高中數(shù)學(xué)必修二人教版點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系證明題

1、高中數(shù)學(xué)必修二（人教版）點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系證明題精選一解答題（共20小題，滿分120分，每小題6分）1（6分）如圖所示，正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，ADE=90°，AFDE，DE=DA=2AF=2（1）求證：AC平面BEF；（2）求四面體BDEF的體積2（6分）在四棱錐PABCD中，ABC=ACD=90°，BAC=CAD=60°，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2（1）求證：PCAE；（2）求證：CE平面PAB；（3）求三棱錐PACE的體積V3（6分）如圖，在棱長(zhǎng)均為4的三棱柱ABCA1B1C1中，D、D1分別是BC

2、和B1C1的中點(diǎn)（1）求證：A1D1平面AB1D；（2）若平面ABC平面BCC1B1，B1BC=60°，求三棱錐B1ABC的體積4（6分）如圖所示，四棱錐PABCD的底面為直角梯形，ABAD，CDAD，CD=2AB點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)（）求證：BE平面PAD；（）已知平面PCD底面ABCD，且PC=DC在棱PD上是否存在點(diǎn)F，使CFPA？請(qǐng)說(shuō)明理由5（6分）如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是菱形，SA平面ABCD，M，N分別為SA，CD的中點(diǎn)（I）證明：直線MN平面SBC； （）證明：平面SBD平面SAC6（6分）如圖，O是圓錐底面圓的圓心，圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，C

3、為底面圓周上一點(diǎn)（）若弧BC的中點(diǎn)為D求證：AC平面POD；（）如果PAB面積是9，求此圓錐的表面積7（6分）如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD是菱形，PA平面 ABCD，PA=3，F(xiàn) 是棱 PA 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E 為 PD 的中點(diǎn)（）求證：平面 BDF平面 PCF；（）若 AF=1，求證：CE平面 BDF8（6分）已知，如圖，P是平面ABC外一點(diǎn)，PA不垂直于平面ABC，E，F(xiàn)分別是線段AC，PC的中點(diǎn)，D是線段AB上一點(diǎn)，AB=AC，PB=PC，DEEF（1）求證：PABC；（2）求證：BC平面DEF9（6分）如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是菱形，AB=2，DAB=

4、60°，EFAC，EF=（）求證：FC平面BDE；（）若EA=ED，求證：ADBE10（6分）長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一點(diǎn)（1）求異面直線AC與B1D所成的角；（2）若B1D平面ACE，求三棱錐ACDE的體積11（6分）如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，A1A=AB=2，ABC=，E，F(xiàn)分別是BC，A1C的中點(diǎn)（1）求異面直線EF，AD所成角的余弦值；（2）點(diǎn)M在線段A1D上，=若CM平面AEF，求實(shí)數(shù)的值12（6分）如圖，六面體ABCDE中，面DBC面ABC，AE面ABC（1）求

5、證：AE面DBC；（2）若ABBC，BDCD，求證：ADDC13（6分）如圖：在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，ABC=60°，PA平面ABCD，點(diǎn)M，N分別為BC，PA的中點(diǎn)，且PA=AB=2（）證明：BC平面AMN；（）求三棱錐NAMC的體積；（）在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得NM平面ACE；若存在，求出PE的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由14（6分）在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別邊AB，BC上的點(diǎn)，且=求證：點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)15（6分）如圖長(zhǎng)方體ABCDA'B'C'D'中

6、，AB=BC=1，AA'=2，E、F分別是BB、A'B'的中點(diǎn)（1）求證：E、F、C、D'四點(diǎn)共面； （2）求異面直線AC、C'E夾角的余弦值16（6分）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1=AC=CB=AB（1）證明：BC1平面A1CD；（2）求異面直線BC1和A1D所成角的大小17（6分）如圖，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，且AC=AA1（1）求證：ABA1C；（2）求異面直線A1C與BB1所成角的大小18（6分）（文科）設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點(diǎn)O，AC=

