伯努利方程及其應(yīng)用

1、第六章第六章 伯努利方程及其應(yīng)用伯努利方程及其應(yīng)用 在第五章，我們建立了流體力學(xué)微分形式的基本方程組，并通過在第五章，我們建立了流體力學(xué)微分形式的基本方程組，并通過引入了無粘流假設(shè)，完全氣體假設(shè)，建立了理想流體（或理想氣體）引入了無粘流假設(shè)，完全氣體假設(shè)，建立了理想流體（或理想氣體）的動力學(xué)基本方程組，這一方程組雖解決了封閉性問題，并使未知數(shù)的動力學(xué)基本方程組，這一方程組雖解決了封閉性問題，并使未知數(shù)數(shù)量及方程的復(fù)雜程度得到了很大簡化，但由于方程組仍是非線性的，數(shù)量及方程的復(fù)雜程度得到了很大簡化，但由于方程組仍是非線性的，以至于還是無法得到一般形式的解，或精確積分求解的一般方法。以至于還是無法

2、得到一般形式的解，或精確積分求解的一般方法。 在第四章，我們通過對一段流管的能量方程進行分析，在引入五在第四章，我們通過對一段流管的能量方程進行分析，在引入五項假設(shè)以后已經(jīng)獲得了柏努利方程。實際上，通過對上一章中的歐拉項假設(shè)以后已經(jīng)獲得了柏努利方程。實際上，通過對上一章中的歐拉方程進行積分，同樣可以得到著名的伯努利方程，不過在積分過程中方程進行積分，同樣可以得到著名的伯努利方程，不過在積分過程中同樣要引入相應(yīng)的假設(shè)和限制條件。柏努利方程的獲得對流體力學(xué)的同樣要引入相應(yīng)的假設(shè)和限制條件。柏努利方程的獲得對流體力學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響，使得這一方程在以后的一百多年里，直到今發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響，

3、使得這一方程在以后的一百多年里，直到今天，都是流體力學(xué)中應(yīng)用最廣（不論在計算還是在理論分析上）的方天，都是流體力學(xué)中應(yīng)用最廣（不論在計算還是在理論分析上）的方程，本章將對其理論和應(yīng)用進行介紹。程，本章將對其理論和應(yīng)用進行介紹。 第一節(jié)第一節(jié) 伯努利定理伯努利定理 在流體靜力學(xué)中，我們曾引入過壓力函數(shù)的概念，現(xiàn)在在推導(dǎo)伯在流體靜力學(xué)中，我們曾引入過壓力函數(shù)的概念，現(xiàn)在在推導(dǎo)伯努利方程之前，我們先對壓力函數(shù)的性質(zhì)在作進一步的分析。努利方程之前，我們先對壓力函數(shù)的性質(zhì)在作進一步的分析。 一、壓力函數(shù)分析一、壓力函數(shù)分析 在流體靜力學(xué)中，對于密度僅是壓力在流體靜力學(xué)中，對于密度僅是壓力的函數(shù)的正壓流體

4、，引入了壓力函數(shù)：的函數(shù)的正壓流體，引入了壓力函數(shù)： 我們考察流場中的任意一條曲線我們考察流場中的任意一條曲線L，規(guī)定線上的某點，規(guī)定線上的某點o為原點，因為原點，因此曲線此曲線L上的任意一點能用該點到上的任意一點能用該點到o弧長弧長 l 表示表示, ,而而dl 表示曲線弧的微表示曲線弧的微元長度。元長度。顯然，在曲線顯然，在曲線L上，密度和壓力是弧長上，密度和壓力是弧長 l 的函數(shù)，并且在不的函數(shù)，并且在不同的曲線同的曲線L上，其函數(shù)也是不同的，這樣速度和壓力就可表示為：上，其函數(shù)也是不同的，這樣速度和壓力就可表示為： 聯(lián)立以上兩式消去聯(lián)立以上兩式消去l，即可將，即可將表示為表示為p的函數(shù)，

5、注意，此時并不要求流的函數(shù)，注意，此時并不要求流場是正壓流場。場是正壓流場。 代入壓力函數(shù)定義式：代入壓力函數(shù)定義式： 可知可知L在曲線上，壓力函數(shù)沿在曲線上，壓力函數(shù)沿l的變化率為：的變化率為： 一般情況下，曲線一般情況下，曲線L上的函數(shù)關(guān)系上的函數(shù)關(guān)系 是未知的，但是當(dāng)流是未知的，但是當(dāng)流場是正壓流場時，這時場是正壓流場時，這時僅是僅是p的函數(shù)（根據(jù)定義），與所取曲線就無的函數(shù)（根據(jù)定義），與所取曲線就無關(guān)了。所以只要已知關(guān)了。所以只要已知 ，壓力函數(shù)就可以積分。，壓力函數(shù)就可以積分。( , )p L( )p常見的正壓場有：常見的正壓場有：1 1、不可壓縮流場：、不可壓縮流場： 2 2、完

6、全氣體等溫流場：、完全氣體等溫流場： 3 3、完全氣體的絕熱等熵流場、完全氣體的絕熱等熵流場 ：在現(xiàn)實問題中最常見的是第一種和第三種流場。比如對于液體，一般在現(xiàn)實問題中最常見的是第一種和第三種流場。比如對于液體，一般就可以視為不可壓縮流場。對于氣體，當(dāng)流速較低時，今后會討論到，就可以視為不可壓縮流場。對于氣體，當(dāng)流速較低時，今后會討論到，也可以視為不可壓縮流場；而當(dāng)流速較高時，由于其導(dǎo)熱系數(shù)小，又也可以視為不可壓縮流場；而當(dāng)流速較高時，由于其導(dǎo)熱系數(shù)小，又可以視為絕熱流場?？梢砸暈榻^熱流場。二、沿流線和渦線成立的伯努利積分二、沿流線和渦線成立的伯努利積分 由蘭姆方程由蘭姆方程( (引入理想流體

