北工大工程圖學教學課件2012

1、第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影第第4章章 立體的投影立體的投影第第5章章 組合體組合體第第7章章 軸測圖軸測圖第第8章章 機件的表達方法機件的表達方法第第9章章 標準件與常用件標準件與常用件第第10章章 零件圖零件圖第第11章章 裝配圖裝配圖是一門研究繪制繪制和閱讀閱讀的學科 按一定的投影方法投影方法和有關(guān)規(guī)定有關(guān)規(guī)定繪制的用于工程施工或產(chǎn)品制造的圖樣圖樣稱為工程圖工程圖緒論工程圖的分類工程圖的分類 機械圖機械圖 軸測圖軸測圖 標高圖標高圖 透視圖透視圖課程的重要性課程的重要性 圖樣圖樣和文字數(shù)字一樣，是人類借以和文字數(shù)字一樣，是人類借以表達表達，構(gòu)思構(gòu)思，分析分析和和交

2、流思想交流思想的基本的基本工具工具之一。之一。 無論是無論是制造機器制造機器或或建造房屋，建造房屋，都必須都必須先先繪制圖樣繪制圖樣，然后，然后根據(jù)圖紙加工，根據(jù)圖紙加工，才能得才能得到預(yù)期的結(jié)果。到預(yù)期的結(jié)果。學習目的學習目的 課程地位課程地位:本課程是一門研究用本課程是一門研究用正投影法正投影法繪制工程圖樣繪制工程圖樣和和解決空間幾何解決空間幾何問題的理問題的理論和方法的論和方法的技術(shù)基礎(chǔ)課技術(shù)基礎(chǔ)課。在大學課程中。在大學課程中唯一唯一一門培養(yǎng)學生一門培養(yǎng)學生空間思維能力空間思維能力的課程。的課程。 目的目的是培養(yǎng)學生能夠自覺地是培養(yǎng)學生能夠自覺地運用各種作運用各種作圖手段圖手段來來構(gòu)思構(gòu)

3、思，分析分析和和表達表達工程問題工程問題的的才能。這種才能是每個才能。這種才能是每個工程技術(shù)人員工程技術(shù)人員所所必須具備的。必須具備的。主要內(nèi)容主要內(nèi)容 畫法幾何畫法幾何：研究用：研究用正投影法正投影法圖示圖示空間形體空間形體的的基本理論和方法。即研究在基本理論和方法。即研究在平面上平面上表示表示空間幾空間幾何元素和形體何元素和形體的各種圖示方法。的各種圖示方法。 制圖基礎(chǔ)：制圖基礎(chǔ)：介紹制圖的介紹制圖的基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識和和國家標準國家標準中有關(guān)制圖的中有關(guān)制圖的基本規(guī)定，基本規(guī)定，培養(yǎng)繪圖的操作技能，培養(yǎng)繪圖的操作技能，用投影圖用投影圖表達表達物體的物體的內(nèi)外形狀，大小內(nèi)外形狀，大小的的繪圖

4、能繪圖能力力以及根據(jù)投影圖以及根據(jù)投影圖想象想象物體物體內(nèi)外形狀內(nèi)外形狀的的讀圖能讀圖能力。力。 機械制圖：機械制圖：研究一般研究一般機器設(shè)備機器設(shè)備的的零件圖零件圖和和部件圖部件圖的的繪制繪制與與閱讀閱讀方法，培養(yǎng)繪制方法，培養(yǎng)繪制與閱讀機械圖樣的基本能力。與閱讀機械圖樣的基本能力。 計算機繪圖：計算機繪圖：理解和掌握計算機繪圖的理解和掌握計算機繪圖的基本方法。基本方法。主要任務(wù)主要任務(wù) 學習學習正投影法正投影法的基本理論及其應(yīng)用的基本理論及其應(yīng)用,為繪制和為繪制和應(yīng)用各種工程圖打下良好的應(yīng)用各種工程圖打下良好的理論基礎(chǔ)理論基礎(chǔ) 培養(yǎng)培養(yǎng)繪制和閱讀繪制和閱讀機械零件圖和部件圖的能力機械零件圖

5、和部件圖的能力 培養(yǎng)培養(yǎng)空間想象能力，空間分析能力空間想象能力，空間分析能力及及空間空間表達能力表達能力 掌握掌握計算機繪圖計算機繪圖 培養(yǎng)培養(yǎng)認真負責認真負責的的工作態(tài)度工作態(tài)度和和嚴謹細致嚴謹細致的的工作工作作風作風21 投影的形成及常用的投影方法投影的形成及常用的投影方法投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法（正投影法）直角投影法（正投影法）斜角投影法斜角投影法畫透視圖畫透視圖畫斜軸測圖畫斜軸測圖畫工程圖樣畫工程圖樣及正軸測圖及正軸測圖中心投影法中心投影法 投射中心、物體、投影面三者之間的投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。相對距離對投

6、影的大小有影響。度量性較差度量性較差投影特性投影特性投射線投射線投射中心投射中心物體物體投影面投影面投影投影物體位置改物體位置改變，投影大變，投影大小也改變小也改變平行投影法平行投影法斜角投影法斜角投影法投投 影影 特特 性性投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。度量性較好度量性較好工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。投射線互相平行投射線互相平行且垂直于投影面且垂直于投影面投射線互相平行投射線互相平行且傾斜于投影面且傾斜于投影面直角（正）投影法直角（正）投影法 Pb AP采用多面投影采用多面投影。 過空間點過空間點A的投射線的投射線

