專題：構(gòu)造全等三角形方法總結(jié)

1、專題：構(gòu)造全等三角形方法總結(jié)專題：構(gòu)造全等三角形利用三角形的中線來構(gòu)造全等三角形（倍長中線法）倍長中線法：即把中線延長一倍，來構(gòu)造全等三角形。01、如圖1,在ABC中，AD是中線，BE交AD于點(diǎn)F,且A&EF,F八E試說明線段AC與BF相等的理由.B/DC*r簡析由于A蝠中線，于是可延長AD到GG囪使DG=AD,連結(jié)BG則在4AC麗AGBD,AD=GD/ADC=/GDBCD=BD所以AC堂AGBD（SAS,所以AC=GB/CAD=/G而AE=EF,所以/CAD=/AFE又/AFE=/BFG所以/BFG=/G,所以BF=BG所以心BF.說明要說明線段或角相等，通常的思路是說明它們所在的兩

2、個三角形全等，而遇到中線時又通常通過延長中線來構(gòu)造全等三角形.利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形法一：如圖，在ABC中，AD平分/BAC。在戴氏教育集團(tuán)努力+勤奮+信心=成功AB上截取AE=AC,連結(jié)DE。（可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折法二：如圖，在ABC中，AD平分/BAC。延長AC至ijF,使AF=AB,連結(jié)DF。（可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全等三角形。）BD-FD.&/F,NADb/ADF。法三：在ABC中，AD平分/BAC。作DMAB于M,DNXAC于N。戴氏教育集團(tuán)努力+勤奮+信心=成功（可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全

3、等三角形）1E0fDM=DN.AM=AN.ZADM=ZANDO（還可以用“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”來證DM=DN）02、已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是/ABC的角平分線，AD=CD,求證：/A+/C=180°法二：延長BA到F,使BF=BC,連結(jié)DFBD是/ABC的角平分線（已知）./1=/2（角平分線定義）在4ABD和4EBD中AB=EB（已知）戴氏教育集團(tuán)BD是/ABC的角平分線（已知）./1=/2（角平分線定義）在BFD和BCD中BF=BC（已知）努力+勤奮+信心=成功法一：證明：在BC上截取BE,使BE=AB,連結(jié)DE/1=/2（已證）BD=BD（公共邊）A

4、BFDBCD（S.A.S）/F=/C（全等三角形的對應(yīng)角相等DF=DC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）AD=CD（已知），DF=DC（已證）DF=AD（等量代換）4=/F（等邊對等角）/F=/C（已證）./4=/C（等量代換）/3+/4=180°（平角定義）：/A+/C=180°（等量代換）/1=/2（已證）BD=BD（公共邊）AABDEBD（S.A.S）/A=/3（全等三角形的對應(yīng)角相等）AD=DE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）AD=CD（已知）,AD=DE（已證）.DE=DC（等量代換）：/4=/C（等邊對等角）/3+/4=180°（平角定義），/A=/3（已證）ZA+

5、/C=180°（等量代換）法三：作DM，BC于M,DNLBA交BA的延長線于NBD是/ABC的角平分線（已知）./1=/2（角平分線定義）DN±BA,DM±BC（已知）：/N=/DMB=90（垂直的定義）在4NBD和4MBD中/N=/DMB（已證）/1=/2（已證）BD=BD（公共邊）ANBDAMBD（A.A.S）ND=MD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）DN±BA,DM±BC（已知）.NAD和MCD是Rt4在RtANAD和RtAMCD中ND=MD（已證）AD=CD（已知）RtANADRtAMCD（H.L）/4=/C（全等三角形的對應(yīng)角相等）/3+/

6、4=180°（平角定義），/A=/3（已證）ZA+/C=180°（等量代換）法四：作DMLBC于M,DNLBA交BA的延長線于NBD是/ABC的角平分線（已知）DN±BA,DM±BC（已知）DN±BA,DM±BC（已知）ND=MD（角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等）.NAD和MCD是Rt4在RtANAD和RtAMCD中ND=MD（已證）AD=CD（已知）RtANADRtAMCD（H.L）/4=/C（全等三角形的對應(yīng)角相等）/3+/4=180°（平角定義）戴氏教育集團(tuán)努力+勤奮+信心=成功/A=/3（已證）./A+/C=1

