FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

1、吉林大學(xué)珠海學(xué)院FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)一.摘要：數(shù)字濾波器是一種具有頻率選擇性的離散線性系統(tǒng)，在信號(hào)數(shù)字處理中有著廣泛的應(yīng)用。其中FIR濾波器是一種常用的濾波器，它在保證幅度特性滿(mǎn)足技術(shù)要求的同時(shí)，很容易做到嚴(yán)格的線性相位特性，在語(yǔ)音分析、圖像處理、雷達(dá)監(jiān)測(cè)等對(duì)信號(hào)相位要求高的領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，能實(shí)現(xiàn)IIR濾波器不能實(shí)現(xiàn)的許多功能。二.關(guān)鍵詞：FIR窗函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)MATLAB三.內(nèi)容提要：數(shù)字濾波器的功能就是把輸入序列通過(guò)一定的運(yùn)算變換成輸出序列，因此數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中就必須包括一定數(shù)量和性能的運(yùn)算器件和運(yùn)算單元，而運(yùn)算器件和運(yùn)算單元的配置必須由數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和性能特點(diǎn)來(lái)決定，

2、因此在進(jìn)行FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)之前，有必要介紹和總結(jié)FIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)和相關(guān)特性（包括頻響曲線（幅度和相位），單位沖激響應(yīng)等），在介紹完其基本結(jié)構(gòu)和相關(guān)特性后，就進(jìn)行FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)。（一）FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)在討論任何一種濾波器時(shí)，都要著重分析其系統(tǒng)函數(shù)，F(xiàn)IR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：N1H（z）h（n）zn0從該系統(tǒng)函數(shù)可看出，F(xiàn)IR濾波器有以下特點(diǎn)：n01）系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h（n）在有限個(gè)n值處不為零；2）系統(tǒng)函數(shù)H（z）在|z|>0處收斂，極點(diǎn)全部在z=0處（穩(wěn)定系統(tǒng)）；3）結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒(méi)有輸出到輸入的反饋，但有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率抽樣結(jié)構(gòu)）也包含

3、有反饋的遞歸部分。1 .FIR濾波器實(shí)現(xiàn)的基本結(jié)構(gòu)有：1） 橫截型（卷積型、直接型）a.一般FIR濾波器的橫截型（直接型、卷積型）結(jié)構(gòu)：AT-1若給定差分方程為：雙冷=£起口）工-。則可以直接由差分方程得出FIR濾波器結(jié)構(gòu)如M-0下圖所示：這就是FIR濾波器的橫截型結(jié)構(gòu)，又稱(chēng)直接型或卷積型結(jié)構(gòu)。b.線性相位FIR濾波器的橫截型結(jié)構(gòu)頁(yè)腳內(nèi)容1吉林大學(xué)珠海學(xué)院若h(n)呈現(xiàn)對(duì)稱(chēng)特性，即此FIR濾波器具有線性相位，則可以簡(jiǎn)化成橫截型結(jié)構(gòu)，下面分情況討論：N為奇數(shù)時(shí)線性相位FIR濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖所示：N為偶數(shù)時(shí)線性相位FIR濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖所示我們知道IIR濾波器的優(yōu)點(diǎn)是可利用模擬濾波器

4、設(shè)計(jì)的結(jié)果，缺點(diǎn)是相位是非線性的，若需要線性相位，則要用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行校正，比較麻煩，而FIR濾波器的優(yōu)點(diǎn)是可以方便地實(shí)現(xiàn)線性相位。2)、級(jí)聯(lián)型將H(z)分解為若干個(gè)實(shí)系數(shù)一階或二階因子相乘:實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如下圖所示：xkI斕0單中仔2L千外延時(shí)器，2L+1竹7法什2L=M令忡*器必k分行號(hào))及苛構(gòu)4可以":*級(jí)增的，點(diǎn):z14每濟(jì)墓本節(jié)揶制，對(duì)考此便市拄制濾波器的傳輸零點(diǎn)02L系數(shù)比直接型多，所需的乘法運(yùn)算多。3)頻率取樣型若FIR濾波器的沖激響應(yīng)為有限長(zhǎng)(N點(diǎn))序列h(n),則有如圖所示的關(guān)系:因此，對(duì)h(n)可以利用DFT得到H(k),然后利用內(nèi)插公式：來(lái)表示系統(tǒng)函數(shù)，這就為FIR濾波