7、與投影面與投影面P的交點即為點的交點即為點A在在P面上的投影。面上的投影。B1B2B3 點在一個投影面上點在一個投影面上的投影不能確定點的空的投影不能確定點的空間位置。間位置。一、點在一個投影面上的投影一、點在一個投影面上的投影a 點的投影點的投影解決辦法？解決辦法？HWV二、點的三面投影二、點的三面投影投影面投影面正面投影面（簡稱正正面投影面（簡稱正 面或面或V面）面）水平投影面（簡稱水水平投影面（簡稱水 平面或平面或H面）面）側(cè)面投影面（簡稱側(cè)側(cè)面投影面（簡稱側(cè) 面或面或W面）面）投影軸投影軸oXZOX軸軸 V面與面與H面的交線面的交線OZ軸軸 V面與面與W面的交線面的交線OY軸軸 H面與

8、面與W面的交線面的交線Y三個投影面三個投影面互相垂直互相垂直WHVoX空間點空間點A在三個投影面上的投影在三個投影面上的投影a 點點A的正面投影的正面投影a點點A的水平投影的水平投影a 點點A的側(cè)面投影的側(cè)面投影空間點用大寫字母空間點用大寫字母表示，點的投影用表示，點的投影用小寫字母表示。小寫字母表示。a aa AZYWVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不動不動投影面展開投影面展開aaZaa yayaXYYO azxXYZOVHWAaa a 點的投影規(guī)律點的投影規(guī)律: a aOX軸軸 aax= a az=y=A到到V面的距離面的距離a ax= a ay=z=A到

9、到H面的距離面的距離aay= a az=x=A到到W面的距離面的距離xaazayYZaza XYayOaaxaya a a OZ軸軸a aax例：已知點的兩個投影，求第三投影。例：已知點的兩個投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通過作通過作45線線使使a az=aax解法二解法二:用圓規(guī)直接量用圓規(guī)直接量取取a az=aaxa 三、兩點的相對位置三、兩點的相對位置 兩點的相對位置指兩兩點的相對位置指兩點在空間的點在空間的上下、前后、上下、前后、左右左右位置關(guān)系。位置關(guān)系。判斷方法：判斷方法： x 坐標大的在左坐標大的在左 y 坐標大的在前坐標大的在前 z 坐標大的在上坐標大的

10、在上b aa a b bB點在點在A點之點之前、之右、之前、之右、之下。下。XYHYWZ四、重影點：四、重影點： 空間兩點在某一投空間兩點在某一投影面上的影面上的投影重合為一投影重合為一點點時，則稱此兩點為時，則稱此兩點為該該投影面投影面的重影點。的重影點。A、C為為H面的重影點面的重影點a a c c 被擋住的投被擋住的投影加影加( )( )A、C為哪個投為哪個投影面的重影點影面的重影點呢？呢？a caa a b b b2.2 2.2 直線的投影直線的投影 兩點確定一條直線，將兩兩點確定一條直線，將兩點的同名投影用直線連接，點的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。就得到直線的同名投影。

11、 直線對一個投影面的投影特性直線對一個投影面的投影特性一、直線的投影特性一、直線的投影特性ABab直線垂直于投影面直線垂直于投影面投影重合為一點投影重合為一點 積聚性積聚性直線平行于投影面直線平行于投影面投影反映線段實長投影反映線段實長 ab=AB直線傾斜于投影面直線傾斜于投影面投影比空間線段短投影比空間線段短 ab=ABcosABabAMBabm 直線在三個投影面中的投影特性直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線投影面平行線平行于某一投影面而平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜投影面垂直線投影面垂直線正平線（平行于面）正平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）

12、水平線（平行于面）水平線（平行于面）正垂線（垂直于面）正垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）一般位置直線一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面垂直于某一投影面b a aba b b aa b ba 投影面平行線投影面平行線 在其平行的那個投影面上的投影反映實長，在其平行的那個投影面上的投影反映實長， 并反映直線與另兩投影面傾角的實大。并反映直線與另兩投影面傾角的實大。 另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影 軸。軸。水平線水平線側(cè)平線側(cè)平線

13、正平線正平線投投 影影 特特 性：性：與與H面的夾角面的夾角: 與與V面的角面的角:與與W面的夾角面的夾角: 實長實長實長實長實長實長ba aa b b 反映線段實長。且垂直反映線段實長。且垂直于相應(yīng)的投影軸。于相應(yīng)的投影軸。 投影面垂直線投影面垂直線鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側(cè)垂線側(cè)垂線 另外兩個投影另外兩個投影， 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有積聚性投影有積聚性。投影特性投影特性: :c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f ) 一般位置直線一般位置直線投影特性：投影特性： 三個投影都縮短。三個投影都縮短。即即: 都不反映空間線段都不反映空間線段的

14、實長及與三個投影面的實長及與三個投影面夾角的實大，且與三根夾角的實大，且與三根投影軸都傾斜。投影軸都傾斜。abb a b a 二、直線與點的相對位置二、直線與點的相對位置 若點在直線上若點在直線上, 則則點的投影必在直線的同點的投影必在直線的同名投影上。并將線段的名投影上。并將線段的同名投影分割成與空間同名投影分割成與空間相同的比例。即：相同的比例。即： 若點的投影有一個不若點的投影有一個不在直線的同名投影上，在直線的同名投影上， 則則該點必不在此直線上。該點必不在此直線上。判別方法判別方法：AC/CB=ac/cb= a c / c b ABCVHbcc b a a定比定理定比定理點點C不不在

