線性代數(shù)習題解答[同濟大學(第四版)]

1、第一章 行列式1.利用對角線法那么計算以下三階行列式：1； 23； 4.解 1=2342.按自然數(shù)從小到大為標準次序，求以下各排列的逆序數(shù)：11 2 3 4； 24 1 3 2；33 4 2 1； 42 4 1 3；51 3 2 4 ；61 3 2.解1逆序數(shù)為02逆序數(shù)為4：4 1，4 3，4 2，3 23逆序數(shù)為5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 14逆序數(shù)為3：2 1，4 1，4 35逆序數(shù)為：3 2 1個5 2，5 4 2個7 2，7 4，7 6 3個 2， 4， 6， 個6逆序數(shù)為3 2 1個5 2，5 4 2個 2， 4， 6， 個4 2 1個6 2，6 4 2個 2， 4，

2、6， 個的項.解 由定義知，四階行列式的一般項為，其中為的逆序數(shù)由于已固定，只能形如，即1324或1342.對應的分別為或和為所求.4.計算以下各行列式：1； 2；3； 4解(1)=0(2) =0(3)=(4) = =5.證明:(1)=;(2)=;(3);(4);(5).證明(1)(2) (3) (4) =(5) 用數(shù)學歸納法證明假設對于階行列式命題成立，即 所以，對于階行列式命題成立.階行列式,把上下翻轉、或逆時針旋轉、或依副對角線翻轉，依次得， ，證明.證明同理可證 7.計算以下各行列式：(1),其中對角線上元素都是，未寫出的元素都是0；(2);(3) ;提示：利用范德蒙德行列式的結果(4

3、) ;(5);(6),.解(1) ()(2)將第一行乘分別加到其余各行，得再將各列都加到第一列上，得(3)從第行開始，第行經過次相鄰對換，換到第1行，第行經次對換換到第2行，經次行交換，得此行列式為范德蒙德行列式(4) 由此得遞推公式： 即 而 得 (5)=(6)8.用克萊姆法那么解以下方程組：解(1) (2)()9.有非零解？解 ，齊次線性方程組有非零解，那么即 得 不難驗證，當該齊次線性方程組確有非零解.10.有非零解？解齊次線性方程組有非零解，那么得 不難驗證，當時，該齊次線性方程組確有非零解.第二章矩陣及其運算1線性變換：求從變量到變量的線性變換解由：故 2兩個線性變換 求從到的線性變

4、換解 由所以有 3設, 求解4計算以下乘積：(1); (2); (3);(4);(5);(6).解(1)(2)(3)(4)(5)(6) 5設, ，問：(1)嗎?(2)嗎?(3)嗎?解(1), 那么 (2) 但故(3) 而 故 6舉反列說明以下命題是錯誤的:假設,那么;假設,那么或;假設,且,那么.解 (1)取 ,但(2)取 ,但且(3)取 且 但7設,求.解 利用數(shù)學歸納法證明: 當時,顯然成立,假設時成立,那么時由數(shù)學歸納法原理知:8設,求.解 首先觀察 由此推測 用數(shù)學歸納法證明: 當時,顯然成立. 假設時成立，那么時，由數(shù)學歸納法原理知: 9設為階矩陣，且為對稱矩陣，證明也是對稱矩陣.證

5、明：那么 從而 也是對稱矩陣.10設都是階對稱矩陣，證明是對稱矩陣的充分必要條件是.證明由： 充分性：即是對稱矩陣.必要性：.11求以下矩陣的逆矩陣：(1)； (2)； (3); (4);(5); (6)解(1) 故 (2) 故存在從而 (3) , 故存在 而 故 (4) 故(5) 故存在而 從而(6)由對角矩陣的性質知 12解以下矩陣方程：(1); (2);(3);(4).解(1)(2) (3)(4)13利用逆矩陣解以下線性方程組:(1) (2) 解(1)方程組可表示為 故 從而有 (2) 方程組可表示為 故 故有 14設(為正整數(shù)),證明.證明一方面， 另一方面，由有故兩端同時右乘就有15

