一函數(shù)的概念01ppt課件

1、一、一、 函數(shù)的概念函數(shù)的概念二、二、 函數(shù)的特性函數(shù)的特性五、五、 小結與思索判別題小結與思索判別題三、三、 函數(shù)的運算函數(shù)的運算四、四、 初等函數(shù)初等函數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 函函 數(shù)數(shù)因變量因變量自變量自變量定義1 設 和 是兩個變量， 是一個給定的數(shù)集，假設對于每個數(shù) ，變量 按照一定法那么總有確定的數(shù)值和它對應，那么稱 是 的函數(shù)，記作DxyDx yyx)(xfy 數(shù)集數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域叫做這個函數(shù)的定義域函數(shù)值全體組成的數(shù)集函數(shù)值全體組成的數(shù)集0 x當當 時，稱時，稱 為函數(shù)在為函數(shù)在 的函數(shù)值的函數(shù)值.Dx 0)(0 xf),(DxxfyyW 稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的值域.一、函

2、數(shù)的概念()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對應法那對應法那么么f1. 1. 函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: : 定義域與對應法那么定義域與對應法那么. .xyDW商定商定 定義域是自變量所能取的使算式有意義定義域是自變量所能取的使算式有意義的一真實數(shù)值的一真實數(shù)值. .211xy )1 , 1( : D例如例如21xy 1 , 1 : D例如例如假設自變量在定義域內任取一個數(shù)值時，對應的函數(shù)值總是只需一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否那么叫與多值函數(shù)函數(shù)的表示方法：函數(shù)的表示方法：1表格法2圖形法3解析法 2. 單值函數(shù)與多值函數(shù),222ayx 22xay 例如例如 例1 符號函數(shù) 010

3、001sgnxxxxy當當當當當當3. 幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyoxxx sgn 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線例2 取整函數(shù) y=xx表示不超越 的最大整數(shù).x在在 為整數(shù)值處為整數(shù)值處,圖形發(fā)生騰躍圖形發(fā)生騰躍,躍度為躍度為1.x 是無理數(shù)時是無理數(shù)時當當是有理數(shù)時是有理數(shù)時當當xxxDy01)(有理數(shù)點有理數(shù)點無理數(shù)點無理數(shù)點1xyo例3 狄利克雷函數(shù)假設函數(shù)在不同的定義區(qū)間上用不同的解析式假設函數(shù)在不同的定義區(qū)間上用不同的解析式子表示稱為分段函數(shù)子表示稱為分段函數(shù),例例1至例至例3均是分段函數(shù)均是分段函數(shù).二、函數(shù)

4、的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界無界無界M-MyxoX0 x,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX 1.函數(shù)的有界性.)(否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Xxf2函數(shù)的單調性:,)(DIDxf區(qū)區(qū)間間的的定定義義域域為為設設函函數(shù)數(shù),2121時時當當及及上任意兩點上任意兩點如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間xxxxI;)(上上是是單單調調增增加加的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf) 1 ( )()( 21xfxf恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上是單調減少的上是單調減少的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ix

5、f,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設函數(shù)設函數(shù)時,時,當當及及上任意兩點上任意兩點如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間2121,xxxxI)2( )()( 21xfxf恒恒有有例如例如, ,函數(shù)函數(shù) 在在 內是單調添內是單調添加的加的. .如下圖如下圖. .3)(xxf ),(例如例如, ,函數(shù)函數(shù) 在在 內是單調減少內是單調減少的的, ,在在 內是單調添加的內是單調添加的. .如下圖如下圖. .2)(xxf )0 ,(), 0(3函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)有有對對于于關關于于原原點點對對稱稱設設,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為為偶偶函函數(shù)數(shù)稱

