第七章 達(dá)朗伯原理

1、第七章第七章 動(dòng)靜法動(dòng)靜法7-1 慣性力的概念NFam0amNF, amFI令：n可以假想FI是一個(gè)力，因?yàn)檫@個(gè)力與質(zhì)點(diǎn)的慣性有關(guān)，所以稱為質(zhì)點(diǎn)的慣性力。n如果在質(zhì)點(diǎn)上除了作用有真實(shí)的主動(dòng)力和約束反力之外，再假想地加上慣性力，則這些力在形式上組成一平衡力系。IF0 IFNF則有：關(guān)于慣性力（1）質(zhì)點(diǎn)的慣性力是一個(gè)假想的力。（2）質(zhì)點(diǎn)的慣性力的大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和加速度的乘積，方向和加速度的方向相反。（3）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)（即當(dāng)質(zhì)點(diǎn)有加速度時(shí)），就有慣性力。 amFI7-2 動(dòng)靜法amFI 慣性力：0INFFF 如果在質(zhì)點(diǎn)上除了作用有真實(shí)的主動(dòng)力和約束反力之外，再假想地加上慣性力，則這

2、些力在形式上組成一平衡力系，這就是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)靜法（達(dá)朗伯原理） 。1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)靜法IFNFamFFFNR 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)靜法的投影式y(tǒng)IyxIxIyNyyIxNxxmaFmaFFFFFFF其中：， 00質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)靜法在直角坐標(biāo)軸上的投影式：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)靜法在自然坐標(biāo)軸上的投影式：nnIInINnnINmaFmaFFFFFFF 其中：， 00例題1 圖示由相互鉸接的水平臂連成的傳送帶，將圓柱形物體從一高度傳送到另一高度。設(shè)零件與臂之間的靜磨擦系數(shù)fs=0.2。求降落加速度a為多大時(shí)，零件不致在水平臂上滑動(dòng)。00IyNyyIxNxxFFFFFF解：（1）選取零件為研究對(duì)象當(dāng)零件不滑動(dòng)時(shí)，其所受的力有重力mg，支承

3、力N，摩擦力F。 （2）分析運(yùn)動(dòng)，加慣性力零件隨傳送帶降落，降落加速度為a，所以可在零件上加慣性力FI。 （3）列平衡方程mgNFIF相反。方向與amaFI ,xy030030sincosIIFFmgNF3030cos ,sinmamgNmaF解得：)cos(sin,3030agmfmaNfFss即：足：要使零件不滑動(dòng)，需滿)/(.29222321smfgfass解得：2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法00)()(IioeioIieiFMFMFF 如果對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都假想地加上各自的慣性力，則質(zhì)點(diǎn)系所受的所有外力（包括主動(dòng)力、約束反力）和所有質(zhì)點(diǎn)的慣性力在形式上組成一平衡力系，這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法。（平衡

4、方程）。，內(nèi)力為力為，作用在該質(zhì)點(diǎn)上的外，加速度為的質(zhì)量為設(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的任一質(zhì)點(diǎn)iieiiiFFamiiIiamF力如果對(duì)該質(zhì)點(diǎn)加上慣性0IiiieiFFF程：則該質(zhì)點(diǎn)可寫(xiě)出平衡方00)()()( IioiioeioIiiieiFMFMFMFFF質(zhì)點(diǎn)系的平衡方程：000)()(IioioIyiyiIxixiFMFMFFFF質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法在直角坐標(biāo)軸上的投影式：例題2 如圖所示，滑輪的半徑為r，重量為Q，可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，輪緣上跨過(guò)的軟繩的兩端各掛重量為Q1和Q2的重物，且Q1Q2。設(shè)開(kāi)始靜止，繩的重量不計(jì)，繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪的質(zhì)量全部均勻地分布在輪緣上，軸承磨擦不計(jì)。求重物的加速度。解：

5、（1）選取滑輪，繩和兩重物組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。作用在該系統(tǒng)上的外力有重力Q1，Q2，Q，以及軸承處的約束反力N。 （2）分析運(yùn)動(dòng)，加慣性力 Q1Q2，重物的加速度a方向如圖所示重物的慣性力方向與加速度a的方向相反。設(shè)滑輪邊緣上一點(diǎn)的質(zhì)量為mi這一點(diǎn)的切向慣性力為：這一點(diǎn)的法向慣性力為： agQfagQfQQ2121 ,方向沿輪緣切線方向。 , amamFiititQi方向沿半徑背離中心。 ,rvmamFiininQi21Qf2QftQiFnQiFim（3）列平衡方程由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)靜法：由外力，慣性力所組成的平衡力系對(duì)O軸的力矩之和等于零。1Qf2QftQiFnQiFimO02121ramrQff

6、QiQQ)(02211gQarrQagQagQQgQarmarramii)( 000)()(IioioIyiyiIxixiFMFMFFFFgQQQQQa2121解得：用動(dòng)靜法解題步驟（1）選擇研究對(duì)象，分析研究對(duì)象上所受的外力（主動(dòng)力和約束力）；（2）分析研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)，加慣性力；（3）根據(jù)動(dòng)靜法（達(dá)朗伯原理），列出力平衡方程（主動(dòng)力系、約束力系及慣性力系組成平衡力系），求解未知量。7-3 剛體慣性力系的簡(jiǎn)化1.剛體平動(dòng)時(shí)慣性力系的簡(jiǎn)化ciciiIiIRMamaamFF)(n平動(dòng)剛體的慣性力系可以簡(jiǎn)化為通過(guò)質(zhì)心的合力，其大小等于剛體的質(zhì)量與加速度的乘積，合力的方向與加速度方向相反。2.剛體繞定