6、設方陣滿足,證明及都可逆,并求及.證明由得兩端同時取行列式: 即,故所以可逆,而 故也可逆.由又由16設,求.解由可得故17設,其中,求.解故所以 而 故18設次多項式,記稱為方陣的次多項式.(1)設,證明: ,;(2)設,證明: ,.證明(1) i)時 命題成立,假設時成立,那么時 故命題成立.ii)左邊=右邊(2) i)時成立假設時成立,那么時成立,故命題成立,即 ii) 證明右邊=左邊19設階矩陣的伴隨矩陣為，證明：(1)假設,那么;(2) .證明(1)用反證法證明假設那么有由此得這與矛盾，故當時有(2)由于, 那么取行列式得到: 假設 那么假設由(1)知此時命題也成立故有20取,驗證檢

7、驗: 而故21設,求及解，令 那么故 22設階矩陣及階矩陣都可逆,求解 將分塊為其中 為矩陣, 為矩陣為矩陣, 為矩陣那么由此得到故 第三章矩陣的初等變換與線性方程組1把以下矩陣化為行最簡形矩陣：(1); (2);(3); (4).解(1) (2) (3) (4) 2在秩是的矩陣中,有沒有等于0的階子式?有沒有等于0的階子式?解在秩是的矩陣中,可能存在等于0的階子式,也可能存在等于0的階子式.例如，同時存在等于0的3階子式和2階子式.3從矩陣中劃去一行得到矩陣,問的秩的關系怎樣?解 設，且的某個階子式.矩陣是由矩陣劃去一行得到的，所以在中能找到與相同的階子式，由于，故而.4求作一個秩是4的方陣

8、,它的兩個行向量是,解設為五維向量,且,那么所求方陣可為秩為4,不妨設取故滿足條件的一個方陣為5求以下矩陣的秩,并求一個最高階非零子式：(1); (2)；(3).解(1)二階子式(2) .二階子式(3) 秩為3三階子式6求解以下齊次線性方程組:(1) (2)(3) (4)解(1)對系數(shù)矩陣實施行變換:即得故方程組的解為(2)對系數(shù)矩陣實施行變換:即得故方程組的解為(3)對系數(shù)矩陣實施行變換:即得故方程組的解為(4)對系數(shù)矩陣實施行變換:即得故方程組的解為7求解以下非齊次線性方程組:(1) (2) (3) (4) 解(1)對系數(shù)的增廣矩陣施行行變換,有而,故方程組無解(2)對系數(shù)的增廣矩陣施行行

9、變換:即得亦即(3)對系數(shù)的增廣矩陣施行行變換:即得即(4) 對系數(shù)的增廣矩陣施行行變換:即得即8取何值時,非齊次線性方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無窮多個解?解(1),即時方程組有唯一解.(2)由得時,方程組無解.(3),由,得時,方程組有無窮多個解.9非齊次線性方程組當取何值時有解？并求出它的解解方程組有解，須得當時,方程組解為當時,方程組解為10設問為何值時,此方程組有唯一解、無解或有無窮多解？并在有無窮多解時求解解當,即且時，有唯一解.當且，即時，無解.當且，即時，有無窮多解.此時，增廣矩陣為原方程組的解為 ()11試利用矩陣的初等變換，求以下方陣的逆矩陣：(1); (2)

10、.解1故逆矩陣為(2)故逆矩陣為12(1)設,求使;(2) 設,求使.解(1) (2) 第四章向量組的線性相關性1設,求及.解 2設其中,求解 由整理得3舉例說明以下各命題是錯誤的:(1)假設向量組是線性相關的,那么可由線性表示.(2)假設有不全為0的數(shù)使成立,那么線性相關, 亦線性相關.(3)假設只有當全為0時,等式才能成立,那么線性無關, 亦線性無關.(4)假設線性相關, 亦線性相關,那么有不全為0的數(shù),使同時成立.解 (1) 設滿足線性相關,但不能由線性表示.(2) 有不全為零的數(shù)使 原式可化為取其中為單位向量,那么上式成立,而 ,均線性相關(3) 由 (僅當)線性無關取取為線性無關組滿

