高中數(shù)學(xué)數(shù)列壓軸題練習(xí)江蘇及詳解

1、高中數(shù)學(xué)數(shù)列壓軸題練習(xí)（江蘇）及詳解1.已知數(shù)列是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,且,()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;是否存在正整數(shù)m,使得,成等差數(shù)列?若存在,求出m,n的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:(I)設(shè)數(shù)列的公差為d,則由,得,計(jì)算得出或(舍去).;(),即,累加得:,也符合上式.故,.假設(shè)存在正整數(shù)m、,使得,成等差數(shù)列,則又,即,化簡(jiǎn)得:當(dāng),即時(shí),(舍去);當(dāng),即時(shí),符合題意.存在正整數(shù),使得,成等差數(shù)列.解析()直接由已知列關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組,求解方程組得首項(xiàng)和公差,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案;()把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入,然后裂項(xiàng),累加后即可求得數(shù)

2、列的通項(xiàng)公式;假設(shè)存在正整數(shù)m、,使得,成等差數(shù)列,則.由此列關(guān)于m的方程,求計(jì)算得出答案.2.在數(shù)列中,已知,(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)記,且數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若為數(shù)列中的最小項(xiàng),求的取值范圍.解:(1)證明:,又,故,是以3為首項(xiàng),公比為3的等比數(shù)列(2)由(1)知道,若為數(shù)列中的最小項(xiàng),則對(duì)有恒成立,即對(duì)恒成立當(dāng)時(shí),有;當(dāng)時(shí),有;當(dāng)時(shí),恒成立,對(duì)恒成立.令,則對(duì)恒成立,在時(shí)為單調(diào)遞增數(shù)列.,即綜上,解析(1)由,整理得:.由,可以知道是以3為首項(xiàng),公比為3的等比數(shù)列;(2)由(1)求得數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和為,由為數(shù)列中的最小項(xiàng),則對(duì)有恒成立,分類分別求得當(dāng)時(shí)和當(dāng)?shù)娜≈捣秶?當(dāng)時(shí)

3、,利用做差法,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求得的取值范圍.3.在數(shù)列中,已知,設(shè)為的前n項(xiàng)和.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求;(3)是否存在正整數(shù)p,q,使,成等差數(shù)列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,說明理由. (1)證明:由,得到,則又,數(shù)列是以1為首項(xiàng),以-2為公差的等差數(shù)列;(2)由(1)可以推知:,所以,所以,-,得,所以(3)假設(shè)存在正整數(shù)p,q,使,成等差數(shù)列.則,即因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以數(shù)列單調(diào)遞減.又,所以且q至少為2,所以,當(dāng)時(shí),又,所以,等式不成立.當(dāng)時(shí),所以所以,所以,(數(shù)列單調(diào)遞減,解唯一確定).綜上可以知道,p,q,r的值分別是1,2,3.解析(1)把給出的數(shù)列遞推式

4、,變形后得到新數(shù)列,該數(shù)列是以1為首項(xiàng),以-2為公差的等差數(shù)列;(2)由(1)推出的通項(xiàng)公式,利用錯(cuò)位相減法從而求得求;(3)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到,從而推知p,q,r的值.4.已知n為正整數(shù),數(shù)列滿足,設(shè)數(shù)列滿足(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,求實(shí)數(shù)t的值;(3)若數(shù)列是等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為,對(duì)任意的,均存在,使得成立,求滿足條件的所有整數(shù)的值. (1)證明:數(shù)列滿足,數(shù)列為等比數(shù)列,其首項(xiàng)為,公比為2;(2)解:由(1)可得:,數(shù)列是等差數(shù)列,計(jì)算得出或12.時(shí),是關(guān)于n的一次函數(shù),因此數(shù)列是等差數(shù)列.時(shí),不是關(guān)于n的一次函數(shù),因此數(shù)列不是等差數(shù)列.綜上可得;(3)解:

