三年級(jí)奧數(shù)三大原理分步與分類教師版

1、知識(shí)要點(diǎn)分步與分類生活中常有這樣的情況：就是在做一件事時(shí)，要分幾步才能完成，而在完成每一步時(shí)，又有幾種不同 的方法要知道完成這件事情共有多少種方法，就要進(jìn)行分步計(jì)數(shù)。一般地，如果完成一件事需要n個(gè)步驟，其中，做第一步有 m1種不同的方法，做第二步有 m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事一共有N mi m2 L mn種不同的方法.注：這件事要分幾個(gè)彼此互不影響 的獨(dú)立步驟來(lái)完成，這幾步是完成這件任務(wù)缺一不可的，這樣的問(wèn)題可以通過(guò)分步計(jì)數(shù)解決.我們可以簡(jiǎn)記為：“乘法分步，步步相關(guān)”還有這樣的一種情況：在做一件事時(shí)，有幾類不同的方法，在具體做的時(shí)候，只要采用其中某一類中 的一種

2、方法就可以完成，并且這幾類方法是互不影響的.那么考慮完成這件事所有可能的做法，就要通過(guò) 分類計(jì)數(shù)來(lái)解決.一般地，如果完成一件事有 k類方法，第一類方法中有 g種不同做法，第二類方法中有 m2種不同做 法，第k類方法中有 叫種不同的做法，則完成這件事共有N mi m2 L 叫種不同的方法.注：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問(wèn)題可以通過(guò)分類 計(jì)數(shù)解決.我們可以簡(jiǎn)記為：“加法分類，類類獨(dú)立”.分類時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次， 分類時(shí)要注意滿足兩條基本原則： 完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類； 分別屬于

3、不同兩類的兩種方法是不同的方法.只有滿足這兩條基本原則，才可以保證分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算正確.分步【例1】一名兒童做加法游戲，在一個(gè)紅口袋中裝著20張分別標(biāo)有數(shù)1, 2 , L , 19 , 20的紅卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為被加數(shù)；在另一個(gè)黃口袋中裝著10張分別標(biāo)有數(shù)1，2，L ，9，10的黃卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為加數(shù)。這名兒童一共可以列出多少個(gè)加法式子？【分析】分兩個(gè)步驟：第一步有20種選擇第二步有10種選擇20 10 200，所以這名兒童一共可以列出200個(gè)加法式子?！纠?】某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種， 共有多少種不同的買法？ 【分析】分

4、兩步：第一步：買一種主食，有 3種選擇；第二步，買一種副食，有 5種選擇；共有3 5 15種，共有15種不同的買法?！纠?】書架上有6本不同的外語(yǔ)書,的取法？【分析】分兩步：第一步：取一本外語(yǔ)書，有第二步：取一本語(yǔ)文書，有6種選擇;4種選擇;4本不同的語(yǔ)文書，從中任取外語(yǔ)，語(yǔ)文書各一本，有多少種不同共有6 424種，有24種不同的取法?！纠?】書架上有6本不同的畫報(bào)，10本不同的科技書，請(qǐng)你每次從書架上任取一本畫報(bào)和一本科技書, 共有多少種不同的取法？【分析】分兩步：第一步：取一本畫報(bào)，有 6種選擇第二步：取一本科技書，有 10種選擇 一共有：6 10 60種不同的取法。100米跑，200米跑

5、四項(xiàng)中【例5】王英，趙明，李剛?cè)思s好每人報(bào)名參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的跳遠(yuǎn)，跳高,的一項(xiàng)比賽，問(wèn)，報(bào)名的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)多少種不同的情形?【分析】 分三步：第一步：王英去報(bào)名，可報(bào)第二步：趙明去報(bào)名，可報(bào)第三步：李剛?cè)?bào)名，可報(bào)4個(gè)項(xiàng)目中的一項(xiàng)，有 4種選擇;4個(gè)項(xiàng)目中的一項(xiàng)，有 4種選擇;4個(gè)項(xiàng)目中的一項(xiàng)，有 4種選擇;共有4 4 464種不同的情況?！纠?】王英，趙明，李剛?cè)思s好每人報(bào)名參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的跳遠(yuǎn)，跳高，100米跑，200米跑四項(xiàng)中的一項(xiàng)比賽（每個(gè)人報(bào)名的項(xiàng)目各不相同），問(wèn)，報(bào)名的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)多少種不同的情形？【分析】分三步：第一步：王英去報(bào)名，可報(bào) 第二步：趙明去報(bào)名，可報(bào) 第三步：李剛?cè)?bào)