5、器提供了另外一種結(jié)構(gòu)：頻率抽樣結(jié)構(gòu)，1HG這種結(jié)構(gòu)由兩部分級(jí)聯(lián)而成：分析系統(tǒng)函數(shù)二一二二其中級(jí)聯(lián)的第一部分為：丁-這是一個(gè)梳狀濾波器，它濾掉了頻率分二名及其各次諧波。N級(jí)聯(lián)的第二部分為N個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)而成，第k個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)為：2L=M個(gè)或?qū)?+%+1塔|：法南二/乂¥力嬴器特點(diǎn)：可以分別控制每個(gè)子系統(tǒng)的零點(diǎn)頁(yè)腳內(nèi)容2吉林大學(xué)珠海學(xué)院這是一個(gè)諧振頻率國(guó)二紅的無(wú)損耗諧振器。這個(gè)諧振器的極點(diǎn)正好與梳狀濾波器的一個(gè)零點(diǎn)(i=k)相抵消，從而使這個(gè)頻率上的頻率響應(yīng)等于H(k)o這樣，N個(gè)諧振器的N個(gè)極點(diǎn)就和梳狀濾波器的N個(gè)零點(diǎn)相抵消，從而在N個(gè)頻率抽樣點(diǎn)上的頻率響應(yīng)就分別等于N個(gè)H(k)值。有上

6、敘的理論分析基礎(chǔ)可以得到FIR濾波器的頻率抽樣結(jié)構(gòu)。FIR濾波器的頻率抽樣結(jié)構(gòu)如圖所示：頻率抽樣結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是它的系數(shù)H(k)就是濾波器在可二軍處的響應(yīng)，因此控制濾波器的頻率響應(yīng)很方便。頻率抽樣結(jié)構(gòu)存在問(wèn)題的問(wèn)題是：在有限長(zhǎng)情況下，系數(shù)量化后極點(diǎn)不能和零點(diǎn)抵消，使FIR系統(tǒng)不穩(wěn)定。解決方法：在r圓上進(jìn)行(r<1但近似等于1)取樣，即用rz1代替z1,使極點(diǎn)和相應(yīng)的零點(diǎn)移到單位圓內(nèi)。(a)當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)的頻率取樣型結(jié)構(gòu)如圖所示。(b)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)頻率抽樣型結(jié)構(gòu)如圖所示。4)快速卷積結(jié)構(gòu)若FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)是一個(gè)N1點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，輸入x(n)是一個(gè)N2點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，那么輸出y(n

7、)是x(n)與h(n)的線性卷積，它是一個(gè)L=N1+N2-1點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列。我們知道，將x(n)補(bǔ)上LN2個(gè)零值點(diǎn)，將h(n)補(bǔ)上LN1個(gè)零值點(diǎn)，然后進(jìn)行L點(diǎn)圓周卷積，就可以代替原x(n)與h(n)的線性卷積。而圓周卷積可以用DFTffiIDFT的方法來(lái)計(jì)算，這樣我們得到FIR濾波器的快速卷積結(jié)構(gòu)：這里DFT和IDFT都將采用快速傅里葉變換算法，當(dāng)N1和N2足夠長(zhǎng)時(shí)，比直接計(jì)算線性卷積要快得多。2 .線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)從以上的討論中可以看出，我們最感興趣的是具有線性特性的FIR濾波器，因此在設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，需要著重研究線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)和性質(zhì)，在上述已經(jīng)介紹了線性相位FIR

