第五章抽樣估計3

1、1回顧：區(qū)間估計的一般步驟回顧：區(qū)間估計的一般步驟: :1.1. 尋找參數(shù)尋找參數(shù)的一個好的點估計的一個好的點估計量量T; T; 2.2. 2 2. . 尋找尋找和估計量和估計量T T 的函數(shù)的函數(shù)U(U(,T),T),且分布已知且分布已知; ; 3.3. 3. 3. 由由P(aUP(aU( (, ,T)bT)b)=1-)=1-查表得查表得a a, , b b ; ; 4.4. 4 4. . 對對“a a U U( (T T, ,)b b”作等價變形作等價變形, ,得到得到則則 就是就是在在1-下的置信區(qū)間下的置信區(qū)間. . ),(21 1P212目標要求目標要求1 1、了解、了解正態(tài)總體方差

2、的區(qū)間估計正態(tài)總體方差的區(qū)間估計2 2、熟悉大樣本、熟悉大樣本二項分布、泊松分二項分布、泊松分布總體參數(shù)的區(qū)間估計布總體參數(shù)的區(qū)間估計3、了解小樣本二項分布、泊松分布總體了解小樣本二項分布、泊松分布總體參數(shù)的區(qū)間估計參數(shù)的區(qū)間估計3三、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計三、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計標準型標準型：若總體：若總體XN(XN( , , 2 2) )，且，且, ,2 2未知，未知，x x1 1, ,x x2 2,x xn n是來自總體的樣本值，求是來自總體的樣本值，求的置信的置信度度1-1-的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。 )1n(S)1n()S,(T)2(22222 取取 (3) (3) 對給定置信水平對

3、給定置信水平1-1-22/ 22/1 /2/21-f(x) 1)1n(S) 1n() 1n(P22/2222/1解解(1)(1)選選2 2 的點估計為的點估計為S S2 24所以所以2 2 的的1-1-置信區(qū)間為置信區(qū)間為)1n(S)1n(,)1n(S)1n(22/1222/2 總體標準差總體標準差的的1-1-置信區(qū)間為置信區(qū)間為)S)1n(1n,S)1n(1n(22/122/ 1)1n(S)1n()1n(S)1n(P)4(22/12222/2變形，變形，5例例1414 從某地隨機抽取從某地隨機抽取1313人，測得血磷值為人，測得血磷值為1.67,1.98,2.33,2.34,2.5,3.6,

4、3.73,4.14,4.11.67,1.98,2.33,2.34,2.5,3.6,3.73,4.14,4.17,4.57,4.82,5.787,4.57,4.82,5.78，若血磷值近似服從正態(tài)分，若血磷值近似服從正態(tài)分布布, ,求總體方差求總體方差2 2的的0.90.9置信區(qū)間置信區(qū)間. .解解 n=13,n=13,自由度自由度dfdf=12=12226. 5)12()12(295. 022/1 . 01 當當1-=0.91-=0.9時，時，=0.1, =0.1, 查附表查附表6 6 得得026.21)12()12(205. 022/1 . 0 6701. 1.)xx(1n1Sn1i2i2

5、又又971. 0026.21701. 112) 1n(S) 1n(22/2 所所以以906. 3226. 5701. 112) 1n(S) 1n(22/12 故故2的的0.9置信區(qū)間為（置信區(qū)間為（0.971,3.906).75.4 二項分布、泊松分布總體參數(shù)的區(qū)間估計二項分布、泊松分布總體參數(shù)的區(qū)間估計 前面介紹的區(qū)間估計方法都是正態(tài)總體的情況，前面介紹的區(qū)間估計方法都是正態(tài)總體的情況，解決的也是解決的也是計量資料計量資料問題。問題。 本節(jié)討論總體服從二項分布和泊松分布的情況，本節(jié)討論總體服從二項分布和泊松分布的情況，解決解決計數(shù)資料計數(shù)資料參數(shù)的區(qū)間估計問題。參數(shù)的區(qū)間估計問題。一、小樣本

6、精確估計方法（一、小樣本精確估計方法（n50)二、大樣本正態(tài)近似估計方法（二、大樣本正態(tài)近似估計方法（n50)81、二項分布參數(shù)、二項分布參數(shù)P的區(qū)間估計的區(qū)間估計 總體總體(概概)率率P：具有某種特征的個體數(shù)與總體數(shù)的比率，：具有某種特征的個體數(shù)與總體數(shù)的比率，如有效率、發(fā)病率。如有效率、發(fā)病率。 總體率一般未知，需要根據(jù)樣本值進行區(qū)間估計?？傮w率一般未知，需要根據(jù)樣本值進行區(qū)間估計。樣本樣本(概概)率率p: 具有某種特征的個體數(shù)占樣本容量的比率。具有某種特征的個體數(shù)占樣本容量的比率。 重復抽取重復抽取n個個體可看作個個體可看作n重貝努利試驗，則具有某重貝努利試驗，則具有某種特征的個體數(shù)種特