7、BC=1，CD=，求（1）AC與平面BCD所成角的大??；（2）異面直線AB和CD的大小19（6分）三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，BC=3點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別在線段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB（1）證明：BC平面PDA；（2）求二面角PADC的大??；（3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值20（6分）如圖，在四棱錐PABCD中，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，若ABCD是平行四邊形（1）求證：MN平面PAD（2）若PA=AD=2a，MN與PA所成的角為30°求MN的長(zhǎng)高中數(shù)學(xué)必修二（人教版）點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系證明

8、題精選參考答案與試題解析一解答題（共20小題，滿分120分，每小題6分）1（6分）（2017雅安模擬）如圖所示，正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，ADE=90°，AFDE，DE=DA=2AF=2（1）求證：AC平面BEF；（2）求四面體BDEF的體積【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行的判定；L：組合幾何體的面積、體積問(wèn)題；LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】15 ：綜合題【分析】（1）設(shè)正方形ABCD的中心為O，取BE中點(diǎn)G，連接FG，OG，由中位線定理，我們易得四邊形AFGO是平行四邊形，即FGOA，由直線與平面平行的判定定理即可得到AC平面BEF；（2）由

9、已知中正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，ADE=90°，我們可以得到AB平面ADEF，結(jié)合DE=DA=2AF=2分別計(jì)算棱錐的底面面積和高，代入棱錐體積公式即可求出四面體BDEF的體積【解答】證明：（1）設(shè)ACBD=O，取BE中點(diǎn)G，連接FG，OG，所以，OGDE，且OG=DE因?yàn)锳FDE，DE=2AF，所以AFOG，且OG=AF，從而四邊形AFGO是平行四邊形，F(xiàn)GOA因?yàn)镕G平面BEF，AO平面BEF，所以AO平面BEF，即AC平面BEF（6分）解：（2）因?yàn)槠矫鍭BCD平面ADEF，ABAD，所以AB平面ADEF因?yàn)锳FDE，ADE=90°，DE=DA

10、=2AF=2所以DEF的面積為SDEF=×ED×AD=2，所以四面體BDEF的體積V=SDEF×AB=（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定及棱錐的體積，（1）的關(guān)鍵是證明出FGOA，（2）的關(guān)鍵是得到AB平面ADEF，即四面體BDEF的高為AB2（6分）（2017廣西一模）在四棱錐PABCD中，ABC=ACD=90°，BAC=CAD=60°，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2（1）求證：PCAE；（2）求證：CE平面PAB；（3）求三棱錐PACE的體積V【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行的判定；LF：棱柱、棱錐、棱

11、臺(tái)的體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】31 ：數(shù)形結(jié)合【分析】（1）取PC中點(diǎn)F，利用等腰三角形的性質(zhì)可得PCAF，先證明CD平面PAC，可得CDPC，從而EFPC，故有PC平面AEF，進(jìn)而證得PCAE（2）取AD中點(diǎn)M，利用三角形的中位線證明EM平面PAB，利用同位角相等證明MCAB，得到平面EMC平面PAB，證得EC平面PAB（3）由（1）知AC=2，EF=CD，且EF平面PAC，求得EF 的值，代入V=進(jìn)行運(yùn)算【解答】解：（1）在RtABC中，AB=1，BAC=60°，BC=，AC=2取PC中點(diǎn)F，連AF，EF，PA=AC=2，PCAFPA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又A

12、CD=90°，即CDAC，CD平面PAC，CDPC，EFPC，PC平面AEF，PCAE（2）證明：取AD中點(diǎn)M，連EM，CM則EMPAEM平面PAB，PA平面PAB，EM平面PAB在RtACD中，CAD=60°，AC=AM=2，ACM=60°而B(niǎo)AC=60°，MCABMC平面PAB，AB平面PAB，MC平面PABEMMC=M，平面EMC平面PABEC平面EMC，EC平面PAB（3）由（1）知AC=2，EF=CD，且EF平面PAC在RtACD中，AC=2，CAD=60°，CD=2，得EF=則V=【點(diǎn)評(píng)】本題考查證明線面平行、線線垂直的方法，取PC

