20XX高中高二期末數學試卷理科

1、2019高二（下）期末數學試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1在復平面內，復數z對應的點與復數對應的點關于實軸對稱，則復數z=（）A1iB1+iC2iD1+i2某年齡段的女生體重y（kg）與身高x（cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的線性回歸直線方程為=0.85x85.71，給出下列結論，則錯誤的是（）Ay與x具有正的線性相關關系B若該年齡段內某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgC回歸直線至少經過樣本數據（xi，yi）（i=1，2，n）中的一個D回歸直線一定過樣本點的中心點（，）3設隨機變量N（2，9

2、），若P（c+3）=P（c1），則實數c的值為（）A1B2C3D04定積分dx的值是（）A +ln2BC3+ln2D5下列說法正確的是（）A一個命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真B“xR，x3x2+10”的否定是“xR，x3x2+10”C命題“若a2+b2=0，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b全不為0，則a2+b20”D若命題“p”與“p或q”都是真命題，則命題q一定是真命題6一個幾何體的三視圖如圖所示，已知這個幾何體的體積為，則h=（）ABCD7“x2”是“l(fā)n（x1）0”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件8將4名教師（含2名女教師）分配到三所

3、學校支教，每所學校至少分到一名，且2名女教師不能分到同一學校，則不同分法的種數為（）A48B36C30D609已知拋物線y2=8x的準線過雙曲線=1（a0，b0）的左頂點，且雙曲線的兩條漸近線方程為y=±2x，則雙曲線離心率為（）ABCD10設a，b，c是互不相等的正數，則下列等式不恒成立的是（）Aa2+b2+c2ab+bc+caBab+2C|ab|+|bc|ac|D11ABC中，若D是BC的中點，則=（+）是真命題，類比該命題，將下面命題補充完整，使它也是真命題：在四面體ABCD中，若G為BCD的，則=（+），則處應該填（）A中心B重心C外心D垂線12設函數f（x）=x2+bln（

4、x+1），如果f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，則實數b的取值范圍是（）A（，）B（，0）（0，）C（0，）D0，二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13設（2x）5的展開式中x3的系數為A，則A=14如圖，用4種不同顏色給圖中的A、B、C、D四個區(qū)域涂色，規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，則不同的涂色方案有種（用數字作答）15已知拋物線C：y2=4x，直線l交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點坐標為（，1），則直線l的方程為16已知函數f（x）=exx2在點（x0，f（x0）處的切線與直線x+y6=0垂直，則切點坐標為三、解答題（共6小題，滿分70分）17

5、已知數列an滿足a1=1，an+1=2an+1（nN+）（）計算a2，a3；（）求數列an通項公式an18甲、乙兩同學進行定點投籃游戲，已知他們每一次投籃投中的概率均為，且各次投籃的結果互不影響，甲同學決定投4次，乙同學決定一旦投中就停止，否則就繼續(xù)投下去，但投籃總次數不超過4次（）求甲同學至少投中3次的概率；（）求乙同學投籃次數X的分布列和數學期望19某課題主題研究“中學生數學成績與物理成績的關系”，現對高二年級800名學生上學期期末考試的數學和物理成績按“優(yōu)秀”和“不優(yōu)秀”分類：數學和物理成績都優(yōu)秀的有60人，數學成績優(yōu)秀但物理成績不優(yōu)秀的有140人，物理成績優(yōu)秀但數學成績不優(yōu)秀的有100

6、人（）請完成下面的2×2列聯表，并判斷能否在犯錯概率不超過0.001的前提下，認為該校學生的數學成績與物理成績有關系？（）若將上述調查所得到的頻率視為概率，從全體高二年級學生成績中，有放回地依次隨機抽取4名學生的成績，記抽取的4名學生中數學、物理兩科成績恰有一科“優(yōu)秀”的人數為X，求X的數學期望E（X），附：K2=P（K2k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.8282×2列聯表： 數學優(yōu)秀數學不優(yōu)秀 總計 物理優(yōu)秀 物理不優(yōu)秀 總計20如圖，已知四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，ABC=60°，E，F分別是BC，

