考慮相關(guān)失效的連續(xù)系統(tǒng)單元化時(shí)變可靠性模型

1、考慮相關(guān)失效的連續(xù)系統(tǒng)單元化時(shí)變可靠性模型郝廣波,謝里陽(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,遼寧 沈陽 110004摘 要:將連續(xù)系統(tǒng)離散成單元,將其當(dāng)成一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)來看待,詳細(xì)分析了連續(xù)系統(tǒng)材料強(qiáng)度分散性的兩種影響因素:材料的自身不均勻性以及材料制造質(zhì)量的不穩(wěn)定性,通過次序統(tǒng)計(jì)量建立了系統(tǒng)級(jí)的相關(guān)失效可靠性模型,并應(yīng)用Monte Carlo 法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。同時(shí),應(yīng)用時(shí)齊泊松隨機(jī)過程來模擬連續(xù)系統(tǒng)所受到的載荷作用,并考慮強(qiáng)度隨時(shí)間的退化,最終建立了考慮相關(guān)失效的連續(xù)系統(tǒng)時(shí)變可靠性模型。研究表明:連續(xù)系統(tǒng)的失效概率隨時(shí)間的變化不斷的增大,而且系統(tǒng)的失效率曲線呈“浴盆”形狀。關(guān)鍵詞:連續(xù)系統(tǒng);失

2、效概率;相關(guān)失效;強(qiáng)度分散性;次序統(tǒng)計(jì)量;隨機(jī)過程;Monte Carlo 中圖分類號(hào): V 215.7, TB114.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:ATIME-DEPENDENT RELIABILITY MODLE OF CONTINUOUS SYSTEM CONSIDERING DEPENDENCE-FAILURE BASED ON SEGMENT-PARTITONHAO Guang-bo XIE Li-yang(School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110004Abstr

3、act : Continuous system is considered as series system after dividing the system into segments, two influence factors of material strength of continuous system are analyzed in detail like material inhomogeneity and material quality stability, and dependent failure reliability model of continuous sys

4、tem is established based on sequence statistics, which is validated by M onte Carlo. Besides, the process of load acting is described with Poisson stochastic process, strength degeneration is considered, and the time-dependent reliability model of system is established considering dependent failure.

5、 The result shows the failure probability of continuous system increases with time, and the failure rate curve is bathtub shape.Key words: continuous system; failure probability; dependent failure; strength decentralization; order statistics; stochastic process ;Monte Carlo基金項(xiàng)目:教育部博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20

6、050145027, 國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50775030。 作者簡介:郝廣波(1981-,男,遼寧莊河人,博士研究生; 謝里陽(1962-,男,安徽岳西人,東北大學(xué)教授,博士生導(dǎo)0 引言隨著工程設(shè)計(jì)水平的提高,對(duì)設(shè)備或系統(tǒng)的安全評(píng)定也提出了越來越高的定量的概率要求。系統(tǒng)失效概率分析與預(yù)測的理論、方法及模型大都是以電子系統(tǒng)或由泵、閥和繼電器等各種開關(guān)元件等所謂“主動(dòng)元件”構(gòu)成的系統(tǒng)為背景發(fā)展起來的。對(duì)于這樣的離散型系統(tǒng)(即系統(tǒng)很明顯地是由多個(gè)零件構(gòu)成的,且各元件都有清晰的邊界,目前已建立了較為完整的理論方法體系,可以根據(jù)元件的失效概率計(jì)算系統(tǒng)的失效概率。但在實(shí)際工程中有這樣一類一維長度很

