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1、第七章第七章 離散控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng)內(nèi)容提要：內(nèi)容提要：概述概述 采樣過程和采樣定理采樣過程和采樣定理 ：采樣采樣過程過程 離散信號的離散信號的數(shù)學描述數(shù)學描述 采樣采樣定理定理 信號信號恢復恢復 Z Z變換與變換與Z Z反變換反變換 ：Z Z變換變換定義定義 Z Z變換變換方法方法 Z Z變換變換性質(zhì)性質(zhì) Z Z反變換反變換 內(nèi)容提要：內(nèi)容提要：離散控制系統(tǒng)的離散控制系統(tǒng)的數(shù)學描述數(shù)學描述 ：差分差分方程方程 Z Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 開環(huán)系統(tǒng)開環(huán)系統(tǒng)的的Z Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)Z Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) Z Z變換法的變換法的局限性局限性 離散控制系統(tǒng)的離散控制系統(tǒng)的分析分析

2、：穩(wěn)定穩(wěn)定條件及代數(shù)判據(jù)條件及代數(shù)判據(jù) 頻率特性頻率特性法在離散系統(tǒng)中的應用法在離散系統(tǒng)中的應用 Z Z平面上的平面上的根軌跡根軌跡 閉環(huán)極點分布閉環(huán)極點分布對瞬態(tài)響應的影響對瞬態(tài)響應的影響 采樣瞬時的采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差 7.1 7.1 概述概述 離散控制系統(tǒng)，又稱為采樣控制系統(tǒng)，在離散離散控制系統(tǒng)，又稱為采樣控制系統(tǒng)，在離散系統(tǒng)中，則有一處或幾處的信號是時間的離散函系統(tǒng)中，則有一處或幾處的信號是時間的離散函數(shù)。數(shù)。 X(t)e*(t)X*(t)G(s)H(s)+-b*(t)Tb(t)y(t)圖圖7.1 離散系統(tǒng)方塊圖離散系統(tǒng)方塊圖 采樣開關(guān)經(jīng)一定時間采樣開關(guān)經(jīng)一定時間T T重復閉合，

3、每次重復閉合，每次閉合時間為閉合時間為t t，且有且有t tT T b*(t)0TTt 圖圖7.2 離散型時間函數(shù)離散型時間函數(shù) X(t)e*(t)X*(t)G(s)H(s)+-b*(t)Tb(t)y(t)圖圖7.1 離散系統(tǒng)方塊圖離散系統(tǒng)方塊圖 簡化X(t)e*(t)G(s)H(s)+-b(t)Ty(t)圖圖7.3 離散系統(tǒng)簡化方塊圖離散系統(tǒng)簡化方塊圖 e(t)數(shù)字計算機數(shù)字計算機x(t)數(shù)數(shù)模模A/D DD/AG(s)ox*(t)e*(t)m*(t)m(t)y(t)H(s)A/D數(shù)數(shù)模模b*(t)數(shù)字部分數(shù)字部分連續(xù)部分連續(xù)部分 x(t)e*(t)m*(t)y(t)b(t) DG(s)H(

4、s)TT- 7.2 7.2 采樣過程和采樣定理采樣過程和采樣定理 一、采樣過程一、采樣過程 采樣過程圖采樣過程圖 將連續(xù)信號通過采樣開關(guān)將連續(xù)信號通過采樣開關(guān)(或采樣器或采樣器)變換成離變換成離散信號的過程稱為采樣過程散信號的過程稱為采樣過程 相鄰兩次采樣的時間間隔稱為采樣周期相鄰兩次采樣的時間間隔稱為采樣周期T，而而f= =1/T及及w w= =1/2p pT分別稱為采樣頻率及采樣角頻率分別稱為采樣頻率及采樣角頻率 （ a )x(t)x*(t)T( b )（ c )0T2T3T4Tt二、離散信號的數(shù)學描述二、離散信號的數(shù)學描述 x*(t)=x(0)1(t)-1(t-)+x(T)1(t-T)-

