第17章機(jī)械振動(dòng)

1、機(jī)械振動(dòng)本章內(nèi)容Contentschapter 17簡諧振動(dòng)的特征及其描述簡諧振動(dòng)的特征及其描述characteristic and describe of simple harmonic motion 簡諧振動(dòng)的能量簡諧振動(dòng)的能量energy of simple harmonic motion compose of simple harmonic motion 簡諧振動(dòng)的合成簡諧振動(dòng)的合成第一節(jié) 引言characteristic and describe of1 7 - 1simple harmonic motion 往復(fù)運(yùn)動(dòng)。如聲源的振動(dòng)、鐘擺的擺動(dòng)等。機(jī)械振動(dòng) 物體在它的平衡位置附近所作

2、的物體發(fā)生機(jī)械振動(dòng)的條件：物體受到始終指向平衡位置的回復(fù)力；物體具有慣性。掌握機(jī)械振動(dòng)的基本規(guī)律是研究其它形式振動(dòng)的基礎(chǔ)。簡諧振動(dòng)（simple harmonic vibration) 是最簡單、最基本的振動(dòng)理想模型。它是研究各種復(fù)雜振動(dòng)的重要基礎(chǔ)。這里主要討論簡諧振動(dòng)。動(dòng)力學(xué)特征以物體受力為零的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)水平光滑面，彈簧勁度 質(zhì)量可忽略，物體質(zhì)量物體在任一位置受的彈性力以鉛垂方向 為擺角參考軸線，單擺在任一角位置 所受的重力矩為則取擺幅很小X正X向反X向運(yùn)動(dòng)學(xué)特征簡諧振動(dòng)的速度A簡諧振動(dòng)的加速度A應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，同理也可求得單擺的角振動(dòng)方程X簡諧振動(dòng)微分方程對(duì)于給定的彈簧振子 為常量，

3、其比值亦為常量。令則即得A為微分方程求解時(shí)的積分常量，由系統(tǒng)的初始條件決定。簡諧振動(dòng)方程A該微分方程的解通常表成余弦函數(shù)續(xù)上簡諧振動(dòng)的加速度AA簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程簡諧振動(dòng)的速度AAA最大最大最大AAA簡諧振動(dòng)參量XAA振幅 ： 的最大絕對(duì)值A(chǔ)周期：完成一次振動(dòng)需時(shí)頻率：角頻率：彈簧振子單 擺AA相位 ：是界定振子在時(shí)刻 的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量運(yùn)動(dòng)狀態(tài)要由位置 和速度 同時(shí)描述，而 和 的正負(fù)取決于 ，不是指開始振動(dòng)，而是指開始觀測(cè)和計(jì)時(shí)。所謂時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)AA位置速度初始條件即為初相 ：是時(shí)，振子的相位。續(xù)上由 和 求給定振子的振幅AAAA消去 得初相 由 和 求給定振子的AAA消去 得 但由于

4、 在 0 2p 范圍內(nèi)，同一正切值對(duì)應(yīng)有兩個(gè) 值，因此，還必須再根據(jù) 和 的正負(fù)進(jìn)行判斷。聯(lián)系振子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)直觀圖不難作出判斷且若則若且則且若則且若則（第一象限）（第二象限）（第三象限）（第四象限）旋轉(zhuǎn)矢量法AAXXOjM ( 0 )Aj初相M ( t )twtwM ( t )twM ( t )twM ( t )M ( t )twM ( t )twM (T )Tw周期 TM ( t )twM ( t )twXOjM ( 0 )j初相M ( t )twA矢量端點(diǎn)在X 軸上的投影對(duì)應(yīng)振子的位置坐標(biāo)t 時(shí)刻的振動(dòng)相位(w w tj j ) )旋轉(zhuǎn)矢量A以勻角速逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)循環(huán)往復(fù)x = A cos (w