7、80°（等量代換）利用高可以高線為對稱軸構(gòu)造全等三角形3、在4ABC中，ADXBC,若/C=2/B.試比較線段BD與AC+CD的大小簡析由于AD，BC,所以可祟BDE盍0取DE=DC,于是可得ADEAADC(SAS),所以AE=AC,/AED=/C,又/C=2/B,所以/AED=2/B,而/AED=/B+/BAE,即/B=/BAE,所以BE=AE=AC,所以BD=BE+DE=AE+DE=AC+CD.說明利用三角形高的性質(zhì)，在幾何解題時，可以高線為對稱軸構(gòu)造全等三角形求解.網(wǎng)用特殊圖形可通過旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形即4、設(shè)點(diǎn)P為等邊三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，試比較線段PA與PB+PC的大小.

8、戴氏教育集團(tuán)6簡析由于ABC是等邊三角形，所以可以將4ABP繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°到AACP'的位置，連結(jié)PP；則ACP'wAABP(SAS),所以AP=AP,CP'=BP,ZAPP是等邊三角形，即PP'=PA,在ACPP'中，因?yàn)镻P'vPC+P'C,所以PAvPB+PC.說明由于圖形旋轉(zhuǎn)的前后，只是位置發(fā)生了變化，而形狀和大小都沒有改變，所以對于等邊三角形、正方形等特殊的圖形我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形來解題.網(wǎng)用利用平行線構(gòu)造全等三角形觸5、AABC中，AB=AC,E努力+勤奮+信心=成功AB上任意一點(diǎn),延長AC到F,連

9、接EF交BC于M,且EM=FM試說明線段BE與CF相等的理由.戴氏教育集團(tuán)簡析由于BE與CF的位置較散，故可考慮將線段CF平移到ED,所以過點(diǎn)E作ED/CF,則/EDB=/ACB,/EDM=/FCM,由于EM=FM,/EMD=/FMC）所以EMDAFMC（AAS）,所以ED=CF,又因?yàn)锳B=AC,所以/B=/ACB,即/B=/EDB,所以EB=ED,所以BE=CF.說明這里通過輔助線將較散的結(jié)論相對集中，使求解的難度降低.綜合練習(xí)1、如圖，已知ABC中，AD是/BAC的角平分線，AB=AC+CD,求證：/C=2/B法一：證明：在AB上截取AE,使AE=AC,連結(jié)DE。AD是/BAC的角平分線

10、已知）1=/2（角平分線定夕久,在4AED和AACD戴氏教育集團(tuán)努力+勤奮+信心=成功;AE=AC（已知）/1=/2（已證）AD=AD（公共邊）/.AAEDAACD（S.A.S）./C=/3（全等三角形的對應(yīng)角相等）ED=CD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）又AB=AC+CD=AE+EB（已知）.EB=DC=ED（等量代換）B=/4（等邊對等角）:/3=/B+/4=2/B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和）./C=2/B（等量代換）法二：延長AC至ijF,使CF=CD,連結(jié)DFAD是/BAC的角平分線（已知）1=/2（角平分線定義）;AB=AC+CD）CF=CD（已知）.AB=AC+CF=AF（等量代換）在4ABD和4AFD中;AB=AF（已證）/1=/2（已證）AD=AD（公共邊）/.AABDAAFD（S.A,S）/F=/B（全等三角形的對應(yīng)角相等）戴氏教育集團(tuán)努力+勤奮+信心=成功VCF=CD（已知）B=Z3（等邊對等角）VZACB=2ZF（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和），/ACB=2/B（等量代換）2、如圖，已知直線MN/PQ,且AE平分/BAN、BE平分/QBA,DC是過E的任意線段，交MN于點(diǎn)D,交PQ于點(diǎn)Co求證：