2018初中數(shù)學(xué)輔助線專項(xiàng)突破專題1——中點(diǎn)專題無答案

1、第一章中點(diǎn)專題三角形是初中幾何的重要內(nèi)容之一，也是歷年中考命題的熱點(diǎn)。其中，三角形各邊的中點(diǎn)、中線及中位線的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，是中考的必考內(nèi)容，歷年多以計(jì)算和證明題的形式出現(xiàn)。我們預(yù)計(jì)與中點(diǎn)有關(guān)的操作性試題和綜合性的探究題將是今后幾年中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)題型。方法技巧提煉與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線，我們總結(jié)下列四種類型：類型一見中線，可倍長(zhǎng)1 .倍長(zhǎng)中線或類中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形或平行四邊形AAED（1）2 .有些幾何題在利用“倍長(zhǎng)中線”證完一次全等三角形后，還需再證一次全等三角形，即“二次全等”.在證明第二次全等時(shí)，難點(diǎn)通常會(huì)體現(xiàn)在倒角上.常見的倒角方法有：“8”字型（如圖1-8）;平行線；

2、180°（平角；三角形內(nèi)角和）；360°（周角；四邊形內(nèi)角和）；小旗子（三角形外角）；90°（互余角）圖18類型二見等腰三角形，想“三線合一”已知等腰三角形底邊的中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接，用“三線合一”類型三見斜邊，想中線已知直角三角形斜邊的中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造斜邊中線，目的是得到三條等線段和兩對(duì)等角.類型四見多個(gè)中點(diǎn)，想中位線已知三角形的兩邊有中點(diǎn)，可以連接這兩個(gè)中點(diǎn)構(gòu)造中位線；已知一邊中點(diǎn)，可以在另一邊上取中點(diǎn)，連接構(gòu)造中位線；已知一邊中點(diǎn)，過中點(diǎn)作平行線可構(gòu)造相似三角形精題精講精練類型一見中線可倍長(zhǎng)例題1.如圖1-9,在？ABC中，AD是BC邊上的中線，E是A

3、D上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F,AF=EF求證：AC=BE.【思路提示】AD是中線，可考慮倍長(zhǎng)中線.A圖1-9變式.如圖1-10,在？ABC中，AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，EF/AD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)G若AD為三角形ABC的角平分線,求證：BG=CF.F圖110例題2.如目1-11，在Rt4ABC中，/BAC=90，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別為AB,AC上的點(diǎn)，且ED±FD,以線段BE、EF、FC為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形？【思路提示】倍長(zhǎng)中線DF,造全等三角形sDC圖1-11變式1.如圖1-12,已知點(diǎn)M為

4、4ABC中BC邊上的中點(diǎn)，/AMB,/AMC勺平分線分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,連接EF.求證：BE+CF>EF.變式2.如圖1-13,在ABCt,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DMLDN如果BM+C法DM+DN求證：AD2=1(AB2+AC2).4AS113例題3.(豐臺(tái)一模)已知ABCffi4人£皿兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中BA=BCDA=DE,連接EC,取EC的中點(diǎn)M連接BM和DM.如圖1-14(1),如果點(diǎn)D,E分別在邊ACAB上，那么BMDM勺數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是將圖1-14(1)中的4AD歐點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1-14(2)的位置，判斷(1)中的結(jié)論是否依然成立,并說明理由.【思

5、路提示】見到中點(diǎn)可考慮倍長(zhǎng)中線證全等，得到線段相等和平行線，再證二次全等即可.BfDE檢測(cè)1:如圖1-15,在ABC中，若AB=10AC=6,求邊上的中線AD的取值范圍.圖1-15檢測(cè)2:如圖1-16,在ABC中,D是BC邊上的中點(diǎn)，DE，DF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E:,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF.求證：BE+CF>EF.A圖1-16類型二見等腰三角形，想“三線合一”例題4.如圖1-17,一副三角板如圖放置，等腰直角三角板ABCSI定不動(dòng)，另一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在等腰直角三角形的斜邊中點(diǎn)D處，且可以繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩直角邊的交點(diǎn)G,H始終在邊AB,BC上.(1)在旋轉(zhuǎn)過程中線