7、征的個體數(shù)XB(n，P) 。一、小樣本精確估計方法（一、小樣本精確估計方法（n50)9 在小樣本情況下，用公式直接計算很復在小樣本情況下，用公式直接計算很復雜，雜，通常通過查表通常通過查表得到。得到。 只要給出只要給出n,k 和和(常用常用0.05及及0.01)，就可，就可從附表從附表9中查出總體率中查出總體率P的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間.例例17 設用某種藥物治療近視眼設用某種藥物治療近視眼,隨機抽取樣隨機抽取樣20例作為樣本，結(jié)果例作為樣本，結(jié)果12例有效，求總體有效率例有效，求總體有效率的的0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間.解解 顯然顯然,是二項分布參數(shù)是二項分布參數(shù)P的區(qū)間估計的區(qū)間估計 n

8、=20, k=12, 1-=0.95 查附表查附表9得得0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間(0.361,0.809)102、泊松分布參數(shù)、泊松分布參數(shù)的區(qū)間估計的區(qū)間估計 設總體服從參數(shù)設總體服從參數(shù)的泊松分布，的泊松分布， x1,x2,xn是來自是來自總體的樣本值總體的樣本值 （xi 為第為第i次抽樣事件發(fā)生的次數(shù)次抽樣事件發(fā)生的次數(shù)，注意，注意與二項分布中與二項分布中xi的區(qū)別）。的區(qū)別）。樣本總計數(shù)樣本總計數(shù)-各次試驗事件發(fā)生次數(shù)之和，各次試驗事件發(fā)生次數(shù)之和， niixX1記作記作 在小樣本情況下，通常也是在小樣本情況下，通常也是通過查表通過查表得到。得到。 只要給出樣本總計數(shù)只要給出樣本總

9、計數(shù)X和和，就可從附表，就可從附表10中查出中查出總體參數(shù)總體參數(shù)n的的1-置信區(qū)間，將其上下限再除以置信區(qū)間，將其上下限再除以n即得即得參數(shù)參數(shù)的的1-置信區(qū)間。置信區(qū)間。11例例18 從一份充分混合的井水中隨機抽取從一份充分混合的井水中隨機抽取3 次水次水樣樣(每次每次1ml)，經(jīng)檢查有，經(jīng)檢查有20只細菌，求每毫升井只細菌，求每毫升井水所含細菌數(shù)的水所含細菌數(shù)的0.99的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。解解 井水含細菌是稀有事件，則本題為泊松分布井水含細菌是稀有事件，則本題為泊松分布均數(shù)均數(shù)的區(qū)間估計的區(qū)間估計 。設設 xi（i=1,2,3)為第為第i次抽樣所含細菌數(shù)，則次抽樣所含細菌數(shù)，則 X=

10、x1+x2+x3=20, n=3, 1-=0.99。 查附表查附表10得，總體參數(shù)得，總體參數(shù) 3的的0.99置信區(qū)間置信區(qū)間 (10.35,34.67)則每毫升井水所含細菌數(shù)的則每毫升井水所含細菌數(shù)的0.99的置信區(qū)間的置信區(qū)間 (3.45,11.56)。12二、大樣本正態(tài)近似估計方法二、大樣本正態(tài)近似估計方法 （計數(shù)樣本容量（計數(shù)樣本容量n50)1 1、二項分布參數(shù)、二項分布參數(shù)P P的區(qū)間估計的區(qū)間估計 從總體中抽取容量為從總體中抽取容量為n n的樣本，可看做的樣本，可看做n n重貝努利試重貝努利試驗，所以具有某種特征的的樣本數(shù)驗，所以具有某種特征的的樣本數(shù)XB(n,PXB(n,P) )

11、，且且 E(X)=E(X)=nPnP, V(X)=nP(1-P), V(X)=nP(1-P)，則樣本率，則樣本率 nPPpVPpEnXp)1()(,)( 也服從二項分布，且也服從二項分布，且 這說明樣本率這說明樣本率p是總體率是總體率P的的無偏估計量無偏估計量。13 由中心極限定理，在大樣本情況下由中心極限定理，在大樣本情況下(n(n足夠大足夠大) )，樣本率樣本率p p 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布N(P,P(1-P)/n).N(P,P(1-P)/n).則樣本率則樣本率p p 的標準化隨機變量的標準化隨機變量)1 , 0()1(NnPPPpu 為計算方便，在大樣本情況下為計算方便，在大樣

