Chapter2 State Space Model

1、Chapter 2 State Space Model2 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 本章要點本章要點n 理解控制系統(tǒng)的理解控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間狀態(tài)空間表示法表示法的概念，對系統(tǒng)的的概念，對系統(tǒng)的完完全全描述。描述。u狀態(tài)狀態(tài)u狀態(tài)空間狀態(tài)空間u狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型u線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)u時不變系統(tǒng)時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)空間模型線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)空間模型u建立狀態(tài)空間模型建立狀態(tài)空間模型(例子例子)n 掌握系統(tǒng)掌握系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換，即，即狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式與與微分方程微分方程、傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)、方塊圖方塊圖之間的相互轉(zhuǎn)換。之間的

2、相互轉(zhuǎn)換。 了解這些不同模型之間的關(guān)系了解這些不同模型之間的關(guān)系。3 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 本章要點本章要點n 熟悉系統(tǒng)的熟悉系統(tǒng)的狀態(tài)空間狀態(tài)空間和和狀態(tài)變量狀態(tài)變量圖示法；圖示法； n 狀態(tài)空間模型的狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型u對角標(biāo)準(zhǔn)型對角標(biāo)準(zhǔn)型u約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型u模態(tài)標(biāo)準(zhǔn)型模態(tài)標(biāo)準(zhǔn)型n 傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣u定義定義u狀態(tài)空間模型和方框圖轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)矩陣狀態(tài)空間模型和方框圖轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)矩陣線性時不變系統(tǒng)的幾種描述方式線性時不變系統(tǒng)的幾種描述方式微分微分方程方程狀態(tài)狀態(tài)空間空間傳遞傳遞函數(shù)函數(shù)脈沖脈沖響應(yīng)響應(yīng)目錄目錄一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空

3、間模型二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型有關(guān)有關(guān)狀態(tài)狀態(tài)、狀態(tài)空間狀態(tài)空間及及狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式等線等線性系統(tǒng)的性系統(tǒng)的基本概念基本概念是現(xiàn)代控制理論中狀態(tài)空是現(xiàn)代控制理論中狀態(tài)空間分析的間分析的基礎(chǔ)基礎(chǔ)。狀態(tài)空間分析狀態(tài)空間分析又是研究最優(yōu)控制、濾波問題又是研究最優(yōu)控制、濾波問題和系統(tǒng)辨識的和系統(tǒng)辨識的基礎(chǔ)基礎(chǔ)。n因此，本章內(nèi)容為現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)知識。因此，本章

4、內(nèi)容為現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)知識。7 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 uHV一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型n 小車小車-倒立擺例子倒立擺例子8 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型n 小車小車-倒立擺例子倒立擺例子22d xMuHdt小車的水平運(yùn)動：2222(sin )( cos )dmxlHdtdmlVmgdt擺重心的水平運(yùn)動：擺重心的垂直運(yùn)動：22sincosdIVlHldt擺繞重心的轉(zhuǎn)動：uHV9 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型22222222(sin )(

5、 cos )sincosd xMuHdtdmxlHdtdmlVmgdtdIVlHldt簡化:假設(shè)很小()0MxuHm xlHVmgIVlHl2()()Mm xmluImlmlxmgl12 21211()()xm l gImluMm mglmlu 2ImlmlmlMm 10 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型用一階微分方程組表示系統(tǒng)模型！用一階微分方程組表示系統(tǒng)模型！引入新的變量1234xxxxxx12 21211()()xm l gImluMm mglmlu 1212 21223341143()()xxxm l g xImluxxxMm m

6、gl xml u ,y y 小車狀態(tài)：擺的狀態(tài)：11 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型12 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型13 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型質(zhì)量質(zhì)量彈簧彈簧阻尼模型阻尼模型14 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型質(zhì)量質(zhì)量彈簧彈簧阻尼模型阻尼模型15 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型小車小車-倒立擺倒

7、立擺1212 21223341143()()xxxm l g xImluxxxMm mgl xml u 16 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型小車小車-倒立擺倒立擺1212 21223341143()()xxxm l g xImluxxxMm mgl xml u 13xyx12 2121101000000()0001000()010000010m l gImlxxuMm mglmlyx向量表示17 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型11212122311 132 3:( )( )231

8、2( )( )( )( )0( )( )( )( )( )( )( )0CCCRLCu tuti tuti ti tu tR i tutdi tututLR i tdt如如圖圖有有源源電電路路，穩(wěn)穩(wěn)壓壓源源和和恒恒流流源源為為輸輸入入，電電感感上上的的電電壓壓為為輸輸出出，求求系系統(tǒng)統(tǒng)的的表表達(dá)達(dá)式式。：網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò)有有 個個節(jié)節(jié)點點，個個回回路路，可可得得 個個節(jié)節(jié)點點方方程程，個個回回路路方方程程： 例例解解1221332( )( )( )( )( )( )CCLduti tCdtdutdi ti tCutLdtdt其中，其中， ， ， 18 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔

