一.課題背景和研究?jī)?nèi)容.

1、一. 課題背景和研究?jī)?nèi)容：馬克思曾說(shuō)過(guò)：“一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算 達(dá)到完善的地步。 ”這位偉大的科學(xué)的革命的導(dǎo)師的這句話，高 度精確地概括了數(shù)學(xué)在眾多科學(xué)中的地位。 可以說(shuō)， 數(shù)學(xué)是眾多 科學(xué)的基礎(chǔ)，沒(méi)有數(shù)學(xué)，沒(méi)有數(shù)字，沒(méi)有運(yùn)算方法，那么其他的 科學(xué)根本找不到落腳點(diǎn)。也正因?yàn)槿绱耍?數(shù)學(xué)是一門最博大精深 的學(xué)科， 我們中學(xué)生學(xué)了十幾年的數(shù)學(xué)， 其實(shí)也只觸摸到了這門 高深學(xué)問(wèn)的一點(diǎn)皮毛。 而數(shù)學(xué)這座高聳入云的大廈經(jīng)過(guò)世界人民 幾千年的建設(shè)仍然有許多不完善的地方，等待著后人去修補(bǔ)， 去 創(chuàng)造。借助今天高度發(fā)達(dá)的電子計(jì)算機(jī)， 科學(xué)家們解決了許多曾 經(jīng)相當(dāng)棘手的問(wèn)題，卻仍然對(duì)一些問(wèn)題束手

2、無(wú)策。那么可以想象， 在各種科學(xué)都不甚發(fā)達(dá)的過(guò)去，數(shù)學(xué)就像是個(gè)蹣跚學(xué)步的孩子， 每走一步都是巨大的艱辛和巨大的飛越。 在這里， 作者將通過(guò)以 一些標(biāo)志性事件為線索，淺談一下數(shù)學(xué)發(fā)展史上的艱難與成就， 相信這將有助于每一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)有興趣的人加深對(duì)這門科學(xué)的了 解，從而更好地學(xué)習(xí)這門學(xué)問(wèn)。二 . 文獻(xiàn)綜述：對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展史這個(gè)問(wèn)題，已有先人做過(guò)一些研究。1983 年， 美國(guó) 數(shù) 學(xué) 史 家 Howard Eves 出 版 了 Great Moments inMathematics （中文譯名為數(shù)學(xué)史上的里程碑或數(shù)學(xué)史概 論） ，以時(shí)間為順序較詳盡地介紹了從遠(yuǎn)古時(shí)候開(kāi)始數(shù)學(xué)的發(fā)展 情況。但這本四百多頁(yè)的

3、書(shū)讀起來(lái)還是需要花費(fèi)大量的時(shí)間與精 力的，因此作者就以一個(gè)中學(xué)生的視角， 盡量做到從一個(gè)客觀的 角度去解讀數(shù)學(xué)這部龐大的歷史。三 . 論文正文：每一門新興學(xué)科的產(chǎn)生都有其必然性， 歷史悠久的數(shù)學(xué)也是 如此。古代勞動(dòng)人民在生產(chǎn)生活中會(huì)遇到許多不可避免的問(wèn)題，因?yàn)楫?dāng)時(shí)沒(méi)有“數(shù)學(xué)” ，這些問(wèn)題往往得不到解決，或者解決的 方法在今天看來(lái)愚笨又可笑。 就拿最原始的計(jì)數(shù)問(wèn)題來(lái)說(shuō)， 古代 沒(méi)有數(shù)字的概念，為了解決計(jì)數(shù)問(wèn)題，比如清點(diǎn)人數(shù)，計(jì)算一天 打獵的戰(zhàn)利品，他們只能采用被 Howard Eves 稱為“一一對(duì)應(yīng)” 的原理進(jìn)行計(jì)數(shù)， 這就是廣為人知的結(jié)繩計(jì)數(shù)法。 一一對(duì)應(yīng)計(jì)數(shù) 原理，就是數(shù)學(xué)這株巨大植物最初

4、萌動(dòng)的種子。大約在公元前 600 年，幾何學(xué)有了突破性的發(fā)展。數(shù)學(xué)史家 們一致認(rèn)為， 數(shù)學(xué)的這一重大進(jìn)步應(yīng)歸功于當(dāng)時(shí)的希臘人， 特別 是泰勒斯。他是在數(shù)學(xué)史上留名的第一人， 也是有幸占有一些演 繹幾何學(xué)定理的發(fā)明權(quán)的第一人。 泰勒斯的成就在于對(duì)一些簡(jiǎn)單 的數(shù)學(xué)結(jié)論給出了邏輯證明， 而不像他之前的人們只靠直觀感覺(jué) 或者實(shí)驗(yàn)方法去證明。 邏輯證明無(wú)疑更準(zhǔn)確， 更有說(shuō)服力。 因此， 演繹法的誕生是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)里程碑，奠基人就是泰勒斯。泰勒斯以發(fā)明演繹法成為在數(shù)學(xué)史上留名的第一人， 那么畢 達(dá)哥拉斯就以其巨大的數(shù)學(xué)成就及由他創(chuàng)立的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派 二成為在數(shù)學(xué)史上留名的第二人。初等幾何中最精彩、最著名

5、、 最有用的定理之一就是畢達(dá)哥拉斯定理：在任何直角三角形中， 斜邊上的正方形等于兩個(gè)直角邊上的正方形之和。 這是數(shù)學(xué)中真 正重要的第一個(gè)定理。 一般認(rèn)為， 這個(gè)定理并不是畢達(dá)哥拉斯最 先提出的，但它的嚴(yán)格的邏輯證明也許就是畢達(dá)哥拉斯或者畢達(dá) 哥拉斯學(xué)派中的某一人提出的。 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為整數(shù)是人和 物的各種性質(zhì)的起因， 只要揭示了整數(shù)的復(fù)雜性質(zhì)， 或許可以左 右和改善自己的命運(yùn)。因此，他們熱衷于研究數(shù)與幾何學(xué)。畢達(dá) 哥拉斯學(xué)派無(wú)疑為數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的所有研究都是建立在他們一個(gè)堅(jiān)定的信 仰之上的： 萬(wàn)物皆數(shù)， 即任何數(shù)都可以用整數(shù)或者整數(shù)與整數(shù)之 比表示。 這個(gè)說(shuō)法在