5、1(t-T-)+ +x(kT)1(t-kT)-1(t-kT-) + k=0=x(kT)1(t-kT)-1(t-kT-) ( 7.2 )脈沖序列脈沖序列x* *(t)表達式表達式 理想單位脈沖來近似描述矩形脈沖理想單位脈沖來近似描述矩形脈沖 1(t - - kT)- -1(t - - kT - -t t)t t * *d d(t t - - kT) ( 7.3 ) ( 7.3 ) = =tx) )( (* *- - kTtkTx) ) ( 7.4 )( 7.4 )( () )( (d dk=0也可寫作也可寫作 tx) )( (* *= =k=0tx) )( (- - kTt) ) ( 7.5 )

6、( 7.5 ) ( (d d三、采樣定理三、采樣定理 x*(t)的富氏變換的富氏變換 k=0= =jX1 1) )( ( * *+ +skjX) ) ( 7.7 )( 7.7 )( ( w ww ww wT連續(xù)信號連續(xù)信號x(t)的頻譜的頻譜 X(j)- max+ max02 maxw ws2w wmax時時 |X*(jw w)| k=0k=+1k=-102maxs- s- s2 s2s|X*(jw w)| k=0k=+1k=-102maxs- ssw ws2w wmax 時時四、信號恢復 保持器(或保持電路)作實際濾波器 零階保持器的時域特性 數(shù)學模型 gh(t)=1(t)-1(t -T)s

7、esGsTh-=1)(傳遞函數(shù)為頻率特性 wwwjejGTjh-=1)( Gh(jw)=| Gh(jw)|Gh(jw)x(t)x*(t)保持器x (t)h保持器方塊圖 10Ttg (t)h10-1Ttg (t)h頻率特性頻率特性 Gh(jw w)= =| Gh(jw w)|Gh(jw w)coscos1 1sinsin1 1) )( (TjTjejGTjhw ww ww ww ww ww ww wTw w2 22 2sinsin2 2coscos2 21 1TTTw ww ww w= =- -= =- - -= =- -= =- -|2 2sinsincoscos1 1tgtg) )( (1

8、1- -TTTjGhw ww ww ww ww ww w- -= =- - -= =0|Gh(jw w)| TGh(jw w) -Gh(jw w) |Gh(jw w)| 2 ss3 s 7.3 7.3 Z Z變換與變換與Z Z反變換反變換 一、一、Z變換定義變換定義 進行拉氏變換，進行拉氏變換， 計及計及Ld d (t - - kT)= = e- -skT可得可得 Lx*(t)= =X*(s)= = - -skTekTx) )( (k=0 連續(xù)時間函數(shù)連續(xù)時間函數(shù)x(t)經(jīng)周期經(jīng)周期T采樣后采樣后變成離散信號變成離散信號x*(t) - -= =kTtkTxtx) )( () )( () )(

9、( * *d dk=0引進一個新變量引進一個新變量 z= =e sT 得到以得到以z為變量的函數(shù)為變量的函數(shù)X(z) X(z)= = - -kzkTx) )( (k=0 z是一個復變量，它具有實部和虛是一個復變量，它具有實部和虛部，所以部，所以z是一個以實部為橫坐標，虛是一個以實部為橫坐標，虛部為縱坐標的平面上的變量，這個平部為縱坐標的平面上的變量，這個平面稱為面稱為z平面平面 二、二、Z Z變換方法變換方法 (一一)級數(shù)求和法級數(shù)求和法 X(z)= =x(0)+ +x(T)z- -1+ +x(2T)z- -2+ + +x(kT)z- -k+ + 例例7.1 試求取單位階躍函數(shù)試求取單位階躍函

10、數(shù)1(t)的的Z變換變換 例例7.2 試求取衰減的指數(shù)函數(shù)試求取衰減的指數(shù)函數(shù)e- -at(a0)的的 Z變換變換 例例7.3 試求取函數(shù)試求取函數(shù)ak的的Z變換變換 例例7.4 試求取函數(shù)試求取函數(shù)x(t)= =sinw wt的的Z變換變換 解解 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)1(t)在任何采樣時刻上的值在任何采樣時刻上的值 均為均為1，即，即1(kT)= =1， k= =0，1，2 將上式代入求解式，得將上式代入求解式，得 1(z)= =1+ +1* *z- -1+ +1*z- -2+ + +1*z- -k + + 在上式中，若在上式中，若|z|1，便可縮寫成如下的封便可縮寫成如下的封閉形式，即