9、道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型12322211122212221221122212( )( )( ):( )( )(1)(1)( )( )(1)(1)LLi tititUsL C sUsR C sLC sR C sR C sUsR L C sUsR C sLC sR C sR C s消消去去中中間間變變量量，得得19 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型11123311111111122223323( )( ),( )( ),( )( ),11011( )( )( )1( )00( )00( )( )( )0011( )( )CCx

10、tutxtutxtitR CCR CCx tx tu txtxtutCxtxtRLLLy tLxt 取取狀狀態(tài)態(tài)變變量量為為則則1223( )11( )( )x tRxtxt 20 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型基本概念基本概念,擺的狀態(tài)：小車狀態(tài)：xx算命，算命，診斷，預(yù)言診斷，預(yù)言state21 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型基本概念基本概念xxx x倒立擺小車系統(tǒng)狀態(tài)向量：22 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型n關(guān)于關(guān)

11、于狀態(tài)變量狀態(tài)變量的選擇：的選擇：u在物理系統(tǒng)中，一般選擇系統(tǒng)中儲能元件上在物理系統(tǒng)中，一般選擇系統(tǒng)中儲能元件上與儲與儲能有關(guān)的參量能有關(guān)的參量，如電感中的電流、電容上的電壓、，如電感中的電流、電容上的電壓、電荷或電流、彈性元件的位移、速度、加速度等電荷或電流、彈性元件的位移、速度、加速度等作為狀態(tài)變量。因此，在物理系統(tǒng)中，狀態(tài)變量作為狀態(tài)變量。因此，在物理系統(tǒng)中，狀態(tài)變量的個數(shù)等于系統(tǒng)中獨立儲能元件的個數(shù)。的個數(shù)等于系統(tǒng)中獨立儲能元件的個數(shù)。u有時出于數(shù)學(xué)上的需要，也可以用一些物理量的有時出于數(shù)學(xué)上的需要，也可以用一些物理量的線性組合作為狀態(tài)變量。對于諸如社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、線性組合作為狀態(tài)變量。

12、對于諸如社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、生態(tài)環(huán)境系統(tǒng)等，狀態(tài)變量有時不一定具有明確生態(tài)環(huán)境系統(tǒng)等，狀態(tài)變量有時不一定具有明確的物理意義。的物理意義。23 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型u狀態(tài)變量的個數(shù)為狀態(tài)變量的個數(shù)為n，即系統(tǒng)的即系統(tǒng)的 最大線性無關(guān)組。最大線性無關(guān)組。u狀態(tài)變量的個數(shù)等于系統(tǒng)的階數(shù)，即系統(tǒng)狀態(tài)變量的個數(shù)等于系統(tǒng)的階數(shù)，即系統(tǒng) 最大線最大線性無關(guān)組性無關(guān)組 的個數(shù)，是一個固定值。的個數(shù)，是一個固定值。n狀態(tài)空間描述是通過描述系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)（狀態(tài)）狀態(tài)空間描述是通過描述系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)（狀態(tài)）來描述系統(tǒng)的，是系統(tǒng)的一種完全描述。來描述系統(tǒng)的，是

13、系統(tǒng)的一種完全描述。the internal descriptionState-space description24 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型u狀態(tài)變量的選擇不是唯一的，但必須是能完全描述狀態(tài)變量的選擇不是唯一的，但必須是能完全描述系統(tǒng)特征的一組最少變量，且變量間相互獨立；系統(tǒng)特征的一組最少變量，且變量間相互獨立；25 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型基本概念基本概念 1x 2x 圖：2 維狀態(tài)空間及狀態(tài)軌跡 state-space26 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)

14、講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型n 對于對于n階系統(tǒng)，輸入量為階系統(tǒng)，輸入量為m個，輸出量為個，輸出量為r個，則有：個，則有：（1）輸入變量與狀態(tài)變量之間的）輸入變量與狀態(tài)變量之間的一階微分方程組一階微分方程組稱為稱為狀態(tài)方程狀態(tài)方程 ;（2）輸出變量與狀態(tài)變量、輸入變量之間的）輸出變量與狀態(tài)變量、輸入變量之間的代數(shù)表達(dá)代數(shù)表達(dá)式式稱為稱為輸出方程輸出方程 .（3）狀態(tài)方程與輸出方程的組合構(gòu)成對系統(tǒng)動力學(xué)行）狀態(tài)方程與輸出方程的組合構(gòu)成對系統(tǒng)動力學(xué)行為的為的完整描述完整描述，稱為系統(tǒng)的，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式。 xAxBuyCxDu:狀狀態(tài)態(tài)空空間間表表達(dá)達(dá)