5、 w tj j ) )簡諧振動(dòng)方程續(xù)上旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn) M 作勻速圓周運(yùn)動(dòng)振子的運(yùn)動(dòng)速度（與 X 軸同向?yàn)檎﹚A其 速率wAjtwAXAAXOwjtwO 旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn) M 的加速度為法向加速度，其大小為wA振子的運(yùn)動(dòng)加速度（與 X 軸同向?yàn)檎﹚Ajtw和任一時(shí)刻的 和 值，其正負(fù)號(hào)僅表示方向。同號(hào)時(shí)為加速異號(hào)時(shí)為減速例一0.040.0412簡諧振動(dòng)的曲線完成下述簡諧振動(dòng)方程A = 0.04 (m)T = 2 (s)w w = 2 p / p / T T = p p (rad /s )0.04p pp p2Aw w= p p / 2 t = 0v0 從 t = 0 作反時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，A矢端的投影從

6、x=0向X軸的負(fù)方運(yùn)動(dòng)，即 ，與 已知 X t 曲線一致。v0SI 試證明，若選取受力平衡點(diǎn)作為位置坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直彈簧振子與水平彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程和振動(dòng)方程相同。平衡點(diǎn)在受力平衡點(diǎn)小球受彈性力大小選取受力平衡點(diǎn)作為位置坐標(biāo)原點(diǎn)小球在為置坐標(biāo) 處所受彈性力合外力振動(dòng)方程A動(dòng)力學(xué)方程微分方程的解：均與水平彈簧振子結(jié)果相同例二例三彈簧振子x0 = 0t = 0 時(shí)v0 = 0.4 ms -1m = 510 - -3 kgk = 210 - -4 Nm -1 完成下述簡諧振動(dòng)方程v0mk0.2 (rad s 1)x0v02 (m)x0 = 0已知w w相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為20.2(SI)v0例四某物體

7、沿 X 軸作簡諧運(yùn)動(dòng)， 振幅 A = 0.12 m，周期周期 T = 2 s，t = 0 時(shí)x0 = 0.06 m處初相 j j , ,t = 0 .5 s 時(shí)的位置 x, 速度 v, 加速度 a物體背離原點(diǎn)移動(dòng)到位置A = 0.12 m，T = 2 s , w w = 2p / p / T = p p rad s - -1 , 將j j = p / 3 p / 3 rad 及 t = 0 .5 s 代入諧振動(dòng)的 x, v, a 定義式得x A cos (w w tj j ) )0.104 (m)A0.19 ( m s - -1 )A1.03 ( m s - -2 )x = A cos (w

8、w tj j ) )由簡諧振動(dòng)方程t = 0 時(shí)0.06 = 0.12 cos j j 得 j j =p / 3p / 3再由題意知 t = 0 時(shí)物體正向運(yùn)動(dòng)，即A0且j j = p / 3p / 3，則 j j 在第四象限，故取例五周期均為 T = 8.5s 用旋轉(zhuǎn)矢量法兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位差兩質(zhì)點(diǎn)第一次通過平衡點(diǎn)的時(shí)刻兩質(zhì)點(diǎn) 1、2同在 X 軸上作簡諧振動(dòng)t = 0 時(shí) 在 處 質(zhì)點(diǎn)2 AA向平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)1在 處向平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)振幅 A 相同Acos Acos 或因且在第一象限應(yīng)取Acos Acos 兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位差A(yù)A從旋轉(zhuǎn)矢量圖可以看出：時(shí)，質(zhì)點(diǎn)1第一次通過平衡點(diǎn)A轉(zhuǎn)過1.06 (s)A轉(zhuǎn)過

9、時(shí)，質(zhì)點(diǎn)2第一次通過平衡點(diǎn)2.13(s)第二節(jié) 振動(dòng)能量1 7 - 2energy of simple harmonic motion （以x x= =0 0處為零勢(shì)點(diǎn)）系統(tǒng)的 動(dòng)能A系統(tǒng)的 勢(shì)能A系統(tǒng)的 機(jī)械能AA振子運(yùn)動(dòng)速度AA簡諧振動(dòng)方程振動(dòng)系統(tǒng)： 彈簧勁度振子質(zhì)量振動(dòng)角頻率如 水平彈簧振子均隨時(shí)間而變且能量相互轉(zhuǎn)換變到最大時(shí)變?yōu)榱阆到y(tǒng)的機(jī)械能守恒。及A變?yōu)榱阕兊阶畲髸r(shí)時(shí) 間能 量例六動(dòng)能A 勢(shì)能A當(dāng)時(shí)則其中得振動(dòng)相位或一水平彈簧振子彈簧勁度振子質(zhì)量振幅 A沿 X X 軸振動(dòng) 當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)的以平衡點(diǎn)為原點(diǎn)位置坐標(biāo) x 相等時(shí) 動(dòng)能值與勢(shì)能值 振子的A代入中，解得能量位置例七該擺動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械