6、一定時(shí)期內(nèi)被廣泛接受， 直到畢達(dá)哥拉斯學(xué) 派的一個(gè)成員希帕索斯考慮了這樣一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的正方形，它的對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不 能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來(lái)表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù)2的誕生。這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信仰，由此 產(chǎn)生了數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員為此感到十分恐慌， 因?yàn)樗麄兯?的研究成果都是建立在上述信仰的基礎(chǔ)上的。存在不能用整 數(shù)也不能用分?jǐn)?shù)表示的數(shù)的這樣一個(gè)事實(shí)，推翻了他們的許 多研究成果。直到公元前 370年，希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯給出 比例即兩個(gè)比相等的定義，從而巧妙地化解了這次

7、危機(jī)。歐 多克斯給出的這個(gè)定義與所涉及的量是否能用整數(shù)或整數(shù)之 比表示完全無(wú)關(guān)，可敘述如下：所謂四個(gè)量成等比，即第一 個(gè)量與第二個(gè)量之比等于第三個(gè)量與第四個(gè)量之比，是指： 當(dāng)取第一、第三兩個(gè)量的任何相同的倍數(shù)，并取第二、第四 兩個(gè)量的任何相同的倍數(shù)時(shí)，前兩個(gè)量的倍數(shù)之間的小于、 等于或大于的關(guān)系是否成立，取決于后兩個(gè)量的倍數(shù)之間的 相應(yīng)關(guān)系是否成立。這樣就巧妙地繞過(guò)了所涉及的量是否能 用整數(shù)或整數(shù)之比表示這個(gè)問(wèn)題，歐幾里得在原本中對(duì)歐多克斯的定義做出了很高的評(píng)價(jià)。這就是第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 的產(chǎn)生與化解，也意味著數(shù)學(xué)得到了進(jìn)一步的完善。在泰勒斯以后的三百年間，希臘人在數(shù)學(xué)上取得了輝煌的成就，現(xiàn)在公認(rèn)

8、的這一時(shí)期的最大成就是希臘人形成了這樣 一種觀念：一個(gè)合乎邏輯的學(xué)科，應(yīng)當(dāng)是由一組在開(kāi)始研究 這一學(xué)科時(shí)假設(shè)可以接受的原始命題出發(fā)，通過(guò)演繹推理而 得到一系列命題。由此，實(shí)質(zhì)公理體系誕生了，可以敘述如 下：對(duì)于一個(gè)學(xué)科的某些基本術(shù)語(yǔ)予以解釋，目的是使讀者 了解這些基本術(shù)語(yǔ)的含義是什么；列出關(guān)于基本術(shù)語(yǔ)的某些 原始命題，讀者根據(jù)基本術(shù)語(yǔ)的含義便可承認(rèn)這些命題是正 確的，這些原始命題稱為這一學(xué)科的公理或公設(shè)；借助于已 經(jīng)引入的術(shù)語(yǔ)定義這一學(xué)科的其他所有術(shù)語(yǔ)；由已經(jīng)承認(rèn)或 已經(jīng)證明的命題，通過(guò)邏輯推理導(dǎo)出這一學(xué)科的其他所有命 題。早期希臘人對(duì)于數(shù)學(xué)的最杰出的貢獻(xiàn)，就是確立實(shí)質(zhì)公 理體系的模式和主張按

9、照這種模式使數(shù)學(xué)條理化?！案鶕?jù)公理 體系來(lái)建立數(shù)學(xué)”這一概念的產(chǎn)生，無(wú)疑又是數(shù)學(xué)史上一個(gè) 重要的里程碑。接下來(lái)就要說(shuō)到一位偉大的數(shù)學(xué)家 歐幾里得 （公元前 300275 年）及其巨著原本。需要說(shuō)明的是，原本的 原始抄本現(xiàn)已無(wú)存，現(xiàn)在通用的版本是比歐幾里得晚幾百年 的西翁的修訂本。 原本共有十三卷，這本書(shū)是世界上最著 名、最完整而且流傳最廣的數(shù)學(xué)著作，也是歐幾里德最有價(jià) 值的一部著作。在原本里，歐幾里德系統(tǒng)地總結(jié)了古代 勞動(dòng)人民和學(xué)者們?cè)趯?shí)踐和思考中獲得的幾何知識(shí)，歐幾里 德把人們公認(rèn)的一些事實(shí)列成定義和公理，以形式邏輯的方 法，用這些定義和公理來(lái)研究各種幾何圖形的性質(zhì)，從而建 立了一套從公理、

10、定義出發(fā)，論證命題得到定理得幾何學(xué)論 證方法，形成了一個(gè)嚴(yán)密的邏輯體系幾何學(xué)。而這本書(shū)， 也就成了歐式幾何的奠基之作。兩千多年來(lái)，幾何原本 一直是學(xué)習(xí)幾何的主要教材?，F(xiàn)在我們計(jì)算曲邊圖形的面積往往是采用積分的思想， 但鮮少有人知道最先使用積分思想的是古希臘科學(xué)家阿基米 德。我們現(xiàn)在熟知的計(jì)算球的表面積和體積的公式，約公元 前 240 年的阿基米德就已經(jīng)給出。這些公式是通過(guò)一系列命 題一步一步地推導(dǎo)出來(lái)的，這個(gè)過(guò)程中蘊(yùn)含著積分的思想。 但這不是現(xiàn)代使用的較簡(jiǎn)便的積分方法，而是采用較繁瑣但 是可用的雙重歸謬法，也稱歐多克斯窮竭法。阿基米德的思 想方法無(wú)疑為后來(lái)牛頓與萊布尼茨的研究打下了堅(jiān)實(shí)的基 礎(chǔ)