7、假設(shè)引入理想流體假設(shè)1)1)： 假設(shè)流動為定常假設(shè)流動為定常(2) (2) ，質(zhì)量力有勢，質(zhì)量力有勢(3) (3) ，蘭姆方程為：，蘭姆方程為： 0tfU 左邊是標量場的梯度，標量梯度在某一方向的左邊是標量場的梯度，標量梯度在某一方向的投影，等于標量在該方向的方向?qū)?shù)。等式反投影，等于標量在該方向的方向?qū)?shù)。等式反映了四個向量的平衡關(guān)系，他們投影到某一方映了四個向量的平衡關(guān)系，他們投影到某一方向仍然是平衡的。向仍然是平衡的。在流場中做任意曲線在流場中做任意曲線L，將上式在曲線的微元弧線，將上式在曲線的微元弧線( (切線切線) )上投影，有：上投影，有： 21()()2lVVpUlll 注意壓力

8、函數(shù)的微分關(guān)系注意壓力函數(shù)的微分關(guān)系 ，代入上式有：，代入上式有： 這里曲線函數(shù)尚是任意取的，如果將該曲線取為流線或渦線，則曲線這里曲線函數(shù)尚是任意取的，如果將該曲線取為流線或渦線，則曲線上任意點的切線方向與向量上任意點的切線方向與向量 垂直，因而有：垂直，因而有： （沿流線或渦線假設(shè)（沿流線或渦線假設(shè)4 4） V 于是：于是： 積分：積分：這就是歐拉方程的這就是歐拉方程的最一般形式的伯努利積分最一般形式的伯努利積分，他表明：，他表明：在理想流體、質(zhì)量力有勢，流動定常的條件下，沿流線或渦線流體的動在理想流體、質(zhì)量力有勢，流動定常的條件下，沿流線或渦線流體的動能、壓力能和勢能之和是一個常數(shù)。能、

9、壓力能和勢能之和是一個常數(shù)。 注意上式中的積分常數(shù)注意上式中的積分常數(shù)C(L)C(L)與所取的流線或渦線是有關(guān)的。不同與所取的流線或渦線是有關(guān)的。不同的流線或渦線會有不同的值，的流線或渦線會有不同的值，C(L)C(L)會構(gòu)成等值面。這個等值面是由相會構(gòu)成等值面。這個等值面是由相交的流線或渦線決定的。交的流線或渦線決定的。 如果流場是正壓流場，則壓力函數(shù)與所取的曲線無關(guān)，上式為：如果流場是正壓流場，則壓力函數(shù)與所取的曲線無關(guān)，上式為： 三、不可壓縮流體在重力場中的伯努利積分三、不可壓縮流體在重力場中的伯努利積分 1 1、當(dāng)質(zhì)量力為重力時，質(zhì)量力勢為：、當(dāng)質(zhì)量力為重力時，質(zhì)量力勢為： 2、當(dāng)流體不

10、可壓時，壓力函數(shù)為：當(dāng)流體不可壓時，壓力函數(shù)為：3 3、代入伯努利積分，有代入伯努利積分，有：或者或者： Ugzconstpconst 2( )2VpgzC L 這是我們最常見的伯努利方程。總結(jié)一下它的應(yīng)用條件：不可壓這是我們最常見的伯努利方程?？偨Y(jié)一下它的應(yīng)用條件：不可壓縮的理想流體，定常流動，質(zhì)量力僅為重力，沿流線或渦線成立?？s的理想流體，定常流動，質(zhì)量力僅為重力，沿流線或渦線成立。 四、伯努利積分與所取曲線無關(guān)的情況四、伯努利積分與所取曲線無關(guān)的情況 在正壓流場中，如果恒有在正壓流場中，如果恒有 。則以上伯努利積分與所取曲。則以上伯努利積分與所取曲線無關(guān)。或者說在全流場中的積分為同一常數(shù)

11、線無關(guān)。或者說在全流場中的積分為同一常數(shù)C C，等式兩邊的，等式兩邊的1 1點和點和2 2點點可以不必在同一流線或渦線上?？梢圆槐卦谕涣骶€或渦線上。 0V 的情況有三種：的情況有三種：1 1、 流體靜止，其結(jié)果為靜力學(xué)基本方程，對動力學(xué)無意義。流體靜止，其結(jié)果為靜力學(xué)基本方程，對動力學(xué)無意義。2 2、 流動無旋。流動無旋。3 3、 通常不可能，只有在一些理想的特殊流動中存在。通常不可能，只有在一些理想的特殊流動中存在。 0V 0V 0 V 由此我們知道，無旋流動的伯努利積分，其常數(shù)全場相等，也就由此我們知道，無旋流動的伯努利積分，其常數(shù)全場相等，也就是說，此時我們應(yīng)用伯努利方程不必在意是說，

12、此時我們應(yīng)用伯努利方程不必在意1點和點和2點是不是在同一條流點是不是在同一條流線或渦線上。面對流場是否無旋的判斷，上一章我們在講到弗里德曼線或渦線上。面對流場是否無旋的判斷，上一章我們在講到弗里德曼方程時有結(jié)論：理想流體，在質(zhì)量力有勢，流場正壓時，流場如一開方程時有結(jié)論：理想流體，在質(zhì)量力有勢，流場正壓時，流場如一開始無旋，則永遠無旋，這有助于我們做出判斷。始無旋，則永遠無旋，這有助于我們做出判斷。 五、總結(jié)五、總結(jié)1、伯努利方程的形式、伯努利方程的形式221112221122pVgzpVgzI、物理意義：單位體積流體的能量守恒。物理意義：單位體積流體的能量守恒。壓力能、動能、勢能。壓力能、動