6、名，可報(bào)4 個(gè)項(xiàng)目中的一項(xiàng)，有 4 種選擇；3個(gè)項(xiàng)目中的一項(xiàng)，有 3 種選擇；2 個(gè)項(xiàng)目中的一項(xiàng)，有 2 種選擇；共有 4 3 2 24 種不同的情況。例 7】 “IMO ”是國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的縮寫，現(xiàn)有 5 種不同顏色的筆。如果允許 3 個(gè)字母用相同的顏色， 有多少種不同的寫法？【分析】 當(dāng)允許3個(gè)字母用相同的顏色，寫“ IMO ”這3個(gè)字母分3個(gè)步驟： 第1步，用 5種不同顏色的筆寫字母 I ，有 5種選擇； 第 2步，用 5種不同顏色的筆寫字母 M ，有 5種選擇； 第3步，用5種不同顏色的筆寫字母 0,有5種選擇；允許 3個(gè)字母用相同的顏色，寫“ IMO” 共有 5 5 5 125種不

7、同的寫法?！纠?】“IM0'是國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的縮寫，把這三個(gè)字母寫成三種不同顏色，現(xiàn)有五種不同顏色的筆,按上述要求能寫出多少種不同顏色搭配的“IMO”？【分析】 這3個(gè)字母用3種不同顏色來(lái)寫，寫“ IM0 ”這3個(gè)字母分3個(gè)步驟： 第1步,用 5種不同顏色的筆寫字母 I ,有5種選擇； 第 2步,用 4種不同顏色的筆寫字母 M ,有 4種選擇； 第 3步,用 3種不同顏色的筆寫字母 0,有 3種選擇；這 3個(gè)字母用 3種不同顏色,寫“ IM0” 共有 5 4 3 60種不同的寫法。例 9】 某市的電話號(hào)碼是七位數(shù)的, 首位不能是 0 ,其余各位數(shù)上可以是 0 9 種的任何一個(gè), 并且

8、不同 位上的數(shù)字可以重復(fù),那么,這個(gè)城市最多可容納多少部電話機(jī)？分析】 可以分為 7 個(gè)步驟： 第一步：首位不能是 0,有 9 種選擇, 第二步,第三步,第四步,第五步,第六步,第七步,每步都有10種選法。共有 9 10 10 10 10 10 10 9000000 種,所以這個(gè)城市最多可容納 9000000部電話機(jī)。例 10】某個(gè)七位數(shù), 首位不能是 0 ,其余各位數(shù)上可以是 0 9 種的任何一個(gè), 并且不同位上的數(shù)字不可以重復(fù),那么,這個(gè)七位數(shù)一共有多少種可能？分析】 可以分為 7 個(gè)步驟：第二步：還剩下9個(gè)數(shù)字,有 9 種選擇第三步：還剩下8個(gè)數(shù)字,有 8 種選擇第四步 第五步 第六步

9、第七步還剩下 還剩下 還剩下 還剩下7個(gè)數(shù)字,有 7 種選擇6個(gè)數(shù)字,有 6 種選擇 5 個(gè)數(shù)字,有 5 種選擇4個(gè)數(shù)字,有 4 種選擇共有 9 9 8 7 6 5 4544320 種選擇,所以這個(gè)七位數(shù)共有544320 種可能。第一步：首位不能是 0,有 9 種選擇,例 11】不限制數(shù)字的使用次數(shù),由數(shù)字 1, 2, 3, 4, 5, 6共能組成多少個(gè)四位數(shù)？分析】 分四步：第一步：確定個(gè)位上的數(shù)字,有 6種選擇；第二步：確定十位上的數(shù)字,有 6種選擇；第三步：確定百位上的數(shù)字，有6種選擇；第四步：確定千位上的數(shù)字，有6種選擇；因此共可以組成6 6 6 6 1296個(gè)四位數(shù)。【例12】由數(shù)字