11、。關(guān)于數(shù)的研究，有兩方面的問(wèn)題：探討數(shù)與數(shù)之間的關(guān) 系和發(fā)展數(shù)的計(jì)算技巧，古希臘人把前者稱為算術(shù)，后者稱 為計(jì)算術(shù)?，F(xiàn)在通常把研究數(shù)的理論方面的學(xué)科稱為數(shù)論， 說(shuō)到數(shù)論，就不能不提到丟番圖（約公元 250 年）。丟番圖 最著名的成就是算術(shù)，它對(duì)后世歐洲的數(shù)論學(xué)家產(chǎn)生了 深遠(yuǎn)的影響。算術(shù)是一部具有高度創(chuàng)造性的偉大著作， 它對(duì)代數(shù)數(shù)論做了解析處理，技巧高超。算術(shù)給出了一 些方程的一般或特殊解法，還述了一些有關(guān)數(shù)的深?yuàn)W定理， 為后世的研究做出了巨大的貢獻(xiàn)。丟番圖不僅是個(gè)偉大的數(shù)論學(xué)家，還對(duì)代數(shù)學(xué)的發(fā)展做 出了重大貢獻(xiàn)，其中之一就是簡(jiǎn)寫(xiě)了希臘代數(shù)學(xué)。在這之前 的一切代數(shù)學(xué)都是用文字表示的， 在使用過(guò)程

12、中有許多不便。 而丟番圖在算術(shù)中給出了表示未知數(shù)、未知數(shù)的直到六 次的冪、相減、相等和倒數(shù)的簡(jiǎn)寫(xiě)符號(hào)，因此可以說(shuō)，向著 代數(shù)學(xué)邁進(jìn)的最初幾步是丟番圖用其天才的智慧寫(xiě)就的。由于書(shū)寫(xiě)材料日趨方便、廉價(jià)，算術(shù)方法也隨之發(fā)展。而數(shù) 字的出現(xiàn)起初是人們用來(lái)記錄算盤(pán)（僅次于手指，人類最早使用 的計(jì)算工具。 ）上籌碼的數(shù)目。目前，在世界各地通用著同一個(gè) 數(shù)學(xué)系統(tǒng) , 印度 -阿拉伯?dāng)?shù)系即一切數(shù)字寫(xiě)成十個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào) 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 的位值序列。在中世紀(jì)的歐洲，分別提倡使用羅馬數(shù)字和算盤(pán)計(jì)算的、印度 - 阿拉伯?dāng)?shù)字和適當(dāng) 算法的算盤(pán)家及算術(shù)家進(jìn)行了 400 多年的爭(zhēng)論。 其中， 算盤(pán)家有

13、一條能使人信服的理由 ; “這些新數(shù)字本身容易被篡改， 而且在 已經(jīng)的數(shù)字之間和后面能在添加數(shù)字。 ”眾所周知，印度- 阿拉伯?dāng)?shù)系是印度人發(fā)明， 阿拉伯人采用了 并傳到了西歐， 再通過(guò)波斯數(shù)學(xué)家花拉子密專著的拉丁文譯本及 后來(lái)歐洲人的有關(guān)著作， 得到了更廣泛的傳播。 其中，algorithm （ 算法 ）、algebra（代數(shù)）兩個(gè)常用數(shù)學(xué)詞匯的產(chǎn)生 都?xì)w功于花拉子密。而對(duì)印度 - 阿拉伯?dāng)?shù)系的應(yīng)用影響及促進(jìn)最 大的就是 1202 年在意大利出版，由中世紀(jì)數(shù)學(xué)技巧最嫻熟 的數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契（Leonardo Fibon acci1 1 7 5 - 1 2 5 0 ?）所著算盤(pán)書(shū)。這一書(shū)最

14、大的功績(jī)是系統(tǒng)介紹印度記數(shù)法，影響并改變了歐洲數(shù) 學(xué)的面貌，直接促進(jìn)了印度 - 阿拉伯?dāng)?shù)系的傳播。我們所熟悉的 斐波那契數(shù)列就是此書(shū)中最富有成果的兔子問(wèn)題中得出的， 它在 數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都有許多意想不到的應(yīng)用，它還存在于多米諾 牌、蜜蜂的繁殖鋼琴的 13 個(gè)半音階的排列完全、自然界中一 些花朵的花瓣數(shù)目等諸多方面， 且隨便選兩個(gè)整數(shù) , 然后按照 斐波拉契數(shù)的規(guī)律排下去 , 兩數(shù)間比也是會(huì)逐漸逼近黃金比 的。如今，有關(guān)于斐波那契數(shù)列性質(zhì)的探討研究也是多的驚人。”。斐波那契其他數(shù)學(xué)著作還有幾何實(shí)踐 ，著重?cái)⑹?希臘幾何與三角術(shù)。 平方數(shù)書(shū) 、花朵等，前者專論二次 丟番圖方程，后者內(nèi)容多為菲德里克

15、( Frederick )二世宮廷 數(shù)學(xué)競(jìng)賽問(wèn)題十一世紀(jì)的波斯詩(shī)人兼數(shù)學(xué)家?jiàn)W馬爾海牙姆(Omar Khayyam 約 1044約 1 123)巧妙地用“ 一個(gè)立方體，一些邊和一些數(shù)”得出了三次方程的幾何算法，為阿拉伯代 數(shù)學(xué)作出了創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)。在此大約 500年以后，一個(gè)不講信義的天才 G卡爾達(dá)諾(Cardano, 1501 1576)將塔爾塔利亞三次方程代數(shù)解法及費(fèi)爾拉里的四次方程解法寫(xiě)進(jìn)了他的拉丁 文的代數(shù)學(xué)巨著大衍書(shū)(Ars magna)。爾后，有不少數(shù)學(xué)家 提出了簡(jiǎn)化求解三次、 四次方程的方法或其根的表達(dá)式。 這些數(shù) 學(xué)家包括 R 邦貝利、F 韋達(dá)、笛卡爾我們都知道對(duì)數(shù)作為一種計(jì)算方法