11、閉形式，即1 11 11 1) )1(1()1(1(1 1- -= =- -= = =- -zzzztZ返回返回 解解 將將e- -at在各采樣時刻上的采樣值在各采樣時刻上的采樣值1、e- -aT、e- -2aT、e- -kaT、，代入求解式中，得代入求解式中，得 Ze- -at= =1+ +e- -aTz- -1+ +e- -2aTz- -2+ + +e- -kaTz- -k + + 若條件若條件|eaTz|1成立，則式便可寫成成立，則式便可寫成下列閉式，即下列閉式，即z1 1aTaTatezzee- - - - - -= =- -= =1 11 1 Z返回返回 解解 將將ak 在各采樣時刻

12、上的采樣值、在各采樣時刻上的采樣值、ak 、a2 、ak 、 代入求解式中，得代入求解式中，得 Zak= =1+ +a z- -2+ +a2z- -2+ + +akz- -k + + 將上列級數(shù)寫成閉式，便得函數(shù)將上列級數(shù)寫成閉式，便得函數(shù)ak的的Z變換，即變換，即 1 1 Zak= azzazak- -= =- -=-1 11 1 Z返回解解 因為因為sinw wt= = ，所以所以 jee tj tj2 2- - -( () )1 12 2zcoszcossinsin1 1) )( () )( (2 21 12 21 1 2 21 12 2 sinsin+ +- -= =+ + +- -

13、-= =)(- - - -= =- -= = - -= =- - - - - -TzTzeezeezjezzezzjeejjeeZtTjTjTjTjTjTjtjtjtjtjw ww ww ww ww ww ww ww ww ww ww ww ww w22ZZZ返回返回( (二二) )部分分式法部分分式法 X(s)為有理函數(shù)，并具有如下形式為有理函數(shù)，并具有如下形式 nnnmmmasasabsbsbsNsMsX+ + + + + + += = =- - -LLLL1 11 11 11 1) )( () )( () )( (00X(s)展開成部分分式和展開成部分分式和 = =sX) )( (+ +

14、issiAni=1項對應的項對應的Z變換為變換為 + +issiA iTisezzA- - -ni=1= =- - -TiisezzAzX) )( (例例7.5 例例7.6 利用部分分式法求取正弦函數(shù)利用部分分式法求取正弦函數(shù)sinw wt的的Z變換變換 1 1coscos2 2sinsin+ +- -= =TzzTzw ww w22 21 12 21 1 sinsin- -+ +- - -= =- -ezzjezzjtTjTjw ww ww wZw ww ww wjsjjsjt- -+ + += =1 12 21 11 12 21 1 sinsinL解解 已知已知Lsinw wt= = ，將

15、將 分解分解成部分分式和的形式，即成部分分式和的形式，即由于拉氏變換由于拉氏變換 的原函數(shù)為的原函數(shù)為e- -(jw w)t；可可求得上式的求得上式的Z變換變換2 22 2w ww w+ +s2 22 2w ww w+ +s 1Sj返回 試求取具有拉氏變換為試求取具有拉氏變換為 的連續(xù)時間的連續(xù)時間函數(shù)函數(shù)x(t)的的Z變換變換 a s(s+a)解解 首先寫出首先寫出x(t)的拉氏變換的拉氏變換X(s)的部分分式的部分分式展開式，即展開式，即 assassasX+ +- -= =+ += =1 11 1) )( () )( (然后對上式逐項求取拉氏反變換，得然后對上式逐項求取拉氏反變換，得 x