15、式式的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)圖圖為為27 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型 B C D A + + x u x y + + 重點：重點：定常線性系統(tǒng)！定常線性系統(tǒng)！28 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型 12,nx xx 1muu 1ryy 動力學(xué)部件 輸出部件 狀態(tài)空間模型： 狀態(tài)方程 輸出方程 nmrxuyRRR29 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型30 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空

16、間模型1111ABCDn nm mn nn nn nn nn nm mn nm mr rr rn nr rr rm m31 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間表達(dá)式與傳遞函數(shù)狀態(tài)空間表達(dá)式與傳遞函數(shù)表示的比較表示的比較u信號表示的不同信號表示的不同p傳遞函數(shù)為頻域信號p狀態(tài)空間模型為時域信號u反映系統(tǒng)的信息不同反映系統(tǒng)的信息不同p傳遞函數(shù)只描述輸入輸出信息p狀態(tài)空間模型還描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)信息32 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型n 狀態(tài)空間法把輸入輸出間的信息傳遞分為兩段來描狀

17、態(tài)空間法把輸入輸出間的信息傳遞分為兩段來描述。述。n 第一段是輸入引起系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化，第二段是第一段是輸入引起系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化，第二段是系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變化引起系統(tǒng)輸出的變化。前者由狀系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變化引起系統(tǒng)輸出的變化。前者由狀態(tài)方程描述，后者用輸出方程描述。由于這種方法態(tài)方程描述，后者用輸出方程描述。由于這種方法可以描述系統(tǒng)內(nèi)部，所以稱之為全面描述?？梢悦枋鱿到y(tǒng)內(nèi)部，所以稱之為全面描述。n 傳遞函數(shù)只能描述系統(tǒng)外部的輸入輸出關(guān)系，并不傳遞函數(shù)只能描述系統(tǒng)外部的輸入輸出關(guān)系，并不能反映內(nèi)部狀態(tài)的變化，故稱之為外部描述或者端能反映內(nèi)部狀態(tài)的變化，故稱之為外部描述或者端口描述?？诿枋?。n 狀態(tài)方

18、程描述了系統(tǒng)狀態(tài)方程描述了系統(tǒng)狀態(tài)狀態(tài)的運(yùn)動：輸入的運(yùn)動：輸入狀態(tài)狀態(tài)n 輸出輸出是狀態(tài)的線性組合：狀態(tài)是狀態(tài)的線性組合：狀態(tài)輸出輸出一、狀態(tài)空間模型一、狀態(tài)空間模型n 狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型 ( )D t( )A t( )C t( )B t( )u t( )x t( )x t( )y t狀 態(tài) 空 間 模型 框 圖 ( )( )( )( )xA t xB t uyC t xD t u時變線性系統(tǒng)xAxBuyCxDu時不變線性系統(tǒng)狀態(tài)方程：輸出方程：二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型n 微分方程描述微分方程描述()(1)110()(1)110()()nnnmmmmk

19、kkyaya ya yb ubub ub up yp uddppdtdt11101110( )( )nnnmmmmppapa papb pbpb pbThe input-output or external description二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型n 微分方程描述轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型微分方程描述轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型u算法算法1)(nmybybybyuyayayaymmnnn01)(01)1(1)( )1( )( )( )pyupu ypp36 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分方程描述與狀態(tài)空間模

20、型 ( )( )B sA s( )U s ( )Y s 1( )A s( )U s ( )Y s ( )B s( )Y s 等價變換1( )( )( )( )( ) ( )Y sU sA sY sB s Y s引入中間變量二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型1211012210121mmnnnnnxbxbxbyuxaxaxaxxxxx)1(21, ,nnyxyxyx二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型101100100nnmxxuaaaybbx I0二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分

21、方程描述與狀態(tài)空間模型41 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型012012( )3 ( )2 ( )( )( )2 ( )( )1,23, 1,2,1, 0100( )001( )0( )1231( )121 ( ) y ty ty ty tu tu tu taaabbbx tx tu ty tx t 例例: :已已知知系系統(tǒng)統(tǒng)的的微微分分方方程程模模型型為為 求求系系統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)空空間間表表達(dá)達(dá)式式。解解： = ,= = ,= = =套套用用公公式式得得 42 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道