5、由(2)得,對(duì)任意的,均存在,使得成立,即有,化簡(jiǎn)可得,當(dāng),對(duì)任意的,符合題意;當(dāng),當(dāng)時(shí),對(duì)任意的,不符合題意.綜上可得,當(dāng),對(duì)任意的,均存在,使得成立.解析(1)根據(jù)題意整理可得,再由等比數(shù)列的定義即可得證;(2)運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì),可得,解方程可得t,對(duì)t的值,檢驗(yàn)即可得到所求值;(3)由(2)可得,對(duì)任意的,均存在,使得成立,即有,討論為偶數(shù)和奇數(shù),化簡(jiǎn)整理,即可得到所求值.5.已知常數(shù),數(shù)列滿足,(1)若,求的值;求數(shù)列的前n項(xiàng)和;(2)若數(shù)列中存在三項(xiàng),依次成等差數(shù)列,求的取值范圍.解:(1),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),即從第二項(xiàng)起,數(shù)列是以1為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,

6、數(shù)列的前n項(xiàng)和,顯然當(dāng)時(shí),上式也成立,;(2),即單調(diào)遞增.(i)當(dāng)時(shí),有,于是,若數(shù)列中存在三項(xiàng),依次成等差數(shù)列,則有,即,.因此不成立.因此此時(shí)數(shù)列中不存在三項(xiàng),依次成等差數(shù)列.當(dāng)時(shí),有.此時(shí)于是當(dāng)時(shí),.從而若數(shù)列中存在三項(xiàng),依次成等差數(shù)列,則有,同(i)可以知道:.于是有,是整數(shù),.于是,即.與矛盾.故此時(shí)數(shù)列中不存在三項(xiàng),依次成等差數(shù)列.當(dāng)時(shí),有于是此時(shí)數(shù)列中存在三項(xiàng),依次成等差數(shù)列.綜上可得:解析(1),可得,同理可得,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),即從第二項(xiàng)起,數(shù)列是以1為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的求和公式即可得出(2),可得,即單調(diào)遞增.(i)當(dāng)時(shí),有,于是,可得,.利用反證法即可

7、得出不存在.當(dāng)時(shí),有.此時(shí).于是當(dāng)時(shí),.從而.假設(shè)存在,同(i)可以知道:.得出矛盾,因此不存在.當(dāng)時(shí),有.于是.即可得出結(jié)論.6.已知兩個(gè)無窮數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為,對(duì)任意的,都有(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若為等差數(shù)列,對(duì)任意的,都有.證明:;(3)若為等比數(shù)列,求滿足的n值.解:(1)由,得,即,所以由,可以知道所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.故的通項(xiàng)公式為,(2)證法一:設(shè)數(shù)列的公差為d,則,由(1)知,因?yàn)?所以,即恒成立,所以,即,又由,得,所以所以,得證.證法二:設(shè)的公差為d,假設(shè)存在自然數(shù),使得,則,即,因?yàn)?所以所以,因?yàn)?所以存在,當(dāng)時(shí),恒成立.這與“對(duì)任意的,

8、都有”矛盾!所以,得證.(3)由(1)知,.因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,且,所以是以1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.所以,則,因?yàn)?所以,所以而,所以,即當(dāng),2時(shí),式成立;當(dāng)時(shí),設(shè),則,所以,故滿足條件的n的值為1和2.解析(1)運(yùn)用數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式,即可得到所求;(2)方法一、設(shè)數(shù)列的公差為d,求出,.由恒成立思想可得,求出,判斷符號(hào)即可得證;方法二、運(yùn)用反證法證明,設(shè)的公差為d,假設(shè)存在自然數(shù),使得,推理可得,作差,推出大于0,即可得證;(3)運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式,求得,化簡(jiǎn),推出小于3,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的單調(diào)性,即可得到所求值.7.已知數(shù)列,都是單調(diào)遞增數(shù)

9、列,若將這兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)按由小到大的順序排成一列(相同的項(xiàng)視為一項(xiàng)),則得到一個(gè)新數(shù)列(1)設(shè)數(shù)列,分別為等差、等比數(shù)列,若,求;(2)設(shè)的首項(xiàng)為1,各項(xiàng)為正整數(shù),若新數(shù)列是等差數(shù)列,求數(shù)列的前n項(xiàng)和;(3)設(shè)是不小于2的正整數(shù)),是否存在等差數(shù)列,使得對(duì)任意的,在與之間數(shù)列的項(xiàng)數(shù)總是若存在,請(qǐng)給出一個(gè)滿足題意的等差數(shù)列;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,根據(jù)題意得,計(jì)算得出或3,因數(shù)列,單調(diào)遞增,所以,所以,所以,因?yàn)?(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,又,且,所以,所以因?yàn)槭侵械捻?xiàng),所以設(shè),即當(dāng)時(shí),計(jì)算得出,不滿足各項(xiàng)為正整數(shù);當(dāng)時(shí),此時(shí),只需取,而等比數(shù)列

