人教版九年級(jí)上圓中常見最值問題解法探索

1、圓中常見最值問題解法探索最值問題成為中考的典型考題，也是各章創(chuàng)新考題之一.下面就把圓中常見的最值問題歸納一下，供學(xué)習(xí)時(shí)借鑒.一、直徑最大弦型最大值模型1 .最值的源體是圓的弦例1（2019年東營）如圖1,AC是。0的弦，AC=5點(diǎn)B是。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且/ABC=45,若點(diǎn)MN分別是AGBC的中點(diǎn)，則MN的最大值是.解析：因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別是BCAC的中點(diǎn)，所以MNAB,所以當(dāng)弦AB取得最大值時(shí)，MN2就取得最大值，因?yàn)橹睆绞菆A中最大的弦，所以當(dāng)弦AB是直徑時(shí)，AB最大，如圖1,連接A0并延長交。0于點(diǎn)B',連接CB',因?yàn)锳B'是。的直徑，所以/ACB=90°.

2、因?yàn)?ABC=45,AC=5所以/AB'C=45°,所以AB'=<'5252=5J2,所以MN的最大52值為MN最大=512.所以應(yīng)該填點(diǎn)評(píng)：當(dāng)線段是圓的某條弦時(shí)，熟記直徑是圓中最大的弦是解題的關(guān)鍵2 .動(dòng)點(diǎn)到定弦的最大值例2（2019?廣元）如圖2,ABC是。的內(nèi)接三角形，且AB是。0的直徑，點(diǎn)P為。上的動(dòng)點(diǎn)，且/BPC=60,O0的半徑為6,則點(diǎn)P到AC距離的最大值是解析：如圖2,過0作0MLAC于M延長MOO0于P,則此時(shí)，點(diǎn)P到AC的距離最大,且點(diǎn)P至ijAC距離的最大值=PM因?yàn)镺M_AC,ZA=ZBPC=60,。的半徑為6,.3.3所以O(shè)P=

3、OA=6所以O(shè)M1OA=X6=343,所以PM=OP+OM=6+33,所以點(diǎn)P到AC22距離的最大值是6+3"3,所以答案為6+3J3.點(diǎn)評(píng)：圓上動(dòng)點(diǎn)到定弦距離的最大值就是垂直平分線弦的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)到弦的距離，這是垂徑定理的應(yīng)用，也是直徑是圓中最大的弦的應(yīng)用.此法也是用于在拱形中計(jì)算最值.跟蹤專練(2019年杭州)如圖3,已知銳角三角形ABC內(nèi)接于。O,OtXBC于點(diǎn)D,連接OA(1)若/BAC=60,求證：ODOA當(dāng)OA=1時(shí)，求ABC面積的最大值。2(2)點(diǎn)E在線段OA±,OE=OD連接DE,設(shè)/ABC=rOED/ACB=rOED(m,n是正數(shù))。若/AB(k/ACB

4、求證：m-n+2=0。S3參考答案：解析：(1)證明：如圖3,連接OBOC因?yàn)镺B=OCODLBC,所以/B0D=/CODhBAC=60,所以/OBD=0°,所以O(shè)D=1OB=10A22當(dāng)點(diǎn)A,OD在同一直線上時(shí)，三角形ABC的面積最大。因?yàn)镺A=1,由知，BC=2BD=/3,最大高為1+1=3,所以ABC的最大面積為：lx9xJ3=35。22224(2)因?yàn)镺E=OD所以/OEDWODE=x因?yàn)?ABC=rOED=mxZACB=n/OED=nx所以/AOC=2mx/AOB=2nxZDOC=18°-mx-nx,因?yàn)?OED廿ODE廿EOD=180,所以x+x+2mx+180

5、°-mx-nx=180°,整理，得m-n+2=0。二、垂線段最短型最值模型(1)圓、弦上動(dòng)點(diǎn)線段的最大值例3（2019?嘉興）如圖4,在。O中，弦AB=1,點(diǎn)C在AB上移動(dòng)，連結(jié)OG過點(diǎn)C作CD，OC交。O于點(diǎn)D,則CD的最大值為.圖4解析：如圖4,連接OD在直角三角形OC邛，CD2OD2OC2,因?yàn)閳A的半徑是定值，要想使得CD長最大，只需滿足OC的長度最小，因?yàn)锳B是圓的弦，所以O(shè)到弦AB的最短距離是弦AB的弦心距，所以當(dāng)OCLAB時(shí)，OC最短，此時(shí)點(diǎn)D恰好與點(diǎn)B重合，所以_2222AB211CD2OD2OC2一，所以CD的最大彳1為一.442點(diǎn)評(píng)：此類最值的特點(diǎn)有五：一

