結構力學第5章5-5(華南理工)

1、5-5 圖乘法圖乘法 圖乘法及其應用條件圖乘法及其應用條件 1ikikM MdsM M dxEIEI xyO iMxtaniMx 因此：因此：tanBBikkAAM M dxx M dx kMdxCA0 x0BkAx M dxA x 0y00tanBikAM M dxAxAy 積分化為積分化為: 01BikAM MdxAyEIEI 正負號規(guī)則正負號規(guī)則: A與與y0 在同一邊時為正在同一邊時為正, 否則為負。否則為負。 只適用于等截面直桿只適用于等截面直桿; 至少有一個彎矩圖是直線圖形至少有一個彎矩圖是直線圖形; y0只能取自直線圖形只能取自直線圖形; 可采用分段圖乘的可采用分段圖乘的 方法解

2、決不滿足上述適方法解決不滿足上述適 用條件的桿件和彎矩圖。用條件的桿件和彎矩圖。2. 幾種常見簡單圖形的面積與形心位置：幾種常見簡單圖形的面積與形心位置： 直角三角形直角三角形 三角形三角形 二次拋物線二次拋物線 122313AhlAhl 二次拋物線二次拋物線 123414AhlAhl 三次拋物線三次拋物線 應用圖乘法時的幾個具體問題應用圖乘法時的幾個具體問題 如果兩個圖形都是直線如果兩個圖形都是直線, 則標距則標距y0可取自其中任一個圖形?？扇∽云渲腥我粋€圖形。 如果一個圖形是曲線如果一個圖形是曲線, 另一個圖形是由幾段直線組成的折另一個圖形是由幾段直線組成的折 線線, 則應分段考慮。則應分

3、段考慮。112233ikM M dxA yA yA y 如果兩個圖形都是梯形如果兩個圖形都是梯形, 可以不求梯形面積的形心可以不求梯形面積的形心, 而把一而把一 個梯形分為兩個三角形個梯形分為兩個三角形(也可分為一個矩形和一個三角形也可分為一個矩形和一個三角形), 分分 別應用圖乘法。別應用圖乘法。 1A1y12133ycd2A2y21233ycd1122ikM M dxA yA y 如果直線圖具有正號和負號：如果直線圖具有正號和負號：1A1y12133ycd2A2y22133ydc(與與A1 反側反側) (與與A2 反側反側) 桿件受端彎矩和均布荷載共同作用下彎矩圖的分解桿件受端彎矩和均布荷

4、載共同作用下彎矩圖的分解: 28ql28qlxPMM 0MdxM 0M 桿件受端彎矩和均布荷載共同作用下彎矩圖的分解桿件受端彎矩和均布荷載共同作用下彎矩圖的分解: 例例1 求求B端轉角端轉角 解：解： 虛設單位荷載。虛設單位荷載。 1 作作 、 圖。圖。 PMM218ql1 求位移（用圖乘法）。求位移（用圖乘法）。 A0yP01dMMxAyEIEI 2312138224qlqllEIEI 例例2 求中點求中點C的撓度的撓度C 解：解： 虛設單位荷載。虛設單位荷載。 PF l2l 求位移（用圖乘法）。求位移（用圖乘法）。 A6l0y212228lllA 0P56yF l P01dCMMxAyEI

5、EI 32PP5158648F llF lEIEI1用另一種方法進行圖乘：用另一種方法進行圖乘： 2PP1122AF llF l 01326lly 這種算法錯在哪里？這種算法錯在哪里？ 答：豎標答：豎標y0不能在折線圖中取。不能在折線圖中取。 PF lA0y3lP01dCMMxAyEIEI 32PP5158648F llF lEIEI 32P01112612CPF llAyF lEIEIEI2l例例3 求結點求結點B的水平位移的水平位移 (只考慮彎曲變形的影響只考慮彎曲變形的影響)。 解：解： 虛設單位荷載。虛設單位荷載。 1ql2ql2ql22ql111l 求位移。求位移。 1A1y2311

6、,224qlqlAl 123yl 2A2y2321,224qlqlAl 223yl 3A3y2332,3812qlqlAl 312yl 例例3 求結點求結點B的水平位移的水平位移 (只考慮彎曲變形的影響只考慮彎曲變形的影響)。 1ql2ql2ql22ql111l1A1y2A2y3A3y2311,224qlqlAl 123yl 2321,224qlqlAl 223yl 2332,3812qlqlAl 312yl PMMdsEI 1122331A yA yA yEI3331224343122qlqlqllllEI 438qlEI438MqlEI1ql2ql2ql111438MqlEI例例4 分析分