10、1，2，3，4，5，6共組成多少個(gè)四位奇數(shù)?【分析】 分四步：第一步：確定個(gè)位上的數(shù)字，有 3種選擇； 第二步，確定十位上的數(shù)字，有 6種選擇； 第三步，確定百位上的數(shù)字，有 6種選擇； 第四步：確定千位上的數(shù)字，有 6種選擇； 因此共可以組成3 6 6 6648個(gè)四位奇數(shù)。【例13】由數(shù)字1，2，3，4，5，6共可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)?【分析】 分四步：第一步：確定個(gè)位上的數(shù)字，有3種選擇；第二步，確定十位上的數(shù)字，有5種選擇；第三步，確定百位上的數(shù)字，有4種選擇；第四步：確定千位上的數(shù)字，有3種選擇；共可以組成3 5 4 3 180個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?！纠?4】學(xué)校組織讀

11、書活動(dòng)，要求每個(gè)同學(xué)讀一本書，小明到圖書館借書時(shí)，圖書館有不同的外語(yǔ)書150本，不同的科技書200本，不同的小說(shuō)100本，那么小明借一本書可以有多少種不同的選法? 【分析】分三類：第一-類:借一本外語(yǔ)書，有150種選法第二一類:借一本科技書，有200種選法第三類:借一本小說(shuō)，有100種選法共有150 200 100 450種，那么小明借一本書可以有450種不同的選法?！纠?5】一件工作可以用兩種方法完成，有5人會(huì)用第一種方法完成，另有4人會(huì)用第二種方法完成，選出一個(gè)人來(lái)完成這件工作，共有多少種選法？【分析】分兩類：第一類：選擇會(huì)用第一種方法的人，有5種選法第二類：選擇會(huì)用第二種方法的人，有4種

12、選法共有5 4 9種，所以選出一個(gè)人來(lái)完成這件工作，共有9種選法。【例16】在1 50中任取兩個(gè)自然數(shù)，使它們的和大于50，一共有多少種取法？【分析】在150中任取兩個(gè)自然數(shù)做和滿足題意的和最小為51,最大為99,其中和為51的有25種選擇，和為52的有24種選擇，和為53的有24種選擇，和為54的有23種選擇，和為55的有23 種選擇 和為98的有1種選擇，和為99的有種中選擇。25+24+24+23+23+2+2+1+1=625，也就是說(shuō)一共有 625種取法。分步和分類【例17】一個(gè)口袋內(nèi)裝有3個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有 8個(gè)小球，所有這些小球顏色各不相同，問(wèn)：（1）從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球

13、，有多少種不同的取法？（2）從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？【分析】（1 ）分兩類：第一類：從第一個(gè)口袋里取，有3種選法第二類：從另一個(gè)口袋里取，有8種選法共有3 8 11種不同的選法。（2 ）分兩步：第一步：從第一個(gè)口袋里取一個(gè)小球，有3種選法第二步：從另一個(gè)口袋里再取一個(gè)小球，有8種選法共有3 8 24種不同的選法?！纠?8】如下圖，從甲地到乙地有 4條路可走，從乙地到丙地有 2條路可走，從甲地到丙地有 3條路可走，那么，從甲地到丙地共有多少種走法？【分析】 分兩類：第一類：由甲地途徑乙地到丙地，這時(shí)，分兩步，第一步：從甲地到乙地，有4種走法；第二步：從乙地到丙地，有 2種走

14、法，共有4 2 8種走法；第二類：由甲地直接到丙地，由已知條件可知，有3種走法；那么從甲地到丙地共有 4 2 3 11種不同的走法。【例19】如圖，從甲地到乙地有三條路，從乙地到丁地有三條路，從甲地到丙地有兩條路，從丙地到丁地有四條路，問(wèn)：從甲地到丁地共有多少種走法？【分析】 分兩類：第一類：由甲地途徑乙地到丁地，這時(shí)，分兩步，第一步：從甲地到乙地，有3種走法；第二步：從乙地到丁地，有 3種走法，共有3 3 9種選擇；第二類：由甲地途徑丙地到丁地，這時(shí)，分兩步，第一步：從甲地到丙地，有2 種走法；第二步：從丙地到丁地，有 4 種走法，共有 2 4 8種選擇； 共有： 9 8 17 種不同的走法