13、中點(diǎn)F，AD中點(diǎn)M，利用三角形的中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵3（6分）（2017漢中二模）如圖，在棱長(zhǎng)均為4的三棱柱ABCA1B1C1中，D、D1分別是BC和B1C1的中點(diǎn)（1）求證：A1D1平面AB1D；（2）若平面ABC平面BCC1B1，B1BC=60°，求三棱錐B1ABC的體積【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行的判定；LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】11 ：計(jì)算題；14 ：證明題【分析】（1）欲證A1D1平面AB1D，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證A1D1與平面AB1D內(nèi)一直線平行，連接DD1，根據(jù)中位線定理可知B1D1BD，且B1D1=BD，則四邊形B1BDD

14、1為平行四邊形，同理可證四邊形AA1D1D為平行四邊形，則A1D1AD又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，滿足定理所需條件；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知AD平面B1C1CB，即AD是三棱錐AB1BC的高，求出三棱錐AB1BC的體積，從而求出三棱錐B1ABC的體積【解答】解：（1）證明：連接DD1，在三棱柱ABCA1B1C1中，D、D1分別是BC和B1C1的中點(diǎn)B1D1BD，且B1D1=BD四邊形B1BDD1為平行四邊形BB1DD1，且BB1=DD1又因AA1BB1，AA1=BB1所以AA1DD1，AA1=DD1所以四邊形AA1D1D為平行四邊形，所以A1D1AD又A1D1平面AB1D

15、，AD平面AB1D故A1D1平面AB1D；（2）在ABC中，棱長(zhǎng)均為4，則AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，所以ADBC因?yàn)槠矫鍭BC平面B1C1CB，交線為BC，AD平面ABC所以AD平面B1C1CB，即AD是三棱錐AB1BC的高在ABC中，AB=AC=BC=4得AD=2在B1BC中，B1B=BC=4，B1BC=60°所以B1BC的面積為4三棱錐B1ABC的體積即為三棱錐AB1BC的體積V=××=8【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線面平行的判定，以及三棱錐的體積的計(jì)算，同時(shí)考查了推理論證的能力、計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題4（6分）（2017漳州模擬）如圖所示，四棱錐

16、PABCD的底面為直角梯形，ABAD，CDAD，CD=2AB點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)（）求證：BE平面PAD；（）已知平面PCD底面ABCD，且PC=DC在棱PD上是否存在點(diǎn)F，使CFPA？請(qǐng)說(shuō)明理由【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行的判定；LY：平面與平面垂直的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】15 ：綜合題；35 ：轉(zhuǎn)化思想；4G ：演繹法；5F ：空間位置關(guān)系與距離【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明：BE平面PAD；（2）棱PD上存在點(diǎn)F為PD的中點(diǎn)，使CFPA，利用三垂線定理可得結(jié)論【解答】（1）證明：取PD中點(diǎn)Q，連結(jié)AQ、EQ（1分）E為PC的中點(diǎn)，EQCD且EQ=CD（2分）又ABCD且AB

17、=CD，EQAB且EQ=AB（3分）四邊形ABED是平行四邊形，BEAQ（4分）又BE平面PAD，AQ平面PAD，BE平面PAD（5分）（2）解：棱PD上存在點(diǎn)F為PD的中點(diǎn)，使CFPA，平面PCD底面ABCD，平面PCD底面ABCD=CD，ADCD，AD平面PCD，DP是PA在平面PCD中的射影，PC=DC，PF=DF，CFDP，CFPA【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間直線和平面平行或垂直的判斷，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理考查學(xué)生的推理能力5（6分）（2017樂(lè)山一模）如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是菱形，SA平面ABCD，M，N分別為SA，CD的中點(diǎn)（I）證明：直線MN平面SBC； （）