16、的功能在于 ; 通過(guò)對(duì)數(shù)， 可以把乘除運(yùn)算化為簡(jiǎn)單的加減運(yùn)算。耐普爾 (Napier ， 1550 1617)潛心研究角的正弦的對(duì)數(shù) 20 余年，于 1614 年發(fā)表奇妙 的 對(duì) 數(shù) 表 的描 述 ( Mirifici logarithmorum canonis descriptio )，在其中闡明了對(duì)數(shù)原理。這一著作立刻引起 了人們廣泛的興趣。1616 年 H 布里格斯(B riggs , 15611631)去拜訪耐普爾， 建議將對(duì)數(shù)改良一下以十為基底的對(duì)數(shù)表最為方便，這也就 是后來(lái)常用的對(duì)數(shù)了?？上推諣柛裟暧?1617 年春天去世， 后來(lái)就由布里格斯以畢生精力繼承耐普爾的未竟事業(yè)，以10

17、為底列出一個(gè)很詳細(xì)的對(duì)數(shù)表。并且于 1619 年發(fā)表了對(duì)數(shù) 算術(shù)( Arithmetica logarithmica )，于書(shū)中詳細(xì)闡述了對(duì) 數(shù)計(jì)算和造對(duì)表的方法。耐普爾的對(duì)數(shù)原理被整個(gè)歐洲積極采 用，尤其是天文學(xué)界。拉普拉斯認(rèn)為： “對(duì)數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞 力而使天文學(xué)家的壽命增加了一倍。 ”布里格斯的同事 E 岡特 (Gunter ，15811626)又發(fā)表了間隔為弧分的角的正弦及正切 的普通對(duì)數(shù)表，并創(chuàng)造了 cosine( 余弦 ) 、cotangent( 余切 ) ， 他還設(shè)計(jì)了對(duì)數(shù)刻度尺。在十七世紀(jì)，兩位杰出的數(shù)學(xué)家伽利略( Galiteo Gelilei ，15641642)和 J

18、開(kāi)普勒( Kepler ，1554 1630)的一系列發(fā) 現(xiàn)，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)的復(fù)興。 伽利略通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了有關(guān)物體 在地球引力場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的許多基本事實(shí)，導(dǎo)致了現(xiàn)在動(dòng)力學(xué)的誕生。 開(kāi)普勒則在 1619年前后歸納出著名的行星運(yùn)動(dòng)三定律，產(chǎn)生了 現(xiàn)代天體力學(xué)。 這些學(xué)科的發(fā)展都推動(dòng)了新的數(shù)學(xué)工具能夠 研究變化、 流量和運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)分支微積分的出現(xiàn)。 開(kāi)普勒為 了計(jì)算行星運(yùn)動(dòng)三定律中的第二定律的面積， 不得不采用了一種 原始的積分方法， 這是他成為微積分的奠基人之一。 開(kāi)普勒對(duì)多 面體也有所貢獻(xiàn)，他首先認(rèn)識(shí)到反棱柱體，發(fā)現(xiàn)了立方八面體、 斜方十二面體等，并且還把“焦點(diǎn)”一詞引入了圓錐曲線幾何學(xué) 中。公元前

19、三世紀(jì)， 古希臘的 阿基米德 在研究解決拋物弓形的 面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問(wèn) 題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來(lái)說(shuō)，早在古代以有比較清楚的論述。比如三國(guó)時(shí)期的 劉徽 在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割， 以至于不可割，則與圓周和體而無(wú)所失矣?！边@些都是樸素 的、也是很典型的極限概念。到了十七世紀(jì)，求即時(shí)速度、求曲線的切線、求函數(shù)的最大值和最小值、包括上面所講到 的求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重 心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力這些需 要解決的問(wèn)題都是促使微積分產(chǎn)生的重要因素。許多著名的 數(shù)學(xué)家、

20、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述問(wèn)題作了大量研 究，進(jìn)而提出了許多很有建樹(shù)的理論。例如 1635 年 B 卡瓦列 利( Cavalieri ， 1598 1647) 發(fā)表 了 不 可分量 幾 何學(xué) ( Geometria indivisibilibus), 其中闡述的了不可分量法的專論。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家 牛 頓 和德國(guó)數(shù)學(xué)家 萊布尼茨 分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完 成了微積分的創(chuàng)立工作。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái) 考慮，他在流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)一書(shū)中指出，變量是由點(diǎn)、 線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無(wú) 窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)

21、量，把這些流 動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。 牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問(wèn)題是： 已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度(微分法)；已知 運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程 (積分法 ) 。而德國(guó)的萊 布尼茨在 1684年發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn) 一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和 無(wú)理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算，盡管這篇文 章的題目又長(zhǎng)又古怪，卻具有劃時(shí)代的意義。它已含有現(xiàn)代 的微分符號(hào)和基本微分法則。今天，我們使用的微積分通用符號(hào)就是萊布尼茨精心選用的。他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌 似毫不相關(guān)的問(wèn)題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問(wèn)題（微分學(xué)的 中心問(wèn)題），一個(gè)是求積問(wèn)題 （ 積分學(xué)

22、的中心問(wèn)題 ） 。對(duì)于微積分這一新型數(shù)學(xué)有這樣一個(gè)比喻：舊的數(shù)學(xué)如照 相術(shù)發(fā)展的靜物攝影階段， 而新數(shù)學(xué)可比作電影攝影階段。 另為， 舊數(shù)學(xué)與新數(shù)學(xué)相比， 如同解剖學(xué)和生理學(xué)， 前者研究尸體而后 者研究活體。由此可以看出，舊數(shù)學(xué)只涉及不變和有限的問(wèn)題， 消極靜止；而新數(shù)學(xué)則包括變化和無(wú)限的問(wèn)題，積極運(yùn)動(dòng)。所以 微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過(guò)去很多初等 數(shù)學(xué)束手無(wú)策的問(wèn)題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出 微積分學(xué)的非凡威力。不幸的事， 由于人們?cè)谛蕾p微積分的宏偉功效之余， 在提 出誰(shuí)是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候， 竟然引起了一場(chǎng)悍然大波， 造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國(guó)數(shù)學(xué)家的長(zhǎng)期對(duì)立。