22、雄龔道雄 二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型n num=1 2 1;den=1 3 2 1;n G=tf(num,den); Gss=ss(G) n a = x1 x2 x3n x1 -3 -0.5 -0.25n x2 4 0 0n x3 0 1 0n MATLAB: tf函數(shù)和函數(shù)和 ss函數(shù)函數(shù)b = u1 x1 1 x2 0 x3 0c = x1 x2 x3 y1 1 0.5 0.25d = u1 y1 0Continuous-time model.43 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分方程描述與狀態(tài)

23、空間模型計算標(biāo)準(zhǔn)型，驗證它們等價：計算標(biāo)準(zhǔn)型，驗證它們等價：(1) num=1 2 1;den=1 3 2 1; sys=tf(num, den)； csys = canon(sys,companon)(2) A=0 1 0;0 0 1;-1 -2 -3; B=0; 0; 1; C=1 2 1; D=0; sys=ss(A,B,C,D)； csys = canon(sys,companon)得到同樣的結(jié)果：得到同樣的結(jié)果：a = x1 x2 x3 x1 0 0 -1 x2 1 0 -2 x3 0 1 -3 b = u1 x1 1 x2 0 x3 0 c = x1 x2 x3 y1 1 -1 2

24、 d = u1 y1 0 Continuous-time model.44 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型nMATLAB應(yīng)用應(yīng)用u在在MATLAB中，通常將中，通常將LTI(線性時不變線性時不變)系統(tǒng)的各系統(tǒng)的各種模型封裝成一個種模型封裝成一個LTI對象，以便更好的操縱系統(tǒng)。對象，以便更好的操縱系統(tǒng)。常用的三種對象為常用的三種對象為ss(狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型)對象，對象，tf(傳遞傳遞函數(shù)模型函數(shù)模型)對象，對象，zpk(零極點模型零極點模型)對象。對象。u函數(shù)格式為：函數(shù)格式為： sys=ss(A,B,

25、C,D) sys=tf(num,den) sys=zpk(z,p,k)45 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型n 微分方程描述轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型微分方程描述轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型u算法算法2)(nm yubyabbyabbyuyayayaynnnnnnnnn)()(00)1(1101)1(1)(11011011100110()()nnnnnnnnnnnnnnnnb pbpbyupapaub ubb apbb apapa二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分方

26、程描述與狀態(tài)空間模型1121 nxyxxxx0122100111 ()()nnnnnnnnnnxa xa xaxuybb axbb axb u 二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型二、微分方程描述與狀態(tài)空間模型1011001101nnnnnnnxxuaaaybb abb axb u I0三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型n 例例: 簡單的簡單的RLC電路電路( ),( ),( )( )/ ( )E sI sZ sE sI s電路兩端的電壓的拉氏變換為通過元件的電流的拉氏變換為則元件兩端電路的復(fù)阻抗定義為RLCR LsCs電阻 、電感 和電容 的復(fù)阻抗1分別為：、 和 1Z

27、2Z ie oe 212121( )( ) ( )( )( )( ) ( )11oiCsCsE sZs I sE sZ sZs I sLsRLCsRCs三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型2( )1( )1oiE sE sLCsRCs11oooiReeeeLLCLC121ooioxexeueyxe1111221201010RLCLLCxxuxxxyx三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型n 實現(xiàn)問題實現(xiàn)問題1( ) ( )()G sxAxBuyCxDuG sC sIABD傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)，就是尋找 使得：注記：注記：1. 實現(xiàn)不唯一：可以有不

28、同維數(shù)，或不同參數(shù)；2. 實現(xiàn)問題的物理本質(zhì)： 尋找一個假想結(jié)構(gòu)模型，使其輸入輸出特性等價于傳遞函數(shù)。 這個模型可能完全不同于真實系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。52 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型n 標(biāo)量傳遞函數(shù)的實現(xiàn)標(biāo)量傳遞函數(shù)的實現(xiàn)11101110( )mmmmnnnb sbsb sbG ssasa sa()(1)110()(1)110nnnmmmmyaya ya yb ubub ub u101100100nnmxxuaaaybbx I0( )( ) ( )Y s

29、G s U s三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型n 傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)1011101( )( )mijmnnq pnG sg sB sBsBsa sasa0110ppppnppmxxuaaayx0I00I0IIIIBB00Transfer-function matrix三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型n 狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù),(0)0 xAxBuxyCxDu)()()()()()(sDusCxsysBusAxssx1( ) () ( )y sC sIABD u s)(sG1( )adj(-)

