時(shí) 動(dòng)能值與勢(shì)能值 振子的振子的A代入代入中，解得中，解得能量能量位置位置例例2 有一水平彈簧振子。有一水平彈簧振子。K=24N/m ，重物質(zhì)量，重物質(zhì)量m=6kg，靜止在，靜止在平衡位置。設(shè)以一平衡位置。設(shè)以一水平恒力水平恒力F=

14、10N作用于物體作用于物體（不計(jì)摩擦），（不計(jì)摩擦），使之使之從平衡位置向左運(yùn)動(dòng)了從平衡位置向左運(yùn)動(dòng)了0.05m，此時(shí)撤去力，此時(shí)撤去力F。當(dāng)重物。當(dāng)重物運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)到左方最遠(yuǎn)位置時(shí)開始計(jì)時(shí)到左方最遠(yuǎn)位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，求：振子的，求：振子的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程。221kA?5 . 0WJFS解：外力的功：s/radmk.A22040wAx0又)(2cos(204. 0SItxpXOA?A！Apj例七該擺動(dòng)系統(tǒng)的該擺動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒數(shù)學(xué)表達(dá)式機(jī)械能守恒數(shù)學(xué)表達(dá)式該擺的該擺的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程及擺動(dòng)周期運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程及擺動(dòng)周期動(dòng)能動(dòng)能 剛體（直棒）轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體（直棒）轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 勢(shì)能勢(shì)能 系統(tǒng)的重力勢(shì)能系統(tǒng)的重

15、力勢(shì)能以垂態(tài)直棒中心點(diǎn)以垂態(tài)直棒中心點(diǎn) C 為重力零勢(shì)點(diǎn)為重力零勢(shì)點(diǎn)令機(jī)械能機(jī)械能守恒，即機(jī)械能守恒，即 為恒量，為恒量，即得 簡(jiǎn)諧角振動(dòng)微分方程簡(jiǎn)諧角振動(dòng)微分方程該擺的振動(dòng)周期該擺的振動(dòng)周期勻質(zhì)細(xì)直懸棒勻質(zhì)細(xì)直懸棒質(zhì)量質(zhì)量 m、長(zhǎng)長(zhǎng) L在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)擺幅很小擺幅很小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量振動(dòng)合成一且 相同同在 X X 軸合成振動(dòng)用旋轉(zhuǎn)矢量法可求得合成振動(dòng)方程用旋轉(zhuǎn)矢量法可求得合成振動(dòng)方程與與計(jì)時(shí)起始時(shí)刻有關(guān)計(jì)時(shí)起始時(shí)刻有關(guān)合成初相合成初相分振動(dòng)初相差分振動(dòng)初相差與計(jì)時(shí)起與計(jì)時(shí)起始時(shí)刻無關(guān)始時(shí)刻無關(guān)，但它對(duì)合成振幅，但它對(duì)合成振幅屬屬相長(zhǎng)相長(zhǎng)or相消合成起決定作用相消合成起決定作用續(xù)1

16、8合振動(dòng)合振動(dòng)分振動(dòng)分振動(dòng)；其中，合振幅其中，合振幅若若則為合振幅可能達(dá)到的最大值為合振幅可能達(dá)到的最大值若則若為其它值，則 處于與之間若若則為合振幅可能達(dá)到的最小值為合振幅可能達(dá)到的最小值若則 例例1 試用最簡(jiǎn)單的方法求出下列試用最簡(jiǎn)單的方法求出下列兩組兩組簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后所得簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后所得合振動(dòng)的振幅合振動(dòng)的振幅： 第一組：第一組：第二組：第二組：0.05cos(3t+/3)mx1=0.05cos(3t+7/3)mx2=0.05cos(3t+/3)mx1=0.05cos(3t+4/3)mx2=A = A1+A2= 0.05 + 0.05 =0.10(m)A = A1-A2= 0=3732

17、解：第一組：解：第一組：=343第二組第二組例例2 三個(gè)同方向、同頻率的諧振動(dòng)為三個(gè)同方向、同頻率的諧振動(dòng)為試?yán)迷嚴(yán)眯D(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法求出求出合振動(dòng)的表達(dá)式合振動(dòng)的表達(dá)式。x0.1cos(10t+/6)m1=0.1cos(10t+/2)mx2=0.1cos(10t+5/6)mx3=解：解：=A1A2A3=0.1=563=22=61A2A2A1A3A1xo3+=A1A3A +=A2A=A+A1A2A3+=A1A2=0.2=20.2cos(10t+/2)mx=例例3 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng): 試求：試求：其合振動(dòng)的振幅和初相位其合振動(dòng)

18、的振幅和初相位(式中式中x以以m計(jì)計(jì), t 以以s計(jì)計(jì)) 。 0.04cos(2t+/6)mx1=0.03cos(2t-5/6)mx2=0.01m2A1A2cos()+=A22A1A221=(0.04)2+(0.04)2+20.040.03cos(-)解：解：arc tg+=1A1sin2A2sin1A1cos2A2cos+()+arc tg=230.04210.04210.04()+ 0.0423()3arc tg=1=6例八0.050.060.07簡(jiǎn)諧振動(dòng)(SI)(SI)(SI)合成的和合成的 最大時(shí)合成的 最小時(shí)8.9210 2 (m)0.92868 12248 12(舍去）時(shí)當(dāng)?shù)煤铣傻?/p>