7、大的工程結(jié)構(gòu)對(duì)象,如飛機(jī)液壓系統(tǒng)中的管道、天然氣石油管道、支撐橋上的鋼纜、抽油桿等。對(duì)其進(jìn)行可靠性分析與評(píng)價(jià)時(shí),如果簡單地將其看作一個(gè)元件,顯然難以對(duì)這樣的對(duì)象進(jìn)行計(jì)算或?qū)嶒?yàn),無法準(zhǔn)確給出其可靠性指標(biāo),然而將其作為一個(gè)系統(tǒng),但又沒有明顯的“元件”的概念。以管道失效概率模型為例, 多數(shù)模型都是針對(duì)結(jié)構(gòu)(事實(shí)上是將長管道當(dāng)作一個(gè)零件 具體的易損部位的13,或按“每單位長度·年”的失效概率進(jìn)行評(píng)價(jià)4。需要計(jì)算整條管道的故障頻率時(shí), 還須乘以一個(gè)長度系數(shù)進(jìn)行修正5,沒有可用的數(shù)學(xué)模型, 有文獻(xiàn)6用模糊故障樹方法分析天然氣長輸管道的模糊失效概率,Kolowrock 7也應(yīng)用漸進(jìn)的方法估計(jì)大尺度

8、的管道系統(tǒng)的可靠性問題(假定失效獨(dú)立。由于系統(tǒng)中一般存在多處可能發(fā)生失效的薄弱部位,且各部位是否失效又不是完全相關(guān)的,應(yīng)該用與離散系統(tǒng)失效概率分析類似的方法建立連續(xù)系統(tǒng)失效概率與其“元件”(人為劃分出的多個(gè)部分失效概率之間的關(guān)系模型。因此,為了研究問題的方便,將管道、鋼纜、抽油桿等都抽象為連續(xù)系統(tǒng),看作是一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng),方便對(duì)這一類工程對(duì)象進(jìn)行可靠性研究。雖然對(duì)于不同的研究對(duì)象,有不同的失效機(jī)理 (例如腐蝕、疲勞、磨損等。但是不管失效機(jī)理是怎樣的,只要建立了宏觀上合適的可靠性數(shù)學(xué)模型(廣義應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型,就能夠分析各種失效機(jī)理的結(jié)構(gòu)可靠性,易于應(yīng)用普及化。同時(shí),現(xiàn)在已經(jīng)認(rèn)識(shí)到,對(duì)機(jī)械系統(tǒng)而言

9、,“相關(guān)”是其失效的普遍特征,忽略系統(tǒng)中各零件失效的相關(guān)性,簡單地在系統(tǒng)各部分失效相互獨(dú)立地假設(shè)下進(jìn)行系統(tǒng)可靠性分析與設(shè)計(jì),常常會(huì)導(dǎo)致過大誤差,甚至得出錯(cuò)誤結(jié)論89。因此,把連續(xù)系統(tǒng)作為一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析時(shí), 就要考慮其各部分(管段 的失效相關(guān)性, 傳統(tǒng)獨(dú)立失效假設(shè)下的串聯(lián)系統(tǒng)可靠性模型不再適用。另外,一般情況下計(jì)算得到的系統(tǒng)可靠度實(shí)際上是隨機(jī)載荷作用一次或特定次數(shù)時(shí)的可靠度。但是,機(jī)械設(shè)備的服役時(shí)間一般都比較長,零件在服役期間所受隨機(jī)載荷的作用往往是反復(fù)多次的。在進(jìn)行零件的可靠性評(píng)價(jià)時(shí),忽略隨機(jī)載荷作用次數(shù)對(duì)零件可靠性的影響顯然會(huì)造成很大的誤差10。對(duì)于大多數(shù)機(jī)械產(chǎn)品而言,無論載荷是

10、一個(gè)簡單的恒幅循環(huán)載荷一時(shí)間歷程,還是一個(gè)復(fù)雜的隨機(jī)過程,在幅值域內(nèi),都意味著零件或結(jié)構(gòu)在服役期內(nèi)承受著隨機(jī)施加的多次載荷作用。施加多次的隨機(jī)載荷對(duì)產(chǎn)品的失效有兩方面的貢獻(xiàn):(1載荷的多次作用會(huì)對(duì)產(chǎn)品產(chǎn)生疲勞破壞(產(chǎn)品強(qiáng)度的疲勞退化,(2多次作用載荷的隨機(jī)性會(huì)使大載荷樣本出現(xiàn)的機(jī)率增加,加重產(chǎn)品的失效。由于連續(xù)系統(tǒng)在實(shí)際工作中經(jīng)常受到變化比較急劇、持續(xù)時(shí)間較短的載荷作用,有文獻(xiàn)1113認(rèn)為持續(xù)時(shí)間很短、呈現(xiàn)嚴(yán)格的間隔規(guī)律性的載荷,理論上可將其視為不同時(shí)間點(diǎn)的脈沖(即載荷的作用次數(shù)與時(shí)間有關(guān),并且服從泊松隨機(jī)過程。同時(shí),索清輝14等人,應(yīng)用時(shí)齊泊松隨機(jī)過程模擬機(jī)車車輛載荷作用過程,進(jìn)行工程結(jié)構(gòu)的