7、PC的中點（）證明：AE平面PAD（）若AP=AB=2，求二面角EAFC的余弦值21已知函數f（x）=lnx+，其中a0（）當a=1時，求函數f（x）的單調區(qū)間；（）求函數f（x）在區(qū)間2，3上的最小值22已知點P是橢圓E： +y2=1上的任意一點，F1，F2是它的兩個焦點，O為坐標原點，動點Q滿足=+（）求動點Q的軌跡方程；（）若已知點A（0，2），過點A作直線l與橢圓E相交于B、C兩點，求OBC面積的最大值2019高二（下）期末數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1在復平面內，復數z對應的點與復數對應的點關于實軸對稱，則復數z=（）A1iB1+

8、iC2iD1+i【考點】復數代數形式的乘除運算【分析】根據復數的幾何意義先求出復數對應的點的坐標，利用點的對稱性進行求解即可【解答】解： =1i，對應的點的坐標為（1，1），復數z對應的點與復數對應的點關于實軸對稱，復數z對應的點的坐標為（1，1）對應的復數為z=1+i，故選：D2某年齡段的女生體重y（kg）與身高x（cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的線性回歸直線方程為=0.85x85.71，給出下列結論，則錯誤的是（）Ay與x具有正的線性相關關系B若該年齡段內某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgC回歸直線至少經過樣本數據（

9、xi，yi）（i=1，2，n）中的一個D回歸直線一定過樣本點的中心點（，）【考點】線性回歸方程【分析】根據回歸方程為=0.85x85.71，0.850，回歸直線一定過樣本點的中心點（，），但不一定過樣本數據，可知A，B，D均正確，可以判斷C錯誤【解答】解：由線性回歸方程=0.85x85.71，0.850，y與x具有正的線性相關關系，故A正確；由線性回歸方程可知該年齡段內某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg，故B正確；由線性回歸直線一定過樣本點的中心點（，），故D正確；回歸直線不一定經過樣本數據（xi，yi）（i=1，2，n）中的點，故C錯誤，故答案選：C3設隨機變量N（2，9），若

10、P（c+3）=P（c1），則實數c的值為（）A1B2C3D0【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義【分析】隨機變量服從正態(tài)分布N（2，9），得到曲線關于x=1對稱，根據P（c+3）=P（c1），結合曲線的對稱性得到點c+3與點c1關于點2對稱的，從而做出常數c的值得到結果【解答】解：隨機變量服從正態(tài)分布N（2，9），曲線關于x=2對稱，P（c+3）=P（c1），c+3+c1=4，c=1故選：A4定積分dx的值是（）A +ln2BC3+ln2D【考點】定積分【分析】求出被積函數的原函數，直接代入積分上限和積分下限后作差得答案【解答】解： dx=ln2ln1+=故選：A5下列說法正確的是（）

11、A一個命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真B“xR，x3x2+10”的否定是“xR，x3x2+10”C命題“若a2+b2=0，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b全不為0，則a2+b20”D若命題“p”與“p或q”都是真命題，則命題q一定是真命題【考點】命題的真假判斷與應用【分析】A根據四種命題真假關系進行判斷，B根據全稱命題的否定是特稱命題進行判斷，C根據逆否命題的定義進行判斷，D根據復合命題真假關系進行判斷【解答】解：A逆命題和否命題互為逆否命題，逆否命題的真假性相同，則一個命題的逆命題為真，則它的否命題一定為真，但逆否命題不一定為真，故A錯誤B“xR，x3x2+10”的否定是“xR

