第七章 達(dá)朗伯原理

1、第七章第七章 動靜法動靜法7-1 慣性力的概念NFam0amNF, amFI令：n可以假想FI是一個力，因為這個力與質(zhì)點(diǎn)的慣性有關(guān)，所以稱為質(zhì)點(diǎn)的慣性力。n如果在質(zhì)點(diǎn)上除了作用有真實的主動力和約束反力之外，再假想地加上慣性力，則這些力在形式上組成一平衡力系。IF0 IFNF則有：關(guān)于慣性力（1）質(zhì)點(diǎn)的慣性力是一個假想的力。（2）質(zhì)點(diǎn)的慣性力的大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和加速度的乘積，方向和加速度的方向相反。（3）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變時（即當(dāng)質(zhì)點(diǎn)有加速度時），就有慣性力。 amFI7-2 動靜法amFI 慣性力：0INFFF 如果在質(zhì)點(diǎn)上除了作用有真實的主動力和約束反力之外，再假想地加上慣性力，則這

2、些力在形式上組成一平衡力系，這就是質(zhì)點(diǎn)的動靜法（達(dá)朗伯原理） 。1.質(zhì)點(diǎn)的動靜法IFNFamFFFNR 質(zhì)點(diǎn)動靜法的投影式y(tǒng)IyxIxIyNyyIxNxxmaFmaFFFFFFF其中：， 00質(zhì)點(diǎn)的動靜法在直角坐標(biāo)軸上的投影式：質(zhì)點(diǎn)的動靜法在自然坐標(biāo)軸上的投影式：nnIInINnnINmaFmaFFFFFFF 其中：， 00例題1 圖示由相互鉸接的水平臂連成的傳送帶，將圓柱形物體從一高度傳送到另一高度。設(shè)零件與臂之間的靜磨擦系數(shù)fs=0.2。求降落加速度a為多大時，零件不致在水平臂上滑動。00IyNyyIxNxxFFFFFF解：（1）選取零件為研究對象當(dāng)零件不滑動時，其所受的力有重力mg，支承

3、力N，摩擦力F。 （2）分析運(yùn)動，加慣性力零件隨傳送帶降落，降落加速度為a，所以可在零件上加慣性力FI。 （3）列平衡方程mgNFIF相反。方向與amaFI ,xy030030sincosIIFFmgNF3030cos ,sinmamgNmaF解得：)cos(sin,3030agmfmaNfFss即：足：要使零件不滑動，需滿)/(.29222321smfgfass解得：2.質(zhì)點(diǎn)系的動靜法00)()(IioeioIieiFMFMFF 如果對質(zhì)點(diǎn)系中每個質(zhì)點(diǎn)都假想地加上各自的慣性力，則質(zhì)點(diǎn)系所受的所有外力（包括主動力、約束反力）和所有質(zhì)點(diǎn)的慣性力在形式上組成一平衡力系，這就是質(zhì)點(diǎn)系的動靜法。（平衡

4、方程）。，內(nèi)力為力為，作用在該質(zhì)點(diǎn)上的外，加速度為的質(zhì)量為設(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的任一質(zhì)點(diǎn)iieiiiFFamiiIiamF力如果對該質(zhì)點(diǎn)加上慣性0IiiieiFFF程：則該質(zhì)點(diǎn)可寫出平衡方00)()()( IioiioeioIiiieiFMFMFMFFF質(zhì)點(diǎn)系的平衡方程：000)()(IioioIyiyiIxixiFMFMFFFF質(zhì)點(diǎn)系的動靜法在直角坐標(biāo)軸上的投影式：例題2 如圖所示，滑輪的半徑為r，重量為Q，可繞水平軸轉(zhuǎn)動，輪緣上跨過的軟繩的兩端各掛重量為Q1和Q2的重物，且Q1Q2。設(shè)開始靜止，繩的重量不計，繩與滑輪之間無相對滑動，滑輪的質(zhì)量全部均勻地分布在輪緣上，軸承磨擦不計。求重物的加速度。解：

5、（1）選取滑輪，繩和兩重物組成的系統(tǒng)為研究對象。作用在該系統(tǒng)上的外力有重力Q1，Q2，Q，以及軸承處的約束反力N。 （2）分析運(yùn)動，加慣性力 Q1Q2，重物的加速度a方向如圖所示重物的慣性力方向與加速度a的方向相反。設(shè)滑輪邊緣上一點(diǎn)的質(zhì)量為mi這一點(diǎn)的切向慣性力為：這一點(diǎn)的法向慣性力為： agQfagQfQQ2121 ,方向沿輪緣切線方向。 , amamFiititQi方向沿半徑背離中心。 ,rvmamFiininQi21Qf2QftQiFnQiFim（3）列平衡方程由質(zhì)點(diǎn)系動靜法：由外力，慣性力所組成的平衡力系對O軸的力矩之和等于零。1Qf2QftQiFnQiFimO02121ramrQff

6、QiQQ)(02211gQarrQagQagQQgQarmarramii)( 000)()(IioioIyiyiIxixiFMFMFFFFgQQQQQa2121解得：用動靜法解題步驟（1）選擇研究對象，分析研究對象上所受的外力（主動力和約束力）；（2）分析研究對象的運(yùn)動，加慣性力；（3）根據(jù)動靜法（達(dá)朗伯原理），列出力平衡方程（主動力系、約束力系及慣性力系組成平衡力系），求解未知量。7-3 剛體慣性力系的簡化1.剛體平動時慣性力系的簡化ciciiIiIRMamaamFF)(n平動剛體的慣性力系可以簡化為通過質(zhì)心的合力，其大小等于剛體的質(zhì)量與加速度的乘積，合力的方向與加速度方向相反。2.剛體繞定