6、稱xf偶函數(shù)的圖形關于偶函數(shù)的圖形關于 軸對稱軸對稱.y有有對于對于關于原點對稱關于原點對稱設設,DxD )()(xfxf ;)(為為奇奇函函數(shù)數(shù)稱稱xf奇函數(shù)奇函數(shù) )( xf yx)(xfox-x)(xfy 奇函數(shù)的圖形對稱于原點奇函數(shù)的圖形對稱于原點. .不滿足上述性質的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)不滿足上述性質的函數(shù)為非奇非偶函數(shù).例如例如 與 是奇函數(shù)；xxfsin)( 3)(xxf 與 是偶函數(shù)；2)(xxf xxfcos)(1sin)(xxfxxxfcossin)( 與是非奇非偶函數(shù)是非奇非偶函數(shù).4函數(shù)的周期性:通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期.,

7、)(Dxf的定義域為的定義域為設函數(shù)設函數(shù)如如果果存存在在一一個個不不為為零零的的.)()(恒成立恒成立且且xflxf 為周為周則稱則稱)(xf.)( ,DlxDxl 使得對于任一使得對于任一數(shù)數(shù).)(,的周期的周期稱為稱為期函數(shù)期函數(shù)xfl2l 2l23l 23l例如例如函數(shù)函數(shù) 都是以都是以 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). .,sin xxcos 2函數(shù)函數(shù) 都是以都是以為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). .,tan x,cot x |,sin|x|cos|x并非一切的周期函數(shù)都有最小正周期并非一切的周期函數(shù)都有最小正周期.例如函數(shù)例如函數(shù) ( 為常數(shù)為常數(shù))及狄利克雷及狄利克雷(Di

8、richlet)函數(shù)函數(shù)cxf )(c為有理數(shù)為有理數(shù) 01)(xD為無理數(shù)為無理數(shù)xx均為周期函數(shù)均為周期函數(shù),但沒有最小正周期但沒有最小正周期.三、函數(shù)的運算對函數(shù)除了可以作加，減，乘，除四那么運算對函數(shù)除了可以作加，減，乘，除四那么運算之外，還有復合運算與求反函數(shù)的運算之外，還有復合運算與求反函數(shù)的運算. .定義2 設函數(shù))(ufy )(xgu 的定義域與的值域的交集非空，那么)(xgfy 是),(ufy )(xgu 的復合函數(shù).例如例如2xyarcsin 可看作由可看作由2xuuy ,arcsin復合而成復合而成.注：不是任何函數(shù)都可以復合成一個函數(shù)。注：不是任何函數(shù)都可以復合成一個函

9、數(shù)。例4 設 ,sin)(,)(2xxguufy 求求).(xgf解由于由于 的值域的值域xxgusin)( .1 , 1)( Dg的定義域的定義域 為為2)(uufy fD).,( 顯然顯然,)(fDDg 故可進展復合運算，即故可進展復合運算，即xxfxgf2sin)(sin)( 例5 設 ,sin)(,)(2xxxxf 求求).(),(),(),(xxfxffxf 解解顯然給出的函數(shù)符合復合的條件，因此顯然給出的函數(shù)符合復合的條件，因此;sin)()(22xxxf ;)()()(4222xxxfxff ;sin)(sin)(2xxfxf ).sin(sin)(sin)(xxx 例6 設 ,

10、 2)(,arcsin)(2 xxuuufy 求求).(xf 的定義域的定義域 為為uufarcsin)( fDfDD )(,1 , 1 是沒有意義的是沒有意義的.不滿足復合函數(shù)定義的條件，從而不滿足復合函數(shù)定義的條件，從而)2arcsin()(2 xxf ，2)(2 xx 由由于于解), 2)( D 例7 知 求,1)1(22xxxxf ).(xf解2)1(1)1(222 xxxxxxf由于由于故故. 2)(2 xxf例8 函數(shù) 是由哪些函數(shù)復合而成的.21lnxy 解顯然，顯然，21lnxy 是由是由21,lnxvvuuy 復合而成復合而成.定義3 設函數(shù) 的值域為 ，假設對于每一個 ，根