11、失效概率分析,王正10也詳細(xì)分析載荷作用次數(shù)的影響,運(yùn)用泊松隨機(jī)過程描述載荷的作用過程,建立了零件的動(dòng)態(tài)可靠性模型。因此本研究在進(jìn)行可靠性建模的過程中不做元件失效獨(dú)立的假設(shè),而將連續(xù)系統(tǒng)離散化成單元,著重討論連續(xù)系統(tǒng)的強(qiáng)度二重分散性,應(yīng)用泊松隨機(jī)過程來模擬連續(xù)系統(tǒng)所受到的載荷作用,并考慮強(qiáng)度隨時(shí)間的退化(如疲勞、表面之間的磨損、腐蝕、絕緣退化等,從系統(tǒng)的角度著手應(yīng)用廣義的應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型建立起連續(xù)系統(tǒng)時(shí)變可靠性模型。1 連續(xù)系統(tǒng)單元?jiǎng)澐忠约皬?qiáng)度分布假定把連續(xù)系統(tǒng)簡化為如圖1所示的長桿,并將其劃分成為n個(gè)單元,同時(shí)取出N根長度一致這樣的長桿進(jìn)行試驗(yàn), 如圖1所示。 圖1 N根長度一致的長桿Fi

12、g.1 N long bars with equal length為了討論連續(xù)系統(tǒng)材料強(qiáng)度的變化,可以通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)中計(jì)算出材料強(qiáng)度的均值和方差來進(jìn)行分析。令第k根桿中的第j個(gè)單元的強(qiáng)度用,k j表示(其中,j=1,2,n,而k=1,2,N,則,k j可以認(rèn)為是隨機(jī)變量或是一個(gè)實(shí)驗(yàn)樣本,試驗(yàn)樣本的總數(shù)量為nN。則材料強(qiáng)度的均值和方差可以計(jì)算為:,111N nk jk jnN=(122,111(1N nk jk jnN=(2 同樣,連續(xù)系統(tǒng)材料強(qiáng)度的均值和方差也可以分為以下兩步計(jì)算得到。在桿k中材料強(qiáng)度的均值和方差可以單獨(dú)計(jì)算為:h,11nk kjn j=(322h,h,11(1nk k jjn=

13、k(4 因此整個(gè)N根桿中的材料強(qiáng)度的均值和方差也可以計(jì)算為:q11NkkN h,=(522q h,11(1NkkN q=(6 在每根桿中可以認(rèn)為制造條件和材料參數(shù)是一致的。若假定每根桿中的單元強(qiáng)度都是相同的(即h,k=0,則認(rèn)為材料是均勻的。實(shí)際上,每個(gè)單元的強(qiáng)度是不一致的,也就是說材料是不均勻的(即h,k。考慮另外一種情況,假定在每根桿中的材料都是均勻的,材料成分及制造控制參數(shù)的變化也影響著材料的強(qiáng)度。因此,在不同的桿中有不同的強(qiáng)度(即q。由以上分析可知:與Jian-Ping Li15等人的觀點(diǎn)一致,我們同樣認(rèn)為:影響連續(xù)系統(tǒng)材料強(qiáng)度分散性的因素有兩個(gè):一個(gè)是由材料中的缺陷所引起的材料自身不