7、軸轉(zhuǎn)動時慣性力系的簡化（只討論剛體具有對稱平面且轉(zhuǎn)軸垂直于此平面的情況）CiiniitiinIitIiIiIRaMamamamFFFF)( )( )( OiiiiiitIiiIiIOJrmrrmrFrFM )()( 2n有對稱平面的剛體繞垂直于該平面的軸轉(zhuǎn)動時，慣性力系簡化為作用在該對稱平面內(nèi)與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)上的一個力FIR=-MaC和一個力偶MIO=-JO。im C irCrMrmriiCiiCamaM幾種特殊情況（1）轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心（aC=0)：此時只有慣性力偶矩MIO=-JO（2）轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)心，但作勻速轉(zhuǎn)動（=0）：此時只有慣性力，F(xiàn)IR=-MaC=-Me2（e為質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離）。（3）轉(zhuǎn)

8、軸通過質(zhì)心且作勻速轉(zhuǎn)動（aC=0,=0）：此時既無慣性力亦無慣性力偶矩。CIRaMF OIOJM例題3 電動絞車安裝在梁上，梁的兩端擱在支座上，如圖所示。絞盤與電機(jī)轉(zhuǎn)子固結(jié)在一起，轉(zhuǎn)動慣量為I。設(shè)絞盤的質(zhì)心與軸心重合，今絞車以加速度a提升重物，已知物重P，絞盤半徑為R，求由于提升重物而對支座A、B的附加壓力。IRFIOM解：（1）選擇研究對象取梁，絞車和重物組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對象。作用在該系統(tǒng)上的外力有重物的重力P，絞車與梁一起的重力Q，約束反力NA。NB （2）分析運(yùn)動，加慣性力重物作平動，重物的慣性力FIR通過重心，方向與加速度a方向相反。絞盤的質(zhì)心與軸心重合，絞盤的慣性力系簡化為一個力偶

9、MIO，方向與角加速度方向相反。其余不動部分沒有慣性力。 agPFIRraIIMIO IRFIOM（3）列平衡方程由質(zhì)點(diǎn)系動靜法：由支座反力，重力和慣性力在形式上組成一個平衡力系。000032221IRBAyIOIRABFQPNNFMQlPllFllNFM,)( ,)(rIlgPalllQplllNrIlgPaQlplllNBA13211212322111)( ,解得：000)()(IioioIyiyiIxixiFMFMFFFF3.剛體作平面運(yùn)動時慣性力系的簡化（只討論有對稱平面的剛體，且剛體平行于這平面運(yùn)動的情況） CICJM 剛體的慣性力系可以簡化為在對稱平面內(nèi)的一個力和一個力偶。（1）這

10、個力通過質(zhì)心，其大小等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度相反：（2）這個力偶的矩等于剛體對通過質(zhì)心且垂直于對稱面的軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，其轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反：CIRMaF總結(jié)n剛體的運(yùn)動形式不同，其上慣性力系的簡化結(jié)果也不相同。n在應(yīng)用動靜法解題時，應(yīng)分析剛體的運(yùn)動，根據(jù)剛體的運(yùn)動形式，在剛體上加上相應(yīng)的慣性力（慣性力偶矩）。7-4 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動及軸承的動約束力nIitIiIiFFF2 iinIiiitIirmFrmF ,IAiiinIitIiIRiIiMamFFFAzF主矩：主矢：簡化（平移），得到：軸上任一點(diǎn)向?qū)?IAiIACiinIitIiIRiIRIiMMa

11、mamFFFFAF 主矩：則剛體慣性力系的主矢簡化，都向點(diǎn)力將剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的慣性（1）一般情況下定軸轉(zhuǎn)動剛體慣性力系的簡化IiFIRiFIAiMIAiIACiinIitIiIRiIRMMamamFFFF 主矩：剛體慣性力系的主矢：22 CCiiiinIitIiIRxmxmyrmrmFFFzyx cossin cossin,軸投影：向?qū)傮w慣性力系的主矢02IRzCCIRyFmymxF 同理，得到：222 yzxziiiiiiiiiiiinIixtIixIixIAxJJzymzxmzrmzrmFMFMFMMzyx sincos )()()(,軸投影：向?qū)傮w慣性力系的主矩 zIAzxzyzIAy

12、JMJJM2同理，得到：2iiziiixziiiyzrmJzxmJzymJ ,式中：IiF力對點(diǎn)的矩在通過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對該軸的矩。)()(FMFMxxo000000000000IAzizzIAyBxiyyIAxByixxAzizzIRyByAyiyyIRxBxAxixxMFMMMlFFMMMlFFMMFFFFFFFFFFFFF)( ,)( ,)( , , , ,（2）求繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承約束力22dtdJJFMzziz)(izAzyzxzixByxzyziyBxCCyzxzixiyAyCCxzyziyixAxFFJJlFMlFJJlFMlFmymxJJlFMlFFmymxJJlFMlFF)()()()()()()()(22222211111111)()()()( 2222221111yzxzByxzyzBxCCyzxzAyCCxzyzAxJJlFJJlFmymxJJlFmymxJJlF（3）消除附加動約束力的方法002001yzxzCCJJyx ,)( , )(條件：不產(chǎn)生附加動約束力的剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，軸承附加動約束力等于零的充要條件是：剛體的轉(zhuǎn)軸為中心慣性主軸。7-5 構(gòu)件作加速平動或勻速轉(zhuǎn)動時的應(yīng)力計算n靜載荷：受載構(gòu)件的加