15、在直線直線AB上上例例1：判斷點：判斷點C是否在線段是否在線段AB上。上。abca b c c abca b 點點C在直在直線線AB上上例例2：判斷點：判斷點K是否在線段是否在線段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故點故點K不在不在AB上。上。應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理abka b k 另一判斷法另一判斷法?三、兩直線的相對位置三、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：空間兩直線的相對位置分為：平行平行、相交相交、交叉交叉。 兩直線平行兩直線平行投影特性：投影特性： 空間兩直線平空間兩直線平行，則其各行，則其各同名投同名投影影必相互平行，反必相互平行，反之亦然。之亦然

16、。aVHc bcdABCDb d a abcdc a b d 例例1：判斷圖中兩條直線是否平行。：判斷圖中兩條直線是否平行。 對于一般位置直對于一般位置直線，只要有兩個同名線，只要有兩個同名投影互相平行，空間投影互相平行，空間兩直線就平行。兩直線就平行。AB/CDb d c a cbadd b a c 對于特殊位置直線，對于特殊位置直線，只有兩個同名投影互相只有兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行，空間直線不一定平行。平行。求出側(cè)面投影后可知：求出側(cè)面投影后可知：AB與與CD不平行。不平行。例例2：判斷圖中兩條直線是否平行。：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投影求出側(cè)面投影如何判斷？如何

17、判斷？HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 兩直線相交兩直線相交判別方法：判別方法： 若空間兩直線相交，若空間兩直線相交，則其同名投影必則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律影規(guī)律。交點是兩直交點是兩直線的共有點線的共有點cabb a c d k kd例：過例：過C點點作水平線作水平線CD與與AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影d b a abcdc1 (2 )3(4 ) 兩直線交叉兩直線交叉投影特性投影特性： 同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但 “交點交點”不符合空間不符合空間一個點的投影規(guī)律

18、一個點的投影規(guī)律。 “交點交點”是兩直線上是兩直線上的一的一 對對重影點的投影重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線用其可幫助判斷兩直線的空間位置。的空間位置。、是面的重影點，是面的重影點，、是是H面的重影點。面的重影點。為什么？為什么？123 4 兩直線相交嗎？兩直線相交嗎？ 兩直線垂直相交（或垂直交叉）兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：直角的投影特性： 若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。上的投影仍為直角。設(shè)設(shè) 直角邊直角邊BC/H面面因因 BCAB, 同時同時BCBb所以所以 BCABba平面平面直線在直線在H面上的面上

19、的投影互相垂直投影互相垂直即即 abc為直角為直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcHa c b abc.證明：證明：d abca b c d例：過例：過C點作直線與點作直線與AB垂直相交。垂直相交。AB為正平線為正平線, 正正面投影反映直角。面投影反映直角。. 小小 結(jié)結(jié) 點與直線的投影特性，尤其是點與直線的投影特性，尤其是特殊位置特殊位置 直線的投影特性直線的投影特性。 點與直線及兩直線的相對位置的判斷方點與直線及兩直線的相對位置的判斷方 法及投影特性。法及投影特性。 定比定理。定比定理。 直角定理，即兩直線垂直時的投影特性。直角定理，即兩直線垂直

20、時的投影特性。重點掌握：重點掌握：一、點的投影規(guī)律一、點的投影規(guī)律aaZayayaXYYO xa za a aOX軸軸 aax= a az=y=A到到V面的距離面的距離a ax= a ay=z=A到到H面的距離面的距離aay= a az=x=A到到W面的距離面的距離 a a OZ軸軸二、各種位置直線的投影特性二、各種位置直線的投影特性 一般位置直線一般位置直線三個投影與各投影軸都傾斜。三個投影與各投影軸都傾斜。 投影面平行線投影面平行線 在其平行的投影面上的投影反映線段實長在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個投影平行于相及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個投影平行于相應(yīng)的投

21、影軸。應(yīng)的投影軸。 投影面垂直線投影面垂直線 在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。另兩個投影反映實長且垂直于相應(yīng)的投影軸。另兩個投影反映實長且垂直于相應(yīng)的投影軸。三、直線上的點三、直線上的點 點的投影在直線的同名投影上。點的投影在直線的同名投影上。 點分線段成定比，點的投影必分線段的投影點分線段成定比，點的投影必分線段的投影 成定比成定比定比定理。定比定理。四、兩直線的相對位置四、兩直線的相對位置 平行平行 相交相交 交叉（異面）交叉（異面） 同名投影互相平行。同名投影互相平行。 同名投影相交，交點是兩直線的共有點，同名投影相交，交點是兩直線的共有點，且符合

22、空間一個點的投影規(guī)律。且符合空間一個點的投影規(guī)律。 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交點交點”不符合空不符合空間一個點的投影規(guī)律。間一個點的投影規(guī)律?！敖稽c交點”是兩直線上一是兩直線上一對重影點的投影。對重影點的投影。五、相互垂直的兩直線的投影特性五、相互垂直的兩直線的投影特性 兩直線同時平行于某一投影面時，在該兩直線同時平行于某一投影面時，在該 投影面上的投影反映直角。投影面上的投影反映直角。 兩直線中有一條平行于某一投影面時，兩直線中有一條平行于某一投影面時， 在該投影面上的投影反映直角。在該投影面上的投影反映直角。 兩直線均為一般位置直線時，兩直線均為一般位置直線時， 在三個投

23、影面上的投影都不在三個投影面上的投影都不 反映直角。反映直角。直角定理直角定理2.3 2.3 平面的投影平面的投影一、一、平面的表示法平面的表示法abca b c 不在同一不在同一直線上的直線上的三個點三個點abca b c 直線及直線及線外一線外一點點abca b c dd 兩平行直兩平行直線線abca b c 兩相交兩相交直線直線abca b c 平面平面圖形圖形二、平面的投影特性二、平面的投影特性平行平行垂直垂直傾斜傾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把實形現(xiàn)投影就把實形現(xiàn) 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影積聚成直線投影積聚成直線 平面傾斜投影面平面傾斜投影

24、面-投影類似原平面投影類似原平面實形性實形性類似性類似性積聚性積聚性 平面對一個投影面的投影特性平面對一個投影面的投影特性 平面在三投影面體系中的投影特性平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分為三類平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜與三個投影面都傾斜 正垂面正垂面 側(cè)垂面?zhèn)却姑?鉛垂面鉛垂面 正平面正平面 側(cè)平面?zhèn)绕矫?