14、均勻性(或者是連續(xù)系統(tǒng)在服役期間局部產(chǎn)生的裂紋、腐蝕等缺陷所引起的材料自身不均勻性所導(dǎo)致的材料強(qiáng)度的變化;另一個(gè)是在假定材料是均勻的前提下,由制造過程中材料成分、控制參數(shù)及制造條件變化引起材料制造質(zhì)量的不穩(wěn)定(或者是連續(xù)系統(tǒng)在服役期間強(qiáng)度的整體退化等所引起的材料質(zhì)量的不穩(wěn)定所導(dǎo)致的材料強(qiáng)度的變化。因此,討論如下:勻的,假定連續(xù)系統(tǒng)內(nèi)各單元的(1 由于材料是不均強(qiáng)度i (i =1,2,n 是一個(gè)與材料均勻性有關(guān)的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,為研究問題方便,假如服從正態(tài)分布:2h h (,i N 若h =0,則認(rèn)為材料是均勻的,h 越大,認(rèn)為材料不越是均勻的,h 是材料不均勻性指標(biāo)。 因此,連續(xù)系統(tǒng)可認(rèn)

15、為是一個(gè)由n 個(gè)單元組成的最弱連接模型。最弱環(huán)節(jié)的失效即導(dǎo)致系統(tǒng)的失效,最弱連接模型的強(qiáng)度可以由單元最低強(qiáng)度來確定,即:12(,.,.,i n min = (7由概率論可知,各單元的強(qiáng)度12,.,.,i n 以看成是來自同一母體獨(dú)立同分布的樣本,而該樣可本的次序統(tǒng)計(jì)量(k 表示系統(tǒng)中第k 弱的單元的強(qiáng)度,則系統(tǒng)的強(qiáng)度=(1,即系統(tǒng)的強(qiáng)度為單元強(qiáng)度的最小次序統(tǒng)計(jì)量。若已知母體的概率密度函數(shù)(PDF 為(h f x ,累計(jì)分布函數(shù)(CDF 為(h F x ,則最小次量(1序統(tǒng)計(jì)的累計(jì)分布函數(shù)(F x 率密度函數(shù)(和概f x 可以分別表示為:(h 1F x =(1(n F x (1h h (1(n

16、f x n F x f x = (8考慮另不同的單元?jiǎng)澐?即令上個(gè)小mx (9而大單元的強(qiáng)度的分布函數(shù)也可0將式(10代入式(9中,可得到布函m 一種面劃分的k 單元為一個(gè)大單元,則連續(xù)系統(tǒng)可看作是由m (m =n/k 個(gè)大單元構(gòu)成的,令大單元的強(qiáng)度分布函數(shù)為(F x 。顯然,連續(xù)系統(tǒng)的強(qiáng)度分布函數(shù)與大單元強(qiáng)度的分布函數(shù)的關(guān)系為:(11(F x F =11以表示為:1h (11(k F x F x = (1連續(xù)系統(tǒng)的強(qiáng)度分?jǐn)?shù)為:1h h h (11(1111(11(11(m k kmnF x F x F x F x F x =(11這就證明了,無論怎樣劃分單元,都不影響連續(xù)系統(tǒng)的強(qiáng)度概率分布,

17、從而不影響連續(xù)系統(tǒng)失效概率計(jì)算。由此,可以把重點(diǎn)放在建立連續(xù)系統(tǒng)可靠性模型方面。(2 而且材料質(zhì)量不穩(wěn)定性也影響與材料不均勻性有關(guān)的材料單元強(qiáng)度的均值h 。因此有:2h q (,i E N q = (12單元強(qiáng)度均值h 的概率密度函數(shù)為q h (f ,累積分布函數(shù)是q h (F 。若q =0,則認(rèn)為材料質(zhì)量是穩(wěn)定的,q 越大,認(rèn)為材料制造質(zhì)量越是不穩(wěn)定的,q 是材料質(zhì)量不穩(wěn)定性指標(biāo)。2 連續(xù)系統(tǒng)時(shí)變可靠性模型2.1 考慮相關(guān)失效的連續(xù)系統(tǒng)可靠性建模采用系統(tǒng)的觀點(diǎn)與思想方法,在不做獨(dú)立假設(shè)的前提下,通過廣義“載荷-系統(tǒng)強(qiáng)度”干涉關(guān)系研究系統(tǒng)失效問題,這樣可以避免在應(yīng)用干涉分析方法計(jì)算元件失效概率