13、能、勢能。 II、物理意義：單位質(zhì)量流體的能量守恒。物理意義：單位質(zhì)量流體的能量守恒。（焓表示）（焓表示） 2211221222VpVpgzgzIII、物理意義：總水頭高度的守恒。物理意義：總水頭高度的守恒。（水頭表示）（水頭表示）其中第其中第I、II式多用于氣體流動，式多用于氣體流動，III式多用于液體流動分析。式多用于液體流動分析。 2211221222VpVpzzgggg2、應(yīng)用條件、應(yīng)用條件 理想流體，定常流動，不可壓縮流體（正壓流體），質(zhì)量力為重力理想流體，定常流動，不可壓縮流體（正壓流體），質(zhì)量力為重力（質(zhì)量力有勢），沿流線或渦線成立。如為無旋流動，則全場成立。（質(zhì)量力有勢），沿流

14、線或渦線成立。如為無旋流動，則全場成立。 3、應(yīng)用拓展、應(yīng)用拓展 柏努利方程由理想流體流動分析得出，說明流動過程中的機械能柏努利方程由理想流體流動分析得出，說明流動過程中的機械能守恒。如果流體不是理想流體，則流動必有旋（粘性產(chǎn)生旋渦），這守恒。如果流體不是理想流體，則流動必有旋（粘性產(chǎn)生旋渦），這時沿流線方向的總機械能將不會守恒。因為粘性效應(yīng)，旋渦流動將把時沿流線方向的總機械能將不會守恒。因為粘性效應(yīng)，旋渦流動將把一部分機械能耗散為熱能（不可逆），這時沿流線的能量守恒應(yīng)該是一部分機械能耗散為熱能（不可逆），這時沿流線的能量守恒應(yīng)該是機械能機械能+耗散能的守恒。耗散能的守恒。 機械能的損失不會體

15、現(xiàn)在動能上，因為速度的關(guān)系還要服從連續(xù)方程機械能的損失不會體現(xiàn)在動能上，因為速度的關(guān)系還要服從連續(xù)方程的規(guī)定；一般也不會體現(xiàn)在勢能上，因為勢能的關(guān)系由位置確定。所的規(guī)定；一般也不會體現(xiàn)在勢能上，因為勢能的關(guān)系由位置確定。所以更多的是體現(xiàn)在壓力（靜壓頭）上。以更多的是體現(xiàn)在壓力（靜壓頭）上。1 2lp1 2li1 2lh其中，其中，、，分別代表流體從點流到點時，損失的分別代表流體從點流到點時，損失的總壓力、總焓和總水頭?？倝毫Α⒖傡屎涂偹^。很顯然，上面三個方程不是獨立的。很顯然，上面三個方程不是獨立的。4、關(guān)于不可壓縮流體的判斷、關(guān)于不可壓縮流體的判斷液體肯定是不可壓縮的，氣體從物性上來講是可

16、壓縮的，但是，液體肯定是不可壓縮的，氣體從物性上來講是可壓縮的，但是，如果在流動過程中，忽略位置水頭的變化（一般所占比重?。⑷绻诹鲃舆^程中，忽略位置水頭的變化（一般所占比重小），并將過程看作是等溫的，密度的變化量取決于壓力的變化過程看作是等溫的，密度的變化量取決于壓力的變化量，考慮一個繞流問題，流場中速度變化量最大的兩點：滯止點和遠量，考慮一個繞流問題，流場中速度變化量最大的兩點：滯止點和遠前方，有前方，有1122pp22121211 22pVpppV設(shè)：設(shè)：534310, 1/, 100/1105 102aaapPkg mVm spP 此時壓力的相對變化量：此時壓力的相對變化量：，故

17、密度的相對變化量：故密度的相對變化量：0.05app0.055%我們知道音速：我們知道音速：340/am s因而：因而：1000.2940.3340VMa說明當(dāng)說明當(dāng) 0.3 時，流速的變化導(dǎo)至密度的變化量小于時，流速的變化導(dǎo)至密度的變化量小于5%，流體可看，流體可看作不可壓縮的流體。有的定為作不可壓縮的流體。有的定為M0.25，M0.2，要求更嚴。而在地，要求更嚴。而在地面工程中，絕大多數(shù)情況面工程中，絕大多數(shù)情況M都小于都小于0.3，噴管流例外，當(dāng)，噴管流例外，當(dāng)M大于大于0.2或或0.3以后，我們就不能直接應(yīng)用以上方程計算氣體流動了。以后，我們就不能直接應(yīng)用以上方程計算氣體流動了。 第二

18、節(jié)伯努利方程的應(yīng)用第二節(jié)伯努利方程的應(yīng)用在應(yīng)用伯努利方程時，要注意它的應(yīng)用條件，在確認求解問題符在應(yīng)用伯努利方程時，要注意它的應(yīng)用條件，在確認求解問題符合方程的應(yīng)用條件后，關(guān)鍵就是要正確的選取計算點或計算截面，即合方程的應(yīng)用條件后，關(guān)鍵就是要正確的選取計算點或計算截面，即公式中的的公式中的的、位置，選取的一般原則：、包含未知數(shù)的截面；位置，選取的一般原則：、包含未知數(shù)的截面；、包含已知數(shù)最多的截面。必要時，伯努利方程可以與連續(xù)方程聯(lián)、包含已知數(shù)最多的截面。必要時，伯努利方程可以與連續(xù)方程聯(lián)立，以求解兩個未知數(shù)。立，以求解兩個未知數(shù)。 一、容器小孔出流問題一、容器小孔出流問題密閉容器，密閉容器，