25、水平面水平面abca c b c b a 投影面垂直面投影面垂直面類似性類似性類似性類似性積聚性積聚性鉛垂面鉛垂面投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影積聚成直在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。與另外兩投影面夾角的大小。 另外兩個投影面上的投影有類似性。另外兩個投影面上的投影有類似性。為什么？為什么？是什么位置是什么位置的平面？的平面？a b c a b c abc 投影面平行面投影面平行面積聚性積聚性積聚性積聚性實形性實形性水平面水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形

26、。在它所平行的投影面上的投影反映實形。 另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。的投影軸平行的直線。a b c a c b abc 一般位置平面一般位置平面三個投影都類似。三個投影都類似。投影特性：投影特性：三、平面上的直線和點三、平面上的直線和點判斷直線在平面判斷直線在平面內(nèi)的方法內(nèi)的方法 定定 理理 一一若一直線過平面若一直線過平面上的兩點，則此上的兩點，則此直線必在該平面直線必在該平面內(nèi)。內(nèi)。定定 理理 二二若一直線過平面上的若一直線過平面上的一點，且平行于該平一點，且平行于該平面上的另一直線，則面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。此直

27、線在該平面內(nèi)。 平面上取任意直線平面上取任意直線abcb c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直線：已知平面由直線AB、AC所確定，試所確定，試 在平面內(nèi)任作一條直線。在平面內(nèi)任作一條直線。解法一解法一解法二解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理二根據(jù)定理一根據(jù)定理一有多少解？有多少解？有無數(shù)解。有無數(shù)解。例例2：在平面：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到 H面的距面的距 離為離為10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？ 平面上取點平面上取點 先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔

28、助線，然后再在該直線上確定點的位置。為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例例1：已知：已知K點在平面點在平面ABC上，求上，求K點的水平投影。點的水平投影。bacc a k b k 面上取點的方法：面上取點的方法：首先面上取線首先面上取線abcab k c d kd利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解通過在面內(nèi)作輔助線求解bckada d b c ada d b c k bc例例2：已知：已知AC為正平線，補全平行四邊形為正平線，補全平行四邊形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二2.4 幾何元素的相對位置幾何元素的相對位置相對位置包括相對位置

29、包括平行平行、相交相交和和垂直。垂直。一、平行問題一、平行問題 直線與平面平行直線與平面平行 平面與平面平行平面與平面平行包括包括 直線與平面平行直線與平面平行定理定理 若一直線平行于平面上的某一直若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。線，則該直線與此平面必相互平行。n a c b m abcmn例例1：過：過M點作直線點作直線MN平行于平面平行于平面ABC。有無數(shù)解有無數(shù)解有多少解？有多少解？1 1正平線正平線例例2：過：過M點作直線點作直線MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABC。c b a m abcmn唯一解唯一解n 11 兩平面平行兩平面平行 若一平面上的若一

30、平面上的兩相兩相交直線交直線對應(yīng)平行于另對應(yīng)平行于另一平面上的一平面上的兩相交直兩相交直線線，則這兩平面相互，則這兩平面相互平行。平行。 若兩若兩投影面垂直面投影面垂直面相互平行，則它們相互平行，則它們具具有積聚性有積聚性的那組投影的那組投影必相互平行。必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef二、相交問題二、相交問題直線與平面相交直線與平面相交平面與平面相交平面與平面相交 直線與平面相交直線與平面相交 直線與平面相交，其直線與平面相交，其交點是直線與平交點是直線與平面的共有點。面的共有點。要討論的問題：要討論的問題： 求求直線與平面的直線與平面

31、的交點。交點。 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可判別可 見性。見性。 我們只討論直線與平面中至少有一個我們只討論直線與平面中至少有一個處于特殊位置的情況。處于特殊位置的情況。abcmnc n b a m 平面為特殊位置平面為特殊位置例：求直線例：求直線MN與平面與平面ABC的交點的交點K并判別可見性。并判別可見性?？臻g及投影分析空間及投影分析 平面平面ABC是一鉛垂面，是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直其水平投影積聚成一條直線，該直線與線，該直線與mn的交點即的交點即為為K點的水平投影。點的水平投影。 求交點求交點 判別可見性判別可見性由水平投影可知，由水平投

32、影可知，KN段在平面前，故正面投段在平面前，故正面投影上影上k n 為可見。為可見。還可通過重影點判別可見性。還可通過重影點判別可見性。k 1 (2 )作作 圖圖k21km(n)bm n c b a ac 直線為特殊位置直線為特殊位置空間及投影分析空間及投影分析 直線直線MN為鉛垂線，其為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，水平投影積聚成一個點，故交點故交點K的水平投影也積聚的水平投影也積聚在該點上。在該點上。 求交點求交點 判別可見性判別可見性 點點位于平面上，在位于平面上，在前；點前；點位于位于MN上，在上，在后。故后。故k 2 為不可見。為不可見。1 (2 )k 21作圖作圖用面上取點法用面