12、，x3x2+10”，故B錯誤，C命題“若a2+b2=0，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b不全為0，則a2+b20”，故C錯誤，D若p為真命題，則p是假命題，若p或q為真命題，則q一定是真命題，故D正確故選：D6一個幾何體的三視圖如圖所示，已知這個幾何體的體積為，則h=（）ABCD【考點】由三視圖求面積、體積【分析】三視圖復原的幾何體是四棱錐，結合三視圖的數據利用幾何體的體積，求出高h即可【解答】解：三視圖復原的幾何體是底面為邊長5，6的矩形，一條側棱垂直底面高為h，所以四棱錐的體積為：，所以h=故選B7“x2”是“l(fā)n（x1）0”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分

13、也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】根據對數函數的性質結合集合的包含關系判斷即可【解答】解：由ln（x1）0，得：0x11，解得：1x2，故x2是1x2的必要不充分條件，故選：B8將4名教師（含2名女教師）分配到三所學校支教，每所學校至少分到一名，且2名女教師不能分到同一學校，則不同分法的種數為（）A48B36C30D60【考點】排列、組合及簡單計數問題【分析】首先分析題目4個老師分到3個學校，每個學校至少分到一人，求2名女教師不能分配到同一個學校的種數，考慮到應用反面的思想求解，先求出2名女教師在一個學校的種數，然后用總的種數減去2名女教師在一個學校的種數，即可得到

14、答案【解答】解：考慮用間接法，因為2名女教師分配到同一個學校有3×2=6種排法；將四名老師分配到三個不同的學校，每個學校至少分到一名老師有C42A33=36種排法；故2名女教師不能分配到同一個學校有366=30種排法；故選：C9已知拋物線y2=8x的準線過雙曲線=1（a0，b0）的左頂點，且雙曲線的兩條漸近線方程為y=±2x，則雙曲線離心率為（）ABCD【考點】雙曲線的簡單性質【分析】求出拋物線的準線方程，利用準線和雙曲線左頂點的關系求出a，結合雙曲線的漸近線求出，b，c即可求雙曲線的離心率【解答】解：拋物線的準線方程為x=2，拋物線y2=8x的準線過雙曲線=1（a0，b0

15、）的左頂點（a，0），a=2，則a=2，雙曲線的兩條漸近線方程為y=±2x=±x=±x，=2，則b=4，則c=2，則雙曲線的離心率e=，故選：D10設a，b，c是互不相等的正數，則下列等式不恒成立的是（）Aa2+b2+c2ab+bc+caBab+2C|ab|+|bc|ac|D【考點】基本不等式；不等式的基本性質【分析】Aa，b，c是互不相等的正數，可得（ab）2+（bc）2+（ac）20，展開化簡即可判斷出結論；Bab時，（ab）+=2，即可判斷出正誤；C由絕對值的不等式的性質即可判斷出結論；D平方作差=220，即可判斷出結論【解答】解：Aa，b，c是互不相等的正

16、數，（ab）2+（bc）2+（ac）20，展開化為a2+b2+c2ab+bc+ca，因此恒成立；Bab時，（ab）+=2，因此不恒成立；C由絕對值的不等式的性質可得：|ab|+|bc|ab+bc|=|ac|，因此恒成立；D=220，+，因此，因此恒成立綜上可得：只有B不恒成立故選：B11ABC中，若D是BC的中點，則=（+）是真命題，類比該命題，將下面命題補充完整，使它也是真命題：在四面體ABCD中，若G為BCD的，則=（+），則處應該填（）A中心B重心C外心D垂線【考點】三角形五心；向量的線性運算性質及幾何意義【分析】在ABC中，D為BC的中點，則有=（+），平面可類比到空間就是“ABC”類

17、比“四面體ABCD”，“中點”類比“重心”得結論【解答】解：由“ABC”類比“四面體ABCD”，“中點”類比“重心”，有：在四面體ABCD中，若G為BCD的重心，則=（+）事實上，如圖：若G為BCD的重心，連接BG并延長交CD于E，連接AE，則=故選：B12設函數f（x）=x2+bln（x+1），如果f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，則實數b的取值范圍是（）A（，）B（，0）（0，）C（0，）D0，【考點】利用導數研究函數的極值【分析】由于函數f（x）在定義域內既有極大值又有極小值f（x）=0在（1，+）有兩個不等實根g（x）=2x2+2x+b=0在（1，+）有兩個不等實根0且g（1）0

