導(dǎo)數(shù)與不等式證明(絕對(duì)精華)講課稿

1、二輪專題(十一)導(dǎo)數(shù)與不等式證明【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .會(huì)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.2 .掌握常用的證明方法.【知識(shí)回顧】一級(jí)排查：應(yīng)知應(yīng)會(huì)1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式要考慮構(gòu)造新的函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性或最值解決不等式的證明 問題.比如要證明對(duì)任意 x a,b都有f(x) g(x),可設(shè)h(x) f(x) g(x),只要利用導(dǎo)數(shù)說明h(x)在a,b上的最小值為0即可.二級(jí)排查：知識(shí)積累利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題技巧總結(jié)如下：(1)利用給定函數(shù)的某些性質(zhì)(一般第一問先讓解決出來)，如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，服 務(wù)于第二問要證明的不等式.(2)多用分析法思考.(3)對(duì)于給出的不等式直接證明無法下手，可考慮對(duì)不等式進(jìn)

2、行必要的等價(jià)變形后，再去證 明.例如采用兩邊取對(duì)數(shù)(指數(shù))，移項(xiàng)通分等等.要注意變形的方向：因?yàn)橐煤瘮?shù)的性質(zhì)， 力求變形后不等式一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式.(4)常用方法還有隔離函數(shù)法，f(x)min g(x)max,放縮法(常與數(shù)列和基本不等式一起考查)，換元法，主元法，消元法，數(shù)學(xué)歸納法等等，但無論何種方法，問題的精髓還是構(gòu)造輔 助函數(shù)，將不等式問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題.(5)建議有能力同學(xué)可以了解一下羅必塔法則和泰勒展開式，有許多題都是利用泰勒展開式放縮得來.三極排查：易錯(cuò)易混用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列時(shí)注意定義域.9【課堂探究】一、作差(商)法例1、證明下列不等式: ex x

3、1 1nx x 1-1 1n x 1- - x sin x咨x(叱)二、利用f (x)ming(x)max證明不等式12e例 2、已知函數(shù) f(x) ax b (a 1)1nx,(a,b R),g(x) x 一.xe2(1)若函數(shù)f(x)在x 2處取得極小值0,求a,b的值；(2)在(1)的條件下，求證：對(duì)任意的x1,x2 e,e2,總有f(x1) g(x2).12 .變式：證明：對(duì)一切x (0,)，都有l(wèi)nx-x 成立.eex三、構(gòu)造輔助函數(shù)或利用主元法例3、已知m,n為正整數(shù)，且1m n,求證：(1 m)n (1 n)m.變式：設(shè)函數(shù)f (x) lnx, g(x)2x 2 (x 1)(1)

4、試判斷 F(x) (x2 1)f(x)g(x)在定義域上的單調(diào)性;(2)當(dāng) 0 a b時(shí)，求證 f(b) f(a)2a(b a)22Ja b四、分析法證明不等式例4、設(shè)a 1,函數(shù)f(x) (1 x2)ex a .若曲線y = f (x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行,2且在點(diǎn)M(m,n)處的切線與直線OP平仃(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，證明：m 3 a - 1.變式：已知函數(shù) f(x) x2lnx.(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n )證明：對(duì)任意的t 0 ,存在唯一的s,使t f (s).(出)設(shè)(n)中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s g(t),證明：當(dāng)t e2時(shí)，有2 見皿 15 ln t 2五、隔離函數(shù)

5、例5、已知函數(shù)f(x) ex ln(x m).(I )設(shè)x 0是f (x)的極值點(diǎn)，求m并討論f (x)的單調(diào)性;(H)當(dāng) m 2 時(shí)，證明：f(x) 0.變式：已知函數(shù)f(x) nx xn,x R,其中n N ,且n 2.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)曲線y f (x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y g(x),求證:對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x,都有f(x) g(x)；(3)若關(guān)于x的方程f(x) a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1,x2,求證：x2 x1- 2.1 n六、與數(shù)列結(jié)合例6、已知函數(shù)f (x) alnx ax3 (aR).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;ln2 I

6、n 3 In 4(2)求證：.一.變式：(1)已知x(0,ln n1(n n，n 2)(2)求證:求證：x 11一In n n,x 11In【鞏固訓(xùn)練1121 .已知函數(shù)f(x) x lnx,求證：在區(qū)間(1,)上，函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x) x的23圖像的下方.2 .已知函數(shù)f x In1-x . 1 x(I )求曲線y f x在點(diǎn)0, f 0處的切線方程;3(n)求證：當(dāng) x 0,1 時(shí)，fx 2 x ；3(田)設(shè)實(shí)數(shù)k使得f x k0, 1包成立，求k的最大值.3.已知0nXiX22n nXiX2X1x2 ,求證：24.設(shè)函數(shù) f(X) 1n(1 X)(x 0). X(1)判斷f(

7、X)的單調(diào)性；1 c(2)證明：(1 -)n e(e為自然對(duì)數(shù)，nN). n105 .已知函數(shù)f(x) exx.(1)求函數(shù)f(x)的最小值;P ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)設(shè)不等式f(x) ax的解集為P,且0,2、一一12(3)設(shè)n N ,證明：-2nn6 .已知 f(x) ln(1 x2) ax(a 0).(1)討論f(x)的單調(diào)性；14111證明：H/0尸e(e為自然對(duì)數(shù)，n N , n 2).7 .已知函數(shù) f(x) ln(1 x) x, g(x) xlnx(1)求函數(shù)f(x)的最大值；設(shè)0 a b,證明：0 g(a) g(b) 2g(-b) (b a) ln2.2x 18.設(shè)函數(shù) f (x) aex In x ,曲線 y xf(x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線為y e(x 1) 2.(I )求22；(U)證明：f (x) 1 .在點(diǎn)A處的切x ce .9.已知函數(shù)f x ex ax ( a為常數(shù))的圖像與y軸交于點(diǎn)A,曲線y f x 線斜率為-1.(I )求a的值及函數(shù)f x的極值；(H)證明：當(dāng)x 0時(shí)