8、濾波器的橫截型結(jié)構(gòu)，現(xiàn)在介紹它的頻響特性。FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)是有限長(zhǎng)的(0&n&N-1),其Z變換為：其傅立葉變換為：頁(yè)腳內(nèi)容3吉林大學(xué)珠海學(xué)院其中H()是幅度函數(shù)，是一個(gè)純實(shí)數(shù)，可正可負(fù)，9()是相位函數(shù)。可以證明，線性相位FIR濾波器的沖激響應(yīng)滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)條件：h(n)=±h(N-1-n)和H(z)z(N1)H(z1)(1)、線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)和相位函數(shù)：(a)當(dāng)h(n)是偶對(duì)稱(chēng)時(shí)，其幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為：特點(diǎn)：幅度函數(shù)H()包括正負(fù)值，相位函數(shù)是嚴(yán)格線性相位，濾波器有(N-1)/2個(gè)抽樣周期的延時(shí)，它等于單位抽樣響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度N的一

9、半。(b)當(dāng)h(n)是奇對(duì)稱(chēng)時(shí)，其幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為：特點(diǎn)：相位函數(shù)是嚴(yán)格線性相位，但在零頻率(必=0)處有冗/2的相移。仍有(N-1)個(gè)抽樣周期的延時(shí)。因此當(dāng)h(n)為奇對(duì)稱(chēng)時(shí)，F(xiàn)IR濾波器將是一個(gè)具有準(zhǔn)確相位的正交變換網(wǎng)絡(luò)。(2)、FIR濾波器的線性相位特性FIR濾波器的線性相位特性如圖所示。(3)、任何一種線性相位FIR濾波器的群延時(shí)都為：(4)FIR濾波器幅度函數(shù)的特點(diǎn)分四種情況分別討論H()的特點(diǎn)：(a)當(dāng)h(n)偶對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù)時(shí)：幅度函數(shù)的特點(diǎn)：H()對(duì)必=0,宿，之龍呈偶對(duì)稱(chēng)。(b)當(dāng)h(n)偶對(duì)稱(chēng)，N為偶數(shù)時(shí)：幅度函數(shù)的特點(diǎn)：當(dāng)a二"時(shí)，巴值)二°,

10、在z=-1處有一個(gè)零點(diǎn)，區(qū)(切對(duì)毋="是奇對(duì)稱(chēng)；如果濾波器在的=癖處幅度不為零(如高通濾波器)，則不能用這種濾波器。(c)當(dāng)h(n)奇對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù)時(shí)幅度函數(shù)的特點(diǎn)：頁(yè)腳內(nèi)容4吉林大學(xué)珠海學(xué)院H()在必=0,比，2加處都為零，也就是H(z)在Z二±1處為零；H()對(duì)必=0,比，2笈都成奇對(duì)稱(chēng)。(d)當(dāng)h(n)奇對(duì)稱(chēng)，N為偶數(shù)時(shí)：幅度函數(shù)的特點(diǎn)：H()在必=0,2充處為零,即H(z)在z=1處為零點(diǎn)；H(co)對(duì)3=0,2結(jié)呈奇對(duì)稱(chēng)，對(duì)3=既呈偶對(duì)稱(chēng)。(5)、零點(diǎn)位置：線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)有以下關(guān)系：可見(jiàn)，若zZi是H(z)的零點(diǎn)，則z1/Zi也一定是H(z)的零點(diǎn)

11、。又由于當(dāng)h(n)是實(shí)數(shù)時(shí)，H(z)的零點(diǎn)必成共腕對(duì)出現(xiàn)，所以zzi及z1/乙也一定是H(z)的零點(diǎn)。因而線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)必是互為倒數(shù)的共腕對(duì)。其有四種可能性：(1)巴既不在實(shí)軸上，也不在單位園上，則是互為倒數(shù)的兩組共腕對(duì)。(2)與不在實(shí)軸上，但是在單位園上，則共腕對(duì)的倒數(shù)是它們本身，故只有一組共腕對(duì)。(3)/在實(shí)軸上而不在單位園上，只有倒數(shù)部分，無(wú)復(fù)共腕部分。(4) 4既在實(shí)軸上又在單位園上，有兩種可能，z=1或z=1。(二)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)在介紹和總結(jié)完FIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)和相關(guān)特性(包括頻響曲線(幅度和相位)，單位沖激響應(yīng)等)后，就是FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)，F(xiàn)