16、(t)= =1(t)- -e- -at 根據(jù)求得的時間函數(shù)再逐項寫出相應的根據(jù)求得的時間函數(shù)再逐項寫出相應的Z變變換，即換，即 aTaTaTaTezezezezzzzzX- - - - -+ + +- - -= =- - - -= =) )(1(1) )(1(11 1) )( (2 2返回( (三三) )留數(shù)計算法留數(shù)計算法 +-=jcjcskTksesXjkTx)0,1,2,(d)(21)(Lp采樣值為 1拉氏反變換 + jc-=jcstsesXjtxd)(2)(pZ變換為 =-=0kkzkTxzX)()(+符合收斂條件|z|esT|時 -=jcjcsTsezzsXjkTXd)(21)(p應

17、用留數(shù)定理來計算應用留數(shù)定理來計算 若若si 為為X(s)的單極點，則的單極點，則 若若si 為為X(s)的的ri 重極點，則重極點，則 例例7.7 例例7.8 例例7.9= = =- -= =nisTisseszXzX1 1) )( (resres) )( (ississTisTezszXssezszX= = =- - -= =- -) )( () )( () )( (resressissrrrisssTiisTezszXsssrezszXiii= = =- - -.- -= =- - - -) )( () )( (d dd d1)!1)!( (1 1) )( (resres1 11 1求x

18、(t)=t的Z變換 解 由于Lt= ，所以s1=0，r1=2。計算X(z)，即 1s21)(1dd1)!(21)(2220-=-=zTzezzssszXssT返回求求x(t)= =te- -at 的的Z變換變換 解 由于Lte-at= ，所以s1=-a，r1=2。根據(jù)式(8.30)計算X(z)，即 1(s+a)22 22 22 2) )( () )( (1 1) )( (d dd d1)!1)!(2(21 1) )( (aTaTsTezzTeezzasasszXas- - - -= =- -*+ +*+ +- -= =- -= =返回已知已知X(s)= = ，求求X(z) s+3(s+1)(s

19、+2)解解 由由X(s)可知可知s1=-=-1，s2=-=-2均為單極點，則均為單極點，則可計算留數(shù)，即可計算留數(shù)，即 TTTTTTTsTsTsTsTsTsTezeezeezzezzezzezszsezszsezszXsezszXsezszXezszXzXssssss3 32 22 22 22 2) )( ()2 2- -( ( 2 2) )1)(1)( (3)3)( () )2)(2)( (3)3)( () )( (2)2)( () )( (1)1)( () )( (resres) )( (resres) )( (2 21 12 21 12 21 1- - - - - - - -+ + +-

20、 -+ += =- - - -= =- -+ + + + - -+ + += =- -+ + +- -+ += =- -+ +- -= =- -= =- -= =- -= =- -= =- -= =- -= =返回返回三、三、Z Z變換性質(zhì)變換性質(zhì) 1 線性定理 Zax(t)= =aX(z) Zx1(t)x2(t)= =X1(z)X2(z) 2 時移定理時移定理 3 初值定理初值定理 4 終值定理終值定理 -1r=-k+ += =- - - -) )( () )( ()( ( rkzrTxzXzkTtxZ k-1r=0-= =+- -) )( () )( ()( ( rkzrTxzXzkTtx

21、Z = =ztzXtx0 0) )( ( limlim) )( ( limelime = =zttxzX) )( ( (z-1)z-1)limlim) )( ( limlim1 1 四、四、Z Z反變換反變換 1 長除法例 2 部分分式法例 3 留數(shù)計算法 例 X(z)的一般形式為的一般形式為 )()(nmzX=110110azazabzbzbnnnmmm+-LLL用長除法求出z-1的升冪形式 X(z)= = c0 + + c1 z- -1 + + c2 z- -2 + + + + ck z- -k + + 用部分分式法展開成用部分分式法展開成 形式的諸項之和形式的諸項之和 X(z)zz+p