18、證明：平面SBD平面SAC【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行的判定；LW：直線與平面垂直的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】5F ：空間位置關(guān)系與距離【分析】（）取SB中點(diǎn)E，連接ME、CE，由三角形中位線定理、菱形性質(zhì)得四邊形MECN是平行四邊形，由此能證明直線MN平面SBC（）連接AC、BD，交于點(diǎn)O，由線面垂直得SABD，由菱形性質(zhì)得ACBD，由此能證明平面SBD平面SAC【解答】（）證明：如圖，取SB中點(diǎn)E，連接ME、CE，因?yàn)镸為SA的中點(diǎn)，所以MEAB，且ME=，（2分）因?yàn)镹為菱形ABCD邊CD的中點(diǎn)，所以CNAB，且CN=，（3分）所以MECN，ME=CN，所以四邊形MECN是平行四邊形，所

19、以MNEC，（5分）又因?yàn)镋C平面SBC，MN平面SBC，所以直線MN平面SBC（6分）（）證明：如圖，連接AC、BD，交于點(diǎn)O，因?yàn)镾A底面ABCD，所以SABD（7分）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD（8分）又SAAC=A，所以BD平面SAC（10分）又BD平面SBD，所以平面SBD平面SAC（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)6（6分）（2017新羅區(qū)校級(jí)模擬）如圖，O是圓錐底面圓的圓心，圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，C為底面圓周上一點(diǎn)（）若弧BC的中點(diǎn)為D求證：AC平面POD；（）如果PAB面積是9

20、，求此圓錐的表面積【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行的判定；LE：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】15 ：綜合題；35 ：轉(zhuǎn)化思想；44 ：數(shù)形結(jié)合法；5F ：空間位置關(guān)系與距離【分析】（）證法1：設(shè)BCOD=E，由已知可證ACOE，線線平行即可證明線面平行AC平面POD；證法2：由AB是底面圓的直徑，可證ACBC，利用ODBC，可證ACOD，即可判定AC平面POD（）設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l，由圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，可求，利用三角形面積公式可求r，進(jìn)而可求此圓錐的表面積【解答】解：（）證法1：設(shè)BCOD=E，D是弧BC的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，又O是

21、AB的中點(diǎn)，ACOE，又AC平面POD，OE平面POD，AC平面POD證法2：AB是底面圓的直徑，ACBC，弧BC的中點(diǎn)為D，ODBC，又AC，OD共面，ACOD，又AC平面POD，OD平面POD，AC平面POD（）解：設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l，圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，由，得r=3，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線面平行的判定，考查了三角形面積公式，考查了圓錐的表面積的求法，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題7（6分）（2017青島一模）如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD是菱形，PA平面 ABCD，PA=3，F(xiàn) 是棱 PA 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E 為 PD 的

22、中點(diǎn)（）求證：平面 BDF平面 PCF；（）若 AF=1，求證：CE平面 BDF【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行的判定；LY：平面與平面垂直的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】14 ：證明題；35 ：轉(zhuǎn)化思想；4G ：演繹法；5F ：空間位置關(guān)系與距離【分析】（）連接AC交BD于O，證明BD平面PAC，即可證明結(jié)論；（）取PF中點(diǎn)G，連接EG，CG，連接FO由三角形中位線定理可得FOGC，GEFD然后利用平面與平面平行的判定得到面GEC面FOD，進(jìn)一步得到CE面BDF【解答】證明：（）連接AC交BD于O，則ACBD，PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，PABD，PAAC=A，BD平面PAC，BD平面