30、det()G sCsIA BDsIA1110nnssRRR0111)(ssssnnn三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型iR確定矩陣)()(0111AIRRRIssssnnARARRARRRIIII01011210111)()(ssssssnnnnnnnnIARRIARRIARRIR1102211121nnnn1()()det()( ) ( )adj sssssIAIAIAR i確定特征多項式系數(shù)11221100=1=2=1=nnnntrtrtrntrnRARAR AR A11221()nnniiitrhhhhH萊弗勒（萊弗勒（Leverrier）算法）算法333322

31、3322122201111121211111210000100,20010100010011230311122338,10121121382111445512830327trtr AR ARIR AAR ARR AIR ARR AI求的特征多項式。11100110143220243802107,2821782718133455247623602414000070701400,14271013001404476500014( )det()2trtrssss R AR AR ARR AIR AIA2102814ss59 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)

32、空間模型三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型n應(yīng)用應(yīng)用MATLABu函數(shù)函數(shù) A, B, C, D = tf2ss (num, den)u函數(shù)函數(shù) A, B, C, D = zp2ss (z, p, k)( )snumG ssden含含 的的分分子子多多項項式式含含 的的分分母母多多項項式式11()()( )()()mnszszG skspspthe zero-pole-gain formn 強(qiáng)調(diào)強(qiáng)調(diào): : 任何系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式都不是唯一的。對任何系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式都不是唯一的。對于同一系統(tǒng)，可有許多個（無窮多個）狀態(tài)空間表達(dá)于同一系統(tǒng)，可有許多個（無窮多個）狀態(tài)空間表達(dá)式。上述式。上述MAT

33、LABMATLAB命令僅給出了一種可能的狀態(tài)空間命令僅給出了一種可能的狀態(tài)空間表達(dá)式。表達(dá)式。61 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型三、傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型！系統(tǒng)模型的建立和變換是很重要的內(nèi)容，請參閱陳啟宗教材自學(xué)。系統(tǒng)模型的建立和變換是很重要的內(nèi)容，請參閱陳啟宗教材自學(xué)。四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型n 三類聯(lián)接方式：三類聯(lián)接方式：并聯(lián)并聯(lián)、串聯(lián)串聯(lián)、反饋反饋聯(lián)接聯(lián)接u一個控制系統(tǒng)通常由多個部件互相連接組成，其中每個部件可以用一組微分方程或傳遞函數(shù)描述。u要求基于方框圖信息從每個部件的狀態(tài)空間模型建立整個系

34、統(tǒng)狀態(tài)空間模型。并并聯(lián)聯(lián) 121u2uu1y2yy串串聯(lián)聯(lián) 212u1y2y1uuy反反饋饋聯(lián)聯(lián)結(jié)結(jié) 121u2uu1y2yy四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型n 子系統(tǒng)的并聯(lián)子系統(tǒng)的并聯(lián):(1,2)iiiiiiiiiiixxu iyxuABCDMATLAB函數(shù)： parallel并并聯(lián)聯(lián) 121u2uu1y2yy1212uuuyyy1111122222112212()xA xB uxA xB uyC xCxDDuA B C D=parallel (A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)G=G1+G2四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型n 子

35、系統(tǒng)的并聯(lián)子系統(tǒng)的并聯(lián)uDDxxCCyuBBxxAAxx)(0021212121212121并并聯(lián)聯(lián) 121u2uu1y2yy1111122222112212()xA xB uxA xB uyC xCxDDu四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型n 子系統(tǒng)的串聯(lián)子系統(tǒng)的串聯(lián)1122:(1,2)iiiiiiiiiiixAxBuiyC xDuuu yuyy2uMATLAB函數(shù)： series串串聯(lián)聯(lián) 212u1y2y1uuy11 1122221 112221 11()()xAxBuxA xBC xDuyC xDC xDu A B C D=series(A1,B1,C1,D1,A2

36、,B2,C2,D2) G=G2*G1四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型n 子系統(tǒng)的串聯(lián)子系統(tǒng)的串聯(lián)uDDxxCCDyuDBBxxACBAxx)(0122121212121212121串串聯(lián)聯(lián) 212u1y2y1uuy11 1122221 112221 11()()xAxBuxA xBC xDuyC xDC xDu四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型n 子系統(tǒng)的反饋聯(lián)結(jié)子系統(tǒng)的反饋聯(lián)結(jié)11112222221111)(xCyxCBxAxxCuBxAxMATLAB函數(shù)： feedback反饋聯(lián)結(jié)反饋聯(lián)結(jié) 121u2uu1y2yy1212:(1,2)iiiii