12、IR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟有：1 .技術(shù)要求(預(yù)期性能指標(biāo))頁(yè)腳內(nèi)容5吉林大學(xué)珠海學(xué)院技術(shù)要求是由實(shí)際用途決定的，它可由理想濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Hd(z)、脈沖響應(yīng)h(n)和差分方程描述。2 .逼近(近似)在數(shù)字濾波器性能分析的基礎(chǔ)上，利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的概念和數(shù)學(xué)知識(shí)提供數(shù)字濾波器的表述，它是理想濾波器的一種近似。3 .實(shí)現(xiàn)上面一步的結(jié)果是一個(gè)濾波器的表述，它既可能是一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)、也可能為差分方程，或者是單位脈沖響應(yīng)h(n),依據(jù)這個(gè)結(jié)果進(jìn)行數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的實(shí)際和軟硬件的實(shí)現(xiàn)。下面重點(diǎn)介紹目前最主要的三種FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法：(1) .窗函數(shù)設(shè)計(jì)法(時(shí)間窗口法)這種方法也稱(chēng)為傅立葉級(jí)數(shù)法。其設(shè)計(jì)是

13、在時(shí)域進(jìn)行的，先用傅氏反變換求出理想數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)hd(n),然后時(shí)域移位并加時(shí)間窗w(n)對(duì)其截?cái)?，從而求得FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)在設(shè)計(jì)過(guò)程中，將無(wú)限長(zhǎng)序列變?yōu)橛邢揲L(zhǎng)是通過(guò)時(shí)域加矩形窗乘積實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的截?cái)嗟?。時(shí)域乘積對(duì)應(yīng)了頻域卷積，從而對(duì)頻響特征發(fā)生的改變。常見(jiàn)的窗函數(shù)有：矩形窗、三角形(Bartlertt)窗、漢寧(Hanning)窗。海明(Hamming)窗、布拉克曼(Blackman)窗、凱澤(kaiser)窗等，下面介紹幾種常用的窗函數(shù)：矩形窗例：用矩形窗設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器程序及運(yùn)行結(jié)果如下：omegac=0.37;N=81;m=(N-1)/2;n=0:2*m+1

14、0;h=omegac/pi*sinc(omegac*(n-m)/pi);w=ones(1,N)zeros(1,length(n)-N);hd=h.*w;omega=-pi:2*pi/300:pi;Hd=freqz(hd,1,omega);頁(yè)腳內(nèi)容6吉林大學(xué)珠海學(xué)院plot(omega,abs(Hd);漢寧窗(升余弦窗).Rif舞.StM:州*'1-匚。M(m=S5/5)0.25小口+mM%利用傅氏變換的移位特性，漢寧窗頻譜的幅度函數(shù)W()可用矩形窗的幅度函數(shù)表示為：三部分矩形窗頻譜相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大減小，主瓣寬度增加1倍。漢明窗(改進(jìn)的開(kāi)余弦窗)對(duì)漢寧窗的改

15、進(jìn)，在主瓣寬度(對(duì)應(yīng)第一零點(diǎn)的寬度)相同的情況下，旁瓣進(jìn)一步減小，可使99.96%的能量集中在主瓣內(nèi)。布萊克曼窗(三階開(kāi)余弦窗)增加一二次諧波余弦分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但主瓣寬度進(jìn)一步增加，增加N可減少過(guò)渡帶。頻譜的幅度函數(shù)為：凱塞窗以上四種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價(jià)來(lái)降低旁瓣。凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減。10(x)是零階貝塞爾函數(shù)，參數(shù)B可自由選擇，決定主瓣寬度與旁瓣衰減。B越大，w(n)窗越窄,其頻譜的主瓣變寬，旁瓣變小。一般取4VB<9B=5.44接近漢明B=8.5接近布萊克曼B=0為矩形除了上述窗口外，還有所謂的“組構(gòu)窗口”，即由一些簡(jiǎn)單的窗函數(shù)組合構(gòu)成，如常見(jiàn)