11、足以上條件,但不能說是線性無關的.(4) 與題設矛盾.4設,證明向量組線性相關.證明 設有使得那么(1) 假設線性相關,那么存在不全為零的數(shù),;由不全為零,知不全為零,即線性相關.(2) 假設線性無關,那么由知此齊次方程存在非零解那么線性相關.綜合得證.5設,且向量組線性無關,證明向量組線性無關.證明 設那么因向量組線性無關,故因為故方程組只有零解那么所以線性無關6利用初等行變換求以下矩陣的列向量組的一個最大無關組:(1) ; (2) .解 (1) 所以第1、2、3列構成一個最大無關組.(2) ，所以第1、2、3列構成一個最大無關組7求以下向量組的秩,并求一個最大無關組:(1),;(2),.解

12、(1)線性相關.由秩為2,一組最大線性無關組為.(2) 秩為2,最大線性無關組為.8設是一組維向量,維單位坐標向量能由它們線性表示,證明線性無關.證明 維單位向量線性無關不妨設:所以兩邊取行列式，得由即維向量組所構成矩陣的秩為故線性無關.9設是一組維向量,證明它們線性無關的充分必要條件是：任一維向量都可由它們線性表示.證明設為一組維單位向量，對于任意維向量那么有即任一維向量都可由單位向量線性表示.線性無關，且能由單位向量線性表示，即故兩邊取行列式，得由令那么由即都能由線性表示，因為任一維向量能由單位向量線性表示，故任一維向量都可以由線性表示.任一維向量都可由線性表示，那么單位向量組：可由線性表

13、示，由8題知線性無關.10設向量組:的秩為,向量組:的秩向量組: 的秩,證明 證明 設的最大線性無關組分別為,含有的向量個數(shù)(秩)分別為,那么分別與等價,易知均可由線性表示,那么秩()秩(),秩()秩()，即設與中的向量共同構成向量組,那么均可由線性表示,即可由線性表示,從而可由線性表示，所以秩()秩(),為階矩陣，所以秩()即.證明:設 且行向量組的最大無關組分別為 顯然,存在矩陣,使得,因此12設向量組能由向量組線性表示為，其中為矩陣，且組線性無關。證明組線性無關的充分必要條件是矩陣的秩.證明假設組線性無關令那么有由定理知由組:線性無關知，故.又知為階矩陣那么由于向量組:能由向量組:線性表

14、示,那么綜上所述知即假設令,其中為實數(shù)那么有又,那么由于線性無關,所以即 1由于那么(1)式等價于以下方程組: 由于所以方程組只有零解.所以線性無關,證畢.13設問是不是向量空間？為什么？證明 集合成為向量空間只需滿足條件：假設，那么假設，那么是向量空間，因為：且 故故不是向量空間，因為：故故當時，14試證:由所生成的向量空間就是.證明 設 于是故線性無關.由于均為三維,且秩為3,所以為此三維空間的一組基,故由所生成的向量空間就是.15由所生成的向量空間記作,由所生成的向量空間記作,試證.證明 設任取中一向量,可寫成,要證,從而得由得上式中,把看成數(shù),把看成未知數(shù) 有唯一解同理可證: ()故1

15、6驗證為的一個基,并把用這個基線性表示.解 由于即矩陣的秩為3故線性無關，那么為的一個基.設，那么故設，那么故線性表示為17求以下齊次線性方程組的根底解系:(1) (2) (3).解(1)所以原方程組等價于取得取得因此根底解系為(2) 所以原方程組等價于取得取得因此根底解系為(3)原方程組即為取得取得取得所以根底解系為18設,求一個矩陣,使,且.解由于,所以可設那么由可得,解此非齊次線性方程組可得唯一解，故所求矩陣19求一個齊次線性方程組,使它的根底解系為.解顯然原方程組的通解為,()即消去得此即所求的齊次線性方程組.20設四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，是它的三個解向量且，求該方程組