18、過程中造成的系統(tǒng)相關(guān)失效信息遺失問題1617。假定連續(xù)系統(tǒng)受到的環(huán)境載荷(應(yīng)力是一個(gè)隨機(jī)變量:S 2s s (,S N ,其概率密度函數(shù)表示為s (f S ,分布函數(shù)為。s (F S 根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型,在概率意義上,連續(xù)系統(tǒng)的失效概率就為應(yīng)力隨機(jī)變量大于單元強(qiáng)度最小次序統(tǒng)計(jì)量S (1(系統(tǒng)強(qiáng)度隨機(jī)變量的概率17,即如式(13所示。12(s 01s h h 0(,.,(d d =(1(d d n SSn p P S S S P S f S g Sf S n F f S1=>>>=>= (13當(dāng)假定單元間的失效相互獨(dú)立時(shí),系統(tǒng)的失效概率表達(dá)式為:1s h 1101(1

19、(d d n n Sp P S f S f S =<=(14當(dāng)應(yīng)力隨機(jī)變量取定值s 時(shí),式(13可以簡化為的形式;同樣,式(14也可以簡化為的形式。因此,在應(yīng)力隨機(jī)變量為定值的情況下,單元間失效是相互1h h h 0(1(d 1(1(Sn n p n F f F S =h 11h 1(d 1(1(n S p f F =n S 獨(dú)立的,即應(yīng)力的分散性是導(dǎo)致系統(tǒng)相關(guān)失效的根本原因18。由于應(yīng)力的分散性是不可避免的,因此在以下的計(jì)算過程中不做單元失效相互獨(dú)立的假設(shè),直接從系統(tǒng)強(qiáng)度入手計(jì)算系統(tǒng)的失效概率,避免了從單元著手計(jì)算系統(tǒng)失效概率所造成的信息遺失。因此在連續(xù)系統(tǒng)的強(qiáng)度取定值時(shí),連續(xù)系統(tǒng)的失

20、效概率為:s (d 1(p f S S F s = (15當(dāng)h (i E Z =為定值時(shí),連續(xù)系統(tǒng)不失效的條件概率h p 可由式 (13直接計(jì)算得到,即h 1s h h 0(1(d d n Sp f S n F f =S而且h 取在h d 的小區(qū)間內(nèi)的概率為h h h h h q h (d /2d /2(d P f h +=,(16 根據(jù)乘法原理,系統(tǒng)不失效(當(dāng)h (i E Z =為定值時(shí)與h 取在h d 的小區(qū)間內(nèi)同時(shí)發(fā)生時(shí),連續(xù)系統(tǒng)可靠度可表示為1s h h q 0(1(d d (d n SdR f S n F f S f h h =,(17 在h 的整個(gè)取值區(qū)間積分得到連續(xù)系統(tǒng)可靠度為1

21、q h s h h h 0(1(d d d n SR f f S n F f S =。(18為使用方便,我們定義公式(18為管道類連續(xù)系統(tǒng)可靠性模型,簡稱為SC 連續(xù)系統(tǒng)可靠性模型。在進(jìn)行分析時(shí),因?yàn)閔 p 是h 的函數(shù),而h 又是隨機(jī)變量,因此可以把h p 也看成是一個(gè)隨機(jī)變量。由概率論可知,式(18可以看成是隨機(jī)變量h p 的數(shù)學(xué)期望(統(tǒng)計(jì)平均值,即:h h q h h01q h s h h h(d (1(d d d n SE p f p f f S nF f S =當(dāng)h =0時(shí),由于沒有尺寸效應(yīng),管道類連續(xù)系統(tǒng)就可以當(dāng)成一個(gè)元件(單元來考慮,式(18退化為公式(19。 hq h s h

22、0(d d R f f S S =(19當(dāng)q =0時(shí),式(18退化為公式(20。 1s h h 0(1(d d n SR f S n F f S = (20假如應(yīng)力2s s (,S N ,并令s =400,s =25,q =550,q =50,則應(yīng)用SC 模型計(jì)算的結(jié)果如圖2和圖3所示。h 1.h =0;2.h =5;3.h =10;4.h =15;5.h =20; 6.h =25圖3 連續(xù)系統(tǒng)可靠度與n 和h 的關(guān)系由圖2可以看出:在單元數(shù)量n 一定的情況下,隨著單元強(qiáng)度方差h 的不斷增大,系統(tǒng)可靠度逐漸的減小。由圖3可以看出:在h 一定的情況下 ,系統(tǒng)可靠度隨著單元數(shù)量的增大(連續(xù)系統(tǒng)長度