23、牛頓和 萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究，在大體上相近的時(shí)間里先后 完成的。他們的研究各有長(zhǎng)處，也都各有短處。那時(shí)候，由 于民族偏見(jiàn)， 關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論竟從 1699年始延續(xù)了一 百多年。 應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成 都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不 完善的。他們?cè)跓o(wú)窮和無(wú)窮小量這個(gè)問(wèn)題上，其說(shuō)不一，十 分含糊。牛頓的無(wú)窮小量，有時(shí)候是零，有時(shí)候不是零而是 有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說(shuō)。這些基礎(chǔ)方面的 缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。直到十九世紀(jì)， 柯西 和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格 的實(shí)數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化同樣在十

24、七世紀(jì)， R 笛卡爾( Descartes ，1596 1650 ) 和 P de費(fèi)馬( Fermat ，1601 1665 )為解析幾何做出了決定 性貢獻(xiàn)。 解析幾何的實(shí)質(zhì)在于它的變換求解反演的特征，即首先把一個(gè)幾何問(wèn)題變換為一個(gè)相應(yīng)的代數(shù)問(wèn)題，然后求 解這個(gè)代數(shù)問(wèn)題，最后反演成代數(shù)解而得到幾何解。 解析 幾何的創(chuàng)立，引入了一系列新的數(shù)學(xué)概念，特別是將變量引 入數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展時(shí)期，這就是變量數(shù)學(xué) 的時(shí)期。解析幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展中起了推動(dòng)作用。恩格斯對(duì)此 曾經(jīng)作過(guò)評(píng)價(jià)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)， 有了變數(shù)， 運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)， 微分和積分也

25、就立刻成為必要的了，”概率幾乎是由游戲和賭博發(fā)展而來(lái)的。 概率科學(xué)的起源還 是從一個(gè)所謂的點(diǎn)數(shù)問(wèn)題開(kāi)始的， 這個(gè)著名的問(wèn)題是這樣的： 兩個(gè)技巧相當(dāng)?shù)馁€徒對(duì)局， 他們知道怎樣的比分賭局終止，也知道取勝所要求的點(diǎn)數(shù)，問(wèn)應(yīng)該怎樣來(lái)分配他們的賭注。而帕斯卡和費(fèi)馬在對(duì)這一問(wèn)題的通信討論，還思考了與點(diǎn)數(shù) 問(wèn)題有關(guān)的一些其他問(wèn)題。他們的這一工作奠定了概率論的 基礎(chǔ)， 開(kāi)創(chuàng)了概率的數(shù)學(xué)理論。 英國(guó)的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家W S 杰文斯( Jevons ，1835 1882)認(rèn)為：“概率是生活真正 的領(lǐng)路人，如果沒(méi)有對(duì)概率的某種估計(jì)，那么我們就寸步難 行，無(wú)所作為?！痹跓o(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)展史上， 阿基米德是第一個(gè)對(duì)一些特殊

26、的收 斂去窮級(jí)數(shù)求和的人，而第一個(gè)適當(dāng)考慮無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂概念 的是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家 C F 高斯( Gauss，1777 1855)，他 是在 1812 年研究超幾何級(jí)數(shù)是提出的。然而在這一領(lǐng)域作為 里程碑的事件則是另外兩件。1715年在 B 泰勒 ( Tatlor,1685-1731 )的著作增量法中第一次出現(xiàn)了函數(shù) f(x) 展開(kāi)成 x-a 的冪級(jí)數(shù)。 1742 年蘇格蘭數(shù)學(xué)家 C 馬克 勞林( Maclaurin )在巨著流數(shù)論中用到了這一冪級(jí)數(shù)當(dāng) a=0 時(shí)的特殊情形。 而人們充分認(rèn)識(shí)到這一冪級(jí)數(shù)的重要性是 在 1775 年歐拉機(jī)智地將他們應(yīng)用在微分學(xué)中后， 以及在更后 來(lái) 1797 年

27、拉格朗日把級(jí)數(shù)作為函數(shù)論的基礎(chǔ)之后。在十九世紀(jì)上半葉數(shù)學(xué)史上有兩個(gè)重要的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。第一個(gè)是 1829 年左右發(fā)現(xiàn)了與人們所熟知的歐幾里得幾何有顯著區(qū) 別的一種自相容的幾何；第二個(gè)在 1843 年發(fā)現(xiàn)了與通常實(shí)數(shù)系代數(shù)有本質(zhì)區(qū)別的一種代數(shù)。文藝復(fù)興后的西歐數(shù)學(xué)家重 新提出了對(duì)歐幾里第五公設(shè)的批評(píng)，而后的數(shù)學(xué)家用歸繆法 證明歐幾里德公設(shè)并做出了卓越的貢獻(xiàn)。不少年后，法國(guó)著 名的數(shù)學(xué)家 A M 勒讓德為證明平行公設(shè)做出了大量的努力， 發(fā)表在幾何學(xué)基本原理一書(shū)中。比平行公設(shè)問(wèn)題的解決有 更深遠(yuǎn)的意義的結(jié)果是：把幾何學(xué)從其傳統(tǒng)的模式中解放出 來(lái).羅巴切夫斯基的和黎曼的非歐幾何使創(chuàng)造許多不同體系的幾何的道路