19、Dd，即小孔足夠小，設(shè)，即小孔足夠小，設(shè)流體為理想流體，求小孔的出流速度。有流流體為理想流體，求小孔的出流速度。有流線如圖，知柏努利方程沿流線總焓不變，而線如圖，知柏努利方程沿流線總焓不變，而每一根流線的起始點機械能相等，即可得結(jié)每一根流線的起始點機械能相等，即可得結(jié)論，柏努利方程積分全場為同一個常數(shù)，亦論，柏努利方程積分全場為同一個常數(shù)，亦可得出流動是無旋的，為此，設(shè)液面為可得出流動是無旋的，為此，設(shè)液面為1，出口為出口為2，寫出方程：，寫出方程： 2200020022()2aaVppVgzgzppVg zz又：又：如容器不密封而與大氣相通，有如容器不密封而與大氣相通，有p0=pa 上式上式

20、2Vgh（托里拆利公式（托里拆利公式 ）如容器內(nèi)為氣體，則如容器內(nèi)為氣體，則2gh為一般是小量，可忽略：為一般是小量，可忽略：02()appV注意此時計算結(jié)果中注意此時計算結(jié)果中V最大不能超過最大不能超過100m/s，否則壓縮性不能忽略。，否則壓縮性不能忽略。02()2appVgh如圖，求點的壓力，由連續(xù)方程：如圖，求點的壓力，由連續(xù)方程：12BVgzV, aBBBaBppgzppgz 即即P低于低于Pa，當(dāng)，當(dāng)Z=0時時 P=Pa上式也說明，上式也說明，B點的高度不能無限制的升高。如點的高度不能無限制的升高。如果果B點的高度過高導(dǎo)致點的高度過高導(dǎo)致 時，在時，在B點就會點就會出現(xiàn)負的絕對壓力

21、，對于流體這是不可能的。實出現(xiàn)負的絕對壓力，對于流體這是不可能的。實際上，當(dāng)際上，當(dāng)B點壓力小于該點流體在該溫度下的飽點壓力小于該點流體在該溫度下的飽和壓力時，流體就會在該點發(fā)生汽化和壓力時，流體就會在該點發(fā)生汽化(亦稱空化亦稱空化)。Bagzp理想流體柏努利方程的幾何意義理想流體柏努利方程的幾何意義柏努利方程第三式每一項的量綱與長度相同，都表示某一高度。如圖：柏努利方程第三式每一項的量綱與長度相同，都表示某一高度。如圖： ：表示研究點相對某一基準面的幾何高度，稱：表示研究點相對某一基準面的幾何高度，稱位置水頭位置水頭。 ：表示研究點處壓強大小的高度，表示與該點相對壓強相當(dāng)?shù)模罕硎狙芯奎c處壓強

22、大小的高度，表示與該點相對壓強相當(dāng)?shù)囊褐叨龋Q液柱高度，稱壓強水頭壓強水頭。 ：稱：稱測壓管水頭測壓管水頭。 ：表示研究點處速度大小的高度，：表示研究點處速度大小的高度， 稱稱速度水頭速度水頭。 ：稱：稱總水頭總水頭。那么，例題中那么，例題中所示情況怎樣標出他的各所示情況怎樣標出他的各種水頭呢？種水頭呢？ pg22Vgzzpg22zpgVg例題中例題中所示情況的各種水頭大小的變化如圖所示：所示情況的各種水頭大小的變化如圖所示：二、溢水道問題二、溢水道問題 今有理想不可壓重力流體流過一垂直今有理想不可壓重力流體流過一垂直墻，墻頂水層的厚度較水庫水深為無窮小墻，墻頂水層的厚度較水庫水深為無窮小量

23、，試確定流體自由表面處的速度。量，試確定流體自由表面處的速度。 假定水庫的容積足夠大，故可以認為遠離溢水口處的水面高度是假定水庫的容積足夠大，故可以認為遠離溢水口處的水面高度是不變的，并且流動是定常的。流體自由表面上的壓力等于大氣壓力不變的，并且流動是定常的。流體自由表面上的壓力等于大氣壓力pa，溢口處水層厚度較水庫深度為小量，故遠離溢口處的流速近似為溢口處水層厚度較水庫深度為小量，故遠離溢口處的流速近似為V=0，自由表面是流線?？蓪懗鲅亓骶€的伯努利方程自由表面是流線?？蓪懗鲅亓骶€的伯努利方程: 212aappVgzgz可得自由表面上可得自由表面上z處的流速關(guān)系處的流速關(guān)系: 12 ()2Vg

24、 zzgh 上式在形式上與小孔出流公式一上式在形式上與小孔出流公式一樣。由上式可見，隨著樣。由上式可見，隨著z的減小或落差的減小或落差h的增大，速度的增大，速度V增大，由連續(xù)方程知增大，由連續(xù)方程知其流管寬度應(yīng)減小。同時，由于在溢其流管寬度應(yīng)減小。同時，由于在溢口口B處流速處流速VB已不能忽略，故此時的已不能忽略，故此時的液面已低于遠處的液面已低于遠處的z1，也就是說，水庫，也就是說，水庫水面的高度在靠近溢口處時就已開始水面的高度在靠近溢口處時就已開始降低了。降低了。 三、汽油機化油器的流動三、汽油機化油器的流動1、風(fēng)道進口流動問題。、風(fēng)道進口流動問題。如圖所示一直徑為如圖所示一直徑為D的圓柱