23、BDF，平面 BDF平面PAC，即平面 BDF平面 PCF；（）如圖所示，取PF中點(diǎn)G，連接EG，CG，連接FO由題可得F為AG中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn)，F(xiàn)OGC；又G為PF中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn)，GEFD又GEGC=G，GE、GC面GEC，F(xiàn)OFD=F，F(xiàn)O，F(xiàn)D面FOD面GEC面FODCE面GEC，CE面BDF；【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定，考查了線面垂直、面面垂直的證明，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題8（6分）（2017達(dá)州模擬）已知，如圖，P是平面ABC外一點(diǎn)，PA不垂直于平面ABC，E，F(xiàn)分別是線段AC，PC的中點(diǎn)，D是線段AB上一點(diǎn)，AB=AC，PB=PC，DEEF（1）求證：

24、PABC；（2）求證：BC平面DEF【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行的判定；LX：直線與平面垂直的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】14 ：證明題；48 ：分析法；5F ：空間位置關(guān)系與距離【分析】（1）設(shè)線段BC的中點(diǎn)為G，分別連接AG、PG構(gòu)建線面垂直：BC平面AGP根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證得結(jié)論；（2）利用三角形中位線定理推知EFAP結(jié)合已知條件得到PADE 因?yàn)镻ABC，BC、DE是平面ABC內(nèi)兩條直線，如果BC、DE相交，則PA平面ABC，與PA不與平面ABC的垂直矛盾故BCDE最后根據(jù)線面平行的判定定理得到結(jié)論【解答】（1）證明：設(shè)線段BC的中點(diǎn)為G，分別連接AG、PGAB=AC，PB=PC，AG

25、BC，PGBC，AG、PG是平面AGP內(nèi)的兩條相交線，BC平面AGPPA平面AGP，PABC（2）證明：E、F分別是線段AC、PC的中點(diǎn)，EFAPDEEF，PADE 因?yàn)镻ABC，BC、DE是平面ABC內(nèi)兩條直線，如果BC、DE相交，則PA平面ABC，與PA不與平面ABC的垂直矛盾BCDE 又BC平面DEF，DE平面DEF，BC平面DEF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間線面面面平行與垂直的判定及性質(zhì)定理、三角形中位線定理，考查了空間想象能力、推理能力，屬于中檔題9（6分）（2017濟(jì)南一模）如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是菱形，AB=2，DAB=60°，EFAC，EF=（）求證：F

26、C平面BDE；（）若EA=ED，求證：ADBE【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行的判定；LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】14 ：證明題；35 ：轉(zhuǎn)化思想；4G ：演繹法；5F ：空間位置關(guān)系與距離【分析】（）設(shè)ACBD=O，連接EO，證明FCEO，即可證明：FC平面BDE；（）取AD中點(diǎn)M，連接EM，BM，證明AD平面EMB，即可證明：ADBE【解答】證明：（）設(shè)ACBD=O，連接EO底面ABCD是菱形，DAB=60°，OC=，EFAC，EFCO為平行四邊形，F(xiàn)CEO，F(xiàn)C平面BDE，EO平面BDE，F(xiàn)C平面BDE；（）取AD中點(diǎn)M，連接EM，BM，EA=ED，E

27、MADAB=AD=BD，BMAD，EMBM=M，AD平面EMB，BE平面EMB，ADEB【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題10（6分）（2017上海模擬）長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一點(diǎn)（1）求異面直線AC與B1D所成的角；（2）若B1D平面ACE，求三棱錐ACDE的體積【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角；LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】5F ：空間位置關(guān)系與距離；5G ：空間角【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線的方向向量的夾角即

28、可得到此兩條異面直線所成的角；（2）利用線面垂直的性質(zhì)定理即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用VACDE=VEADC即可得到體積【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系 （1）依題意，D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，2），異面直線AC與B1D所成的角為（2）設(shè)E（0，0，a），則，B1D平面ACE，AE平面ACE，B1DAE，1+2a=0，VACDE=VEADC=【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系的方法并利用異面直線的方向向量的夾角得到兩條異面直線所成的角、及掌握線面垂直的性質(zhì)定理、“等積變形”、三棱錐的體積計(jì)算公式

