第一章第四講抽象函數(shù)與分段函數(shù)

1、 第4講 抽象函數(shù)與分段函數(shù)課程目標(biāo)1.掌握抽象函數(shù)與分段函數(shù)的有關(guān)概念；2.熟練掌握抽象函數(shù)與分段函數(shù)的解題方法；課程重點(diǎn)抽象函數(shù)與分段函數(shù)的解題方法課程難點(diǎn)抽象函數(shù)與分段函數(shù)的解題方法教學(xué)方法建議通過經(jīng)典考題知識點(diǎn)細(xì)致梳理，對“抽象函數(shù)與分段函數(shù)”部分出現(xiàn)高考題型和方法精講精練，對不同層次學(xué)生可以分層教學(xué)，一對一可以就學(xué)生的層次有針對性的選擇例題講解。層次較好的學(xué)員可以全部講解選材程度及數(shù)量課堂精講例題搭配課堂訓(xùn)練題課后作業(yè)A類（ 7 ）道（13 ）道（ 10）道B類（ 1 ）道（ 2 ）道（ 2 ）道C類（ 0 ）道（ 0 ）道（ 0 ）道一：考綱解讀、有的放矢分段函數(shù)是指自變量在不同的

2、取值范圍內(nèi)，其對應(yīng)法則也不同的函數(shù)由于分段函數(shù)更能深刻地考查函數(shù)的各種性質(zhì)，且在現(xiàn)實(shí)生活中具有廣泛應(yīng)用，因此對分段函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)顯得尤其重要，抽象函數(shù)難度大，抽象度高，是高考的熱點(diǎn)。二:核心梳理、茅塞頓開1.解決抽象函數(shù)問題主要方法是賦值法，和模特函數(shù)法；2.分段函數(shù)的主要問題和方法：求自變量（或定義域）問題這類問題先求出各分段上的解，然后再合并，體現(xiàn)了“先分后合”的思想。求函數(shù)值（或值域）問題求函數(shù)值（或值域）關(guān)鍵在于“對號入座”：即看清待求函數(shù)值的自變量所在區(qū)域，再用分段函數(shù)的定義即可解決。求解析式及作圖問題求分段函數(shù)解析式主要是指已知函數(shù)在某一區(qū)間上的圖象或解析式，求此函數(shù)在另一區(qū)間

3、上的解析式，常用解法是利用函數(shù)性質(zhì)、待定系數(shù)法及數(shù)形結(jié)合法等。分段函數(shù)作圖要特別注意定義域的限制及關(guān)鍵點(diǎn)（如端點(diǎn)、最值點(diǎn)）的準(zhǔn)確性。三：例題詮釋，舉一反三知識點(diǎn)1：抽象函數(shù)問題例1（江蘇泰興市重點(diǎn)中學(xué)2011屆 C）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，對任意?shí)數(shù)都有，且當(dāng)時(shí)，（1）求的值，并證明當(dāng)時(shí)；（2）證明在R上是減函數(shù)；（3）已知，若不等式的解集為（），求的值.（4）設(shè)，若，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍。（5）若實(shí)數(shù)x、y滿足：，且，求z=x+y 的取值范圍.（注：函數(shù)關(guān)系式也可改為）解：（1）對任意實(shí)數(shù)m，n都有， 又當(dāng)時(shí)，.且時(shí)從而時(shí).（2）設(shè)任意且，則在R上是減函數(shù).（3）因?yàn)?，所以。所以原不等式等價(jià)于。

4、因?yàn)樵赗上遞減，所以不等式等價(jià)，依題可知是方程兩根，由違達(dá)定理得（4），欲使，只須使直線與圓至多有一個(gè)公共點(diǎn)，即的取值范圍為. （5）【方法一】又如圖，同時(shí)滿足、的點(diǎn)（的集合如陰影所示（包括邊界）， 所以，當(dāng)直線與陰影部分有公共點(diǎn)時(shí)，t 4，6 Z4，6 【方法二】如圖，同時(shí)滿足、的點(diǎn)（的集合如陰影所示（包括邊界），故可設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，Z4，6變式1：（2010年3月廣東省廣州市高三一模數(shù)學(xué) B） 設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意a，b，當(dāng)a+b0，都有0（1）.若ab，試比較f（a）與f（b）的大小；（2）.若f（k0對x1，1恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。變式2：（2010