6、是有圓的定弦；二是動(dòng)點(diǎn)之一必須在定弦上；三是能構(gòu)造出直角三角形；四是等式有特點(diǎn)：動(dòng)線段的平方和時(shí)定值即動(dòng)線段2半徑2-動(dòng)線段2；五是運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離中以垂線段為最短，構(gòu)造最長值（2）切線長的最小值例4（2019年眉山）如圖5,在RtAOB中，OA=OB=42,00的半徑為2,點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作。0的一條切線PQ點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則線段PQ長的最小值為.解析：連接OQPQ是。0的切線，.OQLPQ根據(jù)勾股定理知PQ2PO2OQ2,。優(yōu)定值，.PO最短時(shí)，PQ最短即當(dāng)PQLAB時(shí)，線段PQ最短，.在RtAOB中，OA=OB=4/2,.AB=72oA=8.-.OP=AOgOB=4,PQ=2

7、>/3.AB點(diǎn)評(píng)：把握切線的性質(zhì)，把握運(yùn)動(dòng)變化中定值，熟練用勾股定理表示切線長的長度，準(zhǔn)確構(gòu)造過切點(diǎn)的輔助線，注清楚當(dāng)POLAB時(shí)，線段PQ最短是解題的關(guān)鍵.三、兩點(diǎn)間線段最短型最值模型（1）直角三角形斜邊的最大值例5（2019年湖北鄂州）如圖6,在平面直角坐標(biāo)系中，已知C（3,4）,以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切.點(diǎn)A、B在x軸上，且OA=OB點(diǎn)P為。C上的動(dòng)點(diǎn)，/APB=90,則AB長度的最大值為解析：如圖6,連接OC,OP,PC當(dāng)點(diǎn)O,P,C三點(diǎn)不共線時(shí)，則OC+PCOP當(dāng)點(diǎn)O,P,C三點(diǎn)共線時(shí)，OC+PC=O1P綜上所述OFKOC+PC且當(dāng)點(diǎn)O,P,C三點(diǎn)共線時(shí)，PO取得最大值，所以

8、連接OC并延長，交。C上一點(diǎn)巳以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑作。Q交x軸于A、B,此時(shí)AB的長度最大，過點(diǎn)C作CD!x軸，垂足為D,因?yàn)镃(3,4),所以O(shè)C=5因?yàn)橐渣c(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切，所以。C的半徑為3,所以O(shè)P=OC+PC=5+3=8因?yàn)?APB=90,AO=OB所以PO是直角三角形PAB斜邊上的中線，所以AB長度的最大值為16,所以應(yīng)該填16.點(diǎn)評(píng)：準(zhǔn)確構(gòu)造含有動(dòng)點(diǎn)，且有一條定線段的動(dòng)態(tài)三角形是解題的關(guān)鍵，利用動(dòng)態(tài)三角形的存在性和三點(diǎn)一線型，綜合確定線段的最值是解題的核心，這種確定最值的思想非常重要，應(yīng)用也非常廣泛，務(wù)必熟練駕馭，做到準(zhǔn)確找動(dòng)態(tài)三角形，準(zhǔn)確定共線線段，確實(shí)把最值準(zhǔn)確定出

9、.(2)動(dòng)態(tài)三角形中位線長的最大值1 2例6(2019年樂山)如圖7,拋物線yx4與x軸交于A,B兩點(diǎn)，P是以點(diǎn)C(0,3)為4圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q是線段PA的中點(diǎn)，連結(jié)OQ則線段OQB最大值是()41-7(A)3(B)上(C)7(D)42 2解析：如圖7,連接BC,PC,PB,當(dāng)點(diǎn)B,P,C三點(diǎn)不共線時(shí)，則BC+P6PEJ;當(dāng)點(diǎn)B,P,C三點(diǎn)共線時(shí)，且點(diǎn)P與點(diǎn)B位于圓心點(diǎn)C的兩側(cè)，此時(shí)BC+PC=PB綜上所述PB<BC+PC所以當(dāng)點(diǎn)B,P,C三點(diǎn)共線時(shí)，PB取得最大值，所以連接BC并延長，交。C上一點(diǎn)P,此時(shí)PB1 2的值取大.因?yàn)閽佄锞€y-x4與x軸交于A,B兩點(diǎn)，所以點(diǎn)A