23、的增加不斷減小,并且h 越大,系統(tǒng)可靠度變化的越明顯;在h =0時(shí),沒有尺寸效應(yīng)存在,管道類連續(xù)系統(tǒng)就可以當(dāng)成一個(gè)元件(單元來考慮,系統(tǒng)可靠度隨著單元數(shù)量的變化而不發(fā)生變化。 2.2 Monte Carlo 方法仿真驗(yàn)證下面利用Monte Carlo 方法仿真驗(yàn)證本文所建立的SC 模型的正確性,程序框圖見圖4。 圖4 Monte Carlo 模擬尺寸效應(yīng)的程序框圖Monte Carlo 方法模擬連續(xù)系統(tǒng)可靠度結(jié)果(令與所建立的SC 模型計(jì)算的結(jié)果見圖5及圖6。6210N =× 圖5 n =1時(shí)SC 模型與Monte Carlo 模擬結(jié)果對(duì)比分析圖6 h =25時(shí)SC 模型與Monte

24、 Carlo 模擬結(jié)果對(duì)比分析通過圖5和圖6兩者計(jì)算結(jié)果的比較可以明顯地看出,本文所建立的SC 模型是精確的,同時(shí)也從另外一個(gè)側(cè)面反映了Monte Carlo 模擬系統(tǒng)可靠性的優(yōu)越性。仿照上述連續(xù)系統(tǒng)可靠性建模的思路,可得獨(dú)立失效連續(xù)系統(tǒng)可靠度計(jì)算公式(21。 q h s h h 0(d d d n xR f f S f x x S = (21式(18與式(21的差別由圖8可以很好的反映出來。1. SC 可靠性模型;2.獨(dú)立失效可靠性模型 圖7 h =5時(shí)兩種可靠性模型的對(duì)比分析由圖7可以看出不考慮相關(guān)失效的連續(xù)系統(tǒng)可靠度與考慮相關(guān)失效時(shí)連續(xù)系統(tǒng)的可靠度相比明顯偏小,造成連續(xù)系統(tǒng)失效相關(guān)信息的

25、遺失,以傳統(tǒng)的獨(dú)立失效連續(xù)系統(tǒng)可靠性模型進(jìn)行管道等連續(xù)系統(tǒng)的可靠性設(shè)計(jì)已不適用。2.3 連續(xù)系統(tǒng)時(shí)變可靠性建模下面分析連續(xù)系統(tǒng)在服從泊松隨機(jī)過程19的載荷作用下在時(shí)刻t 的失效概率,并考慮其強(qiáng)度隨時(shí)間的退化(強(qiáng)度也為隨機(jī)過程。設(shè)為在時(shí)間段(0,t 內(nèi)在和出現(xiàn)的總次數(shù),而且滿足以下條件:(N t (1當(dāng)t =0時(shí),=0。(0N (2在任意時(shí)間段內(nèi)載荷出現(xiàn)相互獨(dú)立,即任取 0 < t1 < t2 < . < tm , 則 N (t1 , N (t2 N (t1 , (3對(duì)于任意 t > 0 和充分小的 t > 0 ，有 N (t3 N (t2 , N (tm N

26、 (tm 1 相互獨(dú)立。 p N ( t +t N ( t =1= ( t t + o ( t p N ( t +t N ( t 2= o ( t 其中 為載荷的平均發(fā)生率。 如果結(jié)構(gòu)載荷的發(fā)生次數(shù) N(tf0, 理論上 N(tf 可 以取所有的正整數(shù),但對(duì)于實(shí)際的工程結(jié)構(gòu),當(dāng)超越結(jié) 構(gòu)強(qiáng)度的載荷發(fā)生1 次時(shí) ,結(jié)構(gòu)就已經(jīng)破壞,所以連續(xù) 系統(tǒng)的失效概率就為： (22 P( N (t f = 1 = t 顯然， 滿足上述條件的載荷作用次數(shù) N (t 服從參 數(shù) 為 (t > 0, t 0 的 非 時(shí) 齊 泊 松 隨 機(jī) 過 程 ， 即 w, t 0, m 0 ，有 p N ( w + t