6、段和CH大小有何關(guān)系？證明你的結(jié)論.(2)若AB=BC=4cm在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形的面積是否改變？若不變，求出它的值；若改變，求出它的取值范圍.(3)若交點(diǎn)G,H分別在邊AB,BC的延長(zhǎng)線上，則(1)中的結(jié)論仍然成立嗎？請(qǐng)畫出相應(yīng)的圖形，直接寫出結(jié)論.【思路提示】見到中點(diǎn)D,而且在等腰直角三角形的底邊上，可以想“三線合一”，再證全等.圖1-17例題5.如圖1-18,點(diǎn)P是等腰RtAABC®邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BA,AC的垂線，垂足分別為點(diǎn)E,F,設(shè)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn).求證：ADEF是等腰直角三角形.【思路提示】欲證明ADEF是等腰直角三角形，需證明DE=DF/kDEF=90°

7、,故只要證明DEF與ADAF即可解決.A圖118檢測(cè)1:如圖1-19,AABC是等腰直角三角形，AB=ACD是斜邊BC的中點(diǎn)，E,F分別是AB,AC邊上的點(diǎn)，且DE,DF.(1)請(qǐng)說明：DE=DF(2)請(qǐng)說明：B=+CF2=EF2;(3)若BE=qCF=8求DEF勺面積.(直接寫結(jié)果)類型三見斜邊，想中線例題6.如圖1-20,AABC中，若/B=2/C,AD±BC；E為BC邊的中點(diǎn).求證：AB=2DE.【思路提示】取斜邊AC或AB的中點(diǎn)，利用斜邊中線性質(zhì)和中位線性質(zhì).例題7.如圖1-21,在RtABC中，/ACB=90°，點(diǎn)D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上

8、，且/CEFMA.求證：DE=CF.【思路提示】點(diǎn)D,E分別是直角三角形ABC斜邊和直角邊的中點(diǎn)，利用斜邊中線的性質(zhì)和中位線解題.A圖121檢測(cè)1:如圖1-22,在RtAABC中，ZACB=90°,M是AB的中點(diǎn)，E,F分別是AC,BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且CE=CF1AB,則/EMF的度數(shù)為多少？2檢測(cè)2:如圖1-23,在RtAACB中,C為直角頂點(diǎn)，/ABC=25,O為斜邊中點(diǎn).將OA繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)日(0°<9<180°)至OP當(dāng)ABCP恰為軸對(duì)稱圖形時(shí)，日的值為多少？類型四見多個(gè)中點(diǎn)，想中位線例題8.問題一：如圖1-24(1),在四邊形ABCLfr

9、,AB=CDE,F分別是BCAD的中點(diǎn)，連接E并延長(zhǎng)，分別與BACD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)MN.求證：/BMEHCNE.問題二：如圖1-24(2),在四邊形ADBOt,AB與CD相交于點(diǎn)0,AB=CDE,F分別是BC,A的中點(diǎn)，連接EF,分別交DCAB于點(diǎn)MN,判斷AOMN的形狀，請(qǐng)直接寫出結(jié)論.問題三：如圖1-24(3),在AABC,AC>AB點(diǎn)D在AC上，AB=CDE,F分別是BCAD的中點(diǎn),連接EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,連接GD若/EFC=60,判斷AGD的形狀并證明.【思路提示】見到兩個(gè)中點(diǎn)，想到中位線；又人8,CD相等不共點(diǎn)，想到可以通過平移轉(zhuǎn)移使它們共端點(diǎn)，這個(gè)可由取中點(diǎn)構(gòu)造中位線實(shí)現(xiàn).M(1)(2)(3)圄12A例題9.如圖1-25,已知AABC中,AB=ACCE是AB邊上的中線，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D,使BD=AB求證:CD=2CE.【思路提示】點(diǎn)B,E都是中點(diǎn)，可以嘗試倍長(zhǎng)中線，或構(gòu)造中位線31-55檢測(cè)1:如圖1-26,在ABC中，點(diǎn)O是重心，BC=1Q連