28、打開(kāi)了.幾何學(xué)的公設(shè)，對(duì)于數(shù)學(xué)家們來(lái)說(shuō)，僅僅是假 定，其物理的真與假用不著考慮； 數(shù)學(xué)家們可以隨心所欲的取其 公設(shè)，只要它們是彼此相容的.數(shù)學(xué)家采用一條公設(shè)，用不著考 慮：它是否具有，自古希臘以來(lái)規(guī)定它必有的，“自明”或“真”的特徵.有了創(chuàng)造純粹“人造的”幾何的可能性；物理空間必須 被看作是由我們的外部經(jīng)驗(yàn)導(dǎo)出的經(jīng)驗(yàn)概念，用來(lái)描述物理空間的幾何學(xué)的公設(shè)只不過(guò)是這種經(jīng)驗(yàn)的表述，和物理科學(xué)的定律一樣，就成為顯然的了.例如，竭力謀求解釋現(xiàn)實(shí)空間的歐幾里得 平行公設(shè)，看來(lái)就與伽利略的落體定律，有同類的效力；也就是 說(shuō)，它們都是在實(shí)驗(yàn)誤差的限度內(nèi)，能被證實(shí)的觀察定律.人類認(rèn)知知識(shí)的過(guò)程在現(xiàn)階段的歸納中分

29、為兩個(gè)過(guò)程：第一個(gè)過(guò)程，是囫圇吞棗的認(rèn)知一一對(duì)于數(shù)學(xué)， 就是不遺余力地記住公式、定理，培養(yǎng)邏輯思維。第二個(gè)過(guò)程，就是重返基礎(chǔ)，從零 開(kāi)始，一步一步，利用已建立起的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿媮?lái)推演（基于假設(shè) 存在不必證明的公理）。任何偉大的學(xué)者在最初也是死記硬背公 式定理而非從哲學(xué)角度開(kāi)始論證逐步演為數(shù)學(xué)。這和人類最先認(rèn)知正整數(shù)一樣是普遍規(guī)律。所有的數(shù)學(xué)命題最終應(yīng)歸結(jié)為關(guān)于自然數(shù) * （為正整數(shù)）的 命題。事實(shí)上，我們之所以說(shuō)正整數(shù)而不是自然數(shù)，是因?yàn)樵谏?活中，“零”不屬于我們所應(yīng)用的最“自然”的那一類數(shù)。可以想見(jiàn)，在原始社會(huì)，如果你問(wèn)原始人類捕獲了多少只獵物，如果 他一只也沒(méi)捕獲，他是絕對(duì)不會(huì)說(shuō)“我捕獲了零

30、只”的。由此可見(jiàn)，最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)命題應(yīng)當(dāng)是關(guān)于正整數(shù) （或部分）的，至于零， 在多數(shù)情況下，這會(huì)被我們當(dāng)作一個(gè)特例處理。 往往我們驗(yàn)證的 是，對(duì)于任意正整數(shù)，我們有某結(jié)論恒成立，將零代入，得到對(duì) 于零，此結(jié)論也成立，故這個(gè)結(jié)論對(duì)于任意非負(fù)數(shù)成立。古希臘人將點(diǎn)作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，實(shí)際上與我們所說(shuō)的將自然數(shù) *作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是不矛盾的。第一，點(diǎn)的數(shù)量可以表示正整數(shù)。 第二，一個(gè) n維整數(shù)組可以表示一個(gè)在 n 維坐標(biāo)系中的點(diǎn)；對(duì)于 一個(gè)點(diǎn)，在坐標(biāo)系單位長(zhǎng)度取的足夠小、合適的時(shí)候，這個(gè)點(diǎn)作 可以表示成為整數(shù)點(diǎn)（即格點(diǎn)）。數(shù)學(xué)之所以有別于其他任何一門學(xué)科 （包括物理、化學(xué)等理 科），是因?yàn)閿?shù)學(xué)是完全抽象的或者說(shuō)是

31、完全理想化的。比 如，在研究剛體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們可以將其理想化，不考慮空氣阻 力、不考慮形變等等，而涉及關(guān)于質(zhì)點(diǎn)的計(jì)算的時(shí)候，我們?nèi)匀?要將其歸結(jié)于數(shù)學(xué)模型，譬如方程、函數(shù)，我們將剛體運(yùn)動(dòng)軌跡 看作函數(shù)圖像，對(duì)此進(jìn)行計(jì)算，那么實(shí)際上我們又將其進(jìn)一步理 想化了，試問(wèn)，什么物體可以嚴(yán)格按照某個(gè)函數(shù)圖像運(yùn)動(dòng)？物理 模型的抽象化、理想化多是可以實(shí)現(xiàn)的，譬如在真空中，可以忽 略空氣阻力，但是即使在真空中，也不能將數(shù)學(xué)模型完全實(shí)現(xiàn)。數(shù)，是數(shù)學(xué)中的基本概念，也是人類文明的重要組成部分。數(shù)的概念的每一次擴(kuò)充都標(biāo)志著數(shù)學(xué)的巨大飛躍。一個(gè)時(shí)代 人們對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用， 以及數(shù)系理論的完善程度， 反映 了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展

32、的水平。今天，我們所應(yīng)用的數(shù)系，已經(jīng)構(gòu) 造的如此完備和縝密，以致于在科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生活的一切 領(lǐng)域中，它都成為基本的語(yǔ)言和不可或缺的工具。在我們得 心應(yīng)手地享用這份人類文明的共同財(cái)富時(shí)，是否想到在數(shù)系 形成和發(fā)展的歷史過(guò)程中，人類的智慧所經(jīng)歷的曲折和艱辛 呢？最早發(fā)展的一類數(shù)系應(yīng)該是簡(jiǎn)單分群數(shù)系( simplegrouping system)，如在公元前 3400 年埃及象形文字中就有 實(shí)例，它是 10 進(jìn)的，但卻不是位置的。在公元前 3000 到 2000年之間，巴比倫人發(fā)展了60 進(jìn)位的定位數(shù)系(positionalnumeral system )，它采用了位置制，卻不是 10 進(jìn)的。而最