22、iAiAz+p 11X(z)z=Az+p 22+A zz+p ii 等號兩邊同時乘以復變量等號兩邊同時乘以復變量z，并對并對 通過通過Z反變換求取相應的時間函數(shù)反變換求取相應的時間函數(shù) res)(=1)(-kzzXkTxx(kT )為函數(shù)為函數(shù)X(z)zk- -1 在其全部極點上的留數(shù)之和在其全部極點上的留數(shù)之和 求X(z)= 的反變換，其中e-aT =0.5 11-e z-aT -1 解 用長除法將X(z)展開為無窮級數(shù)形式 )LL0.1251250.-50.5 0.1250.25 332221321-+zzzzzz10.5 -z0.5111-z1 0.5-0.511-

23、zzzz返回 求 的Z反變換 2)1)(10)(-=zzzzX 解 首先將 展開成下列部分分式zzX)(210110-2)1)(10)(-+-=-=zzzzzzX可以得到 210110-)(-+-=zzzzzX由表8.1查得 k-zzzz22 1,111=-=-ZZ因此x(kT )=10(-1+2k ) k =0，1，2，=-+=0)()2(-110)(kkkTttxd*返回 例8.13 求 的Z反變換 21)2)()(-=zzzzXL0,1,2, 122)(11211)(221)(1)2)(dd1)!-(212)(1)2)(1)2)(10res)(解221222212=-=-+-=-*+-=

24、-=-kkkzzzzzzzzzzzzzkTxkkzkzkk=-=0)(1)(2)(kkkTtktxd*或 返回 7.4 7.4 離散控制系統(tǒng)的數(shù)學描述離散控制系統(tǒng)的數(shù)學描述 離散控制系統(tǒng)可以用差分方程和離散控制系統(tǒng)可以用差分方程和Z傳遞函數(shù)來表示傳遞函數(shù)來表示 一、差分方程一、差分方程 差分方程，就是反映離散系統(tǒng)輸入差分方程，就是反映離散系統(tǒng)輸入- -輸出序列之間的運算關(guān)系，方程中，自變輸出序列之間的運算關(guān)系，方程中，自變量是離散的，方程的各項包含有這種離散量是離散的，方程的各項包含有這種離散變量的函數(shù)，如變量的函數(shù)，如x(k)(k= =0，1，2，)，還包含有此函數(shù)序數(shù)增加或減少的函數(shù)還包含

25、有此函數(shù)序數(shù)增加或減少的函數(shù)x(k + +1)、x(k - -1)等。等。一階慣性環(huán)節(jié)一階慣性環(huán)節(jié) x(kT)(t-kT)k=0 y(kT)(t-kT)k=0 x(t) 1 T s+1 1y(t)x(t) 1 T s+1 1TTKaKby(kT)與與x(kT)之間的關(guān)系之間的關(guān)系 tkT 時時1 1)/)/( (1 1) )( () )( (TkTtekTyty- - -= =t= =kT 時時1 1)/)/( (1 12 2) )( () )( (TkTteTkTxty- - -= =tkT后的總輸出后的總輸出 1 1)/)/( (1 12 21 1) )( () )( () )( () )

26、( () )( (TkTteTkTxkTytytyty- - -+ += =+ += =t= =(k + +1)T時時 1 1/ /1 1) )( () )( ( 1)1)(TTeTkTxkTyTky- -+ += =+ +一般形式為一般形式為 ) )( () )( () )( (0 00 0ikyaikxbkyniinii- - - -= = = =1 1/ / /1 11 1) )( () )( ( 1)1)(TekTxkTyeTkyTTTT- - -= =- -+ +或或二、二、Z Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 初始條件為零的情況下取輸出初始條件為零的情況下取輸出Z變換變換與輸入與輸入Z變換之比變

27、換之比 Y(z)X(z)=G(z)x(t)x*(t) G(s)y(t)x*(t)t0y(t)0ty(t)=x(0)g(t)+x(T)g(t-T)+x(kT)g(t-kT)采樣時刻采樣時刻t = = kT 時時= =- -= =+ + +- -+ += =kiTikgiTxgkTxTkTgTxkTgxkTy0 0 ) )() )( (0)(0) )( () )( () )( () )( (0)(0) )( (LL= =- -= =0 0 ) )() )( () )( (iTikgiTxkTykY= =- -= =- - - -= = =0 00 00 0 ) )() )( () )( () )(