15、。例 20】（第六屆“走美杯”初賽）用若干個(gè)1分、 2分、 5分的硬幣組成 1角錢（不要求每種硬幣都有），共有多少種不同的方法？分析】 1角 10分，考慮 5 分的個(gè)數(shù)來(lái)拼湊。10 5 5 ；10 5221、 10 52 1 1 1、105 1 1 1 11；10 2222 2 、102 2 2 2 11、10 2 22 1 1 1 1、10 2211 1 1 11、 10 2 1 11 1 1 1 11、 10 1 1 11 1 1 1 1 11。所以，一共有 10 種不同的方法。例 21】中秋節(jié)，媽媽給小麗買了一盒月餅，共有6塊，告訴她每天至少吃一塊， 5 天吃完，共有多少種吃法？分析】

16、將 6拆成 5 個(gè)自然數(shù)的和： 6 2 1 1 1 1 ，即某一天小麗要吃兩塊，其余四天各吃一塊，那 么共有 5 種吃法。例 22 】七個(gè)相同的球，放入四個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少放一個(gè)，不同的放法有幾種？分析】 先在四個(gè)盒子中各放一個(gè)球，還剩下三個(gè)球。然后分三類：例 23 】有四張卡片，上面寫有0，1， 2， 4四個(gè)數(shù)字，從中任意抽出三張卡片組成三位數(shù)，這些卡第一類：三個(gè)球放在一個(gè)盒子里，有4種第二類：三個(gè)球放在兩個(gè)盒子里，有4 3 12 種第三類：三個(gè)球放在三個(gè)盒子里，有4種一共有：4 12 4 20 種。片共可組成多少個(gè)不同的三位偶數(shù)？分析】 分三類：第一類：當(dāng)個(gè)位是0 時(shí)，可以組成的

17、三位數(shù)有326種第二類：當(dāng)個(gè)位是2 時(shí)，可以組成的三位數(shù)有224種第三類：當(dāng)個(gè)位是4 時(shí)，可以組成的三位數(shù)有224種共有 64 4 14 種，所以可以組成 14 個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)。例 24】 不限制數(shù)字的使用次數(shù)，用 0到 9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)三位偶數(shù)？ 分析】 法一：分三步第一步：百位數(shù)不能選 0，有 9種選擇。第二步：十位數(shù)有 10 種選擇。第三步：個(gè)位數(shù)有 5 種選擇。共有 9 10 5 450種選擇，所以可以組成 450 個(gè)的三位偶數(shù)。 法二：分兩類：第一類：當(dāng)個(gè)位為 0 時(shí)，有 9 10 90 種選擇第二類：當(dāng)個(gè)位不為 0 時(shí)，有 4 9 10 360種選擇共有 9

18、0 360 450 種選擇，所以可以組成 450個(gè)的三位偶數(shù)【例25】用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？【分析】分兩類：第一類：當(dāng)個(gè)位為 0時(shí)，有9 8 72種選擇第二類：當(dāng)個(gè)位不為 0時(shí)，有4 8 8256種選擇共有72 256 328種選擇，所以可以組成 328個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)【例26】某信號(hào)兵用紅黃藍(lán) 3面旗從上到下在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以任掛1面，2面或3面,并且不同的順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信號(hào)？【分析】分三類：第一類：掛1面旗時(shí)：可以表示3種不同的信號(hào)。第二類：掛2面旗時(shí)：可以表示3 2 6種不同的信號(hào)第三類：掛3面旗時(shí)

19、：可以表示 3 2 16種不同的信號(hào)共3 6 6 15種，所以一共可以表示 15種不同的信號(hào)?！纠?7】從19， 20，21，L，97, 98， 99這81個(gè)數(shù)中，選取兩個(gè)不同的數(shù)，使其和為偶數(shù)的選法總數(shù)是多少？【分析】分兩類：一類是選取兩個(gè)奇數(shù)，另一類是選取兩個(gè)偶數(shù)。這81個(gè)數(shù)中有41個(gè)奇數(shù)，40個(gè)偶數(shù)。在41個(gè)奇數(shù)中選取兩個(gè)不同的奇數(shù)，有41 40 2 820種選法。在40個(gè)偶數(shù)中選取兩個(gè)不同的偶數(shù)，有40 39 2 780種選法。共820 780 1600種，所以選取兩個(gè)不同的數(shù)使其和為偶數(shù)的選法總數(shù)1600種。【練習(xí)1】不限制數(shù)字的使用次數(shù)， 由數(shù)字0，3，6，5組成三位數(shù)，可組成多少