7、軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性力系的簡(jiǎn)化（只討論剛體具有對(duì)稱平面且轉(zhuǎn)軸垂直于此平面的情況）CiiniitiinIitIiIiIRaMamamamFFFF)( )( )( OiiiiiitIiiIiIOJrmrrmrFrFM )()( 2n有對(duì)稱平面的剛體繞垂直于該平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性力系簡(jiǎn)化為作用在該對(duì)稱平面內(nèi)與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)上的一個(gè)力FIR=-MaC和一個(gè)力偶MIO=-JO。im C irCrMrmriiCiiCamaM幾種特殊情況（1）轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心（aC=0)：此時(shí)只有慣性力偶矩MIO=-JO（2）轉(zhuǎn)軸不通過(guò)質(zhì)心，但作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（=0）：此時(shí)只有慣性力，F(xiàn)IR=-MaC=-Me2（e為質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離）。（3）轉(zhuǎn)

8、軸通過(guò)質(zhì)心且作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（aC=0,=0）：此時(shí)既無(wú)慣性力亦無(wú)慣性力偶矩。CIRaMF OIOJM例題3 電動(dòng)絞車安裝在梁上，梁的兩端擱在支座上，如圖所示。絞盤(pán)與電機(jī)轉(zhuǎn)子固結(jié)在一起，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I。設(shè)絞盤(pán)的質(zhì)心與軸心重合，今絞車以加速度a提升重物，已知物重P，絞盤(pán)半徑為R，求由于提升重物而對(duì)支座A、B的附加壓力。IRFIOM解：（1）選擇研究對(duì)象取梁，絞車和重物組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象。作用在該系統(tǒng)上的外力有重物的重力P，絞車與梁一起的重力Q，約束反力NA。NB （2）分析運(yùn)動(dòng)，加慣性力重物作平動(dòng)，重物的慣性力FIR通過(guò)重心，方向與加速度a方向相反。絞盤(pán)的質(zhì)心與軸心重合，絞盤(pán)的慣性力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶

9、MIO，方向與角加速度方向相反。其余不動(dòng)部分沒(méi)有慣性力。 agPFIRraIIMIO IRFIOM（3）列平衡方程由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)靜法：由支座反力，重力和慣性力在形式上組成一個(gè)平衡力系。000032221IRBAyIOIRABFQPNNFMQlPllFllNFM,)( ,)(rIlgPalllQplllNrIlgPaQlplllNBA13211212322111)( ,解得：000)()(IioioIyiyiIxixiFMFMFFFF3.剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)慣性力系的簡(jiǎn)化（只討論有對(duì)稱平面的剛體，且剛體平行于這平面運(yùn)動(dòng)的情況） CICJM 剛體的慣性力系可以簡(jiǎn)化為在對(duì)稱平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。（1）這

10、個(gè)力通過(guò)質(zhì)心，其大小等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度相反：（2）這個(gè)力偶的矩等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心且垂直于對(duì)稱面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，其轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反：CIRMaF總結(jié)n剛體的運(yùn)動(dòng)形式不同，其上慣性力系的簡(jiǎn)化結(jié)果也不相同。n在應(yīng)用動(dòng)靜法解題時(shí)，應(yīng)分析剛體的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)剛體的運(yùn)動(dòng)形式，在剛體上加上相應(yīng)的慣性力（慣性力偶矩）。7-4 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及軸承的動(dòng)約束力nIitIiIiFFF2 iinIiiitIirmFrmF ,IAiiinIitIiIRiIiMamFFFAzF主矩：主矢：簡(jiǎn)化（平移），得到：軸上任一點(diǎn)向?qū)?IAiIACiinIitIiIRiIRIiMMa

11、mamFFFFAF 主矩：則剛體慣性力系的主矢簡(jiǎn)化，都向點(diǎn)力將剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的慣性（1）一般情況下定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體慣性力系的簡(jiǎn)化IiFIRiFIAiMIAiIACiinIitIiIRiIRMMamamFFFF 主矩：剛體慣性力系的主矢：22 CCiiiinIitIiIRxmxmyrmrmFFFzyx cossin cossin,軸投影：向?qū)傮w慣性力系的主矢02IRzCCIRyFmymxF 同理，得到：222 yzxziiiiiiiiiiiinIixtIixIixIAxJJzymzxmzrmzrmFMFMFMMzyx sincos )()()(,軸投影：向?qū)傮w慣性力系的主矩 zIAzxzyzIAy

12、JMJJM2同理，得到：2iiziiixziiiyzrmJzxmJzymJ ,式中：IiF力對(duì)點(diǎn)的矩在通過(guò)該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。)()(FMFMxxo000000000000IAzizzIAyBxiyyIAxByixxAzizzIRyByAyiyyIRxBxAxixxMFMMMlFFMMMlFFMMFFFFFFFFFFFFF)( ,)( ,)( , , , ,（2）求繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承約束力22dtdJJFMzziz)(izAzyzxzixByxzyziyBxCCyzxzixiyAyCCxzyziyixAxFFJJlFMlFJJlFMlFmymxJJlFMlFFmymxJJlFMlFF)()()()()()()()(22222211111111)()()()( 2222221111yzxzByxzyzBxCCyzxzAyCCxzyzAxJJlFJJlFmymxJJlFmymxJJlF（3）消除附加動(dòng)約束力的方法002001yzxzCCJJyx ,)( , )(條件：不產(chǎn)生附加動(dòng)約束力的剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，軸承附加動(dòng)約束力等于零的充要條件是：剛體的轉(zhuǎn)軸為中心慣性主軸。7-5 構(gòu)件作加速平動(dòng)或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算n靜載荷：受載構(gòu)件的加