16、的三角形窗(Bartlett窗)它是由二個(gè)長(zhǎng)度為(N/2)的矩形窗進(jìn)行線性卷積而成的。幾種窗函數(shù)的比較四種常用的窗口函數(shù)矩形窗；漢寧窗；漢明窗；布萊克曼窗圖窗口函數(shù)頻譜(N=51,A=20lg|W()/W(0)|)頁(yè)腳內(nèi)容7吉林大學(xué)珠海學(xué)院從(a)一(d),旁弁的衰減逐步增加，主弁相應(yīng)加寬(用對(duì)數(shù)可放大小旁瓣)。圖在同一指標(biāo)下用四種窗口設(shè)計(jì)的LP濾波器頻率特性(N=51,wc=0.8tt)可見(jiàn)，矩形窗設(shè)計(jì)的過(guò)渡帶最窄，但阻帶最小衰減也最差，僅-21dB;布萊克曼窗設(shè)計(jì)的阻帶最小衰減最好，達(dá)-74dB,但過(guò)渡帶最寬，約為矩形窗設(shè)計(jì)的三倍。幾種窗口函數(shù)的具體性能比較見(jiàn)下表。窗函數(shù)主瓣寬度旁瓣峰值衰

17、減(dB)阻帶最小衰減(dB)矩形4兀/N-13-21漢寧8兀/N-31-44漢明8兀/N-41-53布萊克曼12-/N-57-74設(shè)計(jì)要點(diǎn)：如果希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為H(ejw)那么FIR濾波器的設(shè)計(jì)就在于尋找一個(gè)傳遞函數(shù)去逼近H(ejw),在這種逼近中有兩種直接的方法，一是從時(shí)域入手，即剛才討論的窗函數(shù)設(shè)計(jì)法。另一種從頻域入手，就是即將討論的頻率取樣法窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從單位脈沖響應(yīng)序列著手，使h(n)逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)Mn)。我們知道hd(n)可以從理想頻響Hd(ejw)通過(guò)傅氏反變換獲得但一般來(lái)說(shuō)，理想頻響都為分段恒定，在邊界頻率處有突變點(diǎn)，所以，這樣得到的理想

18、單位脈沖響應(yīng)hd(n)往往都是無(wú)限長(zhǎng)序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限長(zhǎng)的，問(wèn)題是怎樣用一個(gè)有限長(zhǎng)的序列去近似無(wú)限長(zhǎng)的hd(n)o最直接簡(jiǎn)單的辦法是直接截取其一段來(lái)代替。這種截取可以形象地想象為h(n)就好象是通過(guò)一個(gè)“窗口”所看到一段hd(n),因此，h(n)也可表達(dá)為hd(n)和一個(gè)“窗函數(shù)”的乘積，即頁(yè)腳內(nèi)容8吉林大學(xué)珠海學(xué)院h(n)=w(n)hd(n)在這里窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)RnS),當(dāng)然以后我們還可看到，為了改善設(shè)計(jì)濾波器的特性，它還可以有其它的形式，相當(dāng)于在矩形窗內(nèi)對(duì)hd(n)作一定的加權(quán)處理。我們從一個(gè)截止頻率為c的線性相位理想低通濾波器為例來(lái)討論FIR的設(shè)計(jì)問(wèn)

19、題，設(shè)低通濾波器的時(shí)延為a,即理想特性的hd(n弁DHd(w)這是一個(gè)以a為中心的偶對(duì)稱(chēng)的無(wú)限長(zhǎng)非因果序列，如果截取一段n=0N-1的hd(n)作為h(n),則為要保證所得到是線性相位FIR濾波器，延時(shí)a應(yīng)為h(n)長(zhǎng)度N的一半，a=(N-1)/2其中W(n尸Rn”)(為了表示一致)設(shè)W(ejw)為該窗口函數(shù)的頻譜：頁(yè)腳內(nèi)容9吉林大學(xué)珠海學(xué)院用幅度函數(shù)和相函數(shù)來(lái)表示，則有。其線性相位部分ej則是表示延時(shí)一半長(zhǎng)度a=(N-1)/2,對(duì)頻響起作用的是它的幅度函數(shù)圖矩形窗函數(shù)及其幅度函數(shù)理想頻響也可以寫(xiě)成幅度函數(shù)和相位函數(shù)的表示形式Hd(ejw)=Hd(w)ejwn其中幅度函數(shù)為二個(gè)信號(hào)時(shí)域乘積對(duì)應(yīng)