29、是解題的關(guān)鍵11（6分）（2017南京二模）如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，A1A=AB=2，ABC=，E，F(xiàn)分別是BC，A1C的中點(diǎn)（1）求異面直線EF，AD所成角的余弦值；（2）點(diǎn)M在線段A1D上，=若CM平面AEF，求實(shí)數(shù)的值【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角；LT：直線與平面平行的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】15 ：綜合題；35 ：轉(zhuǎn)化思想；4G ：演繹法；5F ：空間位置關(guān)系與距離；5G ：空間角【分析】（1）建立坐標(biāo)系，求出直線的向量坐標(biāo)，利用夾角公式求異面直線EF，AD所成角的余弦值；（2）點(diǎn)M在線段A1D上，=求出平面AEF的法向量，利用CM

30、平面AEF，即可求實(shí)數(shù)的值【解答】解：因?yàn)樗睦庵鵄BCDA1B1C1D1為直四棱柱，所以A1A平面ABCD又AE平面ABCD，AD平面ABCD，所以A1AAE，A1AAD在菱形ABCD中ABC=，則ABC是等邊三角形因?yàn)镋是BC中點(diǎn)，所以BCAE因?yàn)锽CAD，所以AEAD建立空間直角坐標(biāo)系則A（0，0，0），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)（，1）（1）=（0，2，0），=（，1），所以異面直線EF，AD所成角的余弦值為= （4分）（2）設(shè)M（x，y，z），由于點(diǎn)M在線段A1D上，且 =，則（x，y，z2）=（0，2，2）則M（0，2，22），=（，21

31、，22） （6分）設(shè)平面AEF的法向量為=（x0，y0，z0）因?yàn)?=（，0，0），=（，1），由，得x0=0，y0+z0=0取y0=2，則z0=1，則平面AEF的一個(gè)法向量為n=（0，2，1） （8分）由于CM平面AEF，則=0，即2（21）（22）=0，解得=（10分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角，考查線面平行的運(yùn)用，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題12（6分）（2017南京一模）如圖，六面體ABCDE中，面DBC面ABC，AE面ABC（1）求證：AE面DBC；（2）若ABBC，BDCD，求證：ADDC【考點(diǎn)】LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；LS：直線與平面平行的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】5

32、F ：空間位置關(guān)系與距離【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DOBC，O為垂足，由已知得DO面ABC，由此能證明AE面DBC（2）由已知得DOAB，AB面DBC，從而ABDC，由此能證明ADDC【解答】證明：（1）過(guò)點(diǎn)D作DOBC，O為垂足因?yàn)槊鍰BC面ABC，又面DBC面ABC=BC，DO面DBC，所以DO面ABC又AE面ABC，則AEDO又AE面DBC，DO面DBC，故AE面DBC（2）由（1）知DO面ABC，AB面ABC，所以DOAB又ABBC，且DOBC=O，DO，BC平面DBC，則AB面DBC因?yàn)镈C面DBC，所以ABDC又BDCD，ABDB=B，AB，DB面ABD，則DC面ABD又AD面ABD，

33、故可得ADDC【點(diǎn)評(píng)】本題第（1）問(wèn)考查面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的性質(zhì)定理及線面平行的判定定理；第（2）問(wèn)通過(guò)線面垂直證線線垂直問(wèn)題13（6分）（2017湖南三模）如圖：在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，ABC=60°，PA平面ABCD，點(diǎn)M，N分別為BC，PA的中點(diǎn)，且PA=AB=2（）證明：BC平面AMN；（）求三棱錐NAMC的體積；（）在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得NM平面ACE；若存在，求出PE的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由【考點(diǎn)】LP：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】11 ：計(jì)算題；14 ：證明題【分析】（I）要證線