33、 重要和最美妙的記數(shù)法則是10 進(jìn)位位置制記數(shù)法。法國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace,1749 - 1827 )曾 經(jīng)寫(xiě)道：用十個(gè)記號(hào)來(lái)表示一切的數(shù)，每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì) 的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一 個(gè)深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看來(lái)如此簡(jiǎn)單，以致我們忽 視了它的真正偉績(jī)。但恰恰是它的簡(jiǎn)單性以及對(duì)一切計(jì)算都 提供了極大的方便，才使我們的算術(shù)在一切有用的發(fā)明中列 在首位。記數(shù)法的進(jìn)步是與計(jì)算工具的改進(jìn)相聯(lián)系的。研究 表明， 10 進(jìn)位位置制記數(shù)之產(chǎn)生于中國(guó)，是與算籌的使用與 籌算制度的演進(jìn)分不開(kāi)的。有理數(shù)系：位置制記數(shù)法的出現(xiàn)，標(biāo)志著人類掌握的數(shù) 的語(yǔ)言，已從少量的文字

34、個(gè)體，發(fā)展到了一個(gè)具有完善運(yùn)算 規(guī)則的數(shù)系。人類第一個(gè)認(rèn)識(shí)的數(shù)系，就是常說(shuō)的“自然數(shù) 系”。但是，隨著人類認(rèn)識(shí)的發(fā)展，自然數(shù)系的缺陷也就逐漸 顯露出來(lái)。首先，自然數(shù)系是一個(gè)離散的、而不是稠密的數(shù) 系 2 ，因此，作為量的表征，它只能限于去表示一個(gè)單位 量的整數(shù)倍，而無(wú)法表示它的部分。同時(shí)，作為運(yùn)算的手段， 在自然數(shù)系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它們 的逆運(yùn)算。這些缺陷，由于分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的出現(xiàn)而得以彌補(bǔ)。原始的分?jǐn)?shù)概念來(lái)源于對(duì)量的分割。如說(shuō)文八部對(duì)“分”的解釋：“分，別也。從八從刀，刀以分別物也。 ”但是，九 章算術(shù)中的分?jǐn)?shù)是從除法運(yùn)算引入的。其“合分術(shù)”有云：“實(shí)如法而一。不滿法者，以

35、法命之。 ”這句話的今譯是：被 除數(shù)除以除數(shù)。如果不能除盡，便定義了一個(gè)分?jǐn)?shù)。中國(guó)古 代分?jǐn)?shù)理論的高明之處是它借助于“齊同術(shù)”把握住了分?jǐn)?shù) 算法的精髓：通分。劉徽在九章算術(shù)注中所言：眾分錯(cuò) 雜，非細(xì)不會(huì)。乘而散之，所以通之。通之則可并也。凡母 互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同共一母也。 齊者，子與母齊，勢(shì)不可失本數(shù)也。容易證明，分?jǐn)?shù)系是一 個(gè)稠密的數(shù)系，它對(duì)于加、乘、除三種運(yùn)算是封閉的。為了 使得減法運(yùn)算在數(shù)系內(nèi)也同行無(wú)阻，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)就是必然的 了。盈余與不足、收入與支出、增加與減少是負(fù)數(shù)概念在生 活中的實(shí)例，教科書(shū)在向?qū)W生講授負(fù)數(shù)是也多循此途。這就 產(chǎn)生一種誤解：似乎人類正是從這

36、種具有相反意義的量的認(rèn) 識(shí)而引進(jìn)了負(fù)數(shù)的。歷史的事實(shí)表明：負(fù)數(shù)之所以最早為中 算家所引進(jìn)，這是由中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，算法高度發(fā)達(dá)和 籌算機(jī)械化的特點(diǎn)所決定的。負(fù)數(shù)的概念和算法首先出現(xiàn)在 九章算術(shù) “方程”章，因?yàn)閷?duì)“方程”進(jìn)行兩行之間的加 減消元時(shí)，就必須引入負(fù)數(shù)和建立正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則。負(fù)數(shù) 雖然通過(guò)阿拉伯人的著作傳到了歐洲，但 16 世紀(jì)和 17世紀(jì) 的大多數(shù)數(shù)學(xué)家并不承認(rèn)它們是數(shù)，或者即使承認(rèn)了也并不 認(rèn)為它們是方程的根。 負(fù)數(shù)是人類第一次越過(guò)正數(shù)域的范 圍，前此種種的經(jīng)驗(yàn)，在負(fù)數(shù)面前全然無(wú)用。在數(shù)系發(fā)展的 歷史進(jìn)程中，現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)有時(shí)不僅無(wú)用，反而會(huì)成為一種阻礙。 我們將會(huì)看到，負(fù)數(shù)并不是惟

37、一的例子。實(shí)數(shù)理論的擴(kuò)張： 無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)， 擊碎了 Pythagoras 學(xué)派“萬(wàn)物皆數(shù)”的美夢(mèng)。同時(shí)暴露出有理數(shù)系的缺陷：一 條直線上的有理數(shù)盡管是“稠密” ，但是它卻漏出了許多“孔 隙”，而且這種“孔隙”多的“不可勝數(shù)” 。這樣，古希臘人 把有理數(shù)視為是連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，就徹底 的破滅了。它的破滅，在以后兩千多年時(shí)間內(nèi)，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā) 展，起到了深遠(yuǎn)的影響。不可通約的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)期以來(lái)眾說(shuō)紛紜。 兩個(gè)不可通約量的比值也因其得不到正確的解釋， 而被認(rèn)為是不可理喻的數(shù)。 15 世紀(jì)達(dá)芬奇 ( Leonardo da Vinci, 1452- 1519 )把它們稱為是“無(wú)理的數(shù)” (

38、 irrational number )，開(kāi)普勒( J. Kepler,1571- 1630)稱它們是“不可名狀”的數(shù)。這些“無(wú)理”而又“不可名狀”的數(shù)，找到 雖然在后來(lái)的運(yùn)算中漸漸被使用，但是它們究竟是不是實(shí)實(shí) 在在的數(shù)，卻一直是個(gè)困擾人的問(wèn)題。中國(guó)古代數(shù)學(xué)在處理開(kāi)方問(wèn)題時(shí)，也不可避免地碰到無(wú) 理根數(shù)。對(duì)于這種“開(kāi)之不盡”的數(shù)， 九章算術(shù)直截了當(dāng) 地“以面命之”予以接受，劉徽注釋中的“求其微數(shù)” ，實(shí)際 上是用 10 進(jìn)小數(shù)來(lái)無(wú)限逼近無(wú)理數(shù)。 這本是一條完成實(shí)數(shù)系 統(tǒng)的正確道路，只是劉徽的思想遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了他的時(shí)代，而未 能引起后人的重視。不過(guò)，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)關(guān)注的是數(shù)量的計(jì) 算，對(duì)數(shù)的本質(zhì)并沒(méi)有