33、上取點法 兩平面相交兩平面相交 兩平面相交其交線為直線，兩平面相交其交線為直線，交線是兩平交線是兩平面的共有線，面的共有線，同時同時交線上的點都是兩平面的交線上的點都是兩平面的共有點。共有點。要討論的問題：要討論的問題： 求求兩平面的兩平面的交線交線方法：方法： 確定兩平面的確定兩平面的兩個共有點。兩個共有點。 確定確定一個共有點及交線的方向。一個共有點及交線的方向。 只討論兩平面中至少有一個處于特只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置的情況。殊位置的情況。 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見性。判別可見性?？赏ㄟ^正面投影可通過正面投影直觀地進行判別。

34、直觀地進行判別。abcdefc f db e a m (n )空間及投影分析空間及投影分析 平面平面ABC與與DEF都都為為正垂面正垂面，它們的正面投，它們的正面投影都積聚成直線。影都積聚成直線。交線必交線必為一條正垂線為一條正垂線，只要求得只要求得交線上的一個點便可作出交線上的一個點便可作出交線的投影。交線的投影。 求交線求交線 判別可見性判別可見性作作 圖圖 從正面投影上可看出，從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。在上，其水平投影可見。nm能否不用重能否不用重影點判別？影點判別？能能!如何判別？如何判別？例：求兩平面的交線例：求兩平面的交線MN并

35、判別可見性。并判別可見性。b c f h a e abcefh1(2)空間及投影分析空間及投影分析 平面平面EFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有積聚性。正面投影有積聚性。a b 與與e f 的交點的交點m 、 b c 與與f h 的交點的交點n 即為兩個共有點的正面投影，即為兩個共有點的正面投影，故故m n 即即MN的正面投影的正面投影。 求交線求交線 判別可見性判別可見性點點在在FH上，點上，點在在BC上，上，點點在上，點在上，點在下，故在下，故fh可見，可見，n2不可見。不可見。作作 圖圖mn 2 nm 1 c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N點的水平投影點

36、的水平投影n位位于于def的外面，說明點的外面，說明點N位于位于DEF所確定的所確定的平面內(nèi)，但不位于平面內(nèi)，但不位于DEF這個圖形內(nèi)。這個圖形內(nèi)。 所以所以ABC和和DEF的交線應(yīng)為的交線應(yīng)為MK。nn m kmk 互交互交 小小 結(jié)結(jié)重點掌握：重點掌握：二、如何在平面上確定直線和點。二、如何在平面上確定直線和點。三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平面三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平面 內(nèi)的內(nèi)的兩組相交直線對應(yīng)平行。兩組相交直線對應(yīng)平行。四、直線與平面的交點及平面與平面的交線是四、直線與平面的交點及平面與平面的交線是 兩者的共有點或共有線。兩者的共有點或共有線。解題思路：解題思路：空

37、間及投影分析空間及投影分析 目的是找出交點或交線的已知投影。目的是找出交點或交線的已知投影。判別可見性判別可見性 尤其是尤其是如何利用重影點判別。如何利用重影點判別。一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的尤其是特殊位置平面的 投影特性。投影特性。要要 點點一、各種位置平面的投影特性一、各種位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三個投影為邊數(shù)相等的類似多邊形三個投影為邊數(shù)相等的類似多邊形類似性類似性。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線在其垂直的投影面上的投影積聚成直線 積聚性積聚性。另外兩個投影類似。另外兩個投影類似

38、。 在其平行的投影面上的投影反映實形在其平行的投影面上的投影反映實形 實形性實形性。 另外兩個投影積聚為直線。另外兩個投影積聚為直線。 二、平面上的點與直線二、平面上的點與直線 平面上的點平面上的點一定位于平面內(nèi)的某條直線上一定位于平面內(nèi)的某條直線上 平面上的直線平面上的直線 過平面上的兩個點。過平面上的兩個點。 過平面上的一點并平行于該平面上的某條直線。過平面上的一點并平行于該平面上的某條直線。三、平行問題三、平行問題 直線與平面平行直線與平面平行 直線平行于平面內(nèi)的一條直線。直線平行于平面內(nèi)的一條直線。 兩平面平行兩平面平行 必須是一個平面上的一對相交直線對應(yīng)平行必須是一個平面上的一對相交

39、直線對應(yīng)平行 于另一個平面上的一對相交直線。于另一個平面上的一對相交直線。四、相交問題四、相交問題 求直線與平面的交點的方法求直線與平面的交點的方法 一般位置直線與特殊位置平面求交點，利用一般位置直線與特殊位置平面求交點，利用 交點的共有性和平面的積聚性直接求解。交點的共有性和平面的積聚性直接求解。 投影面垂直線與一般位置平面求交點，利用投影面垂直線與一般位置平面求交點，利用 交點的共有性和直線的積聚性，采取平面上交點的共有性和直線的積聚性，采取平面上 取點的方法求解。取點的方法求解。 求兩平面的交線的方法求兩平面的交線的方法 兩特殊位置平面相交，分析交線的空間位置，兩特殊位置平面相交，分析交