27、N ( w = m = × exp ( (1 Fs ( (t dt 1 0 t 1! t 0 (1 Fs ( ( t dt e 0 t (1 Fs ( ( t dt = e 0 (1 Fs ( (t dt ( t +w 0 (t d t (t d t 0 w m (31 考慮到系統(tǒng)強(qiáng)度 的隨機(jī)性（系統(tǒng)強(qiáng)度 的概率 (23 ， 密度函數(shù)為 f ( = n(1 Fh ( n 1 f h ( ） 則系統(tǒng)在時(shí) 刻t的時(shí)變失效概率為： (1 Fs ( ( t dt t (1 Fs ( (t dt f ( d p (t = e 0 0 0 t ( t+w 0 w (t d t (t d t 0

28、m m! 當(dāng) w = 0 ，在時(shí)刻 t 載荷出現(xiàn) m 次的概率為 p N (t N (0 = m = ( (t d t t 0 m! exp (t d t (24 0 ( t = e 0 0 t (1 Fs ( ( t dt (1 Fs ( (t dt 0 t 特殊的，當(dāng) (t = 為常數(shù)時(shí)，滿足上述條件的 載荷作用過程服從時(shí)齊泊松隨機(jī)過程，即在時(shí)刻t 載 荷出現(xiàn)m 次的概率為 ×n(1 Fh ( n 1 f h ( d ( t m t e (25 m! 假定單元強(qiáng)度的退化形式為： 1 (t = 1 (t （其 (32 由SC模型可知，同時(shí)考慮到材料質(zhì)量不穩(wěn)定性 的影響，即考慮 h

29、的隨機(jī)性。則得到連續(xù)系統(tǒng)的相 關(guān)失效時(shí)變失效概率為： (1 Fs ( ( t dt t FD (t = f q ( h e 0 (1 Fs ( (t dt 0 0 0 t P( N (t = m = 中 1 為 單 元 的 初 始 強(qiáng) 度 ， 有 文 獻(xiàn) 20 認(rèn) 為 ×n(1 Fh ( n 1 f h ( d dh (t = 1 at ）則： (t = min(1 (t , 2 (t ,., i (t ,., n (t = min(1 (t , 2 (t ,., i (t ,., n (t = (t × min(1 , 2 ,., i ,., n = (t 即連續(xù)系統(tǒng)強(qiáng)度

30、的退化形式也為： (t = (t (33 在進(jìn)行分析時(shí)，因?yàn)?p (t 是 h 的函數(shù)，很重要 (26 的一點(diǎn)可以把 p (t 看成是一個(gè)隨機(jī)變量（由于 h 是 隨機(jī)變量） ，由概率論可知：式（33）可以看成是隨 機(jī)變量 p (t 在 h 的定義域（ 0 ）的數(shù)學(xué)期望（統(tǒng) (27 由公式 (15 以及公式 (27 可知 , 在連續(xù)系統(tǒng)的強(qiáng) 度 取定值時(shí)，連續(xù)系統(tǒng)在時(shí)間t時(shí)的失效概率為： 計(jì)平均值） 。 仿照公式（32） ，則單元的時(shí)變失效概率為： (1 Fs (1 ( t dt t p(t = e 0 (1 Fs (1 (t dt f h (1 d1 (34 0 0 t p ( t = (t

31、fs ( S dS = 1 Fs ( (t (28 由文獻(xiàn)14以及公式(28可知，在時(shí)間段(0,t內(nèi) , 概率意義上連續(xù)系統(tǒng)強(qiáng)度（系統(tǒng)強(qiáng)度取定值時(shí)）小于 載荷的時(shí)間，即發(fā)生失效的時(shí)間可以由公式（29）所 示的積分表示。 t f = (1 Fs ( (t dt 0 t 0 t 假定單元間的失效是獨(dú)立的， 則連續(xù)系統(tǒng)的失效 概率為： 1 (1 p (t n t (1 Fs (1 ( t dt = 1 1 e 0 (1 Fs (1 (t dt × f h (1 d1n 0 0 t (29 根據(jù)式(25,在時(shí)間 t f = (1 Fs ( (t dt 荷載發(fā) 生次數(shù) N (t f = m 的