28、 (kkikkzTi kgiTx zkT yz = = ) )( () )( () )( (zXzGznTgn= = =- -0 0n= =() )( (ziTxi- -0 0n= =()例例7.14 例例7.16 已知已知 ，求，求Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)G(z) 10)10)( (1010) )( (+ += =sssG解解 將將G(s)分解成部分分式分解成部分分式 10101 11 1) )( (+ +- -= =sssG查表查表8.1，即得，即得- -) )1)(1)( () )(1(11 1) )( (101010101010TTTezzezezzzzzG- - - - - -= =- -

29、 - -= =返回 設離散系統(tǒng)的差分方程為設離散系統(tǒng)的差分方程為 y(k)+ +3y(k - -1)+ +2y(k - -2)= =x(k - -2) 式中式中 = = = = =0 0 0 00 0 1 1) )( ( 0,0,(0)(0)(-1)(-1)kkkxyy求系統(tǒng)的響應求系統(tǒng)的響應y(k) Y(z)= X(z)注意到x(k)的Z變換X(z)=1，因此 1z +3z+22解 對差分方程兩側(cè)取Z變換得 (1+3z-1+2z-2)Y(z)=X(z)z-2整理，得)(+-+=+=21231)(1-2zzzzzzzzY查表8.1，并應用延遲定理，我們得到y(tǒng)(k)=(-1)k -1-(-2)k

30、 -1 k =1，2，3，返回返回三、開環(huán)系統(tǒng)的三、開環(huán)系統(tǒng)的Z Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) (1) 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣器串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣器(2) 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣器串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣器等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積的等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積的Z變換變換 Y(z)X(z)=ZG (s)G (s)=G G (z)1212 總的總的Z傳遞函數(shù)等于環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)等于環(huán)節(jié)Z傳遞函傳遞函數(shù)的乘積數(shù)的乘積 Y(z)X(z)=G (z)G (z)12通常通常 G1G2(z)G1(z)G2(z)x(t)x*(t)TG (s)1G (s)2y (t)1y(t)y*(t)x(t)x*(t)TG (s)G (s)1y(t)y*(t

31、)2G (s)1G (s)2x(t)x*(t)y (t)1y*(t)1y(t)y*(t)T1T2四、閉環(huán)系統(tǒng)四、閉環(huán)系統(tǒng)Z Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) x(t)e(t) e*(t)y(t)TG(s)H(s)+-b(t)y*(t)Y(z)X(z)= G(z)1+GH(z)Y(z)= NG (z)1+G G (z)11 2例例7.17 x(t)=0y*(t)y(t)n(t)e(t)e*(t)G (s)2G (s)1T+-+ 設閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。求系統(tǒng)輸設閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。求系統(tǒng)輸出的出的Z變換變換 x(t)e(t)G(s)H(s)y*(t)y(t)y*(t)解解 因為因為 Y(z)= =XG(

32、z)- -GH(z)Y(z) 整理，得整理，得 Y(z)= XG(z)1+GH(z)返回返回五、五、Z Z變換法的局限性變換法的局限性 1Z變換的推導是建立在采樣器是理想開變換的推導是建立在采樣器是理想開 關(guān)這個基礎之上的。關(guān)這個基礎之上的。 2 無論是開環(huán)或閉環(huán)離散系統(tǒng)，其輸出大無論是開環(huán)或閉環(huán)離散系統(tǒng)，其輸出大多是連續(xù)信號多是連續(xù)信號y(t)而不是采樣信號而不是采樣信號y(kT)。而而用一般的用一般的Z變換只能求出采樣輸出變換只能求出采樣輸出y(kT)，這這樣就不能反映采樣間隔內(nèi)的樣就不能反映采樣間隔內(nèi)的y(t)值。值。 用用Z變換法研究變換法研究(開環(huán)開環(huán))離散系統(tǒng)時，首先必離散系統(tǒng)時，