16、的通解解 由于矩陣的秩為3，一維故其對應的齊次線性方程組的根底解系含有一個向量，且由于均為方程組的解，由非齊次線性方程組解的結構性質得為其根底解系向量，故此方程組的通解：，21設都是階方陣，且，證明證明 設的秩為，的秩為，那么由知，的每一列向量都是以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解向量(1) 當時,該齊次線性方程組只有零解,故此時,，結論成立(2)當時,該齊次方程組的根底解系中含有個向量,從而的列向量組的秩,即,此時,結論成立。綜上,22設階矩陣滿足,為階單位矩陣,證明(提示:利用題11及題21的結論)證明所以由21題所證可知又由11題所證可知由此23求以下非齊次方程組的一個解及對應的齊次線性方

17、程組的根底解系：(1) (2)解(1)(2) 24設是非齊次線性方程組的一個解,是對應的齊次線性方程組的一個根底解系,證明:(1)線性無關；(2) 線性無關。證明 (1)反證法,假設線性相關,那么存在著不全為0的數(shù)使得下式成立: (1)其中,否那么,線性相關,而與根底解系不是線性相關的產生矛盾。由于為特解，為根底解系，故得而由(1)式可得故，而題中,該方程組為非齊次線性方程組,得產生矛盾,假設不成立, 故線性無關.(2)反證法,假使線性相關.那么存在著不全為零的數(shù)使得下式成立: 2即1) 假設,由于是線性無關的一組根底解2) 系,故,由(2)式得此時與假設矛盾.3) 假設由題(1)知, 線性無

18、關,故與假設矛盾,綜上,假設不成立,原命題得證.25.設是非齊次線性方程組的個解，為實數(shù)，滿足.證明也是它的解.證明 由于是非齊次線性方程組的個解.故有 而即 從而也是方程的解26設非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，是它的個線性無關的解(由題24知它確有個線性無關的解)試證它的任一解可表示為 其中.證明設為的任一解由題設知：線性無關且均為的解取，那么它的均為的解用反證法證：線性無關反設它們線性相關，那么存在不全為零的數(shù)：使得即亦即由線性無關知矛盾，故假設不對線性無關，為的一組基由于均為的解，所以為的解可由線性表出令那么,證畢第五章 相似矩陣及二次型1試用施密特法把以下向量組正交化：(1)；(2

19、)解(1)根據(jù)施密特正交化方法:令，故正交化后得: (2)根據(jù)施密特正交化方法令故正交化后得 2以下矩陣是不是正交陣:(1); (2)解(1)第一個行向量非單位向量,故不是正交陣(2)該方陣每一個行向量均是單位向量，且兩兩正交，故為正交陣3設與都是階正交陣，證明也是正交陣證明 因為是階正交陣，故，故也是正交陣4求以下矩陣的特征值和特征向量:(1); (2); (3).并問它們的特征向量是否兩兩正交?解 (1)故的特征值為當時,解方程,由 得根底解系所以是對應于的全部特征值向量當時,解方程,由 得根底解系所以是對應于的全部特征向量故不正交(2)故的特征值為當時，解方程，由得根底解系故是對應于的全

20、部特征值向量.當時,解方程，由得根底解系故是對應于的全部特征值向量當時，解方程，由得根底解系故是對應于的全部特征值向量，所以兩兩正交(3) = , 當時，取為自由未知量，并令，設.故根底解系為當時，可得根底解系綜上所述可知原矩陣的特征向量為5設方陣與相似，求.解 方陣與相似，那么與的特征多項式相同，即6設都是階方陣，且，證明與相似證明 那么可逆 那么與相似7設3階方陣的特征值為；對應的特征向量依次為，求.解 根據(jù)特征向量的性質知可逆,得:可得得8設3階對稱矩陣的特征值6，3，3，與特征值6對應的特征向量為,求.解 設由，知3是的二重特征值,根據(jù)實對稱矩陣的性質定理知的秩為1，故利用可推出秩為1.那么存在實的使得成立由解得得9試求一個正交的相似變換矩陣,將以下對稱矩陣化為對角矩陣:(1);(2)