20、于頻域卷積，所以有如果也以幅度函數(shù)H()和相位函數(shù)來(lái)表示H(ejw),H(ejw)=H(co)ejwn則實(shí)際FIR濾波器的幅度函數(shù)H()為正好是理想濾波器幅度函數(shù)與窗函數(shù)幅度函數(shù)的卷積。=0的響應(yīng)，因一般有c>>2冗/N,慟)在-wc,wc內(nèi)近似包含全頻域的值，所以，H(0)=H(0);二c時(shí)，一半重疊，H(c)/H(0)=0.5;二c-2冗/N時(shí)，第一旁瓣(負(fù)數(shù))在通帶外，出現(xiàn)正肩峰；=c+2tt/N時(shí)，第一旁瓣(負(fù)數(shù))在通帶內(nèi)，出現(xiàn)負(fù)肩峰。由最后的頻響函數(shù)圖我們可以看到，頁(yè)腳內(nèi)容10吉林大學(xué)珠海學(xué)院在通帶截止頻率的兩旁=入土期的地方，H()出現(xiàn)最大正負(fù)肩峰值；在這兩個(gè)肩峰之間形

21、成一個(gè)過(guò)渡帶，過(guò)渡帶的寬度等于W()的主瓣寬度。在最大肩峰的兩側(cè)，則形成長(zhǎng)長(zhǎng)的余振；看公式町=sin(冷；：鼻狀過(guò);=r巴士其中x=Nw/2,所以N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關(guān)系，最多只能改變W()的絕對(duì)值大小和起伏的密度，當(dāng)N增加時(shí)，幅值拉高，頻率軸變密，而最大肩峰經(jīng)計(jì)算可知總為8.95%,這種現(xiàn)象稱(chēng)為吉布斯(Gibbs)效應(yīng)。肩峰值的大小決定了濾波器通帶內(nèi)的平穩(wěn)程度和阻帶內(nèi)的衰減，所以對(duì)濾波器的性能有很大的影響。為了改善濾波器的這些特性，只有改變窗函數(shù)的形狀，標(biāo)準(zhǔn)為：窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過(guò)渡帶；相對(duì)于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就可以減小肩峰和余振，

22、以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。但實(shí)際上這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不能兼得，一般總是通過(guò)增加主瓣寬度來(lái)?yè)Q取對(duì)旁瓣的抑制。窗口法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單，有閉合的公式可用，性能及參數(shù)都有表格資料可查，計(jì)算程序簡(jiǎn)單，較為實(shí)用。缺點(diǎn)是當(dāng)Hd(ejw)較為復(fù)雜時(shí)，hd(n)就不容易由反付里葉變換求得。邊界頻率因?yàn)榧哟暗挠绊懚灰卓刂啤?2) .頻率取樣法工程上，常給定頻域上的技術(shù)指標(biāo)，所以采用頻域設(shè)計(jì)更直接。一、基本思想：使所設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點(diǎn)上的值準(zhǔn)確地等于所需濾波器在這些頻率點(diǎn)處的值，在其他頻率處的特性則有較好的逼近。二.設(shè)計(jì)方法：1)確定狂上&上頁(yè)腳內(nèi)容11吉林大學(xué)珠海學(xué)院2左4=日伏)=