12、本情況下(n(n足夠大足夠大) )，常用，常用樣本率樣本率p p代替總體率代替總體率P P計算樣本率計算樣本率p p 的標準差，即的標準差，即)1 , 0()1(NnppPpu 14 1)n)p1(pupPn)p1(pup(P)4(22變變形形，所以總體率所以總體率P P的的1-置信區(qū)間為置信區(qū)間為)1(,)1(22nppupnppup n)p1(pup2 簡簡記記為為（3）對給定置信水平）對給定置信水平1- 1)u|n)p1(pPp(|P2)1 , 0(N(n)p1(pPp)P,p(U)2( 取取(1) (1) 總體率總體率P P 以樣本率以樣本率p p為點估計量。為點估計量。用求區(qū)間估計的

13、一般步驟求出用求區(qū)間估計的一般步驟求出P P的置信區(qū)間：的置信區(qū)間：15例例19 隨機抽查了某校隨機抽查了某校200名沙眼患者，經(jīng)治療有名沙眼患者，經(jīng)治療有168名治愈，名治愈，求總體治愈率的求總體治愈率的0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間.解解 樣本治愈率樣本治愈率p=168/200=0.84, =0.05 查附表查附表4得得u 0.05/2=1.96 總體治愈率的總體治愈率的0.95置信區(qū)間置信區(qū)間051. 084. 0200)84. 01(84. 096. 184. 0 即即(0.789,0.891)162、泊松分布參數(shù)、泊松分布參數(shù)的區(qū)間估計的區(qū)間估計 設總體設總體X服從泊松分布服從泊松分布

14、P(), 則則E(X)=V(X)= 若若x1,x2,xn是來自總體的樣本值是來自總體的樣本值(xi 為第為第i次抽樣事件發(fā)生次抽樣事件發(fā)生的次數(shù)的次數(shù)),則則 n1iin1ii)x(En1)xn1(E)x(E這說明樣本均值是參數(shù)這說明樣本均值是參數(shù)的的無偏估計無偏估計。 n1ii2n1iin)x(Vn1)xn1(V)x(V17 由中心極限定理，在大樣本情況下由中心極限定理，在大樣本情況下(n(n足夠大足夠大) )，樣本均值近似服從正態(tài)分布樣本均值近似服從正態(tài)分布N(N(,/n,/n) ). .則樣本均值的標準化隨機變量則樣本均值的標準化隨機變量)1 , 0(/Nnxu 因因為計算方便為計算方便

15、，在大樣本情況下，在大樣本情況下(n(n足夠大足夠大) )，常用樣本均值代替常用樣本均值代替計算樣本均值的標準差，則有計算樣本均值的標準差，則有)1 , 0(/Nnxxu 若實際中只得到樣本總計數(shù)若實際中只得到樣本總計數(shù)niixX1nXnXxx ,這這時時)1 , 0(/NnXnXu 從而有從而有18(3) (3) 對給定置信水平對給定置信水平1-1- 1)|/(|2unXnXP現(xiàn)用求區(qū)間估計的一般步驟求出現(xiàn)用求區(qū)間估計的一般步驟求出的置信區(qū)間：的置信區(qū)間：為點估計量為點估計量以以nXx )1()1 , 0(/),(2NnXnXXU ）取?。?9 1)()4(22nXunXnXunXP變變形形，所以總體均數(shù)所以總體均數(shù)的的1-置信區(qū)間為置信區(qū)間為),(22nXunXnXunX nXunX2 簡簡記記為為而總體總計數(shù)而總體總計數(shù)n n的的1-置信區(qū)間為置信區(qū)間為),(22XuXXuX XuX2 簡簡記記為為20例例20 用一種計數(shù)器測定某放射性標本，用一種計數(shù)器測定某放射性標本，10分鐘獲得分鐘獲得脈沖數(shù)為脈沖數(shù)為16784，求，求10分鐘及每分鐘總體總脈沖數(shù)的分鐘及每分鐘總體總脈沖數(shù)的0.95置信區(qū)間置信區(qū)間.解解 樣本總計數(shù)樣本總計數(shù)X=16784, n=10, =0.05 查查附表附表4 4得得u 0.05/2=1.96 所以所以10分鐘總體總脈沖數(shù)的分鐘總體總脈