34、與面垂直，只要證明線與面上的兩條相交線垂直，找面上的兩條線，根據(jù)四邊形是一個(gè)菱形，從菱形出發(fā)找到一條，再?gòu)腜A平面ABCD，得到結(jié)論（II）要求三棱錐的體積，首先根據(jù)所給的體積確定用哪一個(gè)面做底面，會(huì)使得計(jì)算簡(jiǎn)單一些，選擇三角形AMC，做出底面面積，利用體積公式得到結(jié)果（III）對(duì)于這種是否存在的問(wèn)題，首先要觀察出結(jié)論，再進(jìn)行證明，根據(jù)線面平行的判定定理，利用中位線確定線與線平行，得到結(jié)論【解答】解：（）證明：ABCD為菱形，AB=BC又ABC=60°，AB=BC=AC，又M為BC中點(diǎn)，BCAM而PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC又PAAM=A，BC平面AMN（II）又PA

35、底面ABCD，PA=2，AN=1三棱錐NAMC的體積SAMCAN=（III）存在點(diǎn)E，取PD中點(diǎn)E，連接NE，EC，AE，N，E分別為PA，PD中點(diǎn)，又在菱形ABCD中，即MCEN是平行四邊形NMEC，又EC平面ACE，NM平面ACEMN平面ACE，即在PD上存在一點(diǎn)E，使得NM平面ACE，此時(shí)【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，是一個(gè)非常適合作為高考題目出現(xiàn)的問(wèn)題，題目包含的知識(shí)點(diǎn)比較全面，重點(diǎn)突出，是一個(gè)好題14（6分）（2017春龍海市校級(jí)月考）在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別邊AB，BC上的點(diǎn)，且=求證：點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；直線EH，B

36、D，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)【考點(diǎn)】LJ：平面的基本性質(zhì)及推論菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】14 ：證明題；31 ：數(shù)形結(jié)合；49 ：綜合法；5F ：空間位置關(guān)系與距離【分析】利用三角形的中位線平行于第三邊和平行線分線段成比例定理，得到EF、GH都平行于AC，由平行線的傳遞性得到EFGH，根據(jù)兩平行線確定一平面得出證明；（2）利用分別在兩個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上，即可證明【解答】證明：如圖所示，空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，HGAC；又=，EFAC，EFHG，E、F、G、H四點(diǎn)共面；設(shè)EH與FG交于點(diǎn)P，EH平面ABDP在平面ABD內(nèi)，同理P在平面BCD內(nèi)，且平面ABD平面BCD=

37、BD，點(diǎn)P在直線BD上，直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、直線的平行性的傳遞性、確定平面的條件以及三線共點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題15（6分）（2017春東湖區(qū)校級(jí)月考）如圖長(zhǎng)方體ABCDA'B'C'D'中，AB=BC=1，AA'=2，E、F分別是BB、A'B'的中點(diǎn)（1）求證：E、F、C、D'四點(diǎn)共面； （2）求異面直線AC、C'E夾角的余弦值【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角；LJ：平面的基本性質(zhì)及推論菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】15 ：綜合題；35 ：轉(zhuǎn)化思想；4G ：演繹法；5

38、F ：空間位置關(guān)系與距離；5G ：空間角【分析】（1）證明：EFD'C，即可證明E、F、C、D'四點(diǎn)共面； （2）連接A'C'，則A'C'E為異面直線AC、C'E夾角，即可求異面直線AC、C'E夾角的余弦值【解答】（1）證明：如圖所示，連接A'B，D'C，則EFA'BD'C，E、F、C、D'四點(diǎn)共面； （2）解：連接A'C'，則A'C'E為異面直線AC、C'E夾角，AB=BC=1，AA'=2，A'E=C'E=A'C

39、9;=異面直線AC、C'E夾角的余弦值為【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面的基本性質(zhì)，考查異面直線所成角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題16（6分）（2017春橋西區(qū)校級(jí)月考）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1=AC=CB=AB（1）證明：BC1平面A1CD；（2）求異面直線BC1和A1D所成角的大小【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角；LS：直線與平面平行的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】14 ：證明題；31 ：數(shù)形結(jié)合；41 ：向量法；5F ：空間位置關(guān)系與距離；5G ：空間角【分析】（1）連接AC1與A1C相交于點(diǎn)F，連接DF，推導(dǎo)出BC1DF，由此能證

