數(shù)字圖像處理_第四章_頻域圖像增強(qiáng)

1、數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain本章講述利用傅立葉變換的頻域圖像增強(qiáng)。首先介紹傅立葉變換的一些知識(shí)，再介紹其在圖像增強(qiáng)中的應(yīng)用。 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.1 背景法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉提出，任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦或余弦的和的形式。傅氏級(jí)數(shù)；對(duì)于非周期函數(shù)，則用正弦和余弦及加權(quán)函數(shù)的積分來(lái)表示。傅氏變換：應(yīng)用極為廣泛，尤其是數(shù)字計(jì)算和快速算法的發(fā)明，在信號(hào)處理領(lǐng)域產(chǎn)生了具大變革。 數(shù) 字 圖

2、像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.2 傅立葉變換和頻率域的介紹4.2.1 一維傅立葉變換及其反變換離形形式：頻域不同的頻域成份，可以表示成極坐標(biāo)形式：22( )( )( )( )juxjuxF uf x edxF xf u edu 2 ()2 ()( , )( , )( , )( , )jux vyjux vyF u vf x y edxdyF x yf u v edudv 12 , 1 , 0)()(12 , 1 , 0)(1)(10/210/2 MxeuFxfMuexfMuFMuMuxjMxMuxj12( )

3、22( )( )( )( )( )2( )( )g( )juF uF u eF uR uIuuuarctR u數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.2 傅立葉變換和頻率域的介紹4.2.1 一維傅立葉變換及其反變換功率譜 “譜密度”信號(hào)頻譜分析示意圖如右圖所示：222( )( ) ( )( )P uF uR uIu數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.2 傅立葉變換和頻率域的介紹4.2.2 二維DFT及其反變換 一個(gè)圖

4、像關(guān)于的函數(shù)的離散同理：譜： 同角：112 (/)00112 (/)001( , )( , )0.1.2.10.1.2.1( , )( , )0.1.2.10.1.2.1MNjux Mvy NxyMNjux Mvy NuvF u vf x y eMNuMvNf x yF u v exMyN1222( , )( , )( , )F u vKx yIx y( , )( , )( , )I u vF u varctgR u v222( , )( , )( , )( , )P u vF u vRu vIu v功率譜： 可以證明：原點(diǎn)被放置在 上為圖象平均灰度。( , )( 1)(,)22xyMNf x

5、 yF uv,22MNuv00111(0,0)( , )22xyMNff x yMN數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.2 傅立葉變換和頻率域的介紹4.2.2 二維DFT及其反變換 如果 為實(shí)數(shù)，其傅氏變換為對(duì)稱(chēng)的：同樣，空間域和頻率域抽樣點(diǎn)之間的關(guān)系：( , )f x y( , )(,)( , )(,)F u vFuvF u vFuv11uM xvN y 例子4.2 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.2 傅立

6、葉變換和頻率域的介紹4.2.2 二維DFT及其反變換 下圖實(shí)例：中心化，矩形寬高化為2 1反映到頻域軸亮點(diǎn)間距恰好相反 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.2 傅立葉變換和頻率域的介紹4.2.3 頻率域?yàn)V波 一般不大可能建立圖像特定分量和其變換之間的直接聯(lián)系，但可以建立傅氏變換的頻率圖像中的強(qiáng)度變化模式之間的聯(lián)系。 例如，低頻對(duì)應(yīng)圖像的慢變化分量（墻，地板），而高頻分量對(duì)應(yīng)著圖像中灰度變化聯(lián)系地方（邊緣，噪聲）。 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the

7、 Frequency Domain4.2 傅立葉變換和頻率域的介紹4.2.3 頻率域?yàn)V波頻率域?yàn)V波基本步驟：1、 原圖像2、3、4、反DEF5、實(shí)部6、用結(jié)果。被濾波圖像( 1)x y( , )F u v( , )( , )H u vF u v( 1)(5)x y1( , )G u v( , )( , ) ( , )G u vH u v F u v數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.2 傅立葉變換和頻率域的介紹4.2.3 頻率域?yàn)V波一些基本的濾波器及其性質(zhì)：陷波濾波器： 平均值如果想使其平均灰度為0，則

8、可：具體見(jiàn)如下圖示：(0,0)F0 ( , )(,)( , )221 MNu vH u v其它數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.2 傅立葉變換和頻率域的介紹4.2.3 頻率域?yàn)V波此外還有低通和高通濾波，具體圖像右圖所示： 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.2 傅立葉變換和頻率域的介紹4.2.3 頻率域?yàn)V波下圖示意高通的改進(jìn)結(jié)果 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in