37、iiiixAxBu iyC x uuy yuy A B C D= feedback(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2) G=feedback(G1,G2,Sign)四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型n 子系統(tǒng)的反饋聯(lián)結(jié)子系統(tǒng)的反饋聯(lián)結(jié)2111212122112100 xxCyuBxxACBCBAxx反饋聯(lián)結(jié)反饋聯(lián)結(jié) 121u2uu1y2yy11112222221111)(xCyxCBxAxxCuBxAx四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型n 基本單元的實現(xiàn)基本單元的實現(xiàn)as1 u y 1x 1s u y a 1x 1x uasy1yuay

38、111xyuaxx四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型bsa u y 1x 1sa u y 1x b bsa u y 1x u y a 1x b byusaybuay111xaxbuyx 111xaxuybx 四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型n 一般傳遞函數(shù)方框圖的轉(zhuǎn)化步驟：一般傳遞函數(shù)方框圖的轉(zhuǎn)化步驟：u第一步：第一步：將各環(huán)節(jié)通過等效變換分解，使得整個系統(tǒng)由基本單元通過將各環(huán)節(jié)通過等效變換分解，使得整個系統(tǒng)由基本單元通過串聯(lián)串聯(lián)、并聯(lián)并聯(lián)和和反饋反饋三種形式組成整個控制系統(tǒng)。三種形式組成整個控制系統(tǒng)。u第二步第二步：將每個基本單元的：將每個基本單

39、元的輸出輸出作為一個獨立的作為一個獨立的狀態(tài)變量狀態(tài)變量xi，積分器，積分器的的輸入端輸入端就是狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)就是狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)dxi /dt。u第三步：第三步：根據(jù)調(diào)整過的方塊圖中各信號的關(guān)系，寫出每個狀態(tài)變量的根據(jù)調(diào)整過的方塊圖中各信號的關(guān)系，寫出每個狀態(tài)變量的一階微分方程，從而寫出系統(tǒng)的一階微分方程，從而寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程狀態(tài)方程。根據(jù)需要指定輸出變量，。根據(jù)需要指定輸出變量，從方塊圖寫出系統(tǒng)的從方塊圖寫出系統(tǒng)的輸出方程輸出方程。 73 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型74 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控

40、制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型1111145:1xxuyx 2222212:1xxuyx 2222222:xxuyx 111114512:1 1xxuyx 4551221120110 xxuyx2111212122112100 xxCyuBxxACBCBAxx75 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型2111212122112100 xxCyuBxxACBCBAxx76 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖

41、組合與狀態(tài)空間模型例：某控制系統(tǒng)的方塊圖如圖所示，試求出其狀態(tài)空間例：某控制系統(tǒng)的方塊圖如圖所示，試求出其狀態(tài)空間表達(dá)式。表達(dá)式。77 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型解：解：第一步第一步 轉(zhuǎn)化方框圖轉(zhuǎn)化方框圖 1(8)21(8)1864164G(s)1 G(s)H(s)s ss sss傳遞函數(shù)78 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型n 第二步：依次取各個積分器的輸出端信號為系統(tǒng)狀態(tài)變量依次取各個積分器的輸出端信號為系統(tǒng)狀態(tài)變量x1 、x

42、2 、x3 、x4 ，系統(tǒng)輸出，系統(tǒng)輸出y = x1。n 第三步： 根據(jù)信號關(guān)系可得系統(tǒng)狀態(tài)方程：根據(jù)信號關(guān)系可得系統(tǒng)狀態(tài)方程： 79 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型四、方框圖組合與狀態(tài)空間模型 寫成矢量形式，得系統(tǒng)動態(tài)方程為：寫成矢量形式，得系統(tǒng)動態(tài)方程為：五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型n ！對于一個系統(tǒng)，由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，可以得到對于一個系統(tǒng)，由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，可以得到不同形式的狀態(tài)空間表達(dá)式。不同形式的狀態(tài)空間表達(dá)式。n ？同一個系統(tǒng)不同狀態(tài)變量的選取有何依據(jù)？同一系統(tǒng)不同同一個系統(tǒng)不同狀態(tài)變量的

43、選取有何依據(jù)？同一系統(tǒng)不同形式的狀態(tài)空間表達(dá)式之間有何關(guān)系？形式的狀態(tài)空間表達(dá)式之間有何關(guān)系？n ！若系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點互異，則可以通過部分分式法，獲若系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點互異，則可以通過部分分式法，獲得對角線形式的狀態(tài)空間表達(dá)式。若系統(tǒng)有重極點，則可獲得對角線形式的狀態(tài)空間表達(dá)式。若系統(tǒng)有重極點，則可獲得約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間表達(dá)式。得約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間表達(dá)式。n ！研究狀態(tài)空間表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式，可以清晰地表示系統(tǒng)的研究狀態(tài)空間表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式，可以清晰地表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式，明確不同系統(tǒng)之間的差異，對狀態(tài)方程的求解和結(jié)構(gòu)形式，明確不同系統(tǒng)之間的差異，對狀態(tài)方程的求解和系統(tǒng)的性能分析是非常方便的