33、首先必須滿足：系統(tǒng)連續(xù)部分傳遞函數(shù)須滿足：系統(tǒng)連續(xù)部分傳遞函數(shù)G(s)的極的極點至少比零點多兩個，或者滿足點至少比零點多兩個，或者滿足= =sssG0 0) )( ( limlim 例例7.19 設開環(huán)離散系統(tǒng)如圖所示，系統(tǒng)連設開環(huán)離散系統(tǒng)如圖所示，系統(tǒng)連續(xù)部分傳遞函數(shù)續(xù)部分傳遞函數(shù)G(s)不滿足上述條件。設不滿足上述條件。設x(t)= =1(t)，采樣周期采樣周期T= =1(秒秒)，試比較，試比較y*(t)與與y(t)。 解解 先用先用Z變換法求出變換法求出y*(t)。因為因為 1 1) )( (- -= =zzzXTezzssGzG- - -= =+ += = =1 11 1)( ( )

34、)( (ZZ0.368)0.368)1)(1)( () )1)(1)( () )( () )( () )( (2 22 2- - -= =- - -= = =- -zzzezzzzGzXzYT用冪級數(shù)法將用冪級數(shù)法將Y(z)展成展成Y(z)= =1+ +1.368z- -1 + +1.5z- -2 + +1.55z- -3 + +1.56z- -4 + +于是得于是得y*(t)= =d d (t)+ +1.368d d (t - -T)+ +1.5d d (t - -2T) + +1.55d d (t - -3T)+ +1.56d d (t - -4T)+ +作出作出y*(t)如圖如圖8.23

35、所示。所示。當系統(tǒng)連續(xù)部分的輸入為當系統(tǒng)連續(xù)部分的輸入為 時，時，系統(tǒng)的連續(xù)輸出系統(tǒng)的連續(xù)輸出y(t)，如圖所示如圖所示 = =- -= =0 0) )( () )( (kkTttxd d*x(t)x*(t) 1 s+1y(t)y*(t)1.585y*(t)0tT2T3T4T5T6T 7Ty*(t)0tT2T3T4T5T6T 7T1.5850.585 7.5 7.5 離散控制系統(tǒng)的分析離散控制系統(tǒng)的分析 一、穩(wěn)定條件及代數(shù)判據(jù)一、穩(wěn)定條件及代數(shù)判據(jù) (一一)Z平面內(nèi)的穩(wěn)定條件平面內(nèi)的穩(wěn)定條件例例 j S平面平面 1-1Re0Im Z平面平面 s s0 虛軸上虛軸上(臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定) |z|1

36、 單位圓的圓周單位圓的圓周 s s0 右半平面右半平面(不穩(wěn)定域不穩(wěn)定域) |z|1 單位圓的外部單位圓的外部 不穩(wěn)定域不穩(wěn)定域不穩(wěn)定域不穩(wěn)定域s s0 左半平面左半平面(穩(wěn)定域穩(wěn)定域) |z|1 單位圓的內(nèi)部單位圓的內(nèi)部 穩(wěn)定域穩(wěn)定域穩(wěn)定域穩(wěn)定域 二階離散系統(tǒng)的方框圖如圖所示。試判斷二階離散系統(tǒng)的方框圖如圖所示。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設采樣周期系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設采樣周期T= =1(秒秒)，K= =1。解解 先求出系統(tǒng)的閉環(huán)先求出系統(tǒng)的閉環(huán)Z傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為 Y(z)X(z)= G(z)1+G(z)式中，式中，G(z)=Z = = = 。 Ks(s+1) Kz(1-e )(z-1)(z-e )

37、-T-T閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為1+ +G(z)= =(z - -1)(z - -e- -T )+ +Kz(1- - e- -T z)= =0 將將K= =1，T= =1代入，得代入，得 z2- -0.736z + +0.368= =0解之得到解之得到z1= =0.368+ +j0.482； z2= =0.368- -j0.482 K= =5 時，其時，其Z特征方程為特征方程為 z2 + +1.792z + +0.368= =0解之，得到解之，得到 z1= -= -0.237； z2= -= -1.555 返回返回 K s(s+1)+-x(s)Ty(t)(二二) 穩(wěn)定性代數(shù)判據(jù)

