實驗6數(shù)值積分

1、實驗六數(shù)值積分(Quadrature)6.1 實驗?zāi)康恼莆諗?shù)值積分的代數(shù)精度與收斂階的含義，會利用matlab求解符號積分和數(shù)值積分，并會借助數(shù)學(xué)軟件Matlab求解一些簡單的實際問題。6.2 實驗內(nèi)容1、Matlab中求解符號積分和數(shù)值積分的方法；2、建立飛船的軌道周長和手的面積等實際問題的數(shù)學(xué)模型，并借助數(shù)學(xué)軟件Matlab求解6.3實驗步驟6.3.1函數(shù)表達(dá)式已知時的積分Matlab中求積分的方法包括符號積分（精確計算）和數(shù)值積分兩種。前者只有一個命令int（注：求導(dǎo)數(shù)的命令為diff）,后者命令較多，詳見表1。表1 Matlab中數(shù)值積分函數(shù)一覽表函數(shù)名調(diào)用格式方法說明適應(yīng)范圍（詳見H

2、elp）quadq=quad(fun,a,b,tol)自適應(yīng)Simpson 法被積函數(shù)不光滑，低精度要求quadlq=quadl(fun,a,b,tol)自適應(yīng) Lobatto 法被積函數(shù)光滑，高精度要求quadgkq,errbnd=quadgk(fun,a,b,tol)自適應(yīng)Gauss-Kronrod 法震蕩型被積函數(shù)，高精度要求，積分限可為無窮trapzq=trapz(X,Y)梯形法離散數(shù)據(jù)點積分dblquadq = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)調(diào)用一維數(shù)值積分方法矩形區(qū)域上的二重積分quad2dq = quad2d(fun,a,b,c,d)平面區(qū)域上的

3、二重積分triplequadtriplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax)調(diào)用一維數(shù)值積分方法三維長方形區(qū)域上的三重積分教師示范1：符號積分int是matlab中符號工具箱的一個命令，它能精確計算不定積分和定積分，微積分教材中的積分一般均可用該種方法積出。例1求不定積分。Matlab命令序列為：syms xs=int(-2*x/(1+x2)2)運行結(jié)果為：1/(x2 + 1)，即。驗算所得結(jié)果，即驗證，Matlab命令為：diff(s)，運行結(jié)果為：-(2*x)/(x2 + 1)2.其余見文件：integrate_symbolic.m。教師示范2：數(shù)

4、值積分例2求不定積分Matlab命令為：format longq1 = quad(x) exp(-x.2/2),0,2)q2 = quadl(x) exp(-x.2/2),0,2)q3 = quadgk(x) exp(-x.2/2),0,2)結(jié)果分別為，和。實際上，由此，函數(shù)quadgk比quad、quadl的計算精度要高。6.3.2離散數(shù)據(jù)的數(shù)值積分當(dāng)函數(shù)的表達(dá)式未知，但已知函數(shù)在一系列節(jié)點處的函數(shù)值時，的計算有三種方法。方法1，利用表1中的梯形法；方法2，先用樣條插值函數(shù)逼近未知函數(shù)，然后利用表1中的命令求該樣條函數(shù)的積分；方法3，如果所求的圖形可視為以點為頂點的多邊形，則可利用多邊形的面

5、積公式（1） （1）直接求解。具體見例3。例3 用不同方法計算不定積分，比較不同方法的精度。程序如下。% 比較不同方法求定積分的精度a = 0; b = 10;syms x;exact = vpa( int(cos(x),a,b), 20); % 符號定積分，小數(shù)點20位的精確值q = zeros(7,1);q(1) = quad(cos,a,b);q(2) = quadl(cos,a,b);q(3) = quadgk(cos,a,b);% 離散數(shù)據(jù)后，用梯形法求積分t = a:0.1:b; y = cos(t);q(4) = trapz(t, y);% 用三次樣條近似函數(shù)后，求積分pp =

6、spline( t, y );q(5) = quad(t)ppval(pp,t),a,b);q(6) = quadl(t)ppval(pp,t),a,b);q(7) = quadgk(t)ppval(pp,t),a,b);%disp('精確值')disp(exact)format long;disp('近似值')disp(q);disp('各種方法的誤差')for i = 1:7 fprintf(1,'%12.10en',double( q(i)-exact ) );end以上程序運行結(jié)果見表2。表2 Matlab中不同數(shù)值積分方

7、法精度比較函數(shù)結(jié)果方法說明誤差int符號積分，精確解quad-0.544021121312844自適應(yīng)Simpson 法-1.04e-008quadl-0.544021110988547自適應(yīng) Lobatto 法-9.92e-011quadgk-0.544021110889370自適應(yīng)Gauss-Kronrod 法-1.83e-016trapz-0.543567684387146梯形法4.53e-004splinequad-0.544021095007636三次樣條近似1.59e-008quadl-0.5440209206203261.91e-007quadgk-0.5440209978193

8、161.13e-007詳見文件：integrate_numeric.m。6.3.2學(xué)生練習(xí)學(xué)生練習(xí)1：網(wǎng)球拍的拍面外形可近似看成橢圓，如圖1所示。試計算該網(wǎng)球拍拍面外形的周長。首先給出求解橢圓周長的積分公式，然后數(shù)值求解。圖1. 網(wǎng)球拍的拍面據(jù)中國載人航天工程網(wǎng)報道1，中國第一艘載人航天飛船神舟五號的初始軌道為近地點200公里、遠(yuǎn)地點350公里的橢圓軌道，試計算該橢圓軌道的長度。設(shè)地球為半徑6371公里的球形。（選做）你可以通過查閱權(quán)威網(wǎng)站(如中國航天網(wǎng))提供的數(shù)據(jù)，計算嫦娥二號繞月飛行的橢圓軌道的長度。學(xué)生練習(xí)2：實驗5插值法的學(xué)生實驗練習(xí)2中已繪制出你的手，試計算你的手的面積。圖2.一只手根據(jù)文獻(xiàn)2，“用病人的手估計估計燒傷面積已成為診斷燒傷面積的公認(rèn)方法之一”，并指出“男性手掌的面積大致占人體表面積的0.81%，女性則大致為0.67%”。試由此估計你的體表面積。提示：手的面積的求法有多種。一種最簡單的方法是利用多邊形的面積。可選的方法是定積分或二重積分，請同學(xué)們認(rèn)真思考。給出不少于兩種的計算方法。6.4 思考題（選做）1用數(shù)值積分方法計算含參變量的積分，并將你的計算結(jié)果與Matlab中的內(nèi)置函數(shù)beta(z,w)和gamma(x)的結(jié)果進(jìn)行比較。前者可參見integrate_numeric.m。2查閱資料學(xué)習(xí)如何