如何求解車輪邊緣最高點(diǎn)水平飛出石塊的速度

1、如何求解車輪邊緣最高點(diǎn)水平飛出石塊的速度 陳永濤 (老師) 筆者在高中物理教學(xué)中，遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：在平直地面上勻速行駛的拖拉機(jī)速度V=5m/s，拖拉機(jī)前輪直徑d=0.8m，如圖所示：在行駛過(guò)程中從前輪邊緣最高點(diǎn)A處水平飛出一個(gè)小石塊，g取10m/s2，求小石塊落地時(shí)距C點(diǎn)距離。在這個(gè)問(wèn)題中，小石塊水平離開邊緣A點(diǎn)后，做平拋運(yùn)動(dòng)，然而平拋初速度V0等于多少呢？對(duì)此很多學(xué)生無(wú)法求解，在此，筆者對(duì)如何求解初速度V0作如下解說(shuō)：車以速度V=5m/s向前運(yùn)動(dòng)，則車軸O點(diǎn)向前的平移速度為V=5m/s。車輪邊緣A點(diǎn)繞軸O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)車速為V=5m/s時(shí)，A點(diǎn)繞O點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)線速度V=5m/s。然而，車在實(shí)際運(yùn)行

2、過(guò)程中，一方面車在向前平移，另一方面，A點(diǎn)繞軸O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。這就造成上邊緣A點(diǎn)參與了兩項(xiàng)分運(yùn)動(dòng)，一方面隨軸點(diǎn)O向前平動(dòng)，V=5m/s；另一方面繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，V=5m/s。在A點(diǎn)時(shí)，恰 兩 項(xiàng)分運(yùn)動(dòng)同向，所以邊緣A點(diǎn)的速度為：V+V/=2V，小石塊從邊緣A點(diǎn)飛出瞬間，具有和邊緣A點(diǎn)一樣的瞬時(shí)速度，即：小石塊平拋初速度V0=2V。該項(xiàng)解答過(guò)程是：解：小石塊平拋初速度V0=2V，設(shè)落點(diǎn)為D，CD間的距離為Xx=v。·t =2v·=4m答：小石塊落點(diǎn)距C點(diǎn)4m。【校對(duì)：周開龍】2010年全國(guó)理綜I卷26題新解李 如 能）說(shuō)明：該文曾發(fā)表在試題與研究2011年第13期（21分）如下圖，在區(qū)

3、域內(nèi)存在與xy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B.在t=0時(shí)刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在xy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0180°范圍內(nèi)。已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界上點(diǎn)離開磁場(chǎng)。求：1 粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R及粒子的比荷qm;2 此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；3 從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間。分析： 帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的軌跡問(wèn)題靈活多變，數(shù)理結(jié)合的綜合應(yīng)用能力要求較高，過(guò)程多，難度大，具有較好的區(qū)分度。因此，多次出現(xiàn)在高考?jí)狠S題中，常規(guī)解法數(shù)學(xué)計(jì)算復(fù)雜

4、，有限時(shí)間內(nèi)考生很難完成。利用“畫圓法”、“滾圓法”、“剪圓法”可以快速、簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確的求解磁場(chǎng)軌跡問(wèn)題。解析： 粒子沿y軸的正方向進(jìn)入磁場(chǎng)，如圖1，從P點(diǎn)離開磁場(chǎng)，作弦OP的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為圓心O'，根據(jù)直角三角形有解得，則粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的的圓心角為120°，周期為粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得，化簡(jiǎn)得畫圓法：以O(shè)點(diǎn)為軸，OP弦長(zhǎng)為半徑畫圓，如圖2. 圓弧與磁場(chǎng)左右邊界線交于P、P'、P'',時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子處于P'P''區(qū)間，容易求得速度v與y軸的正方向的夾角范圍是60°到120

5、°.滾圓法：以O(shè)點(diǎn)為軸，圖1中扇形OO'P作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3、圖4位置. 圖3中的P至P'間穿出磁場(chǎng)的粒子、圖4中扇形O1OP''再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的粒子在時(shí)刻之前均穿出磁場(chǎng)了，因?yàn)樵搮^(qū)間穿出的粒子，其圓心角小于120°。圖3中的P'（P關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)）至圖4中的P''區(qū)間粒子仍處在磁場(chǎng)中。容易求得圖3中的OO'P'圓弧、圖4中的OP''圓弧對(duì)應(yīng)的粒子速度v與y軸的正方向的夾角為60°和120°，所以速度v與y軸的正方向的夾角范圍是60°到120°.

6、 剪圓法：將圖1中扇形OO'P剪下，以O(shè)為軸順時(shí)針滾動(dòng)與磁場(chǎng)左右邊界線交于P、P'、P'',位置如圖2. 時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子處于P'P''區(qū)間，容易求得速度v與y軸的正方向的夾角范圍是60°到120°. 據(jù)問(wèn)，最后離開磁場(chǎng)的粒子從磁場(chǎng)左邊界P''穿出（圖4），該粒子的發(fā)射速度與y軸的正方向的夾角是120°，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的的圓心角為120°，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是.而發(fā)射該粒子時(shí)最先發(fā)射的粒子在磁場(chǎng)中已運(yùn)動(dòng)了時(shí)間，所以從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間為.點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生建立物理模型、數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用平面幾何知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力。難點(diǎn)是第（2）問(wèn)，按步就班求解，過(guò)程多，作圖難度大，數(shù)學(xué)應(yīng)用復(fù)雜，空間位置難想象。用“畫圓法”、“滾圓法”、“剪圓法”就讓難作圖、難想象的