39、太大的興趣。 (李)而善于究根問(wèn)底的 希臘人就無(wú)法邁過(guò)這道坎了。既然不能克服它，那就只好回避它。此后的希臘數(shù)學(xué)家，如歐多克斯(Eudoxus )、歐幾里得( Euclid )在他們的幾何學(xué)里，都嚴(yán)格避免把數(shù)與幾何量 等同起來(lái)。歐多克斯的比例論(見(jiàn)幾何原本第 5 卷)，使 幾何學(xué)在邏輯上繞過(guò)了不可公度的障礙，但就在這以后的漫 長(zhǎng)時(shí)期中，形成了幾何與算術(shù)的顯著分離。17、 18 世紀(jì)微積分的發(fā)展幾乎吸引了所有數(shù)學(xué)家的注意 力，恰恰是人們對(duì)微積分基礎(chǔ)的關(guān)注，使得實(shí)數(shù)域的連續(xù)性 問(wèn)題再次突顯出來(lái)。因?yàn)椋⒎e分是建立在極限運(yùn)算基礎(chǔ)上 的變量數(shù)學(xué)，而極限運(yùn)算，需要一個(gè)封閉的數(shù)域。無(wú)理數(shù)正 是實(shí)數(shù)域連續(xù)性的

40、關(guān)鍵。無(wú)理數(shù)是什么？法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西 ( A.Cauchy,1789- 1875) 給出了回答：無(wú)理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。然而按照柯西的 極限定義，所謂有理數(shù)序列的極限，意即預(yù)先存在一個(gè)確定 的數(shù)，使它與序列中各數(shù)的差值，當(dāng)序列趨于無(wú)窮時(shí)，可以 任意小。但是，這個(gè)預(yù)先存在的“數(shù)” ，又從何而來(lái)呢？在柯 西看來(lái)，有理序列的極限，似乎是先驗(yàn)地存在的。這表明，柯西盡管是那個(gè)時(shí)代大分析學(xué)家，但仍未能擺脫兩千多年來(lái) 以幾何直覺(jué)為立論基礎(chǔ)的傳統(tǒng)觀念的影響。變量數(shù)學(xué)獨(dú)立建造完備數(shù)域的歷史任務(wù)，終于在 19 世紀(jì) 后半葉，由維爾斯特拉斯( Weierstrass,1815- 1897 )、戴德 金( R.Ded

41、ekind1831- 1916 )、康托( G.Cantor,1845- 1918 ) 等人加以完成了。實(shí)數(shù)的三大派理論本質(zhì)上是對(duì)無(wú)理數(shù)給出嚴(yán)格定義，從 而建立了完備的實(shí)數(shù)域。實(shí)數(shù)域的構(gòu)造成功，使得兩千多年 來(lái)存在于算術(shù)與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無(wú)理數(shù)不再 是“無(wú)理的數(shù)”了，古希臘人的算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，也終于 在嚴(yán)格的科學(xué)意義下得以實(shí)現(xiàn)。復(fù)數(shù)的擴(kuò)張：復(fù)數(shù)概念的進(jìn)化是數(shù)學(xué)史中最奇特的一章，那 就是數(shù)系的歷史發(fā)展完全沒(méi)有按照教科書(shū)所描述的邏輯連續(xù) 性。人們沒(méi)有等待實(shí)數(shù)的邏輯基礎(chǔ)建立之后， 才去嘗試新的 征程。 在數(shù)系擴(kuò)張的歷史過(guò)程中，往往許多中間地帶尚未得 到完全認(rèn)識(shí)，而天才的直覺(jué)隨著勇敢者的

42、步伐已經(jīng)到達(dá)了遙 遠(yuǎn)的前哨陣地。1797 年， 挪威的韋塞爾( C. Wessel,1745-1818 ) 寫(xiě) 了一篇論文“關(guān)于方向的分析表示” ，試圖利用向量來(lái)表示復(fù) 數(shù)，遺憾的是這篇文章的重大價(jià)值直到 1897 年譯成法文后， 才被人們重視。瑞士人阿甘達(dá)(J. Argand ,1768-1822 ) 給出復(fù)數(shù)的一個(gè)稍微不同的幾何解釋。他注意到負(fù)數(shù)是正數(shù)的 一個(gè)擴(kuò)張，它是將方向和大小結(jié)合起來(lái)得出的，他的思路是： 能否利用新增添某種新的概念來(lái)擴(kuò)張實(shí)數(shù)系？在使人們接受 復(fù)數(shù)方面，高斯的工作更為有效。他不僅將 a+ bi 表示為復(fù) 平面上的一點(diǎn) ( a, b) ，而且闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法和乘法。 他還說(shuō)，如果 1, 1 和 原來(lái)不稱為正、負(fù)和虛單位，而稱 為直、反和側(cè)單位，那么人們對(duì)這些數(shù)就可能不會(huì)產(chǎn)生種種陰暗神秘的印象。他說(shuō)幾何表示可以使人們對(duì)虛數(shù)真正有一個(gè)新的看法，他引進(jìn)術(shù)語(yǔ)“復(fù)數(shù)”(complex number)以與虛數(shù)相對(duì)立，并用 i 代替 。在澄清復(fù)數(shù)概念的工作中，愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家哈米爾頓(Hamilton,1805- 1865 ) 是非常重要的。哈米爾頓所關(guān)心的是算術(shù)的邏輯， 并不滿足于幾何直觀。 他指出：復(fù)數(shù) a+ bi 不是 2 3 意義上的一個(gè)真正的和，加號(hào)的使用是歷史的 偶然，而 bi