山東建筑大學畫法幾何4投影變換

1、14 41 1 投影變換的目的和方法投影變換的目的和方法4 42 2 變換投影面法（變換投影面法（換面法）換面法）4 43 3 旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法 第四章第四章 投投 影影 變變 換換4 45 5 度量問題和定位問題舉例度量問題和定位問題舉例24 41 1投影變換的目的和方法投影變換的目的和方法特殊位置的直線：特殊位置的直線：可直接反映實長、傾角問題可直接反映實長、傾角問題XOa bb a實長實長 XOa (b )ab實長實長水平線水平線正垂線正垂線3實形實形XObaa cb c 類似形類似形aXOb a c b c 特殊位置的平面：特殊位置的平面： 可直接反映實形、傾角問題可直接反映實形、傾角問題

2、正平面正平面正垂面正垂面4 41 1投影變換的目的和方法投影變換的目的和方法4特殊位置的幾何元素：特殊位置的幾何元素：可直接反映度量、定位問題可直接反映度量、定位問題e f efa(b)b a d c(d)c 兩直線的距離兩直線的距離距離距離點到直線的距離點到直線的距離f afa d c(d)c 距離距離4 41 1投影變換的目的和方法投影變換的目的和方法5cbRHk21a012kaef aef一般位置的幾何元素無法直接進行度量。一般位置的幾何元素無法直接進行度量。b距離距離cz距離距離m c a b abcm點到直線的距離點到直線的距離4 41 1投影變換的目的和方法投影變換的目的和方法z6

3、一、投影變換一、投影變換 改變空間幾何元素與投影面的相對位改變空間幾何元素與投影面的相對位置，使它們相互之間處于某一特殊位置的置，使它們相互之間處于某一特殊位置的情況，從而使問題簡化、得到解決情況，從而使問題簡化、得到解決投投影變換影變換。二、投影變換的方法二、投影變換的方法1. 變換投影面法（輔助投影面法）變換投影面法（輔助投影面法）2. 旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法4 41 1投影變換的目的和方法投影變換的目的和方法7VHXOabcba(c)一、一、 基本概念：基本概念：4 42 2 換換 面面 法法換面法：換面法：空間幾何元素不動，改空間幾何元素不動，改變投影面的位置使其有利于解題。變投影面的位置使其有

4、利于解題。實形實形XVHAbabCacBVc1 b1a1O1X1V1a1c1b18（1 1）新投影面要垂直原有的）新投影面要垂直原有的一個投影面。一個投影面。（2 2）新投影面要處于最有利）新投影面要處于最有利于解題的位置。于解題的位置。二、基本條件二、基本條件講解順序：點講解順序：點 線線 面面 4 42 2 換換 面面 法法實形實形XVHAbabCacBVc1 b1a1建立新投影面的條件：建立新投影面的條件：9變換規(guī)律：變換規(guī)律： 1. 點的新投影到新軸之距點的新投影到新軸之距=舊投影到原軸之距；舊投影到原軸之距； 2. 點的新投影與被保留投影的連線點的新投影與被保留投影的連線新軸新軸O1

5、 1X1 1。a1 HV1X1O1aX1三、基本原理三、基本原理1. 點的點的一次變換一次變換：a XOVHaaxVHHV1V1a aAaXaX1O1X1VOXHa1 4 42 2 換換 面面 法法10變換規(guī)律：變換規(guī)律： 1. 點的新投影到新軸之距點的新投影到新軸之距=舊投影到原軸之距；舊投影到原軸之距； 2. 點的新投影與被保留投影的連線點的新投影與被保留投影的連線新軸新軸O1 1X1 1。三、基本原理三、基本原理1. 點的點的一次變換一次變換：VHVH1a1VH1X1O14 42 2 換換 面面 法法H1a aAaXaX1O1X1VOXHa1a XOVHaax11a aAaXVV1OO1

6、XX1Ha1 2.2. 點的二次變換點的二次變換X2O2V1H1a1VHV1HV1H1X1HV1O1a XOVHaaXa1 a1H1X2O24 42 2 換換 面面 法法三、基本原理三、基本原理12 42 換面法換面法23四、變換投影面的基本類型四、變換投影面的基本類型1.將一般位置直線變換為新投影面的平行線,需要經(jīng)過一次變換,可解決求線段的實長及對另一投影面的傾角問題;2.將一般位置直線變換為新投影面的垂直線,需要經(jīng)過兩次變換,可解決點到投影面平行線的距離和兩條平行的投影面平行線的距離等問題;3.將一般位置平面變換為新投影面的垂直面,需要經(jīng)過一次變換,可解決平面對另一投影面的傾角、一點到一平

7、面的距離、兩平行平面間的距離、直線與一般面的交點和兩平面交線等問題;4.將一般位置平面變換為新投影面的平行面,需要經(jīng)過兩次變換,可解決求平面的實形等問題.131 1、把一般位置直線變換成投影面的平行線、把一般位置直線變換成投影面的平行線XVHOV1X1O1a1 b1 abb a ABXOVHX1HV1O1abb a b1 a1 實長實長 基本作圖基本作圖一次一次14V1X1O12 2. .把投影面的平行線變換成投影面的垂直線把投影面的平行線變換成投影面的垂直線XVHOa1 (b1 )XOVHa b abX1HV1O1a1 (b1 )基本作圖基本作圖一次一次aa b AbB153.3.把一般位置

8、直線變換成投影面的垂直線把一般位置直線變換成投影面的垂直線X2O2H1V1a1(b1)基本作圖基本作圖兩次兩次X1HV1O1b1 a1 實長實長abb a XOVHXVHOV1X1a1 b1 abb a AB O1O2H1a1(b1)X216XVHXHVOaa b c cb4.4.把一般位置平面變換成投影面的垂直面把一般位置平面變換成投影面的垂直面d da1 b1 d1 (c1 )X1V1HO1V1X1d1 (c1 )cdd c CD 水平線水平線基本作圖基本作圖一次一次175.5.把投影面的垂直面變換成投影面的平行面把投影面的垂直面變換成投影面的平行面aa c b cbXOVHa1 b1 實