20、個(gè)不相等的三位數(shù)?【分析】分三步：第一步：確定百位上的數(shù)字，有 3種選擇；第二步：確定十位上的數(shù)字，有 4種選擇；第三步：確定個(gè)位上的數(shù)字，有 4種選擇； 因此共可以組成3 4 4 48個(gè)不相等的三位數(shù)?！揪毩?xí)2】不限制數(shù)字的使用次數(shù)，由數(shù)字 0, 1，2，3組成三位數(shù)，可組成多少個(gè)不相等的三位數(shù)？【分析】分三步：第一步：確定百位上的數(shù)字，有 3種選擇；第二步：確定十位上的數(shù)字，有 4種選擇；第三步：確定個(gè)位上的數(shù)字，有 4種選擇；因此共可以組成3 4 4 48個(gè)不相等的三位數(shù)。 練習(xí) 3】 由數(shù)字 0，1， 2， 3組成三位數(shù)，可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 分析】 分三步：第一步：確定

21、百位上的數(shù)字，有3 種選擇；第二步，確定十位上的數(shù)字，有3 種選擇；第三步，確定個(gè)位上的數(shù)字，有2 種選擇；因此可組成 3 3 2 18 個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。練習(xí) 4】 由數(shù)字 0，1， 2， 3可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？ 分析】 法一：分四步：第一步：千位上有 3種選擇第二步，百位上有 3 種選擇第三步：十位上有 2 種選擇第四步：個(gè)位上有 1 種選擇 共有 3 3 2 1 18 種選擇，可以組成 18個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)法二：分兩類： 第一類：當(dāng)個(gè)位為 0時(shí)，有 3 2 1 6 種選擇 第二類：當(dāng)個(gè)位不為 0 時(shí)，有 3 2 2 1 12種選擇共有 6 12 18種選擇，所

22、以可以組成 18 個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)。練習(xí) 5】 學(xué)校組織讀書活動(dòng)，要求每個(gè)同學(xué)讀一本外語(yǔ)書，一本科技書，一本小說(shuō)，小明到圖書館借 書時(shí)，圖書館有不同的外語(yǔ)書 150本，不同的科技書 200 本，不同的小說(shuō) 100本，那么小明 借三種書可以有多少種不同的選法？分析】 分三步：第一步：讀一本外語(yǔ)書，有150種選法第二步：讀一本科技書，有200 種選法第三步：讀一本小說(shuō)，有100種選法共有 150 200 100 3000000種，那么小明借一本書可以有3000000種不同的選法。練習(xí) 6】 用0到9 這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 分析】 分三個(gè)步驟：第一步：百位數(shù)不能選

23、 0，有 9 種選法。 第二步：十位數(shù)可以選剩下的 9 個(gè)數(shù)也有 9 種選法。 第三步：個(gè)位數(shù)可以選剩下的 8 個(gè)數(shù)，有 8 種選法。共有 9 9 8 648種，所以可以組成 648 個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。練習(xí) 7】 不限制數(shù)字的使用次數(shù)，用 0到 9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)三位偶數(shù)？ 分析】 法一：分三步第一步：百位數(shù)不能選 0，有 9種選擇。第二步：十位數(shù)有 10 種選擇。第三步：個(gè)位數(shù)有 5 種選擇。共有 9 10 5 450種選擇，所以可以組成 450 個(gè)的三位偶數(shù)。 法二：分兩類：第一類：當(dāng)個(gè)位為 0 時(shí)，有 9 10 90 種選擇第二類：當(dāng)個(gè)位不為 0 時(shí)，有 4 9 10 360種選擇共有 90 360 450 種選擇，所以可以組成 450個(gè)的三位偶數(shù)練習(xí) 8】 用0到9 這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？ 分析】 分兩類：第一類：當(dāng)個(gè)位為 0時(shí)，有 9 8 72 種選擇 第二類：當(dāng)個(gè)位不為 0 時(shí)，有 4 8 8 256種選擇共有 72 256 328 種選擇，所以可以組