23、2)計(jì)算h(n)h(n)=3)計(jì)算H(Z)三、約束條件：為了設(shè)計(jì)線性相位的FIR濾波器，采樣值H(k)要滿(mǎn)足一定的約束條件。前已指出，具有線性相位的FIR濾波器，其單位采樣響應(yīng)h(n)是實(shí)序列，且滿(mǎn)足h(n)=+/-h(N-1-n),由此得到的幅頻和相頻特性，就是對(duì)H(k)的約束。(見(jiàn)P101,表4.1)。例如，要設(shè)計(jì)第一類(lèi)線性相位FIR濾波器，即N為奇數(shù)，h(n)偶對(duì)稱(chēng)，則幅度函數(shù)H()應(yīng)具有偶對(duì)稱(chēng)性；令.)由此可得，&必須取為：而Hk必須滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性：HkHnk同樣，若要設(shè)計(jì)第二種線性相位FIR濾波器，N為偶數(shù)，h(n)偶對(duì)稱(chēng)，相位關(guān)系同上，由于幅度特性是奇對(duì)稱(chēng)的，因此，H也必須滿(mǎn)足

24、對(duì)稱(chēng)要求：HkHnk其他兩種線性相位FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，同樣也要滿(mǎn)足幅度與相位的約束條件。四、設(shè)計(jì)誤差：FIR設(shè)計(jì)步驟：給定指標(biāo)先時(shí)二耶)二琲抽)或H(z)頁(yè)腳內(nèi)容12吉林大學(xué)珠海學(xué)院關(guān)心的是，由上述設(shè)計(jì)過(guò)程得到的月，口與H(k)的逼近程度，以及丹/扣)與H(k)的關(guān)系令卬=或門(mén)”,則單位圓上的頻響為:這是一個(gè)內(nèi)插公式，式中)=尸、一1'為內(nèi)插函數(shù)7Nsin32成/W)/2i=0,N1所以，在每個(gè)采樣點(diǎn)上，頻響嚴(yán)格地與理想特性H(k)一致，在采樣點(diǎn)之間，頻響由各采樣點(diǎn)的內(nèi)插函數(shù)延伸迭加而形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小與理想頻率響應(yīng)的曲線形狀有關(guān)，理想特性平滑，則誤差??；反之，

25、誤差大，在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生肩峰和波紋。n增加，則采樣點(diǎn)變密，內(nèi)插誤差減小。(3) .切比雪夫逼近法除了窗函數(shù)設(shè)計(jì)法(時(shí)間窗口法)和頻率采樣法，還可以用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器,且切比雪夫逼近法是一種等波紋逼近法，在用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，需要用到雷米茲(RemeZ交替算法，并且需要遵從兩個(gè)準(zhǔn)則：均方誤差最小準(zhǔn)則和最大誤差最小化準(zhǔn)則。雷米茲(RemeZ交替算法：能很好的解決通帶截止頻率聲和阻帶截止頻率鞏不能精確控制的問(wèn)題。下圖就是雷米茲(RemeZ交替算法的流程圖(三).算例描述基于窗函數(shù)的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的方法十分簡(jiǎn)單，其主要步驟為：(1)對(duì)濾波器的理想特性進(jìn)

26、行傅立葉逆變換獲得理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)(2)由性能指標(biāo)確定窗函數(shù)W(n)和窗口長(zhǎng)度N,由過(guò)度帶寬近似于窗函數(shù)主瓣寬求得窗口長(zhǎng)度N(3) 求得實(shí)際濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)頁(yè)腳內(nèi)容13吉林大學(xué)珠海學(xué)院(4) 檢驗(yàn)濾波器的性能下面舉例說(shuō)明：例1:用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR低通濾波器，并滿(mǎn)足性能指標(biāo)。通帶邊界頻率p0.5,阻帶邊界頻率ws0.66,阻帶衰減不小于40dB,通帶波紋不大于3dB。由題意，阻帶衰減不小于40dB,選取漢寧窗。用MATLA蝙程如下：%MATLABPROGRAMeg-1%Window-basedFIRfilterdesign%Perfomentparame

27、terwp=0.5*pi;ws=0.66*pi;%Widthoftransitionbandwdelta=ws-wp;%LengthofthefilterN=ceil(8*pi/wdelta)ifrem(N,2)=0N=N+1;end%LengthofthewindowNw=N;%CutoffFrequencyofthefilterwc=(wp+ws)/2;%Computeimpulseresponseofidealfiltern=0:N-1;alpha=(N-1)/2;頁(yè)腳內(nèi)容14吉林大學(xué)珠海學(xué)院m=n-alpha+0.00001;hd=sin(wc*m)./(pi*m);%Computet