18、，解出即可【解答】解：函數f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，f（x）=0在（1，+）有兩個不等實根，即2x2+2x+b=0在（1，+）有兩個不等實根，設g（x）=2x2+2x+b，則=48b0且g（1）0，0b故選：C二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13設（2x）5的展開式中x3的系數為A，則A=40【考點】二項式定理的應用【分析】利用二項式定理的二項展開式的通項公式即可求得答案【解答】解：設（2x）5的展開式的通項公式為Tr+1，則Tr+1=25r（1）rxr，令r=3，則A=（1）3253=40故答案為：4014如圖，用4種不同顏色給圖中的A、B、C、D四個區(qū)域涂色，規(guī)

19、定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，則不同的涂色方案有84種（用數字作答）【考點】排列、組合及簡單計數問題【分析】本題是一個分類問題，B，C同色，有4種選擇，A有3種選擇，D有3種選擇，當B，C不同色時，A有4種選擇，B有3種選擇，C有2種選擇，D有2種選擇，根據分類計數原理得到結果【解答】解：分類討論：B，C同色，有4種選擇，A有3種選擇，D有3種選擇，共有4×3×3=36種不同的涂色方案；B，C不同色，共有4×3×2×2=48種不同的涂色方案；共有36+48=84種不同的涂色方案故答案為：8415已知拋物線C：y2=4x，直線

20、l交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點坐標為（，1），則直線l的方程為y=2x【考點】拋物線的簡單性質【分析】設出A，B的坐標，代入拋物線方程，利用作差法，結合中點坐標公式代入先求得直線l的斜率利用點斜式方程即可得到結論【解答】解解：設A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在拋物線，y12=4x1，y22=4x2，兩式作差可得：y12y22=4（x1x2），即4（x1x2）=（y1y2）（y1+y2），即AB的斜率k=，線段AB的中點為（，1），=1，則y1+y2=2，k=2即直線l的斜率為2則對應的方程為y+1=2（x），即y=2x，故答案為：y=2x16已知函數f（x）=exx2在點

21、（x0，f（x0）處的切線與直線x+y6=0垂直，則切點坐標為（0，1）【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程【分析】求出函數的導數，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為1，可得ex0=1，設g（x）=exx1，求得導數和單調區(qū)間，和最值，即可得到切點坐標【解答】解：f（x）=exx2的導數為f（x）=exx，可得在點（x0，f（x0）處的切線斜率為k=ex0，由切線與直線x+y6=0垂直，可得ex0=1，設g（x）=exx1，導數為g（x）=ex1，當x0時，g（x）0，g（x）遞增；當x0時，g（x）0，g（x）遞減則g（x）在x=0處取得極小值，且為最小值0即有ex0=1的解為

22、x0=0，f（x0）=e00=1則切點坐標為（0，1）故答案為：（0，1）三、解答題（共6小題，滿分70分）17已知數列an滿足a1=1，an+1=2an+1（nN+）（）計算a2，a3；（）求數列an通項公式an【考點】數列遞推式【分析】（I）由a1=1，an+1=2an+1（nN+），令n=1，2即可得出（II）由an+1=2an+1，變形為：an+1+1=2（an+1），利用等比數列的通項公式即可得出【解答】解：（I）a1=1，an+1=2an+1（nN+），a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7（II）由an+1=2an+1，變形為：an+1+1=2（an+1），數列an+1是等比