25、形通風(fēng)管，假設(shè)的圓柱形通風(fēng)管，假設(shè)B截面的速度分布均勻，空氣密度為截面的速度分布均勻，空氣密度為 air，并已知通風(fēng)流量，并已知通風(fēng)流量Q，求，求B點的點的壓力壓力pB。 設(shè)設(shè)A點遠離進口，則點遠離進口，則VA=0，pA=paB點的流速為：點的流速為：寫出寫出A、B兩點間的柏努力方程：兩點間的柏努力方程：所以：所以：2、化油器的流動。、化油器的流動?；推鹘Y(jié)構(gòu)如圖，已知化油器結(jié)構(gòu)如圖，已知D、d、pB，以及油箱油面，以及油箱油面到汽化器軸線的垂直高度到汽化器軸線的垂直高度h，油面壓力為，油面壓力為pa，求將汽油吸入汽化器的空，求將汽油吸入汽化器的空氣流量。設(shè)空氣與汽油的密度分別為：氣流量。設(shè)空

26、氣與汽油的密度分別為：, airoil欲使汽油被吸入汽化器，欲使汽油被吸入汽化器，C截面必須要有截面必須要有一定的真空度，其最小真空度所對應(yīng)的一定的真空度，其最小真空度所對應(yīng)的油柱高度應(yīng)為油柱高度應(yīng)為h。即：。即：截面截面C處的真空度又與流過該截面的空氣處的真空度又與流過該截面的空氣流量有關(guān)。寫出流量有關(guān)。寫出B與與C截面的伯努利方程：截面的伯努利方程：連續(xù)方程：連續(xù)方程：(a)(b)(c)由由 (a)：由由 (b)：222411()1 () 22CBairCBBairCdppVVpVD24CCQQVAd另外，由另外，由2248airBaQppD224242814() 1 () 2airCaa

27、irQQdppDdD(d)(e)令令(d)式與式與(e)式相等，可得：式相等，可得：2242424881 () airairoilQQdghDdD24282 2oiloilairairddQghgh最終得：最終得：同樣的問題，可用于噴霧器流量的計算。同樣的問題，可用于噴霧器流量的計算。Caoilppgh四、皮托管四、皮托管 柏努利定理告訴我們，沿流線流體的柏努利定理告訴我們，沿流線流體的機械能是守恒的，動能、勢能和壓力能可機械能是守恒的，動能、勢能和壓力能可以相互轉(zhuǎn)換?？紤]在流場中，放置一如圖以相互轉(zhuǎn)換?？紤]在流場中，放置一如圖的圓柱體，其頭部為光滑過渡面，如半球面，放置方向與來流一致，的圓柱

28、體，其頭部為光滑過渡面，如半球面，放置方向與來流一致，則可得如圖的流場。前面講過，迎風(fēng)的前緣上是一滯止點，該點的流則可得如圖的流場。前面講過，迎風(fēng)的前緣上是一滯止點，該點的流速為零。到管壁側(cè)面，離頭部足夠遠，流速又恢復(fù)到了接近遠前方的速為零。到管壁側(cè)面，離頭部足夠遠，流速又恢復(fù)到了接近遠前方的流速流速(因為柱體足夠小因為柱體足夠小)，即，即V2=V。寫出。寫出 、2兩點的伯努利方程：兩點的伯努利方程： 222222 22VpVpgzgzpp再寫出再寫出1、2兩點的伯努利方程，設(shè)兩點的伯努利方程，設(shè)g(z2-z1)很小，并有很小，并有V1=0： 2122122pVpgzgz滯止點與滯止參數(shù)滯止點

29、與滯止參數(shù)：根據(jù)柏努利方程，如：根據(jù)柏努利方程，如果忽略位置高度的影響，當(dāng)流體質(zhì)點沿著果忽略位置高度的影響，當(dāng)流體質(zhì)點沿著流線運動時，隨著速度的降低其壓力會增流線運動時，隨著速度的降低其壓力會增高，而當(dāng)高，而當(dāng) V=0 時，其壓力會達到可能的最時，其壓力會達到可能的最大值。我們將此時流體質(zhì)點所處的狀態(tài)叫大值。我們將此時流體質(zhì)點所處的狀態(tài)叫做做滯止?fàn)顟B(tài)滯止?fàn)顟B(tài)，對應(yīng)的空間點叫做，對應(yīng)的空間點叫做滯止點滯止點。如圖由。如圖由點到點到1點的這條流線，點的這條流線，寫出該兩點的柏努力方程，并假設(shè)寫出該兩點的柏努力方程，并假設(shè)z =z1，有：，有：2*101()2Vpppp也就是說，在也就是說，在1點全

30、部動能都轉(zhuǎn)換成了壓力能。我們將此壓力稱為滯止點全部動能都轉(zhuǎn)換成了壓力能。我們將此壓力稱為滯止壓力，或者總壓，記為壓力，或者總壓，記為p0或者或者p*。其實，。其實，滯止壓力沿流線是不變的滯止壓力沿流線是不變的。定義定義 為總壓，有為總壓，有2122122pVpgzgz1222()ppVV2122012pVpp02()ppV利用這一原理，可以做出最常用的測速儀表利用這一原理，可以做出最常用的測速儀表皮托管，皮托管的結(jié)構(gòu)皮托管，皮托管的結(jié)構(gòu)如上圖。其總靜壓差可以用如上圖。其總靜壓差可以用U型管測量：型管測量： 22120() 2()H OH OghVppppgh當(dāng)當(dāng)g(z2-z1)很小時：很小時：