28、imeresponseoftheHanningWindowwin=hanning(Nw);%Computeactureimpulseresponseofthefilterh=hd.*win'b=h;freqz(b,1,512)程序運(yùn)行即得所設(shè)計(jì)FIR線形相位濾波器頻率特性。如圖所示：該例題運(yùn)用了上敘步驟進(jìn)行編程，其實(shí)在MATLAIfi,信號(hào)處理工具箱提供了基于上敘原理設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)型FIR濾波器的工具函數(shù)FIR1,函數(shù)FIR1是采用經(jīng)典窗函數(shù)設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器的函數(shù)，其調(diào)用格式為：b=fir1(n,n)b=fir1(n,n,"type')b=fir1(n,“win

29、dow)b=fir1(n,n,'ftype',windows)下面的程序就是調(diào)用工具函數(shù)FIR1對(duì)上題進(jìn)行重新編程%MATLABPROGRAMeg-1%Window-basedFIRfilterdesign%Perfomentparameterwp=0.5*pi;ws=0.66*pi;%Widthoftransitionbandwdelta=ws-wp;%LengthofthefilterN=ceil(8*pi/wdelta)%CutoffFrequencyofthefilterWn=(0.5+0.66)*pi/2;%using'FIR1'Designthefi

30、lter頁(yè)腳內(nèi)容15吉林大學(xué)珠海學(xué)院b=fir1(N,Wn/pi,hanning(N+1);freqz(b,1,512)由上可知，用函數(shù)FIR1設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器在通帶內(nèi)具有很好的線性相位特性例二：設(shè)計(jì)一個(gè)24階FIR帶通濾波器，通帶頻率為0.350300.65利用工具函數(shù)FIR1編寫(xiě)程序如下：%MATLABPROGRAMeg-2%Window-basedFIRfilterdesign%Perfomentparameterwp=0.350.65;N=24;%using'FIR1'Designthefilterb=fir1(2*N,wp);freqz(b,1,512)這例也使

31、用了函數(shù)fir1的設(shè)計(jì)方法。例三：用CLS法設(shè)計(jì)一個(gè)25階低通濾波器，截止頻率0.3冗%MATLABPROGRAMeg-6%desiredFIRlowerfiltern=55;wo=0.3;dp=0.02;ds=0.008;b=fircls1(n,wo,dp,ds,'plot');此例調(diào)用了fircls1函數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，remez算法是一種比較常用的設(shè)計(jì)濾波器的算法。其優(yōu)點(diǎn)有：它靠一次次的迭代求得一組交錯(cuò)點(diǎn)組頻率，避免了直接的煩瑣的計(jì)算下面列舉使用REME商數(shù)設(shè)計(jì)濾波器的例子例四：用雷米茲算法設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器.程序及波形如下。%designofequirippleliner-

32、phrasefirfilters頁(yè)腳內(nèi)容16吉林大學(xué)珠海學(xué)院N=14;f=00.20.40.70.81.0;m=0.10.1110.10.1;b=remez(N,f,m);>>h,w=freqz(b,1,256);>>mag=20*log10(abs(h);>>plot(w/pi,mag);grid;>>figure;>>k=0:N;>>stem(k,b);例五：用凱塞窗設(shè)計(jì)一FIR低通濾波器，低通邊界頻率嗎=0.左,阻帶邊界頻率%=0.5?1r,阻帶衰減必不小于50dB。解：首先由過(guò)渡帶寬和阻帶衰減&來(lái)決定凱塞窗的N和凱塞窗設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的MATLA程序?yàn)椋簑n=kaiser(30,4.55);nn=0:1:29;alfa=(30-1)/2;hd=sin(0.4*pi*(nn-alfa)./(pi*(nn-alfa);h=hd.*wn'h1,w1=freqz(h,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1);axis(0,1,-80,10);grid;xlabel('歸