44、。系統(tǒng)的性能分析是非常方便的。Canonical Forms五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型n 時不變線性系統(tǒng)狀態(tài)變換時不變線性系統(tǒng)狀態(tài)變換1,xPxxxPxPxxPxPP 稱為向量 的線性變換，其中為原系統(tǒng)狀態(tài)向量， 為相應(yīng)階次的非奇異矩陣。 若，則。:xAxBuyCxDu11()()()xP APxP BuyCPxDu：xPx Similarity TransformationEquivalence transformationnonsingular matrix線形變換舉例線形變換舉例For rotation by an angle counter clockwise a

45、bout the origin, the functional form is and . Written in matrix form, this becomes: Similarly, for a rotation clockwise about the origin, the functional form is and and the matrix form is: For scaling (that is, enlarging or shrinking), we have and . The matrix form is: When , then the matrix is a sq

46、ueeze mapping and preserves areas in the plane.線形變換舉例線形變換舉例As in two dimensions a matrix can be used to rotate a point (x, y, z) to a point (x, y, z). The matrix used is a 3 3 matrix, This is multiplied by a vector representing the point to give the result The matrix A is a member of the three dimen

47、sional special orthogonal groupRotation五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型n 時變線性系統(tǒng)狀態(tài)變換時變線性系統(tǒng)狀態(tài)變換( ),( )xP ttxP t xx設(shè) 為原系統(tǒng)狀態(tài)向量和對任意 為相應(yīng)階次的非奇異、連續(xù)可微且有界的矩陣 則為向量 的線性變換。utDxtCyutBxtAx)()()()( )xP t xutDxtCyutBxtAx)()()()(:111( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )A tPt P tPtP tB tPtC tP tA tB tC tDD tt 五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五

48、、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型n 線性系統(tǒng)的代數(shù)等價及其性質(zhì)線性系統(tǒng)的代數(shù)等價及其性質(zhì)u代數(shù)等價：代數(shù)等價：兩個系統(tǒng)能通過線性變換互相轉(zhuǎn)換。兩個系統(tǒng)能通過線性變換互相轉(zhuǎn)換。u時不變系統(tǒng)代數(shù)等價的性質(zhì)：時不變系統(tǒng)代數(shù)等價的性質(zhì)：p（1）特征多項式的不變性 定常系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的特征多項式在狀態(tài)變換下不變定常系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的特征多項式在狀態(tài)變換下不變p（2）傳遞函數(shù)的不變性 定常系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的傳遞函數(shù)矩陣在狀態(tài)變換下不變定常系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的傳遞函數(shù)矩陣在狀態(tài)變換下不變86 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型EigenvalueEigenvect

49、orthe characteristic polynomialIn MATLAB, typing r=eig (a) ; poly (r) yields the characteristic polynomial.五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型n 線性代數(shù)回顧：矩陣相似變換與對角（約當(dāng)）化線性代數(shù)回顧：矩陣相似變換與對角（約當(dāng)）化1112diag,nnniiAPP APPvvvv如果矩陣 的特征值互不相同，則存在可逆矩陣使得相似矩陣為如下對角矩陣并且變換矩陣為其中 為相應(yīng)于 的特征向量。五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型1112121,2, diag, diag

50、, ililiiiiiiikAm i=lQQ AQA AAAAJJJJ 2如果矩陣 的特征值,為重根,重數(shù)分別為,則存在可逆矩陣使得相似矩陣具有約當(dāng)矩陣其中 由相應(yīng)于 的約當(dāng)塊構(gòu)成，即每個約當(dāng)塊具有形式 11iii五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型11(1)(1) , rank() 0,1, 12illikikiiiiikiki kiikiki kiAmmnAIkmkkQ關(guān)于 的求法:求 的所有互異的特征根，重數(shù)分別為求每個特征根 對應(yīng)的約當(dāng)塊的個數(shù)計算其中 直到計算的 階及以上約當(dāng)塊的個數(shù)計算的 階約當(dāng)）塊的個數(shù)）01i21(1)0iiiiiiiiiii的 約 當(dāng) 塊 的 個

51、數(shù)的 二 階 及 以 上 約 當(dāng) 塊 的 個 數(shù)的階 及 以 上 約 當(dāng) 塊 的 個 數(shù)五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型1(1)1(1)(2)2( )()0()0,1,()()()ikiikkiikikikikjikikjikkikjiikjikjiikjkkikjiikjikjkAIvAIvkvjvkvAIvvAI vvAIvv對 的每個 階約當(dāng)塊，求廣義特征向量 假設(shè)有個 階約當(dāng)塊，則得到個向量對每個構(gòu)造 的 階約當(dāng)塊對應(yīng)的廣義特征向量鏈3）4）ikjv五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型(1)(2)( )121212,1,ikiikikjikjikjikjik