10、的項(xiàng)都是等差數(shù)列,中的項(xiàng),所以;當(dāng)時(shí),此時(shí),只需取,由,得,是奇數(shù),是正偶數(shù),m有正整數(shù)解,所以等比數(shù)列的項(xiàng)都是等差數(shù)列中的項(xiàng),所以綜上所述,數(shù)列的前n項(xiàng)和,或(3)存在等差數(shù)列,只需首項(xiàng),公差下證與之間數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.即證對(duì)任意正整數(shù)n,都有,即成立.由,所以首項(xiàng),公差的等差數(shù)列符合題意解析(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,根據(jù)題意得,計(jì)算得出或3,因數(shù)列,單調(diào)遞增,可得,利用通項(xiàng)公式即可得出.(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,又,且,所以,所以.因?yàn)槭侵械捻?xiàng),所以設(shè),即.當(dāng)時(shí),計(jì)算得出,不滿足各項(xiàng)為正整數(shù)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),即可得出.(3)存在等差數(shù)列,只需首項(xiàng),公差.下證與之間數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為

11、.即證對(duì)任意正整數(shù)n,都有,作差利用通項(xiàng)公式即可得出.8.對(duì)于數(shù)列,稱(其中,為數(shù)列的前k項(xiàng)“波動(dòng)均值”.若對(duì)任意的,都有,則稱數(shù)列為“趨穩(wěn)數(shù)列”.(1)若數(shù)列1,x,2為“趨穩(wěn)數(shù)列”,求x的取值范圍;(2)若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比,求證:是“趨穩(wěn)數(shù)列”;(3)已知數(shù)列的首項(xiàng)為1,各項(xiàng)均為整數(shù),前k項(xiàng)的和為.且對(duì)任意,都有,試計(jì)算:.解:(1)根據(jù)題意可得,即,兩邊平方可得,計(jì)算得出;(2)證明:由已知,設(shè),因且,故對(duì)任意的,都有,因,即對(duì)任意的,都有,故是“趨穩(wěn)數(shù)列”;(3)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),同理,因,即,所以或所以或因?yàn)?且,所以,從而,所以,.解析(1)由新定義可得,解不等式可得x的范圍

12、;(2)運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式,結(jié)合新定義,運(yùn)用不等式的性質(zhì)即可得證;(3)由任意,都有,可得,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,可得,結(jié)合新定義和二項(xiàng)式定理,化簡(jiǎn)整理即可得到所求值.9.已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列an滿足+an+1an，nN*.（1）若a2=，a3=x，a4=4，求x的取值范圍；（2）設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an前n項(xiàng)的和，若SnSn+12Sn，nN*，求q的取值范圍；（3）若a1，a2，ak（k3）成等差數(shù)列，且a1+a2+ak=120，求正整數(shù)k的最小值，以及k取最小值時(shí)相應(yīng)數(shù)列a1，a2，ak（k3）的公差.解：（1）由題意，anan+12an，x3,x2x

13、，x（2，3）.（2）anan+12an，且數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，a1=1，qn-1qn2qn-1，qn-1(q-)0，qn-1(q-2)0，q（，1）.SnSn+12Sn，當(dāng)q=1時(shí)，S2=2S1，不滿足題意，當(dāng)q1時(shí)，2，當(dāng)q（，1）時(shí)，即，q（，1）.當(dāng)q（1，2）時(shí)，即，無解，q（，1）.（3）設(shè)數(shù)列a1，a2，ak（k3）的公差為d.anan+12an，且數(shù)列a1，a2，an成等差數(shù)列，a1=1，1+(n-1)d1+nd21+(n-1)d，n=1，2，k-1，d（-，1）.a1+a2+ak=120，Sk=k2+(a1-)k=k2+(1-)k=120，d=，（-，1），k（15，239），kN*，k的最小值為16，此時(shí)公差d=.解析【解題方法提示】分析題意，對(duì)于（1），由已知結(jié)合完全