40、線的空間位置， 有時可找出兩平面的一個共有點，根據(jù)交線有時可找出兩平面的一個共有點，根據(jù)交線 的投影特性畫出交線的投影。的投影特性畫出交線的投影。 一般位置平面與特殊位置平面相交，可利用一般位置平面與特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個共特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個共 有點，求出交線。有點，求出交線。第第3 3章章 投影變換投影變換一、問題的提出一、問題的提出 如何求一般位置直線的實長？如何求一般位置直線的實長？ 如何求一般位置平面的真實大小？如何求一般位置平面的真實大小？ 換換 面面 法：法： 物體本身在空間的位置不動，而用某物體本身在空間的位置不動，而用某

41、一新投影面（輔助投影面）代替原有投影一新投影面（輔助投影面）代替原有投影面，使面，使物體相對新的投影面處于解題所需物體相對新的投影面處于解題所需要的有利位置要的有利位置，然后將物體向新投影面進，然后將物體向新投影面進行投射。行投射。解決方法：更換投影面。解決方法：更換投影面。VHAB a b ab二、新投影面的選擇原則二、新投影面的選擇原則1. 新投影面必須對空間物體處于新投影面必須對空間物體處于最有利的解最有利的解 題位置。題位置。 平行于新的投影面平行于新的投影面 垂直于新的投影面垂直于新的投影面2. 新投影面必須新投影面必須垂直于垂直于某某一保留的原投影面，一保留的原投影面， 以構(gòu)成一個

42、相互垂直的兩投影面的新體系。以構(gòu)成一個相互垂直的兩投影面的新體系。Pa1b1VHA a a axX 更換一次投影面更換一次投影面 舊投影體系舊投影體系 X VH 新投影體系新投影體系P1HX1 A點的兩個投影：點的兩個投影：a， a A點的兩個投影：點的兩個投影：a，a1 新投影體系的建立新投影體系的建立三、點的投影變換規(guī)律三、點的投影變換規(guī)律X1P1a1ax1 VHXP1HX1 a aa1axax1.ax1 VHXP1HX1 a aa1VHA a axXX1P1a1ax1 新舊投影之間的關(guān)系新舊投影之間的關(guān)系 aa1 X1 a1ax1 = a ax 點的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影

43、點的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影 到原投影軸的距離。到原投影軸的距離。axa 一般規(guī)律：一般規(guī)律： 點的新投影和與它有關(guān)的原投影的連線，必垂直點的新投影和與它有關(guān)的原投影的連線，必垂直 于新投影軸。于新投影軸。. XVHaa ax更換更換H面面 求新投影的作圖方法求新投影的作圖方法 VHXP1HX1 由點的不變投影向新投影軸作垂線，由點的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。于被代替的投影到原投影軸的距離。aa X1P1V a1axax1ax1更換更換V面面a1作圖規(guī)律：作圖規(guī)律：. 更換兩次

44、投影面更換兩次投影面先把先把V面換成平面面換成平面P1， P1 H，得到中間新投影體系，得到中間新投影體系:P1HX1 再把再把H面換成平面面換成平面P2， P2 P1，得到新投影體系，得到新投影體系: X2 P1 P2 新投影體系的建立新投影體系的建立按次序更換按次序更換AaVH a axXX1P1a1ax1P2X2ax2a2 ax2 a aXVH 求新投影的作圖方法求新投影的作圖方法a2X1HP1X2P1P2 作圖規(guī)律作圖規(guī)律 a2a1 X2 軸軸 a2ax2 = aax1a1 axax1 .VHAB a b ab四、換面法的四個基本問題四、換面法的四個基本問題1. 把一般位置直線變換成投

45、影面平行線把一般位置直線變換成投影面平行線用用P1面代替面代替V面，在面，在P1/H投影體系中，投影體系中，AB/P1。X1HP1P1a1b1空間分析空間分析： 換換H面行嗎？面行嗎？不行！不行！作圖：作圖：例：求直線例：求直線AB的實長及與的實長及與H面的夾角。面的夾角。 a b abXVH新投影軸的位置？新投影軸的位置？a1b1與與ab平行。平行。 .a1b1VH a aXB b bA2. 把一般位置直線變換成投影面垂直線把一般位置直線變換成投影面垂直線空間分析：空間分析：a b abXVHX1H1P1P1P2X2作圖：作圖：X1P1a1b1X2P2二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線二

46、次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。X2軸的位置？軸的位置？a2 b2ax2a2 b2 .與與a1b1垂直垂直一次換面把直線變成投影面平行線；一次換面把直線變成投影面平行線； 一般位置直線變換一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？幾次變換？ a b c abcdVHABCDX d 3. 把一般位置平面變換成投影面垂直面把一般位置平面變換成投影面垂直面 如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。 P1X1c1b1 a1 d1空間分析：空間分析：

47、在平面內(nèi)在平面內(nèi)取一條取一條投影面平行線投影面平行線，經(jīng)一，經(jīng)一次換面后變換成新投次換面后變換成新投影面的垂直線，則該影面的垂直線，則該平面變成新投影面的平面變成新投影面的垂直面。垂直面。作圖方法：作圖方法：兩平面垂直需滿足什么條件？兩平面垂直需滿足什么條件？能否只進行一次變換？能否只進行一次變換？ 思考：思考：若變換若變換H面，需在面面，需在面內(nèi)取什么位置直線？內(nèi)取什么位置直線？正平線！正平線！ a b c acbXVH例：把例：把三角形三角形ABC變變換換成投影面垂直面。成投影面垂直面。HP1X1作作 圖圖 過過 程：程： 在平面內(nèi)取一條水平在平面內(nèi)取一條水平 線線AD。d d 將將AD變