11、據(jù)關系 能確定獨一的 ，那么稱得到的新函數(shù) 為 的反函數(shù).亦稱 與 互為反函數(shù).函數(shù)的反函數(shù)常記為Dxxfy ),(RRy )(xfy Dx )(xx )(xfy )(xfy )(xx ).(1xfy 相對于反函數(shù) 來說，原來的函數(shù)稱為直接函數(shù).它們圖形的關系如下所示.)(1xfy xyDW)(xfy 函函數(shù)數(shù)oxyDW)(yx 反反函函數(shù)數(shù)o)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反函數(shù)反函數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關于直線 對稱.xy 函數(shù) 在 上沒有反函數(shù)，但在 及 上分別有反函數(shù) 及 .2xy ),( 0 ,(), 0 yx yx 又 在 上沒有反函數(shù)， 只

12、是在 上的反函數(shù).2xy ),( yxarcsin )2,2 例9 求函數(shù) 的反函數(shù).)(21)(xxeexf 解解那那么么令令),(21xxeey 0122 xxyee12 yyex( (舍去舍去“- -) )1ln(2 yyx將字母將字母 與與 互換互換, ,得得yx)1ln(2 xxy)1ln()(21 xxxf即即1.根本初等函數(shù)cxyO1 1常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)cy 如以下圖所如以下圖所示示. .四、初等函數(shù)2.冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 3.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0(

13、 xey 4.對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù). .5.三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc 它們均為周期函數(shù)，它們均為周期函數(shù)， 和和 有界有界. .其他三其他三角函數(shù)無界角函數(shù)無界. . 為奇函數(shù)，為奇函數(shù)， 為偶函數(shù)為偶函數(shù). . ,sin

14、 xxcos,sin x,tan xxcsc,cos x,cot xxsec6.反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)xyarctan xyarctan 反反正正切切函函數(shù)數(shù)xycot 反反余余切切函函數(shù)數(shù)arc 是單調遞增的,xarcsin,arctan x是單調遞減的，是單調遞減的，,arccosxxarccot它們均為有界函數(shù)它們均為有界函數(shù). .2.初等函數(shù) 由根本初等函數(shù)經(jīng)有限次四那么運算和有限次復合運算所得到的并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).例如,1)(2xxxf ),1(log)

15、1(2)(21sin2xxxgx 111arctan21sin)(2222 xxxexx 設 都是初等函數(shù)，那么冪指函數(shù)也是初等函數(shù).)(),(xvxu)()(xvxu運用上還常遇到另一種初等函數(shù)運用上還常遇到另一種初等函數(shù). .雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)xycosh xysinh 1.雙曲函數(shù)xey21 xey 212sinhxxeex 雙雙曲曲正正弦弦奇函數(shù)奇函數(shù). .),(: D在在 內單調添加內單調添加. .),( ),(: D2coshxxeex 雙曲余弦雙曲余弦偶函數(shù)偶函數(shù). .在在 內單調減少內單調減少. .)0 ,( 在在 內單調添加內單調添加. .), 0( xxxxeeeexxx

16、 coshsinhtanh雙雙曲曲正正切切奇函數(shù)奇函數(shù), ,),(:D有界函數(shù)有界函數(shù), ,在在 內單調添加內單調添加. .),( 雙曲函數(shù)常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 2.反雙曲函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù),),(:D.),(內單調增加內單調增加在在;sinh xy 反雙曲正弦反雙曲正弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy.), 1內單調增加內單調增加在在), 1 : D y反反雙雙曲曲余余弦弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y.11ln21xx )1 , 1(: D奇函數(shù)奇函數(shù), ,.)1 , 1(內單調增加內單調增加在在 y反雙曲正切反雙曲正切tanharxytanh arxtanharx y五 小結與思索判別題1.函數(shù)的分類 非初等函數(shù)非初等函數(shù)( (分段函數(shù)