31、 五、文丘利管五、文丘利管 文丘利管由一漸縮文丘利管由一漸縮+喉道喉道+漸擴的管漸擴的管道組成，也叫文氏管。一般用來進行流道組成，也叫文氏管。一般用來進行流量測量，其結(jié)構(gòu)如圖，測量原理同樣是量測量，其結(jié)構(gòu)如圖，測量原理同樣是柏努利定理。在柏努利定理。在1、2截面寫出柏努利方截面寫出柏努利方程，忽略高度變化，有：程，忽略高度變化，有： 22air1air21212H2O0022VVppppg h由連續(xù)方程：由連續(xù)方程：22112212 D44V AV AVVd代入柏努力方程：代入柏努力方程：222242112211() 1() 22airairH OdVVppVg hD由此可以求得喉部平均速度：

32、由此可以求得喉部平均速度：由此可以求得喉部平均速度：由此可以求得喉部平均速度：22421() H OairghVdD流量：流量：22224241() H OairghdQV AdD 用文丘利管也能測量管內(nèi)液體的用文丘利管也能測量管內(nèi)液體的流量。如圖所示，特別是當(dāng)文氏管非流量。如圖所示，特別是當(dāng)文氏管非水平放置時，測得直管段與喉部的測水平放置時，測得直管段與喉部的測壓管水頭，就能求得流量。有關(guān)公式壓管水頭，就能求得流量。有關(guān)公式請自己推導(dǎo)。請自己推導(dǎo)。六、無旋自由渦的自由表面六、無旋自由渦的自由表面 水流入一泄水孔，當(dāng)流體為理想流體時，會形成一無旋自由渦。水流入一泄水孔，當(dāng)流體為理想流體時，會形

33、成一無旋自由渦。已知在距旋轉(zhuǎn)軸線已知在距旋轉(zhuǎn)軸線R2=1.6m處的切向速度處的切向速度V2=1m/s。求。求: (a) 在距轉(zhuǎn)在距轉(zhuǎn)軸軸R1=0.8m處的水面比處的水面比R2處低多少？處低多少？(b) 自由水面的一般表達式。自由水面的一般表達式。(a) 對于自由渦有：對于自由渦有：V1R1=V2R2=C222111 1.61.6/1.62/0.8CV RmsCVm sR 因為是自由表面，有因為是自由表面，有p1=p2=pa，有：有：2212122222122122210.15322 9.8VVhhggVVhhhmg 說明說明1點比點比2點低點低0.153m(b) 取取R處自由面高度處自由面高度

34、z0=0，V0=0。Z坐坐標方向向下，則在自由面上任一點寫出柏標方向向下，則在自由面上任一點寫出柏努力方程：努力方程：2200022VVzzggCVR 代入有：代入有：22222VCzggR令令 ：22Ccg2czR第三節(jié)第三節(jié) 完全氣體作可逆絕熱流動時完全氣體作可逆絕熱流動時的柏努利積分的柏努利積分 本節(jié)的內(nèi)容實際上是本節(jié)的內(nèi)容實際上是“一維氣體動力學(xué)基礎(chǔ)一維氣體動力學(xué)基礎(chǔ)”這一章中的內(nèi)容。這一章中的內(nèi)容。在一維氣體動力學(xué)中，有關(guān)的基本方程是從歐拉方程中簡化得到。其在一維氣體動力學(xué)中，有關(guān)的基本方程是從歐拉方程中簡化得到。其實它也是柏努利方程在流體作絕熱可逆的可壓縮流動時的特例。所以實它也是

35、柏努利方程在流體作絕熱可逆的可壓縮流動時的特例。所以我們把有關(guān)的內(nèi)容放到了這一節(jié)中作一個簡單的介紹。我們把有關(guān)的內(nèi)容放到了這一節(jié)中作一個簡單的介紹。 當(dāng)流場為正壓流場時，已經(jīng)推導(dǎo)建立的柏努利方程的一般形式為：當(dāng)流場為正壓流場時，已經(jīng)推導(dǎo)建立的柏努利方程的一般形式為：前面已經(jīng)建立了壓力函數(shù)的關(guān)系，當(dāng)理想完全氣體作絕熱可逆流動時前面已經(jīng)建立了壓力函數(shù)的關(guān)系，當(dāng)理想完全氣體作絕熱可逆流動時（等熵，但一般是熵沿流線相等），其壓力函數(shù)為：（等熵，但一般是熵沿流線相等），其壓力函數(shù)為： 其中其中 為比熱比，由于為比熱比，由于 ，有，有 。對于完全氣體。對于完全氣體其狀態(tài)方程有其狀態(tài)方程有 ，完全氣體的焓為

36、，完全氣體的焓為 ，可知：，可知：pvckcpvccR1pkcRkpRTphic T 當(dāng)要考慮氣體的壓縮性時，速度是足夠大的，當(dāng)要考慮氣體的壓縮性時，速度是足夠大的，V100m/s， 使得使得U相對相對足夠小，可以忽略。所以這時的柏努利方程一般不再出現(xiàn)足夠小，可以忽略。所以這時的柏努利方程一般不再出現(xiàn)U或或gz這樣的這樣的項。將壓力函數(shù)代入，有如下常用可壓縮流體的柏努利方程：項。將壓力函數(shù)代入，有如下常用可壓縮流體的柏努利方程： (1)(2)(3)11pkpkpCRTCc TCiCeCkk 一、滯止?fàn)顟B(tài)一、滯止?fàn)顟B(tài) 柏努利方程反映的是一種能量守恒。當(dāng)沿著流線流動減速時，流體柏努利方程反映的是一