48、換成新投影變換成新投影 面的垂直線。面的垂直線。d1a1 d1c1 反映平面對哪反映平面對哪個投影面的夾角？個投影面的夾角？.a1 b1需經(jīng)幾次變換？需經(jīng)幾次變換？一次換面一次換面, 把一般位置平面變換成新投影面的垂直面；把一般位置平面變換成新投影面的垂直面；二次換面，再變換成新投影面的平行面。二次換面，再變換成新投影面的平行面。X2P1P24. 把一般位置平面變換成投影面平行面把一般位置平面變換成投影面平行面ab a c b XVHc作作 圖：圖：AB是水平是水平線線空間分析：空間分析：a2c2b2c1X2軸軸的位置？的位置？平面的實形平面的實形.X1HP1.與其平行與其平行b1 距離距離d

49、d1X1HP1X2P1P2c2 d 例例1：求點：求點C到直線到直線AB的距離，并求垂足的距離，并求垂足D。c c b a abXVH 五、換面法的應(yīng)用五、換面法的應(yīng)用 如下圖：當直線如下圖：當直線AB垂直于投影面時，垂直于投影面時，CD平平行于投影面，其投影反映行于投影面，其投影反映實長。實長。APBDCca b d作圖作圖: 求求C點到直線點到直線AB的距離，的距離，就是求垂線就是求垂線CD的實長。的實長?？臻g及投影分析：空間及投影分析：c1 a1 a2 b2 d2 過過c1作線平行于作線平行于x2軸。軸。.如何確定如何確定d1點的位置？點的位置？b a abcdc 例例2：已知兩交叉直線

50、：已知兩交叉直線AB和和CD的公垂線的長度的公垂線的長度 為為MN， 且且AB為水平線，求為水平線，求CD及及MN的投影。的投影。MNm d a1b1m1n1c1d1n空間及投影分析：空間及投影分析：VHXHP1X1圓半徑圓半徑=MNn m 當直線當直線AB垂直于投影垂直于投影面時，面時，MN平行于投影面，平行于投影面，這時它的投影這時它的投影m1n1=MN,且且m1n1c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作圖：作圖：請注意各點的投請注意各點的投影如何返回？影如何返回？求求m點是難點。點是難點。.空間及投影分析空間及投影分析：AB與與CD都平行于投影面時，其投影都平行于投影面時，

51、其投影的夾角才反映實大（的夾角才反映實大（60），因此需將），因此需將AB與與C點所確定的點所確定的平面變換成投影面平行面。平面變換成投影面平行面。例例3: 過過C點作直線點作直線CD與與AB相交成相交成60角。角。 d X1HP1X2P1P2ab a c b XVHc作作 圖：圖：c2c1a1 b1a2d2db2 幾個解？幾個解？兩個解！兩個解！ 已知點已知點C是等邊三角形的頂點，另兩個頂點在直線是等邊三角形的頂點，另兩個頂點在直線AB上，上，求等邊三角形的投影。求等邊三角形的投影。思考：思考：如何解？如何解？解法相同！解法相同！60D點的投影點的投影如何返回？如何返回？.P2P1X2H P

52、1X1c d b a dacbd1c1a1d2b1c2a2 b2VHX例例4：求平面：求平面ABC和和ABD的兩面角。的兩面角?？臻g及投影分析空間及投影分析： 由幾何定理知：兩面角為兩平面同時與第三平面垂直相交由幾何定理知：兩面角為兩平面同時與第三平面垂直相交時所得兩交線之間的夾角。時所得兩交線之間的夾角。 在投影圖中在投影圖中, 兩平面的交線垂直于投影面時，則兩平面垂兩平面的交線垂直于投影面時，則兩平面垂直于該投影面，它們的投影積聚成直線，直線間的夾角為所求直于該投影面，它們的投影積聚成直線，直線間的夾角為所求. 小小 結(jié)結(jié) 本章主要介紹了投影變換的一種常用方法本章主要介紹了投影變換的一種常

53、用方法 換面法換面法。一、一、 換面法就是換面法就是改變投影面的位置改變投影面的位置，使它與所給物，使它與所給物 體或其幾何元素處于體或其幾何元素處于解題所需的特殊位置解題所需的特殊位置。二、二、 換面法的關(guān)鍵是要注意換面法的關(guān)鍵是要注意新投影面的選擇條件新投影面的選擇條件， 即必須使即必須使新投影面與某一原投面保持垂直關(guān)系新投影面與某一原投面保持垂直關(guān)系， 同時又有利于解題需要，這樣才能使正投影規(guī)同時又有利于解題需要，這樣才能使正投影規(guī) 律繼續(xù)有效。律繼續(xù)有效。三、三、點的變換規(guī)律是換面法的作圖基礎(chǔ)點的變換規(guī)律是換面法的作圖基礎(chǔ)，四個基本，四個基本 問題是解題的基本作圖方法，必需熟練掌握。問

54、題是解題的基本作圖方法，必需熟練掌握。換面法的四個基本問題：換面法的四個基本問題： 2. 把一般位置直線變成投影面垂直線把一般位置直線變成投影面垂直線1. 把一般位置直線變成投影面平行線把一般位置直線變成投影面平行線3. 把一般位置平面變成投影面垂直面把一般位置平面變成投影面垂直面4. 把一般位置平面變成投影面平行面把一般位置平面變成投影面平行面變換一次投影面變換一次投影面變換一次投影面變換一次投影面變換兩次投影面變換兩次投影面變換兩次投影面變換兩次投影面需先在面內(nèi)作一條投影面平行線需先在面內(nèi)作一條投影面平行線四、解題時一般要注意下面幾個問題：四、解題時一般要注意下面幾個問題： 分析已給條件的