10、能守恒數(shù)學(xué)表達(dá)式該擺的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程及擺動(dòng)周期動(dòng)能 剛體（直棒）轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 勢(shì)能 系統(tǒng)的重力勢(shì)能以垂態(tài)直棒中心點(diǎn) C 為重力零勢(shì)點(diǎn)令機(jī)械能機(jī)械能守恒，即 為恒量，即得 簡諧角振動(dòng)微分方程該擺的振動(dòng)周期勻質(zhì)細(xì)直懸棒質(zhì)量 m、長 L在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)擺幅很小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量隨堂小議（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。結(jié)束選擇結(jié)束選擇請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案 一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，總能量為一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，總能量為 E E1 1，如果諧振，如果諧振動(dòng)的振幅增加為原來的兩倍，重物的

11、質(zhì)量增加為原來的動(dòng)的振幅增加為原來的兩倍，重物的質(zhì)量增加為原來的4 4倍，則其總能量將變?yōu)楸叮瑒t其總能量將變?yōu)樾∽h鏈接1（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。結(jié)束選擇結(jié)束選擇請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案 一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，總能量為一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，總能量為 E E1 1，如果諧振，如果諧振動(dòng)的振幅增加為原來的兩倍，重物的質(zhì)量增加為原來的動(dòng)的振幅增加為原來的兩倍，重物的質(zhì)量增加為原來的4 4倍，則其總能量將變?yōu)楸叮瑒t其總能量將變?yōu)樾∽h鏈接2（1 1）E E1 1/

12、4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。結(jié)束選擇結(jié)束選擇請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案 一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，總能量為一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，總能量為 E E1 1，如果諧振，如果諧振動(dòng)的振幅增加為原來的兩倍，重物的質(zhì)量增加為原來的動(dòng)的振幅增加為原來的兩倍，重物的質(zhì)量增加為原來的4 4倍，則其總能量將變?yōu)楸?，則其總能量將變?yōu)樾∽h鏈接3（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。結(jié)束選擇結(jié)束選擇請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)

13、的答案請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案 一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，總能量為一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，總能量為 E E1 1，如果諧振，如果諧振動(dòng)的振幅增加為原來的兩倍，重物的質(zhì)量增加為原來的動(dòng)的振幅增加為原來的兩倍，重物的質(zhì)量增加為原來的4 4倍，則其總能量將變?yōu)楸?，則其總能量將變?yōu)樾∽h鏈接4（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。結(jié)束選擇結(jié)束選擇請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案 一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，總能量為一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，總能量為 E E1 1，如果諧振，如果諧振動(dòng)的振幅

14、增加為原來的兩倍，重物的質(zhì)量增加為原來的動(dòng)的振幅增加為原來的兩倍，重物的質(zhì)量增加為原來的4 4倍，則其總能量將變?yōu)楸?，則其總能量將變?yōu)榈谌?jié) 振動(dòng)合成1 7 - 3compose of simple harmonic motion 且 相同同在 X X 軸合成振動(dòng)用旋轉(zhuǎn)矢量法可求得合成振動(dòng)方程與計(jì)時(shí)起始時(shí)刻有關(guān)合成初相分振動(dòng)初相差與計(jì)時(shí)起始時(shí)刻無關(guān)，但它對(duì)合成振幅屬相長還是相消合成起決定作用續(xù)上合振動(dòng)分振動(dòng)；其中，合振幅若則為合振幅可能達(dá)到的最大值若則若為其它值，則 處于與之間若則為合振幅可能達(dá)到的最小值若則例八0.050.060.07簡諧振動(dòng)(SI)(SI)(SI)合成的和合成的 最大時(shí)合成