9、形實形X1HV1O1c1 基本作圖基本作圖一次一次186.6.把一般位置平面變換成投影面的平行面把一般位置平面變換成投影面的平行面X2O2V1H1a1b1c1實形實形基本作基本作圖圖兩次兩次XHVOaa b c cbd da1 b1 d1 (c1 )X1V1HO119 43 換位法（旋轉(zhuǎn)法）換位法（旋轉(zhuǎn)法）aaa1o1o2O2O1o1(o2) a1 AA1VHOX aa1aa1o1(o2)o1o2 20 43 換位法換位法( (旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法) )一、旋轉(zhuǎn)法介紹： 旋轉(zhuǎn)法是保持原投影面體系不變，而將空間點、直線和平面等幾何元素繞某一垂直于投影面的軸旋轉(zhuǎn)，使其成為有利于解題所需的特殊位置。二、點的

10、旋轉(zhuǎn)投影規(guī)律空間一點繞垂直于投影面的軸旋轉(zhuǎn)時：1、它在該軸所垂直的投影面上的投影，沿著一圓弧轉(zhuǎn)動；2、它在另外投影面上的投影則沿著平行于投影軸的直線移動。21 43 換位法換位法( (旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法) ) 三、利用旋轉(zhuǎn)法時應(yīng)注意的問題 直線和平面上的點，在每一次旋轉(zhuǎn)過程中，要注意三同原則：繞同一旋轉(zhuǎn)軸同一旋轉(zhuǎn)軸、朝同一方向同一方向、旋轉(zhuǎn)同同一角度一角度。 22 43 換位法換位法( (旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法) ) 四、例題:用旋轉(zhuǎn)法求作過點C所作直線AB的垂線CD,垂足為D。 aabbOXccdd23 43 換位法換位法( (旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法) ) 四、例題:用旋轉(zhuǎn)法求作過點C所作直線AB的垂線CD的實長,垂

11、足為D。 aabbOXccd1d124 在確定一般位置平面的實形時，無論在確定一般位置平面的實形時，無論是用變換投影法，還是用以鉛垂線為軸是用變換投影法，還是用以鉛垂線為軸的旋轉(zhuǎn)法，都要經(jīng)過兩次變換。如果采的旋轉(zhuǎn)法，都要經(jīng)過兩次變換。如果采用以平面內(nèi)的一條水平線或正平線為軸用以平面內(nèi)的一條水平線或正平線為軸來旋轉(zhuǎn)此平面，則只需要一次變換就可來旋轉(zhuǎn)此平面，則只需要一次變換就可求出。求出。 44 以水平線為軸的旋轉(zhuǎn)法以水平線為軸的旋轉(zhuǎn)法25ABCO1、平面繞水平軸旋轉(zhuǎn)時，平面內(nèi)點的水平投影對軸的水平投影作垂線運動；2、平面旋轉(zhuǎn)到水平位置時，平面內(nèi)點的旋轉(zhuǎn)半徑的水平投影必然反映實長。A144 以水平

12、線為軸的旋轉(zhuǎn)法以水平線為軸的旋轉(zhuǎn)法26a bcab c a1Oo 44 以水平線為軸的旋轉(zhuǎn)法以水平線為軸的旋轉(zhuǎn)法27aa1bca a1 b c dd c1c1 b44 以水平線為軸的旋轉(zhuǎn)法以水平線為軸的旋轉(zhuǎn)法28 定位定位: : 解決空間幾何元素之間的相互位置問題，如從屬性、交點、交線等。解決空間幾何元素之間的相互位置問題，如從屬性、交點、交線等。 度量度量: : 解決空間幾何元素的形狀、大小、傾角或相互間的距離、角度問題等。解決空間幾何元素的形狀、大小、傾角或相互間的距離、角度問題等。4 45 5 度量度量問題問題定位問題舉例定位問題舉例度量問題小結(jié)1. 直線的實長、傾角：直線的實長、傾角：

13、直角三角形法，變換一次投影面直角三角形法，變換一次投影面2. 平面的實形、傾角：平面的實形、傾角：最大斜度線法求傾角，變換投影面法最大斜度線法求傾角，變換投影面法3. 距離距離: 點到直線、兩直線、點到平面、直線與平面、兩平面點到直線、兩直線、點到平面、直線與平面、兩平面 點、線、面法點、線、面法，變換投影面法變換投影面法4. 夾角夾角: 兩直線、直線與平面、兩平面兩直線、直線與平面、兩平面 變換投影面法變換投影面法291. 求求A A點到點到三角形三角形BCDBCD的距離及兩面投影。的距離及兩面投影。 XOaa c b d bdcX1b1 d1 c1 a1 k1 kk O130XOVHk1 b1 a1 aa b bkk O1V1HX1X2H1V1O2k1a1(b1)(m1)m1 mm 距離距離2. 求求K K點到直線點到直線ABAB的距離及兩面投影。的距離及兩面投影。Ha (bm)kKAM距離距離B313. 已知直線已知直線ABAB和和CD,CD,其距離為其距離為20mm,20mm,求求CDCD的的V V面投影。面投影。X1a1 (b1 )c1 (d1 )c d XOa b abcd32XO d c cdb a abX1O1b1 a1 c1 d1 k1 g1 kgO2X2a1b1g k (k1)g1距離距離4. 求交叉兩直線求交叉兩直線ABAB和和CDCD間的距離及其兩