52、ikikikikiiiilknkQvvvjkQQQQkQQQQQQQQQ構(gòu)造 的每個 階約當(dāng)塊對應(yīng)的階矩陣 對應(yīng)一個 階約當(dāng)塊對應(yīng)所有 階約當(dāng)塊對應(yīng)5）6）所有約當(dāng)塊構(gòu)造變換矩陣 五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型n 例：將矩陣?yán)簩⒕仃嘇化為約當(dāng)矩陣化為約當(dāng)矩陣311100111100002011000211000011000011A五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型5det()(2)AI11222 (5)0 (1)mm11,1llAmm求 的所有互異的特征根 重數(shù)分別為）五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型(1)(1)(1)rank()0,1,*02

53、*,iiikikiiiiikiki kiikiki kii mnAIkmkk 求每個特征根 對應(yīng)的約當(dāng)塊的個數(shù) 直到的 階及以上約當(dāng)塊的個數(shù)的 階約當(dāng)塊的個數(shù)假定）1111100111100000011()(2 )000011000011000011AIAI1262413116 15,3m 11642221002200002200000000()(2 )000000000022000022AIAI331000000000000000000()(2 )000000000044000044AIAI11111012121113131222111111212121313131414011,012202

54、122651,1m 2個1階以上約當(dāng)塊2個2階以上約當(dāng)塊1個3階以上約當(dāng)塊0個1階約當(dāng)塊1個2階約當(dāng)塊1個3階約當(dāng)塊1個1階約當(dāng)塊五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型1()0()0,1,ikiikkiikikikikjikkAI vAIvkvj 對 的每個 階約當(dāng)塊，求廣義特征向量 假設(shè)有 個 階約當(dāng)3）塊，則得到 個向量123階約當(dāng)塊的廣義特征向量313213(2 )0(2 )0AIvAIv131001000v 2階約當(dāng)塊的廣義特征向量21212(2 )0(2 )0AIvAI v121001111v201階約當(dāng)塊的廣義特征向量2121(0 )00AI vv211000011v五、

55、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型(1)1(2)2(1)( )()()()ikjikikjiikjkikjiikjkikjiikjkikjikjvkvAIvvAIvvAI vvv4 對每個 構(gòu)造 的 階約當(dāng)塊對應(yīng)的廣量）義特征向 鏈(1 )21 3 11 3 1( 2 )1 3 11 3 1( 3 )1 3 11 3 1220(2),000110(2),000001000vAIvvAIvvv五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型(1 )1 2 11 2 1( 2 )1 2 11 2 1002(2)200001111vAIvvv(1)211211000011vv(1)1(2)

56、2(1)( )()()()ikjikikjiikjkikjiikjkikjiikjkikjikjvkvAIvvAIvvAI vvv4 對每個 構(gòu)造 的 階約當(dāng)塊對應(yīng)的廣量）義特征向 鏈五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型(1)(2)( )1212,1,ikiikikjikjikjikjikikikikikiiiikn kQvvvjkQQQQkQQQQ構(gòu)造 的每個 階約當(dāng)塊對應(yīng)的階矩陣對應(yīng)一個 階約當(dāng)塊對應(yīng)所有 階約當(dāng)塊對應(yīng)5）所有約當(dāng)塊(1)(2)(3)131131131131(1)(2)121121121(1)211211313112121212111131222112,Qvvv

57、QvvQvQQQQQQQQQQQQQQ12lQQQQQ構(gòu)造變換矩陣 6）五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型n 對角標(biāo)準(zhǔn)型對角標(biāo)準(zhǔn)型 Diagonal Form 11212diag,nniiAxPxxxP BuyCPxDuPvvvv 如果矩陣 的特征值互不相同，則存在狀態(tài)線性變換使得變換后的系統(tǒng)具有如下對角線標(biāo)準(zhǔn)型并且變換矩陣為其中 為相應(yīng)于 的特征向量。100 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)講義 龔道雄龔道雄 五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型五、狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)型-1-211222212-1-1-1111010000100001,1, 2,111 nnninnnnnAaaaainAPVandermondeP設(shè)設(shè) 系系 統(tǒng)統(tǒng) 矩矩 陣陣 為為 正正 則則 型型 ( (友友 矩矩 陣陣 ) ), ,即即且且 特特 征征 值值互互 異異則則 將將化化 為為 對對