15、的 最小時(shí)8.9210 2 (m)0.92868 12248 12(舍去）時(shí)當(dāng)?shù)煤铣傻?達(dá)到最小當(dāng)時(shí)合成的 達(dá)到最大得振動(dòng)合成二為了突出重點(diǎn)，設(shè)兩分振動(dòng)的振幅相等且初相均為零。合振動(dòng)此合振動(dòng)不是簡諧振動(dòng)，一般比較復(fù)雜，只介紹一種常見現(xiàn)象：頻率為 的簡諧振動(dòng)頻率為 的簡諧振動(dòng)續(xù)上385 Hz383 Hz聽到的音頻384 Hz強(qiáng)度節(jié)拍性變化2 Hz若與相差不大，可看作呈周期性慢變的振幅合振動(dòng)頻率相對(duì)較高的簡諧振動(dòng)1 秒秒9 Hz8 Hz合振動(dòng)振幅 （包絡(luò)線） 變化的頻率稱為兩分振動(dòng)的頻率1 Hz“ 拍頻 ”合振動(dòng)頻率8.5 Hz例如：振動(dòng)合成三消去 得軌跡方程：該方程為橢圓的普遍方程，若或得直線或

16、得直線若若介紹幾種特殊情況：得正橢圓續(xù)上或振動(dòng)合成四其合運(yùn)動(dòng)一般較復(fù)雜，且軌跡不穩(wěn)定。但當(dāng) 為兩個(gè)簡單的整數(shù)之比時(shí)可以得到穩(wěn)定軌跡圖形，稱為李薩如圖形例如隨堂小議結(jié)束選擇結(jié)束選擇請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案（1 1）0 ；（2 2）4 cm；（4 4）8 cm。 兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為x1= =610-2 cos (5t + ), x2= =210-2 sin ( 5 t )2 則其合振動(dòng)的振幅為則其合振動(dòng)的振幅為（3 3）4 cm；小議鏈接1（1 1）0 ；（2 2）4 cm；（4 4）8 cm。結(jié)束選

17、擇結(jié)束選擇請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案 兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為x1= =610-2 cos (5t + ), x2= =210-2 sin ( 5 t )2 則其合振動(dòng)的振幅為諧振動(dòng)則其合振動(dòng)的振幅為諧振動(dòng)（3 3）4 cm；小議鏈接2（1 1）0 ；（2 2）4 cm；（4 4）8 cm。結(jié)束選擇結(jié)束選擇請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案 兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為x1= =610-2 cos (5t + ), x2= =2

18、10-2 sin ( 5 t )2 則其合振動(dòng)的振幅為諧振動(dòng)則其合振動(dòng)的振幅為諧振動(dòng)（3 3）4 cm；小議鏈接3（1 1）0 ；（2 2）4 cm；（4 4）8 cm。結(jié)束選擇結(jié)束選擇請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案 兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為x1= =610-2 cos (5t + ), x2= =210-2 sin ( 5 t )2 則其合振動(dòng)的振幅為諧振動(dòng)則其合振動(dòng)的振幅為諧振動(dòng)（3 3）4 cm；小議鏈接4（1 1）0 ；（2 2）4 cm；（4 4）8 cm。結(jié)束選擇結(jié)束選擇請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是

19、對(duì)的答案請(qǐng)?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對(duì)的答案 兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為x1= =610-2 cos (5t + ), x2= =210-2 sin ( 5 t )2 則其合振動(dòng)的振幅為諧振動(dòng)則其合振動(dòng)的振幅為諧振動(dòng)（3 3）4 cm；作業(yè)HOME WORK17 - 917 - 1 617 - 1 917 - 2 2選講：阻尼振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)或衰減振動(dòng)振幅逐漸衰減的振動(dòng)形成阻尼振動(dòng)的原因：振動(dòng)系統(tǒng)受摩擦、粘滯等阻力作用，造成熱損耗；振動(dòng)能量轉(zhuǎn)變?yōu)椴ǖ哪芰肯蛑車鷤鞑セ蜉椛?。以第一種原因?yàn)槔⒆枘嵴駝?dòng)的力學(xué)模型。續(xù)上以液體中的水平彈簧振子為例：摩擦阻力彈性力振動(dòng)