10、(-4,0)，點(diǎn)B(4,0),所以4OA=OB=4因?yàn)辄c(diǎn)C(0,3)，所以O(shè)C=3,PC=2,BC=5,所以PB的最大值為：PB=PC+CB=2+5=70為點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是PA的中點(diǎn)，所以O(shè)Q是三角形PAB的中位線，所以O(shè)Q=1PB,2OQW最大值為7,所以選C.2點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造動(dòng)態(tài)三角形時(shí)，以PB為核心是解題的關(guān)鍵，確定了PB的最大值，問題就順利得解.解答時(shí)，要注意，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)位于兩定點(diǎn)之間時(shí)，線段取最小值；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)位于兩定點(diǎn)之外時(shí)，線段取得最大值.一定要熟記！感興趣的讀者，不妨計(jì)算一下OQ的最小值.(3)動(dòng)態(tài)線段的最小值例7如圖8,AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓0上,AB=8,/CAB=60

11、,P是弧BC上的一個(gè)點(diǎn)，連接AP,過點(diǎn)C作CELAP于點(diǎn)D,連接BD,在點(diǎn)P移動(dòng)過程中，BD長的最小值為解析：如圖8,連接BG則AC=4,取AC的中點(diǎn)E,連接DE,BE,根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短原則，得DE+BABE,所以當(dāng)B,D,E三點(diǎn)一線時(shí)，BD有最小值，且最小值為BE-DE,而DE=2,過點(diǎn)E作EMLAB于點(diǎn)M,則AM=1,EM=/3,所以BE=，EM2_BM2J349=2后,所以BD=2jl3-2.點(diǎn)評(píng)：取AC得中點(diǎn)，利用直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造動(dòng)態(tài)三角形BD弱解題白關(guān)鍵.計(jì)算時(shí),把握兩個(gè)技能，一是求斜邊上的中線長；二是構(gòu)造直角三角形求定線段的長.一定熟練掌握這種構(gòu)造三角形的基本方法.四、將軍

12、飲馬型最值模型例8（2019廣西）如圖9,AB為。的直徑，BCCD是。的切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)B、D,點(diǎn)E為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ODCEDE已知AB=2j5,BC=2當(dāng)CE+DE勺值最小時(shí),CE則的值為（）DE解析作點(diǎn)D關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)F,連接CF交AB于點(diǎn)E,連接ED,此時(shí)CE+DEm直最小,根據(jù)題意，得OBK'g,BC=2,所以O(shè)C=3連接BD,交OC于點(diǎn)G所以DG=CDgOD5OC3所以BD=45,根據(jù)題意，得OD2OH2BD2BH2,設(shè)OH=x所以,35x2（逑）2（右x）2,解得x=痣，所以DH=HF=20,易證EB8EHF399CECEBC29所以EFDEHF20=一

13、,所以選A.310五、阿式圓型最值模型例9(2019年日照)如圖10,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5x+5與x軸，y軸分別交于A,C兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過AC兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B.(1)求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MAMBBC,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC®積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC勺面積；(3)如圖11,若P點(diǎn)是半徑為2的。B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PGPA,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+PA的值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說明理由.解析：(1)直線y=-5x+5,x=0時(shí)，y=5,1-C(0,5),y=-5x

14、+5=0時(shí)，解得：xfl+b+c=O0+0+c=5=1,，A(1,0),二,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A,C兩點(diǎn),y=x2-6x+5解得：I"45,.拋物線解析式為1c二5當(dāng)y=x?6x+5=0時(shí)，解得：Xi=1,x2=5,1-B(5,0)(2)如圖10,過點(diǎn)M作MHLx軸于點(diǎn)HI,/A(1,0),B(5,0),C(0,5)AB=5-1=4,OC=5,.Saabc=AB?OC=X4X5=10,二.點(diǎn)M為x軸下方拋物線上22的點(diǎn)，設(shè)M(nm26m+5(1<mK5),.MH=|m26m+5|=mf+6m5.S»B產(chǎn)二AB?MHk二X4(m+6m5)=-2mi+12m-10=-2(m3)2+82222一S四邊形ambc=Saabc+Saabm=10+2(m3)+8=2(m3)+18