55、空間情況，弄清原始條件中分析已給條件的空間情況，弄清原始條件中 物體與原投影面的相對位置物體與原投影面的相對位置，并把這些條件，并把這些條件 抽象成幾何元素（點、線、面等）。抽象成幾何元素（點、線、面等）。 根據(jù)要求得到的結(jié)果，確定出有關(guān)幾何元根據(jù)要求得到的結(jié)果，確定出有關(guān)幾何元 素素對新投影面應(yīng)處于什么樣的特殊位置對新投影面應(yīng)處于什么樣的特殊位置（垂（垂 直或平行），據(jù)此選擇正確的解題思路與方直或平行），據(jù)此選擇正確的解題思路與方 法。法。 在具體作圖過程中，要注意新投影與原投影在具體作圖過程中，要注意新投影與原投影 在變換前后的關(guān)系，在變換前后的關(guān)系， 既要在新投影體系中正既要在新投影體系

56、中正 確無誤地求得結(jié)果，又能將結(jié)果確無誤地求得結(jié)果，又能將結(jié)果返回到原投返回到原投 影體系中去。影體系中去。VWH4.1 4.1 體的投影及三視圖體的投影及三視圖一、體的投影一、體的投影 體的投影，實質(zhì)上是構(gòu)成該體的所體的投影，實質(zhì)上是構(gòu)成該體的所有表面的投影總和。有表面的投影總和。二、三面投影與三視圖二、三面投影與三視圖1.1.視圖的概念視圖的概念主視圖主視圖(front view) 體的正面投影體的正面投影俯視圖俯視圖(vertical view) 體的水平投影體的水平投影左視圖左視圖(left view) 體的側(cè)面投影體的側(cè)面投影2.2.三視圖之間的度量對應(yīng)關(guān)系三視圖之間的度量對應(yīng)關(guān)系三

57、等關(guān)系三等關(guān)系主視俯視長相等且對正主視俯視長相等且對正主視左視高相等且平齊主視左視高相等且平齊俯視左視寬相等且對應(yīng)俯視左視寬相等且對應(yīng)長長高高寬寬寬寬長對正長對正寬相等寬相等高平齊高平齊 視圖就是將物體向投視圖就是將物體向投影面投射所得的圖形。影面投射所得的圖形。3.3.三視圖之間的方位對應(yīng)關(guān)系三視圖之間的方位對應(yīng)關(guān)系 主視圖反映：上、下主視圖反映：上、下 、左、右、左、右 俯視圖反映：前、后俯視圖反映：前、后 、左、右、左、右 左視圖反映：上、下左視圖反映：上、下 、前、后、前、后上上下下左左右右后后前前上上下下前前后后左左右右基本體的形成及其三視圖基本體的形成及其三視圖 常見的基本幾何體常

58、見的基本幾何體平面基本體平面基本體曲面基本體曲面基本體點的可見性規(guī)定：點的可見性規(guī)定： 若點所在的平面的投影若點所在的平面的投影可見，點的投影也可見；若可見，點的投影也可見；若平面的投影積聚成直線，點平面的投影積聚成直線，點的投影也可見。的投影也可見。 由于棱柱的表面都是平由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取面，所以在棱柱的表面上取點與在平面上取點的方法相點與在平面上取點的方法相同。同。一、平面基本體一、平面基本體1.1.棱柱棱柱 棱柱的三視圖棱柱的三視圖 棱柱面上取點棱柱面上取點 a a a (b ) b 棱柱的組成棱柱的組成 b 由由兩個底面和幾個側(cè)棱面兩個底面和幾個側(cè)棱面組成。側(cè)

59、棱面與側(cè)棱面的交線組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行側(cè)棱線相互平行。 在圖示位置時，六棱柱的兩在圖示位置時，六棱柱的兩底面為水平面，在俯視圖中反映底面為水平面，在俯視圖中反映實形。前后兩側(cè)棱面是正平面，實形。前后兩側(cè)棱面是正平面，其余四個側(cè)棱面是鉛垂面，它們其余四個側(cè)棱面是鉛垂面，它們的水平投影都積聚成直線，與六的水平投影都積聚成直線，與六邊形的邊重合。邊形的邊重合。( ) s s 2.2.棱錐棱錐 棱錐的三視圖棱錐的三視圖 在棱錐面上取點在棱錐面上取點 k k k b a c abc a (c )b s n n 棱錐的組成棱錐的組成 n 由由一個底面和幾個一個底面和

60、幾個側(cè)棱面?zhèn)壤饷娼M成。組成。側(cè)棱線交側(cè)棱線交于有限遠的一點于有限遠的一點錐錐頂頂。同樣采用平面上取點法。同樣采用平面上取點法。 棱錐處于圖示位置時，棱錐處于圖示位置時，其底面其底面ABC是水平面，在是水平面，在俯視圖上反映實形。側(cè)棱俯視圖上反映實形。側(cè)棱面面SAC為側(cè)垂面，另兩個為側(cè)垂面，另兩個側(cè)棱面為一般位置平面。側(cè)棱面為一般位置平面。 圓柱面的俯視圖積聚成一圓柱面的俯視圖積聚成一個圓，在另兩個視圖上分別以個圓，在另兩個視圖上分別以兩個方向的輪廓素線的投影表兩個方向的輪廓素線的投影表示。示。二、回轉(zhuǎn)體二、回轉(zhuǎn)體1.1.圓柱體圓柱體 圓柱體的三視圖圓柱體的三視圖 輪廓線素線的投影與曲面的輪廓線