7、析軸向變形軸向變形對結點對結點B水平位移水平位移 的影響。的影響。 2ql1NNPdNF FsEA NNPF F lEA 2122qlqllEAEA 24234283NMqlqlIEAEIAl 對于矩形截面對于矩形截面: 3,12bhIAbh 222199NMhhll 例例5 求截面求截面C的轉角的轉角, 各桿各桿EI為常數(shù)為常數(shù), 彈簧剛度彈簧剛度: 33EIKl l l/2FP ABCl/2K解：解： 施加單位力偶；施加單位力偶；11(2)PMM作作彎彎矩矩圖圖和和；P4F lP2F lPM 圖圖PC2yFF 11C1yFl 1M 圖圖 求位移求位移:PP11211223242CF lF

8、lllEI P112FlK 2P16F lEI ( ) 1A1y2A2y彈簧受壓彈簧受壓, C點向下位移點向下位移 C點受到向點受到向上的作用力上的作用力 例例5-4 求圖示懸臂梁求圖示懸臂梁C點的豎向位移點的豎向位移, 設設EI=常數(shù)。常數(shù)。 解：解： 作荷載作用下的彎矩圖和單位作荷載作用下的彎矩圖和單位 荷載作用下的彎矩圖。荷載作用下的彎矩圖。 22ql2l1 MP圖圖 M圖圖 用圖乘法求位移。用圖乘法求位移。方法一：方法一： 28ql28ql24ql28ql28ql24ql28ql1A2A3A例例5-4 求圖示懸臂梁求圖示懸臂梁C點的豎向位移點的豎向位移, 設設EI=常數(shù)。常數(shù)。 解：解

9、： 作荷載作用下的彎矩圖和單位作荷載作用下的彎矩圖和單位 荷載作用下的彎矩圖。荷載作用下的彎矩圖。 用圖乘法求位移。用圖乘法求位移。22ql2l1 MP圖圖 M圖圖 28ql28ql24ql28ql1y2y1A2A3A3y231,2816qlqllA 11224lly 2321,22416qlqllA 22323lly 2331,32848qlqllA 333428lly 1122331yCAyAyAyEI33313164163488qlqlqllllEI 417384qlEI C417384yqlEI 例例5-4 求圖示懸臂梁求圖示懸臂梁C點的豎向位移點的豎向位移, 設設EI=常數(shù)。常數(shù)。

10、22ql2l1 MP圖圖 M圖圖 28ql C417384yqlEI 方法二：方法二： q22ql28ql22ql28ql22ql28qlq232ql1A2A3A1y2y3y231128232qlqllA 113 26lly 23212228qlqllA 223 23lly 23323 32 296qlqllA 312 24lly 112233C1yAyAyAyEI 417384qlEI例例5-4 求圖示懸臂梁求圖示懸臂梁C點的豎向位移點的豎向位移, 設設EI=常數(shù)。常數(shù)。 22ql2l1 MP圖圖 MP圖圖 28ql C417384yqlEI 112233C1yAyAyAyEI 417384

11、qlEI直接利用直接利用P.119的式的式(f)進行計算進行計算: P1226lMM dsacbdadbcEIEI22,0282qlqllabcd22200122282yCqlqllllEI2121323222qlllEI 417384qlEI例例5-5 求圖示組合結構求圖示組合結構K點的豎向位移。點的豎向位移。 已知：已知： 5442.1 10 MPa,1.6 10 mEI CD桿：桿： 425.0 10 mA 1 160kNm 120kN 1m 0.5 MP圖、圖、FNP M圖、圖、FN 解解: 虛設力狀態(tài)虛設力狀態(tài); 作荷載作用下的彎矩圖和軸力圖作荷載作用下的彎矩圖和軸力圖; 作單位荷載

12、作用下的彎矩圖和軸力圖作單位荷載作用下的彎矩圖和軸力圖; 求求K點的豎向位移。點的豎向位移。 mmN m311141160 1022yKEI 311120 10 N2m2EAN mMPam3544160 102.1 101.6 10 N mMPam3542120 102.1 105.0 10 m33.62 10( ) 例例5-6 求圖示剛架求圖示剛架B點的水平位移和點的水平位移和 鉸鉸F左、右桿件截面的相對轉角。左、右桿件截面的相對轉角。 解：解： 求求B點的水平位移。點的水平位移。 PMM(1)(1)作作和和圖圖。505025351020 MP圖圖 (kNm) 110m10m10m10m20

13、mM圖圖 用圖乘法求用圖乘法求B 點的水平位移點的水平位移: 505025351020 MP圖圖 (kNm) 110m10m10m10m20mM圖圖 1A1y115m50kN m,2A 1510m6y 252A2y215m25kN m,2A 2210m3y 3A315m25kN m,3A 3310m4y 3y4A4y42,AA 42yy 5A5y5110m 10kN m,2A 5410kN3y 6A6y6110m20kN m,2A 6510m3y 用圖乘法求用圖乘法求B 點的水平位移點的水平位移: 7A715m35kN m2A 70y 33188kN mxBEI 2M圖圖 505025351020 MP圖圖 (kNm) 1A252