9、 the Frequency Domain4.2 傅立葉變換和頻率域的介紹4.2.4 空間域?yàn)V波和頻率域?yàn)V波之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系基本聯(lián)系就是卷積定理離散卷積：在 處，強(qiáng)度為A的沖激函數(shù)，并且：把 看作 大小的圖像，在 有值，其它全為0。11001( , )( , )( , ) (,)( , )( , )( , )( , )( , ) ( , )( , )( , )MNmnf x yh x yf m n h xm ynMNf x yh x yF u v H u vf x y h x yF u vH u v00(,)xy00(,)Axxyy11000000( , )(,)(,)MNxyS x y Axx

10、yyAS xy00(,)AxxyyMN00(,)xy1100( , ) ( , )(0,0)MNxyS x yx yS數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.2 傅立葉變換和頻率域的介紹4.2.4 空間域?yàn)V波和頻率域?yàn)V波之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系單位沖激的傅氏變換：可得到：令可以輸入出結(jié)論：空間域和頻率域中的濾波器組成了一個(gè)傅立葉變換對(duì)。一般空間域更適合使用小的濾波器。112(/)001( ,)( ,)1 MNuxMvyNxyF u vx yM NM N 1100( ,)( ,),1( ,)( ,)(, ) (,) 1

11、 ( ,)MNmnfx yx yfx yh x ym n h xm ynMNh x yMN ( , )x y( , )h x y數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.2 傅立葉變換和頻率域的介紹4.2.4 空間域?yàn)V波和頻率域?yàn)V波之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系例如：高斯濾波函數(shù) 為標(biāo)準(zhǔn)差： 傅立葉變換及其反變換因?yàn)閷?shí)數(shù)。曲線(xiàn)形狀如右圖所示： 22/2( )uH uAe22 22( )2xh xAe 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4

12、.2 傅立葉變換和頻率域的介紹4.2.4 空間域?yàn)V波和頻率域?yàn)V波之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 更復(fù)雜的濾波器可以由基本高斯函數(shù)構(gòu)造出來(lái)。如，高斯高通形狀見(jiàn)右圖： 22221222222212/ 2/ 2122212( ) ( )22uuxxH uAeBeABh xAeBe 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的頻率域?yàn)V波器 主要考慮三種濾波器：理想、巴特沃思和高斯。數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的頻率

13、域?yàn)V波器4.3.1 理想，低通濾波器 是點(diǎn)距頻率原點(diǎn)的距離。如果圖像大小 ，其變換亦為中心化之后，矩形中心在則001 ( , )( , )0 ( , )D u vDH u vD u vD( , )D u v( , )u vMNMN(,)22MN1222( , )()()22MND u vuv數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的頻率域?yàn)V波器4.3.1 理想低通濾波器一幅大小的圖像的總的功率譜若變換被中心化，原點(diǎn)在頻率矩形中心，半徑為r的圓包含 %的功率： 可以此來(lái)建立一組標(biāo)準(zhǔn)截止頻率的對(duì)立量，

14、具體例子如右圖所示： 1100( ,)MNTuvPP u v 100( , )/TuvP u vP數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的頻率域?yàn)V波器4.3.1 理想低通濾波器 可以此來(lái)建立一組標(biāo)準(zhǔn)截止頻率的對(duì)立量，具體例子如右圖所示： 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的頻率域?yàn)V波器4.3.1 理想低通濾波器 均有“振鈴”特征為什么會(huì)有“振鈴”現(xiàn)象呢？其根本原因是空域?yàn)V波器有負(fù)值，具體具體解

15、釋右圖（b） 右圖用5個(gè)脈沖圖像來(lái)說(shuō)明“振鈴”的產(chǎn)生，可看作5個(gè)沖激，只是簡(jiǎn)單地復(fù)制“振鈴”。 ce( , )h x y數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的頻率域?yàn)V波器4.3.2 巴特沃思低通濾波器n階巴特沃思低通傳函數(shù)截止頻率距原點(diǎn)距離為201( , )1( , )/nH u vD u vD0D數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的頻率域?yàn)V波器4.3.2 巴特沃思低通濾波器n階巴特沃思低通

16、傳函數(shù) 一階巴特沃思無(wú)“振鈴”，二階微小,高階則很顯著。濾波效果見(jiàn)右圖所示： 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的頻率域?yàn)V波器4.3.2 巴特沃思低通濾波器n階巴特沃思低通傳函數(shù)下圖是不同階的巴特沃思濾波效果和振鈴之間的一個(gè)折中。 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的頻率域?yàn)V波器4.3.3 高斯低通濾波器 截止頻率，當(dāng) 時(shí)，濾波器下降到其最大值的0.607處。無(wú)振鈴現(xiàn)象，曲線(xiàn)見(jiàn)下圖所示：

17、220( , )/2( , )Du vDH u ve0D0( , )D u vD數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的頻率域?yàn)V波器4.3.3 高斯低通濾波器濾波效果見(jiàn) 右圖所示：數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的頻率域?yàn)V波器4.3.4 低通濾波的其它例子 ：1、字符識(shí)別：下圖：斷裂現(xiàn)象數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequen

18、cy Domain 4.3 平滑的頻率域?yàn)V波器4.3.4 低通濾波的其它例子 ：2、印刷和出版業(yè)：預(yù)處理下圖：減少面部細(xì)紋 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的頻率域?yàn)V波器4.3.4 低通濾波的其它例子 ：3、衛(wèi)星和航空?qǐng)D像：下圖：墨西哥灣和佛羅里達(dá)圖像存在“掃描線(xiàn)” （用高斯低通來(lái)處理） 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 頻率域銳化處理突出邊緣，用高通濾波來(lái)處理可從上面討論中直接取反同樣只考

19、慮理想、巴特沃思和高斯三種高通濾波器。具體見(jiàn)右圖 ( , )1( , )hplpHu vHu v 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 頻率域銳化處理4.4.1 理想高通濾波器 截止長(zhǎng)度同樣有振鈴現(xiàn)象，見(jiàn)右圖空間表示。000 ( , )( , )1 ( , )D u vDH u vD u vD0D數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 頻率域銳化處理4.4.1 理想高通濾波器下圖示意理想高通濾波器，振鈴很明

20、顯。 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 頻率域銳化處理4.4.2 巴特沃思高通濾波器n階巴特沃思型高通濾波器 ：截止頻率距原點(diǎn)距離。濾波效果見(jiàn)下圖所示：效果比理想的濾波器要好得多。201( , )1 /( , )nH u vDD u v0D數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 頻率域銳化處理4.4.3 高斯型高通濾波器截止頻率距原點(diǎn)為的GHPF傳函為：效果見(jiàn)下圖所示：結(jié)果比前2個(gè)更平滑。220( ,

21、)/2( , )1Du vDH u ve 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 頻率域銳化處理4.4.4 頻率域的拉普拉斯算子根據(jù)傅氏變換性質(zhì)有：可得到：即：頻域的拉氏算子為： （同樣要中心化）( )()( )nnnd f xjuF udx22222222( , )( , )()( , )()( , ) () ( , )f x yf x yjnF u vjvF u vxyuvF u v 222( , )() ( , )f x yuvF u v 22( , )()H u vuv 222( , )()(

22、)( , )22MNf x yuvF u v 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 頻率域銳化處理4.4.4 頻率域的拉普拉斯算子曲線(xiàn)形狀見(jiàn)右圖數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 頻率域銳化處理4.4.4 頻率域的拉普拉斯算子 可從原始圖像中減去（而不是加）拉氏算子而形成增強(qiáng)圖像，效果見(jiàn)右圖：增強(qiáng)圖像可用下式得到： 122( , )1 ()() )( , )22MNg x yuvF u v數(shù) 字 圖 像

23、 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 頻率域銳化處理4.4.5 鈍化模板，高頻提升（或增強(qiáng)）濾波和高頻加強(qiáng)濾波 4.4.14.4.3 節(jié)濾濾后的圖像有一個(gè)共同點(diǎn)背景很黑，原因是濾除了0頻成份。解決辦法是把一個(gè)比例的原因像加到濾波后的結(jié)果中去。這里使用拉氏算子來(lái)實(shí)現(xiàn)鈍化模板：（高通濾波） 高頻提升： 鈍化模板還可：高頻提升板還可： ( , )( , )( , )hplpfx yf x yfx y( , )( , )hblpfAf x yfx y1( , )(1) ( , )( , )( , ) (1) ( , )(

24、 , )hblphpAfx yAf x yf x yfx yAf x yfx y常數(shù)( , )1( , )hplpHu vHu v ( , )(1)( , )(1)hpnpHu vAHu vA數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 頻率域銳化處理4.4.5 鈍化模板，高頻提升（或增強(qiáng)）濾波和高頻加強(qiáng)濾波 高頻提升濾波效果見(jiàn)右圖所示： 數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 頻率域銳化處理4.4.5 鈍化模板，

25、高頻提升（或增強(qiáng)）濾波和高頻加強(qiáng)濾波還有另外一種處理方法叫高頻加強(qiáng)其效果見(jiàn)下圖所示： ( , )( , )0, 0.25 0.5 1.5 2.0nfehpHu vabHu vabaab數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.5 同態(tài)濾波器 在第2章中，我們?cè)?jīng)介紹過(guò)圖像可被表達(dá)為照射和反射兩部分乘積： ( , )( , ) ( , )( , )ln( , ) ln ( , )ln ( , )( , )ln( , ) ln ( , )ln ( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , ) ( , ) (irf x yi x y r x yz x yf x yi x yr x yz x yf x yi x yr x yz u vF u vF u vH u vz u vS u vH u v Z u vH u定義：則：或：用一個(gè)濾波函數(shù)處理，則111, )( , )( , )( , )( , ) ( , ) ( , )( , )( , )( , )irirv F u vH u v F u vs x yS u vH u v F u vH u v F u v空間：數(shù) 字 圖 像 處 理Chapter 4 Image Enhance