37、種能量守恒。當(dāng)沿著流線流動減速時，流體將經(jīng)過一個絕熱等熵的壓縮過程，使其壓力、溫度和密度升高。而當(dāng)減將經(jīng)過一個絕熱等熵的壓縮過程，使其壓力、溫度和密度升高。而當(dāng)減速到速到V0時，這時時，這時 均將達到可能的最大值，稱這時流體所處的均將達到可能的最大值，稱這時流體所處的狀態(tài)為滯止?fàn)顟B(tài)。由狀態(tài)為滯止?fàn)顟B(tài)。由(2)式可知滯止?fàn)顟B(tài)的溫度（稱滯止溫度）為：式可知滯止?fàn)顟B(tài)的溫度（稱滯止溫度）為： pT、 、此時的焓值既為滯止焓此時的焓值既為滯止焓： 可見，滯止焓也就是柏努利積分的積分常數(shù)。而對于滯止壓力和滯止密可見，滯止焓也就是柏努利積分的積分常數(shù)。而對于滯止壓力和滯止密度，我們還需要其他的關(guān)系才能得到其

38、表達式。但有：度，我們還需要其他的關(guān)系才能得到其表達式。但有：二、最大速度二、最大速度 根據(jù)方程根據(jù)方程(1)，可知當(dāng)壓力降低時，即氣體做絕熱膨脹時，速度將，可知當(dāng)壓力降低時，即氣體做絕熱膨脹時，速度將增大。速度能夠達到的最大可能值，就是當(dāng)氣體膨脹到增大。速度能夠達到的最大可能值，就是當(dāng)氣體膨脹到p0時所達到時所達到的值，稱這一速度為最大速度，記為的值，稱這一速度為最大速度，記為Vmax。 所謂所謂p0是指絕對壓力，這時對應(yīng)的是真空狀態(tài)，有是指絕對壓力，這時對應(yīng)的是真空狀態(tài)，有 0pT由伯努利方程：由伯努利方程： 可見最大速度可見最大速度Vmax取決于取決于T0 。三、聲速、臨界狀態(tài)三、聲速、

39、臨界狀態(tài) 空氣是可壓縮氣體，當(dāng)在空氣中某處產(chǎn)生一微小的震動，導(dǎo)致該空氣是可壓縮氣體，當(dāng)在空氣中某處產(chǎn)生一微小的震動，導(dǎo)致該處的空氣有一個微小的壓縮和膨脹，這種擾動就會以波動的形式向其處的空氣有一個微小的壓縮和膨脹，這種擾動就會以波動的形式向其他地方傳播開去，這種波就稱之為聲波。其速度以他地方傳播開去，這種波就稱之為聲波。其速度以a記之。聲波是一記之。聲波是一種縱波，其波速為一狀態(tài)參數(shù)。由于流體的剪切彈性模量為零（靜止種縱波，其波速為一狀態(tài)參數(shù)。由于流體的剪切彈性模量為零（靜止不能承受切應(yīng)力），故不能傳遞橫波。不能承受切應(yīng)力），故不能傳遞橫波。 （光波是橫波，為什么能在空氣中傳波）（光波是橫波，

40、為什么能在空氣中傳波） 由于聲波的傳遞過程是小擾動傳遞過程，其過程可以認為是等熵由于聲波的傳遞過程是小擾動傳遞過程，其過程可以認為是等熵的，聲速的計算式為：的，聲速的計算式為：式中，式中，Es是等熵過程的體積彈性模量。有：是等熵過程的體積彈性模量。有：所以：所以：對于完全氣體的等熵過程有：對于完全氣體的等熵過程有： ，代入上式可得：，代入上式可得： 即：即：帶入伯努利方程帶入伯努利方程(2)： 在流體流動過程中，當(dāng)溫度升高時，聲速也相應(yīng)的提高，流體滯止在流體流動過程中，當(dāng)溫度升高時，聲速也相應(yīng)的提高，流體滯止時，溫度達到最大，此時的聲速也達到最大值，稱滯止聲速時，溫度達到最大，此時的聲速也達到

41、最大值，稱滯止聲速： 00akRT這樣，可壓縮流的柏努利積分常數(shù)之間就有如下關(guān)系：這樣，可壓縮流的柏努利積分常數(shù)之間就有如下關(guān)系： 下面我們引入臨界狀態(tài)的概念，由伯努利方程知下面我們引入臨界狀態(tài)的概念，由伯努利方程知道，動能與熱能守恒，在絕熱等熵流過程中，溫度道，動能與熱能守恒，在絕熱等熵流過程中，溫度與速度之間有一種與速度之間有一種“互補互補”的關(guān)系，即速度的關(guān)系，即速度V從從0到到Vmax變化，同時溫度從變化，同時溫度從T0到到0變化，而聲速與溫度有變化，而聲速與溫度有關(guān)，也就是說，當(dāng)速度從關(guān)，也就是說，當(dāng)速度從0變化到變化到Vmax時，聲速就從時，聲速就從a0變化到變化到0。設(shè)想沿某一條

42、流線氣流速度從。設(shè)想沿某一條流線氣流速度從0開始加速開始加速到到Vmax，這中間必然有一點，在這一點上有，這中間必然有一點，在這一點上有V=a，即，即當(dāng)?shù)氐乃俣鹊扔诋?dāng)?shù)氐穆曀?，我們就稱這樣的狀態(tài)當(dāng)?shù)氐乃俣鹊扔诋?dāng)?shù)氐穆曀?，我們就稱這樣的狀態(tài)為臨界狀態(tài)，這時的速度和聲速分別記為為臨界狀態(tài)，這時的速度和聲速分別記為Vcr，acr。 在臨界點在臨界點Vcr=acr，將此點狀態(tài)參數(shù)代入柏努利方程有：，將此點狀態(tài)參數(shù)代入柏努利方程有： 可解得：可解得：由上式可見，臨界速度僅取決于滯止溫度。由上式可見，臨界速度僅取決于滯止溫度。 設(shè)我們的房間中的氣體溫度設(shè)我們的房間中的氣體溫度T=15=288K，K=1.4