5、年廣東省揭陽市高考一模試題 C）已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對于任意的都滿足: .(1)求的值;(2)判斷的奇偶性,并證明你的結(jié)論;(3)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.變式題3：（四川省成都外國語學(xué)校 B）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（，），滿足條件：存在，使得，對任何x和y，成立。求：（1）f（0）； （2）對任意值x，判斷f（x）值的正負(fù)。知識點(diǎn)2、分段函數(shù)問題例題2：(廣東省遂溪縣2011年高考第一次模擬數(shù)學(xué) A)設(shè)函數(shù)f(x)=若f(x0)>1，求x0的取值范圍。變式.（江西省2011屆高三 B）已知函數(shù)f(x)=，求函數(shù)f(x)的值域。例3.(2009年廣東模擬A)例四、設(shè)f(x)為

6、定義域在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x-1時(shí)，f(x)的圖象是過點(diǎn)（-2，0），斜率為1的射線。又在的圖象中有一部分是過頂點(diǎn)在（0，2），且過點(diǎn)（-1，1）的一段拋物線，試寫出函數(shù)f(x)解析式，并作出其圖象。變式題：（2010湖南模擬 A）已知g(x)=試判斷函數(shù)g(x)的奇偶性。四：方向預(yù)測、勝利在望1.已知f(x)=求fff(-1.1)。2.求函數(shù)f(x)=的最大值。3.已知函數(shù)y = f (x)(xR，x0)對任意的非零實(shí)數(shù)，恒有f()=f()+f(),試判斷f(x)的奇偶性。4.已知函數(shù)是定義在（-，3上的減函數(shù)，已知對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。5.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足.(1)若(2)設(shè)有且

7、僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使得,求函數(shù)的解析表達(dá)式.6.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,對任意實(shí)數(shù)都有,且,當(dāng)時(shí), >0.(1)求;(2)求和;(3)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并證明.7.函數(shù)的定義域?yàn)镽,并滿足以下條件:對任意,有>0;對任意,有;.(1)求的值;(2)求證: 在R上是單調(diào)減函數(shù);(3)若且,求證:.8.設(shè)函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間0，7上，只有（1）試判斷函數(shù)的奇偶性；（2）試求方程=0在閉區(qū)間-2005，2005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論參考答案：例題2：解：若x00，則有2-1>1，得x0<-1；若x0>0，則有 x0>1，得x0>1。綜合可得：x(-,-1

8、)。變式;分析：先分別求出每一段上的值域，再求其并集。解：當(dāng)時(shí)，f(x)；當(dāng)時(shí)，f(x)；當(dāng)時(shí)，f(x)=11。故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，11。例題3：解：當(dāng)x-1時(shí)，由條件得f(x)=f(-x)=-x+2；當(dāng)-1x0時(shí)，由條件可設(shè)f(x)=ax+2；由于拋物線過點(diǎn)(-1,1)，故，即1=a+2，即a=-1，因此此時(shí)f(x)= -x+2。所以當(dāng)0x1時(shí)，f(x)=f(-x)=-x+2。又當(dāng)時(shí)，當(dāng)x=-1時(shí)，x+2=-x2+2，當(dāng)x=1時(shí)，-x+2=-x2+2，所以f(x)=，圖象如圖。變式：解：數(shù)形結(jié)合法作出g(x)的圖象，知關(guān)于y軸對稱，故為偶函數(shù)。方向預(yù)測：1.分析：對于含有多層的函數(shù)求值，可“從內(nèi)到外”逐一求之。解：由f(-1.1)=-1.1+3=1.9，所以f(1.9)=1.92=3.61，f(3.61)=23.61=7.22，即fff(-1.1)=7.22。2.解：先求每個(gè)分段區(qū)間上的最值，后比較