40、明BC1平面A1CD（2）法一（幾何法）：由（1）得A1DF或其補(bǔ)角為異面直線BC1和A1D所在角，由此能求出異面直線BC1和A1D所成角的大小法二（向量法）：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，的方向?yàn)閥軸正方向，的方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz利用向量法能求出異面直線BC1與A1D所成角【解答】證明：（1）連接AC1與A1C相交于點(diǎn)F，連接DF由矩形ACC1A1可得點(diǎn)F是AC1的中點(diǎn)，又D是AB的中點(diǎn)，BC1DF，BC1平面A1CD，DF平面A1CD，BC1平面A1CD解：（2）解法一（幾何法）：由（1）得A1DF或其補(bǔ)角為異面直線BC1和A1D所在角，設(shè)AB=2，則，在A1

41、DF中，由余弦定理得：，且A1DF（0，），異面直線BC1和A1D所成角的大小為解法二（向量法）：，令A(yù)A1=AC=CB=2，ACBC以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，的方向?yàn)閥軸正方向，的方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz則D（1，1，0），C1（0，0，2），A1（2，0，2），B（0，2，0），設(shè)異面直線BC1與A1D所成角為，則，異面直線BC1與A1D所成角為【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題1

42、7（6分）（2017春云巖區(qū)校級(jí)月考）如圖，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，且AC=AA1（1）求證：ABA1C；（2）求異面直線A1C與BB1所成角的大小【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角；LX：直線與平面垂直的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】5F ：空間位置關(guān)系與距離；5G ：空間角【分析】（1）通過(guò)直線與平面垂直，證明直線魚(yú)嘴鞋垂直即ABA1C；（2）異面直線A1C與BB1所成角的大小求出三角形的三個(gè)邊長(zhǎng)，然后求解異面直線所成角即可【解答】解：（1）證明：側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，可得ABAA1，又ABAC，ACAA1=A，可得AB平面AA1C1C，且A

43、1C平面AA1C1C，ABA1C；（2）解：因?yàn)閹缀误w是棱柱，BB1AA1，則直線A1C與AA1所成的角為就是異面直線A1C與BB1所成的角直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1平面ABCAC=AA1，三角形CAA1是等腰直角三角形，異面直線所成角為45°異面直線A1C與BB1所成角的大小為45°【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的求法，直線與平面垂直的判斷，考查空間想象能力以及考查計(jì)算能力18（6分）（2017春西區(qū)校級(jí)月考）（文科）設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點(diǎn)O，AC=BC=1，CD=，求（1）AC與平面BCD所成角的大??；（2）異面直線AB

44、和CD的大小【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角；MI：直線與平面所成的角菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】11 ：計(jì)算題；31 ：數(shù)形結(jié)合；44 ：數(shù)形結(jié)合法；5F ：空間位置關(guān)系與距離；5G ：空間角【分析】（1）因?yàn)锳在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點(diǎn)O，所以O(shè)A是三棱錐的高，在直角三角形AOC中可計(jì)算AO，再由OA平面BCD，知ACO是AC與平面BCD所成角，由此能求出AC與平面BCD所成角的大?。?）取BC中點(diǎn)F，AC中點(diǎn)E，利用三角形中位線定理證明EFO即為異面直線AB和CD所成的角，再在EFO中分別計(jì)算三邊的長(zhǎng)，利用解直角三角形知識(shí)即可求得此角【解答】解：（1）A在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點(diǎn)O，OA是三棱錐的高BC=1，CD=OC=OB=OD=，OA=，OA平面BCD，ACO是AC與平面BCD所成角，tanACO=，ACO=30°，AC與平面BCD所成角為30°（2）如圖，取BC中點(diǎn)F，AC中點(diǎn)E，連接EF，OE，OFEFAB，OFCDEFO即為異面直