43、，V=0，p=1at?？汕蟮茫嚎汕蟮茫篴=a0=340m/s，acr=310m/s，Vmax=756m/s。四、馬赫數(shù)，滯止參數(shù)與馬赫數(shù)之間的關(guān)系四、馬赫數(shù)，滯止參數(shù)與馬赫數(shù)之間的關(guān)系 定義：定義：流體質(zhì)點的運動速度與當(dāng)?shù)芈曀僦?，稱馬赫數(shù)。流體質(zhì)點的運動速度與當(dāng)?shù)芈曀僦龋Q馬赫數(shù)。 M1：超聲速流動超聲速流動。也常說亞音速或超音速流動。也常說亞音速或超音速流動。 回到剛才的那條流線上，可知回到剛才的那條流線上，可知M數(shù)的變化范圍數(shù)的變化范圍0M，由空氣動由空氣動力學(xué)可以得到如下關(guān)系：我們不加以證明。力學(xué)可以得到如下關(guān)系：我們不加以證明。 在空氣動力學(xué)中，除馬赫數(shù)外，還常使用速度系數(shù)在空氣動

44、力學(xué)中，除馬赫數(shù)外，還常使用速度系數(shù)，他的定義是：，他的定義是：流體質(zhì)點速度與臨界速度之比。流體質(zhì)點速度與臨界速度之比。速度系數(shù)：速度系數(shù)： 因為在同一條流線上，因為在同一條流線上，Vcr和和Vmax都是都是只與總溫有關(guān)的滯止參數(shù)，是固定不變的只與總溫有關(guān)的滯止參數(shù)，是固定不變的值，而當(dāng)?shù)厮俣瓤梢詮闹?，而?dāng)?shù)厮俣瓤梢詮?變到變到Vmax，因而，因而速度系數(shù)的變化范圍是：速度系數(shù)的變化范圍是：設(shè)空氣的溫度為設(shè)空氣的溫度為T=15=288K，當(dāng)，當(dāng)M=3時，時，可求得滯止溫度：可求得滯止溫度：0806.4533TKC這就是所謂的熱障。在這就是所謂的熱障。在1960即已有超過熱即已有超過熱障的飛機。

45、這就是障的飛機。這就是SR-71和和Mig-25。第四節(jié)第四節(jié) 氣體動力學(xué)氣體動力學(xué)噴嘴流動噴嘴流動 上一節(jié)介紹了完全氣體作絕熱可逆流動時的柏努利方程。該方程上一節(jié)介紹了完全氣體作絕熱可逆流動時的柏努利方程。該方程的意義是解決了流體作可壓縮流動時，沿一條流線流動參數(shù)計算的問的意義是解決了流體作可壓縮流動時，沿一條流線流動參數(shù)計算的問題。絕熱是高速流動時最常見的現(xiàn)象。我們可以回憶例題題。絕熱是高速流動時最常見的現(xiàn)象。我們可以回憶例題1中容器小中容器小孔出流的問題，如果容器內(nèi)的氣體壓力為孔出流的問題，如果容器內(nèi)的氣體壓力為p0，則出流速度為：，則出流速度為： 但此公式只能用來計算不可壓流動，也就是

46、說但此公式只能用來計算不可壓流動，也就是說p不能太大，當(dāng)出口速度超過不能太大，當(dāng)出口速度超過100m/s后，我們就會想到后，我們就會想到上一節(jié)中的柏努利方程。但是這些方程的應(yīng)用條件是上一節(jié)中的柏努利方程。但是這些方程的應(yīng)用條件是“絕熱可逆流動絕熱可逆流動”，“絕熱絕熱”容易滿足，容易滿足，“可逆可逆”則則意味著在流動中不能有機械損失。因此對加速過程的意味著在流動中不能有機械損失。因此對加速過程的流道設(shè)計必須要很仔細。那么，高速氣體在流動通道流道設(shè)計必須要很仔細。那么，高速氣體在流動通道中的運動規(guī)律又是怎樣的呢？中的運動規(guī)律又是怎樣的呢？一、一維可壓縮流動的基本控制方程一、一維可壓縮流動的基本控

47、制方程1、連續(xù)方程：連續(xù)方程： (1)上式就是一維流動微分形式的連續(xù)方程。也可以寫為：上式就是一維流動微分形式的連續(xù)方程。也可以寫為：2、動量方程：動量方程：理想流體的歐拉方程為理想流體的歐拉方程為對于一維定常流動：對于一維定常流動：(2)有：有：此式建立了在流動過程中，流管截面積變化與速度此式建立了在流動過程中，流管截面積變化與速度變化之間的關(guān)系。而這種關(guān)系是與馬赫數(shù)變化之間的關(guān)系。而這種關(guān)系是與馬赫數(shù)M有關(guān)的，有關(guān)的，當(dāng)當(dāng)M1時，面積變化時，面積變化的方向與速度變化的方向相同。的方向與速度變化的方向相同。怎樣理解這樣一種現(xiàn)象呢，流動過程在亞音速和超音速時，速度與面怎樣理解這樣一種現(xiàn)象呢，流動過程在亞音速和超音速時，速度與面積變化的規(guī)律為什么會不一樣？積變化的規(guī)律為什么會不一樣？二、流動中的壓力、密度變化二、流動中的壓力、密度變化 對于一個流管，連續(xù)方程對于一個流管，連續(xù)方程VA=const是無條件成立的。對于不可壓是無條件成立的。對于不可壓流，因流，因=const，自然有，自然有AV。但如果流動是可壓縮的，此時密度。但如果流動是可壓縮的，此時密度也是變量，當(dāng)速度也是變量，當(dāng)速度V變化時，比如變化時，比如VV，如果密度的減小量較小，即，如果密度的減小量較小，即 ，則需要，則需要A