38、穩(wěn)定性代數(shù)判據(jù)例例 特征方程式為特征方程式為 1+ +GH(z)= =0 做變換關(guān)系將變換式代入系統(tǒng)的將變換式代入系統(tǒng)的Z特征方程，就可特征方程，就可以使用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)了判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定以使用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)了判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。性。1 11 1 或或（ 1 11 1+ +- -= =- -+ += =zzvvvz）設具有零階保持器的離散系統(tǒng)，如圖所示，設具有零階保持器的離散系統(tǒng)，如圖所示，采樣周期采樣周期T= =0.2(秒秒)，試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性 解解 已知已知 1850.01851)1)- -0.1(0.1(0.1350.1351)1)- -0.4(0.4(1 1

39、0.40.4) )( (- - - - -+ +- -= =zzzzzzG簡后的特征方程為簡后的特征方程為 z3 - -1.001z2 + +0.3356z + +0.00535=0 進行進行V變換，令變換，令z= 1+v1-v2.33v3 + +3.68v2 + +1.65v + +0.34= =0 勞斯表勞斯表 v3 2.33 1.56 0 v2 3.68 0.34 0 v1 1.43 0 v0 0.34 0返回返回x(t) 1-e s-Ts 2s(1+0.1s)(1+0.05s)y(t)二、頻率特性法在離散系統(tǒng)中二、頻率特性法在離散系統(tǒng)中的應用的應用 根據(jù)式根據(jù)式 對離散系對離散系統(tǒng)的開

40、環(huán)統(tǒng)的開環(huán)Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)G(z)進行進行V變換，則得變換，則得到以復變量到以復變量v為變量的開環(huán)傳遞函數(shù)，再令為變量的開環(huán)傳遞函數(shù)，再令v= =jw wp(w wp為虛擬頻率為虛擬頻率)，這樣就可以把連續(xù)，這樣就可以把連續(xù)系統(tǒng)中的頻率特性法推廣到離散系統(tǒng)中系統(tǒng)中的頻率特性法推廣到離散系統(tǒng)中 1 11 1 或或（ 1 11 1+ +- -= =- -+ += =zzvvvz）示例示例開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 0.0185)0.0185)0.135)(0.135)(1)(1)( (1.065)1.065)0.05)(0.05)(0.152(0.152() )( (- - - -

41、+ + += =zzzzzzG- -+ +- -vv進行進行V變換變換 ）（+ +）（+ +）（）（= =0.9650.9651 10.7640.7641 131.831.81 11.1051.1051 1) )0.188(10.188(1) )( (vvvvvGjjw ww w令令v= =jw wp + + +- -+ +- -= =0.9650.9651 10.7640.7641 131.831.81 11.1051.1051 1) )0.188(10.188(1) )( (pppppppjjjjjGw ww ww ww ww w（）返回返回10200.1-90。-180 。-270 。-

42、360 。0.1880. 7640.9651.01.1051031.8 三、三、Z Z平面上的根軌跡平面上的根軌跡 離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程 1+ +G(z)= =0 其中其中G(z)為開環(huán)為開環(huán)Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) Z平面上的根軌跡作圖方法與平面上的根軌跡作圖方法與S平面上平面上的作圖規(guī)則完全一致。唯一需要注意的是的作圖規(guī)則完全一致。唯一需要注意的是：在連續(xù)系統(tǒng)中，穩(wěn)定的邊界是虛軸，而：在連續(xù)系統(tǒng)中，穩(wěn)定的邊界是虛軸，而在離散系統(tǒng)中，穩(wěn)定的邊界是單位圓。在離散系統(tǒng)中，穩(wěn)定的邊界是單位圓。例例7.22 解解 因因T= =1(秒秒)，故，故 G(z)= 0.632Kz (z-1)(z-0.368)系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點，系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點，p1= =1，p2= =0.368，和和一個開環(huán)零點一個開環(huán)零點z1= =0 返回設系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，開環(huán)系統(tǒng)脈沖設系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) G(z)=Kz(1 - e )(z-1)(z - e )-T-T系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為1+ +G(z)= =0。試做出試做出T= =1(秒秒)