23、數列，公比為2，首項為2an+1=2n，解得an=2n118甲、乙兩同學進行定點投籃游戲，已知他們每一次投籃投中的概率均為，且各次投籃的結果互不影響，甲同學決定投4次，乙同學決定一旦投中就停止，否則就繼續(xù)投下去，但投籃總次數不超過4次（）求甲同學至少投中3次的概率；（）求乙同學投籃次數X的分布列和數學期望【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列【分析】（）設甲同學在四次投籃中，“至少投中3次”的概率為P，利用n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次概率計算公式能求出甲同學至少投中3次的概率（）由題意知X可能取值為1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出X的概率分布列和E（

24、X）【解答】解：（）設甲同學在四次投籃中，“至少投中3次”的概率為P，則P=（）由題意知X可能取值為1，2，3，4，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=（）3=，X的概率分布列為： X 1 2 3 4 PE（X）=19某課題主題研究“中學生數學成績與物理成績的關系”，現對高二年級800名學生上學期期末考試的數學和物理成績按“優(yōu)秀”和“不優(yōu)秀”分類：數學和物理成績都優(yōu)秀的有60人，數學成績優(yōu)秀但物理成績不優(yōu)秀的有140人，物理成績優(yōu)秀但數學成績不優(yōu)秀的有100人（）請完成下面的2×2列聯表，并判斷能否在犯錯概率不超過0.001的前提下，認為該校學生的數學成績與

25、物理成績有關系？（）若將上述調查所得到的頻率視為概率，從全體高二年級學生成績中，有放回地依次隨機抽取4名學生的成績，記抽取的4名學生中數學、物理兩科成績恰有一科“優(yōu)秀”的人數為X，求X的數學期望E（X），附：K2=P（K2k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.8282×2列聯表： 數學優(yōu)秀數學不優(yōu)秀 總計 物理優(yōu)秀 物理不優(yōu)秀 總計【考點】獨立性檢驗的應用【分析】（1）由題意得列聯表，可計算K216.66710.828，可得結論；（2）可得數學、物理兩科成績恰有一科“優(yōu)秀”的概率為0.3，由題意可知XB（4，0.3），可得期望【解答】解：（1）由題意可得列

26、聯表：物理優(yōu)秀物理不優(yōu)秀總計數學優(yōu)秀60140160數學不優(yōu)秀100500640總計200600800因為K2=16.66710.828所以能在犯錯概率不超過0.001的前提下認為該校學生的數學成績與物理成績有關；（2）每次抽取1名學生成績，其中數學、物理兩科成績恰有一科“優(yōu)秀”的頻率=0.3將頻率視為概率，即每次抽取1名學生成績，其中數學、物理兩科成績恰有一科“優(yōu)秀”的概率為0.3由題意可知XB（4，0.3），從而E（X）=np=1.220如圖，已知四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，ABC=60°，E，F分別是BC，PC的中點（）證明：AE平面PAD（）若A

27、P=AB=2，求二面角EAFC的余弦值【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定【分析】（）推導出PAAE，BCAE，從而ADAE，由此能證明AE平面PAD（）推導出平面PAC平面ABCD，過E作EOAC于O，則EO平面PAC，過O作OSAF于S，連結ES，則ESO為二面角EAFC的平面角，由此能求出二面角EAFC的余弦值【解答】證明：（）PA面ABCD，AE平面ABCD，PAAE，又底面ABCD為菱形，ABC=60°，ABC是正三角形，又E是BC的中點，BCAE，又BCAD，ADAE，又ADPA=A，PA、AD平面PAD，AE平面PAD解：（）PA平面ABCD，PA平面PAC，平面PAC平面ABCD，過E作EOAC于O，則EO平面PAC，過O作OSAF于S，連結ES，則ESO為二面角EAFC的平面角，在RtAOE中，EO=AEsin30°=，AO=AEcos30°=，又F是PC的中點，在RtASO中，SO=AOsin45°=，又SE=，在RtESO中， =，二面角EAFC的余弦值為21已知函數f（x）=lnx+，其中a0（）當a=1時，求函數f（x）的單調區(qū)間；（）求函數f（x）在區(qū)間2，3上的最小值【考點】利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性【分析】（）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)