32、概率為： (35 同時(shí)考慮到材料質(zhì)量不穩(wěn)定性的影響，即考慮 h 的隨機(jī)性。則得到連續(xù)系統(tǒng)的獨(dú)立失效時(shí)變失效 概率： (1 Fs (1 ( t dt t FI (t = f q ( h 1 1 e 0 (1 Fs (1 (t dt 0 0 0 t P( N (t f = m = ( (1 Fs ( (t dt m 0 t m! e 0 t (1 Fs ( ( t dt × f h (1 d1 n dh (30 (36 可見，式(33與式(36的區(qū)別就為失效相關(guān)的影 響。 系統(tǒng)的失效概率FD(t 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

33、n=2 n=3 失效率是一個(gè)重要的可靠性指標(biāo)， 定義為工作到 時(shí)刻t時(shí)尚未失效的產(chǎn)品，在時(shí)刻t之后的單位時(shí)間內(nèi) 發(fā)生失效的概率。失效率 (t 一般是時(shí)間t的函數(shù)， 由式（33）可以直接計(jì)算出系統(tǒng)的失效率為： ' FD (t 1 FD (t (t = (37 令 =0.5，=0.02，=2， s =400， s =25， q =550， a n q =50， h =20，則由式(33與式(36可計(jì)算得到系統(tǒng) 失效概率以及失效率隨時(shí)間的變化曲線如圖 8 、圖 9 所示。 0.35 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 時(shí)間 t 圖 10 單元數(shù)量不同時(shí)系統(tǒng)失效概率變化曲線 Fig.

34、4 The curve of system failure probability in the condition of different segment number 系統(tǒng)的失效概率FI(t/ FD(t 0.3 o 相關(guān)失效 * 獨(dú)立失效 3 結(jié)論 對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析具有重要的實(shí)際意 義， 傳統(tǒng)的獨(dú)立假設(shè)下計(jì)算系統(tǒng)的失效概率會(huì)造成系 統(tǒng)失效信息的遺失。本研究在不作獨(dú)立失效的假定 下，詳細(xì)分析了連續(xù)系統(tǒng)材料強(qiáng)度的分散性，將載荷 和強(qiáng)度作為隨機(jī)過程， 從系統(tǒng)角度著手建立了連續(xù)系 統(tǒng)系統(tǒng)時(shí)變可靠性模型， 為航空航天中連續(xù)系統(tǒng)的可 靠性分析及可靠性計(jì)算提供了理論依據(jù)。 0.25 0.2 0

35、.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 時(shí)間 t 圖 8 系統(tǒng)失效概率變化曲線 Fig.8 The curve of system failure probability 0.045 0.04 參考文獻(xiàn): 1 Caleyo F, González J L, Hallen J M. A Study on the reliability assessment methodology for pipelines with active corrosion defectsJ. International Journal of Pressure Vessel

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41、明顯偏高， 造成連續(xù)系統(tǒng)失效相關(guān)信息的遺失；由圖9可知，考 慮相關(guān)失效的連續(xù)系統(tǒng)的失效率曲線呈“浴盆”形狀。 當(dāng)強(qiáng)度不退化時(shí)， (t =1，則（33）式簡化為： FD (t = f q ( h e t (1 Fs ( t (1 Fs ( 0 0 (38 ×n(1 Fh ( n 1 f h ( d dh 由圖10可以看出，在單元數(shù)量不同時(shí)，連續(xù)系統(tǒng) 失效概率曲線的不同；并且在同一時(shí)刻，單元數(shù)量增 大時(shí)，系統(tǒng)的失效概率也增大。 Piping, 1998,76 :483488. 10 王正，謝里陽，李兵.隨機(jī)載荷作用下的零件動(dòng)態(tài)可靠性 模型J.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2007，43(12: 20-2

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